CC BY
35
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Об одном методе решения терминальных задач
для аффинных систем
# 11, ноябрь 2013
Б01:10.7463/1113.0622543
Фетисов Д. А.
УДК 519.71
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана dfetisov@yandex.ru
Введение
Терминальная задача является одной из основных задач теории управления и заключается в отыскании таких управлений, которые за некоторый интервал времени переводят рассматриваемую систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Терминальные задачи могут различаться по постановке - дополнительно могут накладываться различные ограничения на состояния системы, на управления, интервал времени управления может быть изначально задан, а может требоваться лишь то, чтобы он был конечен. Один из подходов [1, 2] к решению терминальных задач состоит в преобразовании системы к некоторому специальному виду, для которого методы решения терминальных задач известны. Если аффинная система линеаризуема обратной связью, то решение терминальной задачи может быть найдено на основе концепции обратных задач динамики [1, 3]. Если аффинная система не линеаризуема обратной связью, но эквивалентна регулярной системе квазиканонического вида [4], то для систем с одномерным управлением метод решения предложен в работах [5, 6], а для систем с многомерным управлением — в работах [7, 8]. В то же время область применения метода, предложенного в [7, 8], ограничена существенными предположениями: в системе квазиканонического вида подсистемы канонического вида должны быть двумерны, а нелинейная подсистема одномерна. Кроме того, интервал времени управления в [7, 8] изначально не задается, а определяется в процессе решения. В данной работе рассматриваются аффинные системы, эквивалентные регулярным системам квазиканонического вида, и предлагается метод решения терминальных задач для таких систем. При этом предполагается, что интервал времени управления задан изначально, а размерность нелинейной подсистемы не превосходит размерность управления.
1. Преобразование системы к квазиканоническому виду
Рассмотрим аффинную систему
ж
^(х) + ^ Я,- (ж)«, 3=1
где х = (хь ..., Хп) е Еп, и = (иь ...,ит) е Ет, ^ (ж) = (^(х), ..., ^П(х)) , (ж) =
Т ___
= (С1з-(х), ..., Спз(х)) , ^¿(х), (х) е С^(Еп), г = 1, п, 3 = 1, т, и терминальную задачу в следующей постановке: найти такие непрерывные управления и1 = и1(^), .. ., ит = ит(£), £ е [0, ¿*], которые за заданное время ¿* переводят систему (1) из начального состояния ж(0) = х0 в конечное состояние х(£*) = ж*.
Системе (1) на пространстве состояний Мп взаимно однозначно соответствуют векторные поля
п я д _
Е = Е ВД^ О = Е С*(х)^ 3 = 1,т.
¿=1 г ¿=1 г
Обозначим коммутатор двух векторных полей X и V через [X, V], и пусть аёХ V = V, аёХ V = [X, аёХ-1 V], к = 1, 2, ...
Следующая теорема [4] устанавливает необходимые и достаточные условия, при выполнении которых система (1) преобразуется к квазиканоническому виду
=
^П — 1
(2)
К;
/¿(21,...,2т ,п) + Е 9%3 (^1,...,^т,п)из
3=1
к п = ^(г1,..., гт, п),
1 , т,
п
(П1, ..., Пр) , Ф1,... ,гт,п)
где Г1 + ... + гт = п - р, г = = (д1(г1,..., гт, п), ..., 5р(г1,..., п)Г.
Теорема 1. Для того чтобы аффинная система (1) на множестве П С Мп приводилась к квазиканоническому виду (2), необходимо и достаточно, чтобы:
1) существовали функции <^(х) е Сте(П), г = 1, т, удовлетворяющие в П системе уравнений в частных производных первого порядка
аёр О3<£г(ж) = 0, к = 0, гг — 2, г, 3 = 1, т, ж е П;
2) существовали такие функции ^п-р+г(х) е Сте(П), I = 1, р, что для всех ж е П
Оз^п-р+г(х) = 0, 3 = 1, т, I = 1, р, и отображение Ф: П ^ Ф(П), задаваемое системой функций
Е ^г(х), к = 1, Гг, г = 1, т, пг = ^п-р+г (ж), I = 1, р,
являлось диффеоморфизмом.
