Об одном внутреннем ассоциативном продолжении частичного мультипликативного матричного группоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

2 3 4 i~24 (х ,У := х Н- у + z — 1

xrnin := —4 ymin := —4 zmm. := —3 (nx ny nz) := (31 31 31 )

xmax := 4 ymax :— 1 zmax := 3

T

grids := (nx ny nz)

( ( 1 ^ num2str ceil — colsi' i =

1 ' • v -:l1 1 1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гурский, Д. MаthCAD для студентов и школьников. Популярный самоучитель / Д. Гурский, Е. Турбина. - СПб.: Питер, 2005. - 400 с.

2. Дьяконов, В. П. Mathcad 2001. Учебный курс / В. П. Дьяконов. - СПб.: Питер. - 2001. - 624 с.

3. Компьютерная геометрия: учеб. пособие / Н. Н. Голованов и др. - М.: Академия, 2006. - 512 с.

4. Режим доступа: http//:www.exponenta.m.

УДК 512.5 ББК 22

В. М. Кривенко

ОБ ОДНОМ ВНУТРЕННЕМ АССОЦИАТИВНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ

ЧАСТИЧНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО МАТРИЧНОГО ГРУППОИДА

Аннотация. В работах известного отечественного математика Е. С. Ляпина одним из центральных является вопрос о существовании ассоциативных продолжений частичных матричных группоидов. В настоящей работе установлена возможность внутреннего ассоциативного продолжения частичного мультипликативного матричного группоида.

Ключевые слова: умножение матриц, полугруппа, продолжение.

V. M. Krivenko

ABOUT ONE INTERNAL ASSOCIATIVE EXTENSIONS OF PARTIAL MULTIPLICATE MATRICES GROUPOID

Absrtact. In works of known domestic mathematician E. S. Ljapina on the theory partial of groupoids one of central is the question on existence of associative extensions partial of groupoids. In the present work the possibility of internal associative extension of partial matrices groupoid is established.

Key words: multiplication of matrices, semigroup, extension.

1°. Пусть (S;) - произвольный частичный группоид [1]. В соответствии с [1] полугруппа (5;*) называется внутренним полугрупповым продолжением частичного группоида (S;), если

(Vx, у е S) (если х. у # 0, то х.у = х * v).

Рис. 5

Вопросы о существовании таких продолжений изучались ранее в работах Е. С. Ля-пина [1, 2].

Известно, что операция обычного умножения матриц • является частичной бинарной операцией, поэтому группоид {М(К)-,»), состоящий из всех прямоугольных матриц над произвольным кольцом (К) +,•) является частичным.

В настоящей работе устанавливается существование внутреннего полугруппового продолжения частичного мультипликативного группоида (М(К);•).

Отметим, что для любых матриц А, В и С из М(К) выполняются два утверждения:

1). Если произведения А»В и (А* В) »С определены, то определены произведения В • С и

А* (В • С) и (А • В) • С = А • (В • С);

2). Если произведения В • С и А (В • С) определены, то определены произведения А • В и

(А • В) • С и А» (В • С) = (А • В) • С.

Эти утверждения называют [1] условиями сильной ассоциативности операции •. Из них следует, что для любых матриц Атл, ВП(? и СчЛ из М(К) выполняется равенство:

(Ат,„ • Вп>?) • С„ = Атл • (Вп,ч • Счл) (1)

2°. Пусть Атз и Втг - произвольные матрицы, имеющие т строк. Тогда приписывая справа ко всем строкам матрицы соответствующие по номеру строки матрицы Вт{ получим матрицу, имеющую т строк и (я + Ь) столбцов, которую будем обозначать

I Вт_£.

Аналогично, для матриц Атв и В18, имеющих 5 столбцов определяется матрица, полученная из матрицы Атв приписыванием снизу матрицы Вкоторую будем обозначать

Пусть Атл - произвольная матрица, тогда (VI,} е ДО) таких, что 1 <1<]<п , обозначим через

У)

матрицу, которая получается из матрицы Атп удалением всех столбцов до I - того столбца и всех столбцов после ] - того столбца (если такие есть). Будем считать, что матрица

Ащ,([->[)

состоит из одного I - того столбца матрицы Атп .

