Об одном подходе к оценке параметров многоканальных систем массового обслуживания с учетом последействия в потоках обслуженных заявок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин,

кандидат технических наук, доцент, доктор технических наук, доцент,

Военный авиационный инженерный Военный авиационный инженерный

университет (г. Воронеж) университет (г. Воронеж)

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

С УЧЕТОМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ В ПОТОКАХ ОБ СЛУЖЕННЫХ ЗАЯВОК

ABOUT ONE APPROACH TO ESTIMATION OF PARAMETERS OF MULTI-CHANNEL MASS SERVICE SYSTEMS CONSIDERING POSTACTION IN STREAMS OF SERVED DEMANDS

В статье обсуждается один из подходов к моделированию многоканальных систем массового обслуживания. Показано, что учет последействия может быть выполнен введением коэффициентов коррекции для интенсивностей обслуживания заявок. Приведены расчетные значения коэффициента коррекции с точностью до 104, для нагрузки СМО р = 0,1 + 1,5 и последействия в потоке Кпд = 2 ^ 10.

The article discusses one of the approaches to modelling of multi-channel mass service systems. It is shown, that the account of postaction can be performed by introduction of the correction factor for intensity of demands service. The rated values of the correction factor with an accuracy of 10-4, mass service system workloadр = 0,1 ^ 1,5 andfollow-up coefficient in the stream Kd = 2 10 are presented.

Учет последействия в потоках обслуженных заявок для многоканальных систем массового обслуживания (СМО) представляется существенно более сложной задачей, чем для одноканальных СМО. Это обусловлено спецификой формирования стохастических потоков для графа состояний и переходов системы. Граф состояний и переходов для одноканальной СМО с очередью приведен на рис. 1, а для n-канальной СМО — на рис. 2.

^ ^ ^ ^

Рис. 1. Граф состояний и переходов одноканальной СМО с очередью

Рис. 2. Граф состояний и переходов п-канальной СМО

Можно видеть, что интенсивность потока обслуженных заявок для одноканальной СМО на любом переходе графа одинакова и равна производительности канала. В этом случае достаточно выполнить однократное марковское приближение потока методом расширения пространства фазовых состояний системы на основе распределения Эрланга и применить результат аппроксимации одновременно ко всем потокам с интенсивностью ^. Данный подход и полученные на его основе коэффициенты коррекции параметров одноканальных СМО достаточно подробно описаны в [1].

Для п-канальной СМО потоки обслуженных заявок формируются путем суммирования потоков от всех занятых в данный момент времени каналов. Так как количество занятых каналов в каждый момент времени конечно, то применение предельных теорем, таких как теорема Григелиониса или предельная нормальная теорема, является затруднительным. Рассмотрим, каким образом изменяется последействие в суммарном потоке в зависимости от количества занятых каналов обслуживания.

Известно [2], что для любого стохастического потока последействие определяется согласно выражению

т

(1)

где т — математическое ожидание, а а — среднеквадратичное отклонение значения временного интервала между событиями в потоке. Примем допущение об идентичности характеристик каналов СМО. Тогда при одновременном функционировании двух каналов СМО математическое ожидание времени обслуживания очередной заявки составит величину т/2, при функционировании трех каналов СМО — величину т/3, и т.д. Вместе с тем дисперсия каждой из этих случайных величин остается прежней и равной О2. Это обусловлено тем фактом, что момент окончания обслуживания очередной заявки определяется функционированием некоторого конкретного канала и среднеквадратичное отклонение данной случайной величины от значения математического ожидания ни в коей мере не зависит от других каналов СМО.

С учетом изложенного, принимая за основу значение последействия Кэ в одном из каналов, можно оценить последействие для всех потоков обслуженных заявок. Сравнительные оценки, применительно к графу состояний и переходов системы (рис. 2), приведены в табл. 1.

Таблица 1

Сравнительные оценки последействия в потоках обслуженных заявок

%

Поток обслуженных заявок 0 00 1 оо 32 - 8і 3з - 32 з 00 1 00 3п - VI

Значение последействия Кэ Кэ/4 Кэ/9 Кэ/16 Кэ/п2

С возрастанием количества функционирующих каналов СМО последействие в потоке достаточно быстро убывает. Гипотетическая возможность достижения значения последействия меньше единицы отсутствует в силу физического смысла процесса — при этом среднеквадратичное отклонение превысило бы математическое ожидание и стали бы возможными отрицательные временные интервалы. В пределе поток стремится к простейшему, что отвечает основным предельным теоремам для суммирования стохастических потоков.

Кроме того, анализ приведенных в табл. 1 данных показывает, что практически исключен случай, когда для всех переходов системы последействие выражалось бы целочисленной величиной.

Итак, для корректного учета последействия в многоканальной СМО требуется решить нетривиальную задачу аппроксимации потоком Эрланга для каждого из немарковских переходов системы в отдельности при условии нецелочисленного последействия, а затем отыскать вероятности состояний полученной марковской цепи, что и позволит в конечном итоге оценить параметры СМО.

Поставленная задача может быть решена на основе рассмотренных в [3] марковских форм с незамкнутыми входами и выходами. Автором доказаны основные свойства подобных структур, сформированных для метода динамики средних. Вместе с тем известно, что уравнения Колмогорова — Чепмена для марковских цепей и уравнения динамики средних идентичны с точностью до обозначений и физического смысла переменных. Следовательно, все основные математические закономерности, доказанные в [3], применимы также и для расчета вероятностей марковских цепей.

Сначала рассмотрим поток событий на переходе 80-Б1 в предположении, что последействие выражается целочисленной величиной К. Фрагмент графа состояний и переходов системы с введенными псевдосостояниями приведен на рис. 3.