т
г
к
Если матрица коэффициентов при управлениях в системе (2)
/ ди(г1,...,гт,п) ... дгт(г\ ..., гт,п) \
д(г1,...,гт,п) = .......................
\дт1(г1,... ,гт,п) ... дтт^ 1,...,гт,п))
невырождена на множестве Ф(П), то систему (2) называют регулярной на Ф(П).
Если система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1 и Ф(П) = Кга, то терминальная задача для этой системы преобразуется в эквивалентную терминальную задачу для системы (2): найти непрерывные управления и1 = и1(Ь), ..., ит = ит(Ь), Ь € [0, Ь*], переводящие систему (2) за время Ь* из начального состояния
Ф(хо)= (го1, ...,#, по) (3)
в конечное состояние
Ф(х*) = (г1 ..., С, п*). (4)
Управления и = и1 (Ь), .. ., ит = ит (Ь), являющиеся решением задачи (3), (4) для системы (2), одновременно являются решением и исходной терминальной задачи для системы (1). В связи с этим далее будем рассматривать терминальную задачу (3), (4) для системы (2).
2. Решение терминальной задачи для системы квазиканонического вида
В работе [5] сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие существования решения терминальной задачи для регулярной системы квазиканонического вида со скалярным управлением. Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы существовали непрерывные управления и1 = и1(Ь), .. ., ит = ит(Ь), Ь € [0, ¿*], являющиеся решением терминальной задачи (3), (4) для системы (2),
необходимо и достаточно, чтобы существовали функции Бг(Ь) € Сп([0, Ь*]), г = 1, т, такие, что:
__( 1) т
1) вектор-функции Бг(Ь) = (Бг(Ь), Бг'(£), ..., Б^-1)(Ь))) удовлетворяют условиям
Бг(0) = г0, Бг(Ь*) = г*, (5)
2) решение п(Ь) задачи Коши
п = ¡(б 1 (г),...,Бт(г),п), п(0) = по, (6)
определено при всех Ь € [0, ¿*] и удовлетворяет условию
п(Ь*) = п*. (7)
При этом (см. доказательство теоремы 2 в [5]) управление и = «(¿), являющееся решением терминальной задачи, определяется равенством
_ _ ( ВГ1)(*) — /х(в 1(*),...,Вт(4),п(*>) ^
и(
V я£т)(*) — /4 ад),..., вт(*), п(*)) у
(8)
а соотношения г* = В*(£), г = 1, т, п = п(^), £ е [0, ¿*], являются параметрическими уравнениями той фазовой траектории системы (2), которая соединяет состояния (3) и (4). Будем искать функции В1(^), .. ., Вт(£) из теоремы 2 в виде
(9)
)т
1, т,
#*(*) = &*(*)+ С ^¿(¿), г
где функции &*(£), ^(¿) е ([0,£*]), вектор-функции &*(£) = (&*(£), &*(£), ..., удовлетворяют условиям
&*(£*) = г*, г = 1, т, ( •-1) т
, ¿[г удовлетворяют условиям
(¿*) = 0, г = 1, т,
вектор-функции
Ь*(0) = г0, (^¿(¿), <(*), .
й(0) = 0,
(Гг-1)(^))
(10) (11)
а с* е К нужно найти.
В качестве функций &*(£), г = 1, т, можно взять, например, интерполяционные многочлены степеней 2г* — 1, в качестве функций ^*(£), г = 1, т, — любые функции, для которых выполняются соотношения (11). При указанном выборе функций £*(£) условие 1) теоремы 2 выполнено для любых с* е К. Числа с* нужно подобрать так, чтобы было выполнено условие 2) этой теоремы. Если найдутся такие с1 = с1+, ..., ст = ст*, что решение п(£) задачи Коши (6) удовлетворяет дополнительному требованию п(^*) = п*, то для функ-
ций £*(£) = &*(£) + с** г = 1, т, выполнены все условия теоремы 2 и, следовательно,
терминальная задача (3), (4) для системы (2) имеет решение.
