CC BY
15
УДК 539.374
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
В статье получена система уравнений несжимаемых вязких двухскоростных жидкостей для случая равновесия фаз по давлению. Введены, так называемые, квазипотенциалы для описания таких течений. Выведена система дифференциальных уравнений для этих функций. Представлен пример, иллюстрирующий данный метод.
Ключевые слова: двухжидкостная среда, гиперболическая система, вязкая жидкость, вихревые течения, квазипотенциал, интеграл Бернулли, парциальная плотность.
ABOUT ONE METHOD OF STUDYING FLOWS OF INCOMPRESSIBLE VISCOUS FLUID
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 6 Akademik Lavrentiev Prospect, D. Sc., Leading Researcher, tel. (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
In this article, a system of equations of incompressible viscous fluids in the case of two-speed pressure phase equilibrium has been obtained. The so-called quasipotentials to describe such flows are introduce. A system of differential equations for these functions. Also, we present an example illustrating this method has been derived.
Key words: two-fluid medium hyperbolic system, viscous liquid, swirling currents, quasipotential, Bernoulli's integral, partial density.
За длительную историю развития гидродинамики было предложено несколько формулировок исходных уравнений, на которых может базироваться исследование тех или иных аспектов динамики вихрей. Например, можно рассматривать скорость как функцию координат в пространстве, или считать текущие координаты частиц жидкости функциями их начальных положений, или в некоторых случаях за независимые переменные принимать компоненты скорости, комплексный потенциал и функцию тока, использовать потенциалы Клебша, гамильтоновский формализм и так далее.
Система уравнений несжимаемой двухскоростной гидродинамики с одним давлением в случае постоянства объемных насыщенностей веществ имеет вид
[1-5]:
др
др
dt
^ + ( v, V) v = dt V ;
■—+ —V(v-y)2 + f, p 2p У >
—+ (v,V)v = dt v ;
P 2/7 V 7 '
(3)
гдевекторы скорости подсистем, составляющих двухскоростной - уи у континуум с соответствующими парциальными плотностями р и р, р = р + р - общая плотность континуума; f - вектор массовой силы, отнесенной к единице массы; р = р{р,(v - у)| - уравнение состояния континуума.
В случае однородных несжимаемых сред, т. е. при условии
р = const, р = const => ¿/ivy = 0, divx = 0 <=> v = rot A, v = rot А,
где А,А - векторные потенциалы скоростей у, у. Другими словами, векторы v,v являются соленоидальными. Из-за градиентной инвариантности вектор-потенциала, без ограничения общности, одну из его компонент можно сделать равной нулю. Следуя работе [6], предположим бездивергентность вектора-потенциалов: divA = 0, divA = 0. Данные допущения ограничивают класс рассматриваемых течений. Отсюда видно, что двухкомпонентные вектор-потенциалы выражаются через скалярные функции a(x,y,z,t), d(x,y,z,t)
следующим образом:
да. да . A =— 1--j,
ду дх
~ да. да. А = —1--j,
ду дх
При этом, поля скоростей остаются трехмерными
v
д2а . д2а . (д2а д2ал
1 +
дхд2 дуд2
дх2 ду2
k =
д2а д2а ( д2а
1+
дхд2 дуд2
j +
д25
Аа
k,
- да да
~ д'а . д'а .
\ =-1 н--j
dxdz dydz
дх2 ду2
2 2L ~
- да
, д'а . д'а .
k =-1 +-j +
dxdz dydz
dz'
Аа
к
Поскольку третья компонента завихренности отсутствует [5, 6], то из уравнений завихренностей в проекции на ось z следует, что rot (v х П) = 0,
rot^vxQj = 0 где завихренности. Эти равенства означают, что якобиа-
ны JI Аа,
да
д22
= 0, J
Аа,
dz2
= 0. Из этих соотношений следует, что
Дст = - Н
( & Л да
дг \дА У
Аа = -Н
да
дг V дг У
где Н,Н - произвольные функции своих аргументов.
_ / ч дсг ~ / ч да Удобно ввести функции Фух,у,г^) =—, Ф 1х,у,г^) =—. Тогда поля
дг дг
скоростей представляются в виде
дФ
„ дФ. дФ.
у = —1 +—] +
дх ду
дг
кдг у
к = УФ + Н
кдг у
(4)
дФ. дФ.