Полагаем также, что если I = п, то матрица Ат^(¿-ц)-^ считается пустым символом. Аналогично, (VI,} е Щ таких, что 1 < I < } < т определяется матрица

Отметим, что (VI е ДО) (ук е ДО) таких, что 1<1<пи 1 <к <т выполняются равенства:

\п,п = 1-»0 ' ^т,((1+1)-»п)

и

А _ Л(1->к),П лт,п л, . .

((/с+1)->т),п

Из обычного правила умножения прямоугольных матриц • следует, что

— ' Сп, - Ат'п'Сп'" , (2)

и

сях • ( Агл I i?t,p) = (Сях • А^) | (Сях • В^). (3)

Кроме того, для любых матриц Атп,Вт(г, СпХ и выполняется равенство:

(А^В^) • = (Атп • Спх) + (Вт,ч • Б^), (4)

где символом + обозначается обычное сложение матриц. 3°. Определим теперь на множестве М(К) (п. 1°) операцию * так, что

!Ат,п * В(1 ->п),о ,

—--, если п<р

В((п+1 )чр)Л (I)

(Ат,(1^р) ' ВРл) 1 Ат,((р+1)^п).еСЛИП > р

где • является символом обычной операции умножения матриц.

Теорема. Группоид (М(К)] *), является полугруппой, которая является внутренним полугрупповым продолжением частичного группоида (М(К);•).

Доказательство. Из определения операции * следует, что если п = р, то

7п,п V'Q т,п пд тп,п {l—>n),q ■rim,n Т1Д ш,п p,Q >

так как матрица В^п+i)_>p),q считается пустым символом, а матрица совпадает с матрицей Bn q.

Пусть Аху , Bz t и Cuv - произвольные прямоугольные матрицы из множества MQQ. Покажем, что

( Ах,у * Bz,t) * Cu,v = Аху *(Bz,t * Cu,v). (II)

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1. у < zut <и;

2. у < zu t > и;

3.1. y>z,t<uut + y — z < и;

3.2. у > z,t <uut + y — z > и; 4.у> zut>u.

В случае 1. получаем: ( Аху * Bzt) * Cuv = = (так как у < z) —-(1~>y),t * Cu v =

B((y+l)->z),t '

* B(l->y),t

^((t+l)-»u),v

(AX,y'B(l^y),t >C(l^t),V

= согласно (2) —LjL-—---

C((t+l)->u),v

= согласно (1)

AX,y * (B(l^y),t * C(l->t),v)

В((у+1)->г)д: * С(1->1),у

С((ц-1)->и),у и Аху *(В2,1 * Сиу)=

= (так как I < и)Аху * —р-у) _

- (так как V < >с(1^).у)

— (.так как у < 2) в((у+1Ь4{.С(1^у •

С((1+1)-.и),у

г, „ ^ вгХ'

Действительно, так как у < г, то первые у строк матрицы-*—— совпадают с первыми у строками матрицы ВжЛ • С(1_>£)1„ которыми являются все строки матрицы •

1трица, состоя Д((у+ 1)->г)л ,с(1->с),р

Матрица, состоящая из последующих за у строками матрицы совпадает с матрицей

' с(а+1Ьи>

-. Отсюда следует справедливость (II) в случае 1. с((с+1)->и),ю ' '

В случае 2. получаем: (Аху *ВгХ) * Си1!= = (так как у < г) —-У^зО^ * Сиу =

В((у+1)->2),1 '

= (так как Г > и) . Сц у | ' =

В«у+1)->2),(1->и) ' В((у+1)->2),((и+1Ы)

= согласно (2) | ,

В((у+1)->г),(1->и) *Си,У в((у+1)-.2),((и+1)->1)

и АХ,У *(в2,1 * Си,у) =

= (так как1:> и)Аху ★ ((В2,(1^и) • Си,у)|В2_((и+1)^) =

Ах.У*( (в(1->у),(1->иГ си,у) В(1^у),((и+1)^1) )

= (так как у < г)---- —

В((У+1)->2),(1-.и) •Си.у1В((у+1)->2),((и+1)^1) Ах,у*(в(1->у),(1->и)* Си,у)1 Ах,у,В(иу),((и+1)-.1)

= согласно (3) —---——-*-- =

В(Су+1)->г),(1->и) *^и,у|°((у+1)-»г),((и+1)-»1;)