Далее будем полагать, что р ^ т. Под нормой векторов из Кр будем понимать евклидову
норму, под нормой матрицы А типа р х р — спектральную норму: ||А|| = л/А, где Л —
максимальное собственное число матрицы АтА. Пусть г = тах {г1 , ..., гт}. Для всех
пар индексов I и 3, таких, что I е {2, ..., г}, 3 е {1, ..., р}, I > г3, введем формально
. т _
дополнительные переменные г/. Обозначим = (г/, ..., ггр) , I = 1, г. Будем полагать по
1 ^ дд* "
определению, что если I > г3, то -^—г
дх\
0 для всех г
дд
1, р. Обозначим через —— матрицы
()Х1
типа р х р с элементами —з, г,3
дх/
*
7Т7, г,3 = 1 р.
Независимо от номера г зададим функции формулой
= Ф)
г(¿* — ¿)г
.
/ г (¿* — ^
0
(12)
Обозначим Ь = тахШ'(*)| + + ... + У(г-1)(;£)|}.
[0,4*]
Далее будем предполагать, что вектор-функция q(z^..., zm, п) удовлетворяет следующим условиям.
dq
I. Матрица — симметрична в Rn и существуют такие Amin, Amax > 0, что при всех (z1, ..., zm, п) £ Rn, У £ выполнены неравенства
Am
^ (^y) ^ Amin | У |2.
(13)
dq
II. Матрица- симметрична в Мга и существуют такие Лт;п, Лтах > 0, что при всех
(г1, ..., гт, п) € Ега, у € выполнены неравенства
Лт1п|у|2 ^ (^У,У) ^ Лтах^У!2. (14)
дд
III. Для l = 2, r функции
dzi
ограничены в Rn, т.е. существует такое M > 0, что при
всех (z1, ..., zm, п) £ Rn выполнены неравенства
öq
dzi
< M.
(15)
Обозначим
Am
а
Amin
п _ Лтах ^min >
Р = ~ ; , kmi
min
max i "min "min i "max
Amax + Amin
Amin + Лп
в = (1 - e-Amini*) а + e-Amini*ß + kminML
1 - e
^min
Amin
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть
Q(t)
/Qii(t) ... Qip(t)\
\Qpi(t) ... Q pp (*)/
R(t)
/Ri(t)\
\Rp (t)/
Цгз (Ь), Яг(Ь) € С[0, Ь*], г,= 1, р, и существует такое А > 0, что при всех у € Ь € [0, Ь*] выполнено неравенство
(3(*)у,у) ^ -А||у||2. (16)
Тогда решение у(Ь) задачи Коши
y = Q(t)y + R(t), y(0) = 0
(17)
удовлетворяет неравенству
11у(*.)11 ^ e-M- ||R(i)||eAtdi
(18)
2
2
Доказательство. Если у(Ь*) = 0, то 11 у (Ь *) || =0 и справедливость неравенства (18) следует из неотрицательности его правой части.
Если у(Ь*) = 0, то обозначим через Ь0 точную верхнюю грань таких Ь из промежутка [0, Ь*), для которых у(Ь) = 0. Тогда у(Ь0) = 0 и для всех Ь € (Ь0, Ь*) выполнено неравенство у(Ь) = 0. На интервале (Ь0, Ь*) вычислим и оценим ||у||, используя неравенство (16) и неравенство Коши — Буняковского:
^||у| = Ж = М[(д(Ь)у,у) + (д(Ь),у)] ^ —1!г+ (тм) ^ -А1у|| + 1да)11.