Рис. 3. Фрагмент графа состояний и переходов с введенными псевдосостояниями

В этом графе более подробного рассмотрения заслуживает структура, включающая в себя только состояние Б1 и связанные с ним псевдосостояния. Она приведена на рис. 4.

Рис. 4. Структура, включающая в себя состояние Б1 и связанные с ним псевдосостояния

В [3] доказано, что данная марковская форма, взятая в отдельности, обладает целым рядом замечательных особенностей. Во-первых, она имеет однозначно определенный стационарный режим, который определяется равенством сумм стохастических потоков, входящих в форму извне и выходящих вовне данной формы. Вероятности состояний для стационарного режима могут быть рассчитаны путем решения системы алгебраических уравнений для марковской цепи, где интенсивность входящих в форму потоков играет роль ненулевого свободного члена.

Во-вторых, доказано, что отношения вероятностей любых состояний, входящих в подобную форму (а для динамики средних — математических ожиданий численностей состояний) в стационарном режиме не зависят от интенсивности входящего в форму стохастического потока. Эти отношения зависят только от интенсивностей внутренних потоков событий в форме и от интенсивностей выходящих из нее потоков. Более того, отдельно доказано, что тем же свойством обладают отношения любых произвольно взятых сумм вероятностей состояний.

Вместе с тем в соответствии с методом расширения пространства фазовых состояний все вероятности структуры, приведенной на рис. 4, необходимо просуммировать, что и даст в итоге вероятность состояния 81 с учетом немарковского характера потока:

С точки же зрения остальных состояний системы абсолютно неважно, как именно формируются те или иные потоки, важны лишь их свойства. Так, для потока Sl-S2 справедливо следующее утверждение:

где Ккорр — некоторый обобщенный коэффициент, учитывающий как последействие в потоке, так и переход от вероятности последнего из совокупности псевдосостояний 81 к вероятности обобщенного состояния 81экв. Из выражения (3) следует, что

Как обсуждалось выше, отношение вероятностей и сумм вероятностей для марковской формы не зависит от интенсивностей входящих в форму потоков. Тогда достаточно рассчитать выражение (4) для некоторых произвольных интенсивностей потоков, входящих в форму на рис. 4, и оно останется справедливым для любой марковской цепи, в которую войдет данная форма. Особенность заключается лишь в том, что интенсивности Л и ц входят во внутреннюю структуру марковской формы, поэтому будут влиять на соотношение вероятностей состояний. Представляется целесообразным рассчитывать коэффициент в зависимости от нагрузки СМО р = Л/и.

После этого переход 81—80 можно представить в виде марковской цепи:

к-1

(1)

к=1

К-1

(2)

к=1

а количество состояний, которые формируют частные потоки, не играет роли. Тогда и для потока 81-82 справедливо равенство:

(3)

К,

корр

(4)

к=1

Рис. 5. Фрагмент графа, приведенный к марковской цепи

Значения коэффициента Ккорр приведены в табл. 2 с точностью до 10-4, для нагрузки СМО р = 0,1 ^ 1,5 и последействия в потоке Кпд = 2 ^ 10.

Таблица 2

Значения коэффициента Ккорр^10~4

Нагрузка СМО р = Я/ц Коэффициент последействия в немарковском потоке Кд

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1 9756 9674 9633 9608 9591 9580 9571 9564 9558

0,2 9524 9362 9280 9231 9199 9175 9157 9144 9133

0,3 9302 9063 8943 8870 8821 8786 8760 8739 8723

0,4 9091 8778 8619 8523 8459 8412 8378 8351 8329

0,5 8889 8504 8308 8190 8110 8053 8011 7977 7950

0,6 8696 8242 8011 7870 7776 7709 7658 7619 7587

0,7 8511 7991 7725 7564 7456 7378 7320 7274 7238

0,8 8333 7750 7452 7270 7149 7061 6996 6944 6903

0,9 8163 7519 7189 6989 6854 6757 6685 6628 6582

1,0 8000 7297 6938 6719 6572 6466 6387 6324 6275

1,1 7843 7085 6696 6460 6301 6187 6101 6034 5980

1,2 7692 6881 6465 6212 6042 5920 5828 5756 5698

1,3 7547 6685 6243 5975 5794 5664 5567 5490 5429

1,4 7407 6497 6031 5747 5557 5420 5316 5236 5171

1,5 7273 6316 5826 5529 5329 5186 5077 4993 4925

Возвращаясь к модели СМО в целом, следует отметить, что, согласно оценкам, приведенным в табл. 1, последействие на каждом из переходов будет иным. Поэтому коэффициенты коррекции также будут различными. Очевидно, что кратность интенсивностей (ц, 2 ц, 3 ц и т.д.) не сохраняется. Следовательно, не представляется возможным применение известных из теории массового обслуживания формул.

Вместе с тем в этом случае вероятности состояний СМО (а на этой основе и параметры СМО) могут быть рассчитаны как для произвольной марковской цепи. Более того, на основе табл. 2 возможна интерполяция коэффициента Ккорр для нецелых значений Кд, что весьма актуально. Применение данного подхода позволит рассчитать поправочные коэффициенты к классическим формулам теории массового обслуживания, направленные на учет последействия в многоканальных СМО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов П.Б., Леньшин А.В. Оценка параметров систем массового обслуживания при аппроксимации дисциплины обслуживания потоками Эрланга // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — №°2. — С.13—18.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2000. — 383 с.

3. Абрамов П.Б. Модель стационарного режима динамики средних с внешними потоками событий // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2012. — №6. — С.43—49.