ч (АХ,у*В(1^У).(1->и))'Си,у| АХ,у*^(1-»у)/(и+1)-»1)

= согласно (1) —г-----"-- =

В((у+1)->2),(1->и) *Си,у1В((у+1)->г),((и+1Ы) _ (Ах.у'Вд-'уи^ц) )'Си,у | Ах.у,в(1->у),((ц+1)->{)

В((у+1)->2),(1->и) 'Си,у В((у+1)->г),((и+1)->1)

Действительно, для любых матриц Атп, Сч п, Втг и Вч г выполняется равенство:

Ат,п\Вт,г _ ¿т.п | Вт,г С(},п1 Од,г

Таким образом, равенство (II) справедливо в случае 2. В случае 3.1 получаем: *Вг1) ★ Си>1> =

= (так как у > г) ((Ах (1^г) • В2;1:) ^^^у) ) * Си,у = = (так как I + у — г < и)---*---=

((1+У-2+1)->и),У _ ^^^^^ =

= согласно (4)---*--—--—,

((1+у-г+1)->и),у

И К.У С^) =

= (таккак1<и)А^у*^^^=

С(0:+1)->и),у

А,

, _ ч Х'У С((1+1)->(М-У-2)),у

+ ——^-— =

(Ах,(1^|Ах,((2+1Ьу))• = согласно (4)-------—— =

((1+У-2+1)->и),У

= согласно (1)--— — .

С(См-у-г+1)^и),у

Отсюда следует справедливость (II) в случае 3.1.

В случае 3.2 опять применяя равенство (4) получаем: (Аху*В2^) * Си„ = = (так как у>т) ((АХ;(1^г) • В2>1)) |Ах((2+1Ьу) ) * Сиу=

= • Вг,с) 1Ах,((2+1)->(2+(и-1)))) • 1Ах,((2+и-1)->у) =

- ( • • + ^с+о-.^и-о)) * с((1+1Ьи),у) I

1Ах,((г+и-1:)->у) ,

И Ах,у *(В2,1 * Си,у) =

- (так как Г < и) Ах,у *

(/ \ 1 • у) \

- ((Ах.(1^) • (В2,1 • С(1^),у) + • С((тЬи>) |

1Ах,((г+и-1)->у)-

Согласно равенству (1) получаем, что

( (Ах,(1^) ' ' + Аф+1Ь(2+(и-1))) * С((1+1)-и),у) I

1Ах,((г+и-1)->у) =

((Ах,(1^) * * С(1-1),у) + \((ж+1)-,(ж+(и-1))) ' С((Ы-1)-.и>) I

1АХ,((г+и-1)->у)-

Поэтому равенство (II) справедливо в случае 3.2.

Покажем, наконец, что равенство (II) справедливо в случае 4.

Действительно,

(Ах,у * В2(:) * Сцу = ((А,^^) • В^) |Ах ) * Си_у-

- ((АХ,(1->2) • • Сц,у) I (АХ,(1->2) • В2,((и+1)^1)1АХ,((2+1)->У)) =

- (АХ,(1->2) • (В2,(1^и) • Сц,у)) I ((АХ,(1^2) • В2,((и+1)->1)) I Ах^+и-у)) и Ах,у *(В2,1 * Сиу) - Ах,у * ((В2,(1->и) • Си,у)|в2,((и+1)->1)) -

- ^Ах,(1->г) • ((В2,(1^и) • Си,у)|Вг,((и+1Ы:))^ I Ах,((г+1)-»у) -

- ((Ах,(1->2) • (В7,(1-»и) • си,у)) I (Ах,(1->2) • В2,((и+1)-И:))) |АХ1((2+1)_у)-

- ((АХ,(1->г) • (Вг,(1->и) • си,у)) I (Ах,(1->г) • В2,((и+1)-»1;))) |Ах_((2+1)_>у) =

- (Ах,(1->г) • (Вг,(1-»и) • Сиу)) I ((А^^) • В^ц.,.!^))

Отсюда и следует справедливость (II) в случае 4.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляпин, Е. С. О внутреннем продолжении частичных действий до полных ассоциативных // Известия вузов. Математика. - 1982. - № 7. - С. 40-44.

2. Ляпин, Е. С. О возможности полугруппового продолжения частичного группоида // Известия вузов. Математика. - 1989. - № 10. - С. 30-36.