Таким образом, на интервале (Ь0, Ь*) функция ||у(Ь)|| удовлетворяет дифференциальному неравенству
в
^ ||у|| ^ —А|у | + ||Д(Ь)||. (19)
Решением дифференциального уравнения
гг = — Аг + ||Я(Ь)||
с начальным условием г(Ь0) = 0 является функция
г
г(Ь) = е-Лг J |Д(Г) ||еЛтвт,
го
поэтому при всех Ь € [Ь0, Ь*] справедливо неравенство [10]
г
||у(Ь)|| ^ е-Лг1 ||Я(т) ||еЛтвт
го
и, следовательно,
г»
||у(Ь*)| ^ е-Лг»/ ||^(Ь)|еЛгвЬ. (20)
го
Из неотрицательности подынтегральной функции в правой части полученного неравенства следует, что
г» г»
J ||Д(Ь)||еЛг^ ||Я(Ь)||еЛг^, го 0
поэтому из (20) следует неравенство (18).
Докажем теперь достаточное условие существования решения терминальной задачи (3), (4) для системы (2).
Теорема 3. Пусть в системе (2) р ^ т и выполнены условия 1-111. Если
< 1,
то терминальная задача (3), (4) для системы (2) имеет решение.
Доказательство. Согласно условию I, при фиксированном (г1, ..., гт, п) £ матрица является отрицательно определенной, ее собственные числа принадлежат отрезку [— Лшах, — Ат1П], а норма удовлетворяет неравенству
дд
дп
^ Лшах- (21)
до
Из условия II следует, что при фиксированном (г1, ..., гт, п) £ матрица —— положительно определена, ее собственные числа принадлежат отрезку [Лш;п, Лшах], а норма
удовлетворяет неравенству
дд
дг1
т
Положим ср+1 = ... = ст = 0, обозначим через с = (с1, ..., ср) вектор неизвестных
до
параметров. Из ограниченности в Мга нормы матрицы — следует, что для любого с € решение задачи Коши
п = д(&1(Ь) + с1 ^С^... А СО + ср ..., М^), п^ (22)
п(0) = По
определено при всех Ь £ [0, Ь*].
Условия ^г(Ь) £ СГ4([0,Ь*]), г = 1, т, и V .., гт, п) £ С~(Ега) гарантируют,
что решение п(Ь, с) задачи Коши (22) дифференцируемо по параметру с, причем матричная
дп
функция V = — удовлетворяет системе уравнений [9]
/>= ^ + 5, V (0) = 0, (23)
дп
где 5 — матрица типа р х р с элементами
5 = £ (24)
Матрицу 5 можно записать в виде
г
5 = V"
д^ 1=1 1
Следует отметить, что система (23) получается в результате дифференцирования по параметру с исходной системы из (22).
Введем отображение Ф: ^ которое каждому с £ ставит в соответствие значение п(Ь*,с) £ решения п(Ь,с) задачи Коши (22) в момент времени Ь*. Тогда задачу можно сформулировать как задачу нахождения такого значения с*, для которого выполнено равенство Ф(с*) = п*. Введем также отображение V: ^ действующее по правилу
■и(с) = с — к(Ф(с) — п*),
где к > 0 — числовой параметр, который будет выбран позже. Равенство Ф(с*) = п* эквивалентно тому, что с* является неподвижной точкой отображения V. Покажем, что при выполнении условий теоремы и соответствующем выборе параметра к отображение V является сжимающим. Матрица Якоби отображения V имеет вид v/(c) = Е — кФ'(с), где Е — единичная матрица типа р х р, Ф'(с) — матрица Якоби отображения Ф. Из равенства Ф(с) = п(Ь*, с) следует, что Ф'(с) = V(Ь*), поэтому
v'(c) = Е — ^ (Ь*). (25)
г
Обозначим = / в(т)вт. Выбор функций в(Ь) в виде (12) гарантирует, что ^(¿*) = 1.
0
Рассмотрим матричную функцию
Ж (Ь) = £(Ь)Е — ^ (Ь).