V = — 1 + — ] +
дх ду
дФ тт( дФЛ + Н
дг
дг
V ы у
к= УФ +Н
гдФл Vдz у
(5)
^ тт(ЭФ^ л ЭФ
Отметим, что в частном случае, когда н\
V дг
= 0 ,Н
Vдz у
= 0, поля скоро-
стей являются потенциальными, а функции Ф(л,>,-,/), Ф(л,>,-,/) представляют собой гидродинамические потенциалы. Следуя работе [6], такие функции будем называть квазипотенциалами.
Поля завихренности выражаются через квазипотенциалы следующим образом [4, 5]
0 дН. дН. __,д П =-1--] = Н —
дх ду дг
дФ. дФ. —1--]
дх ду
у
Л дН. дН . ~,д
12 =-1--| = Н —
дх ду дг
дФ. дФ . —1--)
дх ду
(6)
у
где штрихом обозначено дифференцирование функции Н,Н по соответствующим аргументам. При этом уравнения непрерывности записываются в виде
дг дг
(7)
Подставляя поля скоростей (4), (5) в уравнения завихренности, в случае однородных сред, получаем для первых двух их компонент следующие интегралы движения
дФ (УФ)2
+ | Ш Ф2=-Р - ^ + Я ( г, г) +
дг 2
Р
Р
2Р
~ \2
~ \2
ао (УФ)2 г _ р ^ ч
дг
2р
р
где - потенциал массовых сил, - произвольные
функции своих аргументов, определяемые граничными условиями. Следствием этих уравнений является
д(рФ + рф) р(УФ)2 + р(Уф)2 д + 2 +
+р^ШФ2 + р^Нс1Ф2 +р + рр = +
(10)
Из третьей компоненты уравнений завихренностей следуют еще два соотношения, которым должны удовлетворять квазипотенциалы:
н
дх
Н'—
дх
дФ (УФ)2
дг 2 дФ ^ф)2
+
| Ш Ф2
ы
+
ф2
дЯ "&'
дЯ_
дг
(11)
(12)
Система (8), (9) является обобщением уравнения Бернулли для двухско-ростной гидродинамики. Она естественным образом переходит в известное уравнение Бернулли для потенциальных течений при совпадении скоростей и
физических плотностей фаз, а функции Я, Я считать зависящими только от
" 0. Заметим, что найденный интеграл (10) поз-
времени и н
V дх У
0, Н
Vдz У
воляет определить поле давления, если известны квазипотенциалы при задан-
ных функциях н
vдz у
Н
vдz у
Таким образом, чтобы построить поля скоростей и найти затем соответствующие им поля завихренности и давления, необходимо решить систему уравнений (7) и (11), (12) для квазипотенциалов, а затем воспользоваться уравнениями (4)-(6) и (10).
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 16-01-00729).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. - 1989. - № 9. - С. 56-64.
2. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х., Коробов П. В. Трехмерные вихревые течения несжимаемых двухскоростных сред в случае постоянства объемной насыщенности веществ // Вестник НГУ, Серия: математика, механика, информатика. - 2014. - № 2. - C. 15-23.
3. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением / Х. Х. Имомназаров, Ш. Х. Имомназаров, М. М. Маматкулов, Е. Г. Черных // СибЖИМ. - 2014. - Т. 17, № 4 (60). - С. 60-66.
4. The fundamental solution of the stationary two-velocity hydrodunamics equation with one pressure / Kh. Kh. Imomnazarov, Sh. Kh. Imomnazarov, M. M. Mamatqulov, E. G. Chernykh // Bull. Of the Novosibirsk Computing Center, series: Mathematical Modeling in Geophysics. -2014. - № 17. - Р. 5-12.
5. Imomnazarov Kh. Kh., Korobov P. V., Zhabborov N. M. Three-dimensional vortex flows of incompressible two-velocity media at constant saturation of substances // Bull. Nov. Comp. Center, series: Num. Model. in Atmosph. etc. - 2014. - № 14. - Р. 17-25.
6. Степанянц Ю. А., Якубович Е. И. Скалярное описание трехмерных вихревых течений несжимаемой жидкости // Доклады РАН. - 2011. - Т. 436, № 6. - C. 764-767.
© Х. Х. Имомназаров, 2017