Из равенств Д(0) = 0, V(0) = 0 следует, что Ж(0) = 0, а из равенства ^(¿*) = 1 следует, что Ж(Ь*) = Е — ^(Ь*). Показав, что ||Ж(Ь*)|| ^ 7 < 1, мы тем самым покажем, что |^'(с)|| ^ 7 < 1 и, следовательно, докажем, что отображение V является сжимающим. Вычислим Ж, используя (23):
Ж = Я(Ь)Е — кт> = в(Ь)Е — + ^
Обозначим
дп
в(Ь)Е — ^ (Ш)Е — Ж) — кБ = + в(Ь)Е — Ш) ^ — кБ. дп дп дп
А = в(Ь)Е — Я(Ь) ^ — кБ.
дп
и рассмотрим решение Ж (Ь) системы
Ж = + А, Ж (0) = 0. (26)
дп
Из (26) следует, что г-й столбец Жг(Ь) решения Ж (Ь) удовлетворяет системе
Жг = д^Жг + Аг, Жг(0) = 0. (27)
Согласно лемме 1 выполняется неравенство
г»
||Жг(Ь*)|| ^ е-Лт1пг^ У ||Аг|еЛт1пгвЬ. (28)
0
Оценим ||Аг||. Из неравенства ||Аг|| ^ ||А|| следует, что достаточно оценить норму матрицы |. Воспользовавшись представлением матрицы Б в виде (24), неравенством треугольника,
неравенством (21) и условием III, получим
d(t)E - D(t) dq - k т
^ D(t)
i=1
+
^ D(t)Amax +
d(t)E - k|*d(t) + k ¡¡M
E - k— dz1
|d(i-1)(t)| ^
5z1 11dz
1 г=2 г
r
"d(t) + k^M|d(i-1)(t)| ^
i=2
^ D(t)Amax +
E - k— dz1
d(t) + kML.
как функцию параметра к. Если
В фиксированной точке (г1, ..., п) оценим
Л1, ..., Лт — собственные числа матрицы ^^ в этой точке, то собственные числа матрицы
E - k Р-
dz1
dq
dz1
Е — к-— в этой точке имеют вид 1 — кЛ1, . .., 1 — кЛт. Норма симметричной матрицы равна наибольшему по модулю собственному числу этой матрицы, поэтому
J? 1
E - k— dz1
max{|1 - kЛ1|, |1 - kA.m|}.
Из условия Л^ e [Лт;п, Лтах], j = 1, m, следует, что
max {|1 - ^1!, |1 - kЛm|} ^ p(k) = max {|1 - ^min|, |1 - kЛmax|}.
Функция р(к) достигает своего наименьшего значения, равного в, при к к = кШщ, мы обеспечим выполнение неравенства
кт;п. Выбрав
тт 1 E - k—
dz1
^ в.
Отсюда следует, что
^ ^(¿)Лтах + вФ) + кттМХ, поэтому из неравенства (28) следует, что
||Wi(i#)|| ^ e
(D(t)Amax + ed(t) + kminML) eAminidt
Интегрируя по частям и учитывая, что ^(0) = 0, = 1, ¿(¿) = ¿(¿), получим
it it A„ax/ DW^ = «W. - а/од^*,
0 0
поэтому
и
1 _ — Лшт4*
|| ^(¿*)|| ^ а - е-Лшп4»(а - в) ф)еЛшп^ + -. (29)
3 /^тт
0
Так как
/ад^'а >/ ад* = 1, 00
то из (29) получаем
1 _ — Лшт4*
||^*)|| ^ а - е-Лшп4» (а - в) + ^тшМЬ---= в.
^тт
Из неравенства [11]
и^ (¿*)н ^ Е ||^*)||
г=1
следует, что
(¿*)|| ^ рв < 1.
Полученное неравенство означает, что ||^/(с)| ^ рв < 1, поэтому отображение V: ^ является сжимающим и, следовательно, имеет неподвижную точку с*. Таким образом, при с1 = с1+, ..., ср = ср*, ср+1 = 0, .. ., ст = 0 решение п(£) задачи Коши (6) удовлетворяет условию п(£*) = П*. Функции
#!(*) = 61 (¿)+ С1*^1 (¿),
вр+1 = 6р+1(^),
Вт(*) = 6т(*)
удовлетворяют всем условиям теоремы 2, поэтому терминальная задача (3), (4) для системы (2) имеет решение. Теорема доказана.
Замечание 1. Условия теоремы 3 не зависят от начального и конечного состояний системы (2), поэтому если условия теоремы 3 выполнены, то система (2) управляема в Мга за время ¿*.
Доказанная теорема позволяет не только судить о существовании решения терминальной задачи, но и, если условия теоремы выполнены, построить это решение. Выберем произвольное с(0) € и построим последовательность приближений {с(-7)} по правилу
С°'+1) = С(7) - Атт(Ф(с^) - П*), 3 = 0, 1, ... (30)
Чтобы определить Ф(с(7)), надо найти решение п(£, с*--7-1) задачи Коши
п = #1(£) + с- . . . ,6р(*) + С-) ¿р(*),6р+1 (*), . . . ,6т(*),п), (31)
П(0) = По
на отрезке [0, ¿*]. Тогда Ф(с(7)) = п(£*, с(7)).
Так как отображение V сжимающее, последовательность {с(:,)} сходится к неподвижной точке с* отображения V. При этом справедлива следующая оценка
Цс(Л — с. II ^ ^ Н^ — с(°> ||. 1 — рв
Используя (30), неравенство треугольника и последнюю оценку, получим
1|Ф(с(Л) — п*|| = -Л- 1|с('+1) — с(^')У =
кт1п
1 "с^ - с* + с* - с(Л|| ^ — с*|| + |с* - с(Л|| ^
1 11 ^ | V-.. ^ 11^7 И4"" 11 1 7 II
кт1п кт1п кт1п
^ , (1 в) ((рв)^1 + (рв)') |с(1) — с(0)|| = , 1 + р 6 (рву ||с(1) — с(0)|
кт1п(1 — рв) 4 кт1п(1 — рв)
Выбрав номер 7 из условия
, 1(+рв в) (рв)J||с(1) — с(0)|| ^ а,
кт1п(1 — рв)
где а > 0 — заданная точность, мы добьемся выполнения неравенства
||Ф(с(7)) — п*|| ^ а.
Вектор-функции
г1 = &!(*) + с-Ч^), ..., ¿р = 6р(*) + —,(*), ¿"+1 = 6р+1(*), ..., ¿т = 6т(*), п = пМ7)), I е [0, ¿*],
задают ¿-параметрическую кривую в пространстве состояний системы (2), соединяющую состояния (3) и (4). Управление, реализующее эту траекторию в качестве траектории системы (2), можно найти по формуле (8), если положить в ней
В !(*) = 6^) + с7^), ..., £,(*) = 6р(*) + сР-7
>1(^) = ь1(^) + с1 "Н^), Вр(^) = + ср
Вр+1 = 6р+1(*), ..., Вт (¿) = 6т(*), п(*) = п(^,с(7)).
Пример 1. Рассмотрим систему
¿1 — ¿2 , ¿2 — и1; ¿2 = ¿2 , ¿¿2 = и2;
П1 = —0,08п1 + 0,02 вт(п1 + П2) + 5-1 + 0,25 вт ¿1 + 0,25 сое ¿2; П2 = 0,02 в1п(п1 + П2) — 0,08п2 + 5-2 — 0,25 сое ¿1 + 0,25 вт ¿2
со следующими граничными условиями:
¿1(0) = 0, ¿1(0) = 0, ¿2(0) = 0, ¿2(0) = 0, п1(0) = 0, п2(0) = —1, ¿1(1) = 1, ¿1(1) = 4, ¿2(1) = —1, ¿2(1) = —1, П1 (1) = —1, П2(1) = 2.
т т
Для этой задачи t* = 1, m =2, р = 2, ri = r2 = 2, z1 = (zj, zj2) , z2 = (zj, z|)
дд _/ -0,08 0,02есв(п1 + Пг) \ дд дп у0,02есв(п1 + п2) -0,08 у' д*^
Собственные числа матрицы ^ имеют вид
дп
Л1>2 = -0,08 ± 0,02 есв(п1 + п2).
Отсюда следует, что условие I выполнено с Лт;п = 0,06, Лт
дд
0,1.
5 0 0 5
Собственными числами матрицы —— являются Л1 = Л2 = 5, поэтому условие II выпол-
нен0 С Лтт — Лтах — 5. Так как
dz1
0,25 cos zj -0,25 sin zj
dq
dzj \ 0,25 sin z2 0,25 cos zj
Е =( = 0 252 \dz2J dz2 '
и собственные числа матрицы Е имеют вид
sin(zj - z|)
sin(z2- z2) 1
Л34 = 0,252 ± 0,252 sin(zj - z2), то max {|Л3|, |Л4|} ^ 2 ■ 0,252, поэтому при всех (z1, z2, n) £ R6 справедливо неравенство
dq
dz2
^ л/2 ■ 0,25.
Таким образом, условие III выполнено с M = V2 ■ 0,25.
Проверим выполнение условия теоремы 3. Функция d(t), построенная по формуле (12), имеет вид d(t) = 30t2(1 — t)2, поэтому
d'(t) = 60t(t - 1)(2t - 1), L = max |d'(t)| = ^^.
Так как
a = 5/3, в = 0, kmin = 0,2,
то в ~ 0,4934 и вр ~ 0,987 < 1, поэтому условие теоремы 3 выполнено. Выберем в качестве функции 61(^), удовлетворяющей условиям
61(0) = 0, 61(0) = 1, 61(1) = 0, 61(1) = 4,
функцию
bi(t) = 2t3 - t2
1
а в качестве функции &2 (¿), удовлетворяющей условиям
62(0) = 0, Ь2(0) = —1, &2(1) = 0, Ь2(1) = —1.
функцию
Ь1(<)= ¿3 — 2^.
Начальное приближение для вектора параметров с было выбрано следующим: с(0) = (0, 0) .
Задача Коши (31) на каждой итерации решалась методом Рунге — Кутты 4-го порядка. Рас-
т
четы показали, что неподвижной точкой отображения V является точка с. = (—0,361, 1,034) . Графики функций ¿1 (¿), ¿2 (¿), ¿1 (¿), ¿2 (¿), П1 (¿), %(£), и^), найденных в результате
работы алгоритма, приведены на 1-4.
Рис. 1. Графики функций ¿|(Ь), ¿2(Ь)
В соответствии с замечанием 1 рассматриваемая система управляема в М6 за время t. = 1
Заключение
На основе геометрического подхода предложен метод решения терминальной задачи для многомерной аффинной системы. Задача решается в предположении, что рассматриваемая система может быть преобразована к регулярному квазиканоническому виду. Сформулировано необходимое и достаточное условие существования решения терминальной задачи для преобразованной системы. Доказано достаточное условие разрешимости терминальной
6 -1-1-1-Г
.8 -1-1-1-1-
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 2. Графики функций ¿2()
Рис. 3. Графики функций П1 пг(^)
-40 -1-1-1-1-
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 4. Графики функций ui(t), U2(t)
задачи для таких систем квазиканонического вида, у которых размерность нелинейной подсистемы не превышает размерность управления. Предъявлен алгоритм построения решения терминальной задачи для данного класса систем. Приведен числовой пример, иллюстрирующий работу алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы ведущих научных школ (проект НШ-3659.2012.1) и РФФИ (грант 12-01-31303).
Список литературы
1. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.
2. ЕлкинВ.И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 320 с.
3. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258, №4. С. 805-809.
4. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 11. С. 1945-1952.
5. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 12-30.
6. Емельянов С.В., Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Исследование управляемости аффинных систем // Доклады АН. 2013. Т. 449. № 1. С. 15-18.
7. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Преобразование аффинных систем и решение задач терминального управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2013. №2. С. 3-16.
8. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Терминальная задача для многомерных аффинных систем // Доклады АН. 2013. Т. 452. №2. С. 144-149.
9. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. М.: Мир, 1970. 720 с.
11. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. М.: Изд-во МЦНМО, 1998. 794 с.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
A method for solving terminal control problems for affine systems # 11, November 2013 DOI: 10.7463/1113.0622543 Fetisov D. A.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation dfetisov@yandex.ru
A new method was proposed to solve terminal control problems for multidimensional affine systems. The system under consideration is supposed to be equivalent to a regular system of a quasi-canonical form. A necessary and sufficient condition for existence of a solution of terminal control problems for transformed systems was formulated. A sufficient condition for solvability of terminal control problems was proved for quasi-canonical systems with nonlinear subsystem dimension not exceeding control dimension. An algorithm was designed to construct a solution of terminal control problems for this class of systems. A numerical example was presented to illustrate the proposed algorithm.
References
1. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza [Nonlinear systems: geometric methods of analysis and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2005. 520 p.
2. Elkin V.I. Reduktsiya nelineynykh upravlyaemykh sistem: differentsial'no-geometricheskiy podkhod [Reduction of nonlinear control systems: differential-geometrical approach]. Moscow, Nauka, 1997. 320 p.
3. Zhevnin A.A., Krishchenko A.P. Upravliaemost' nelineinykh sistem i sintez algoritmov up-ravleniia [Controllability of nonlinear systems and synthesis of control algorithms]. Doklady ANSSSR [Reports of Academy of Sciences of the USSR], 1981, vol. 258, no. 4, pp. 805-809.
4. Krishchenko A.P., Klinkovskii M.G. Preobrazovanie affinnykh sistem s upravleniem i zadacha stabilizatsii [The transformation of affine systems with control and stabilization problem]. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1992, vol. 28, no. 1, pp. 1945-1952.
5. Fetisov D.A. Issledovanie upravliaemosti reguliarnykh sistem kvazikanonicheskogo vida [Study of controllability of regular systems of quasicanonical type]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2006, no. 3, pp. 12-30.
6. Emel'yanov S.V., Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Issledovanie upravlyaemosti affinnykh sistem [Controllability research on affine systems]. Doklady Akademii Nauk, 2013, vol.449, no. 1, pp. 15-18. (English Translation: Doklady Mathematics, 2013, vol. 87, iss.2, pp. 245248. DOI: 10.1134/S1064562413020026).
7. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Preobrazovanie affinnykh sistem i reshenie zadach termi-nal'nogo upravleniya [Transformation of Affine Systems and Solving of Terminal Control Problems]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science], 2013, no. 2, pp. 3-16.
8. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Terminal'naya zadacha dlya mnogomernykh affinnykh sistem [Terminal problem for multidimensional affine systems]. Doklady Akademii Nauk, 2013, vol. 452, no. 2, pp. 144-149. (English Translation: Doklady Mathematics, 2013, vol. 88, iss. 2, pp. 608-612. DOI: 10.1134/S1064562413050098).
9. Filippov A.F. Vvedenie v teoriiu differentsial'nykh uravnenii [Introduction to the theory of differential equations]. Moscow, Editorial URSS, 2004. 240 p.
10. Hartman P. Ordinary differential equations. John Wiley & Sons, 1964. (Russ. ed.: Hartman P. Obyknovennye differentsial'nye uravneniia. Moscow, Nauka, 1970. 720 p.).
11. Zorich V.A. Matematicheskiy analiz. Chast' 2 [Mathematical analysis. Part 2]. Moscow, MTsNMO Publ., 1998. 794 p.
