Об одном методе численного анализа вязких течений, усложненных массообменом (задача обтекания) Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ II

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9:532.5

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ, УСЛОЖНЕННЫХ МАССООБМЕНОМ (ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ)

КОЛОСОВА С.В., ЛАМТЮГОВА С.Н.,

СИДОРОВ М.В.______________________________

Рассматривается применение методов R-функций, последовательных приближений и Галеркина к расчету задач внешнего обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, усложненных массообменом.

1. Введение

Актуальность исследования. Задачи расчета вязких течений, усложненных массообменом, применяются в теплоэнергетике, химической и пищевой технологиях, гео- и астрофизических исследованиях, охране окружающей среды. Так, многие процессы химической технологии связаны с движением жидкости в технологическом оборудовании. При подготовке реагентов и выделении продуктов реакции такие операции, как выщелачивание, абсорбция, экстракция и перегонка, играют важную роль. Законы гидродинамики, тепло- и массопередачи существенны для всего технологического процесса. Процессы тепло- и массообмена также являются одними из основных в энергетике, а также в целом ряде технологических процессов металлургической и других отраслей промышленности. Кроме того, задачи массообмена тел с равномерным вязким потоком лежат в основе расчета многих технологических процессов, связанных с растворением, экстракцией, испарением, осаждением коллоидов [1].

В общем случае задача о стационарном массообмене тела вращения с потоком вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения гидродинамического обтекания поверхности и уравнения для концентрации с соответствующими краевыми условиями на поверхности тела и вдали от него. Точно учесть геометрию области, а также краевые условия (в том числе и условие на бесконечности) можно, воспользовавшись конструктивным аппаратом теории R-функций акад. НАН Украины В.Л. Рвачева [2].

Метод R-функций в задачах гидродинамики использовался в работах [3-8], но рассматривались задачи расчета течений идеальной жидкости [3] или же вязкой в ограниченных областях [4-7], или при наличии винтовой симметрии [8].

Метод R-функций для задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью использовался в работах [9,10], но задачи внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, усложненные массообменом, с исполь-

зованием метода R-функций не рассматривались, хотя они составляют важный класс прикладных задач. Поэтому разработка новых, а также совершенствование существующих методов математического моделирования и численного анализа внешних стационарных задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с учетом массообмена методом R-функций является актуальной научной проблемой.

Эта работа опирается на метод R-функций акад. В.Л. Рвачева [2] и его применение к расчету стационарных течений жидкости в бесконечных односвязных областях сложной геометрии [11].

Цели и задачи исследования. Целью данного исследования является разработка нового метода численного анализа задачи массообмена тела вращения с равномерным поступательным потоком. Этот метод основан на совместном применении метода последовательных приближений, структурного метода R-функций и проекционного метода Галеркина. В данной работе не обсуждается степень строгости, условия применимости использованных уравнений движения жидкости, они рассматриваются как математические модели, подлежащие численной алгоритмизации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- на основании методов теории R-функций построить полную структуру решения нелинейной краевой задачи для функции тока;

- заменить исходную нелинейную задачу последовательностью линейных краевых задач;

- для решения линейных задач на каждом шаге итерационного процесса разработать численный алгоритм на основании метода Галеркина;

- на основании методов теории R-функций построить полную структуру решения линейной краевой задачи для концентрации;

- для решения линейной задачи для концентрации разработать численный алгоритм на основании метода Галеркина.

2. Постановка задачи

Рассмотрим массообмен тела вращения с потоком вязкой несжимаемой жидкости. Считаем, что в пространстве введена декартова система координат (x, y, z ), а обтекаемое тело образовано вращением вокруг оси Oz фигуры Q, лежащей в плоскости Oxz (фигура Q односвязная, конечная и симметричная относительно оси Oz ). Кроме того, предположим, что поток жидкости равномерный, его скорость равна U^ вдали от тела и он сонаправлен с осью Ox . Такие течения удобно рассматривать в сферической системе координат. В осесимметричных задачах в сферической системе координат r, 0, ф все величины не зависят от координаты ф и третья компонента скорости жидкости равна нулю: Vф = 0. Тогда остальные две

компоненты скорости жидкости можно представить в виде [1, 12]

1 ду 1 Эу

V =_2------ve=--------—й

г2 sin ЄоЄ rsine дг

(1)

где у = w(r, Є) - функция тока.

Процесс массопереноса описывается уравнением для концентрации [1]

Ac = Pe(V -V)c, (2)

здесь c = c(r, Є) - концентрация; Pe - число Пекле - безразмерный параметр, характеризующий меру отношения конвективного переноса растворенного в жидкости вещества к диффузионному переносу,

1 д ( 2 dc I 1 д ( . Qdc I

——I г2— I + —------1 sin e— I

2 дг 1 дг) г2 sin еде 1 де)

(V -V)c = vг

дc ve дc

эТ+Т зё.

Подставив (1) в (2), для концентрации c = c(^ Є)

получим следующую задачу: Pe (ду dc ду dc г2 sin Є V де дг дг де

Ac = -

cl дО = c0,

вне О, (3)

(4)

c ^ 0 при г , (5)

где co - заданная концентрация на границе дО обтекаемого тела.

Функцию тока у(г, е) можно найти, например, как решение следующей нелинейной задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью [13]:

v Б2у = -

1

ду дБу ду дБу г2 sin е І де дг дг де

1

2 12-е?-2Іде IБ¥ вне ° :

г2 sin е 1 дг г де .

у1эо= 0' Щ

=0,

(6)

(7)

дО

у ~ -2-U„ г2 sin2 е при г ^^, (8)

д2у sin е д ( 1 ду

■) , Б2у = Б(Б¥),

„у sin

где Бу = —+—- .

дг2 г2 де 1 sin е де

n - внешняя к дО нормаль; v = Re-1; Re - число Рейнольдса.

Итак, решение задачи (3) - (5) состоит из двух этапов:

1) нахождение функции тока как решения задачи (6) - (8);

2) решение задачи (3) - (5) для концентрации.

Для решения поставленных задач воспользуемся методом R-функций акад. НАН Украины В.Л. Рва-чева [2]: с помощью конструктивных средств теории R-функций построим структуры решения краевых задач, т.е. пучки функций, точно удовлетворяющих краевым условиям.

3. Метод решения задачи для функции тока

Пусть вне О известна достаточно гладкая функция ю (г, е), обладающая следующими свойствами:

1) ю (г, е) > 0 вне О ;

2) ю (г, е) = 0 на дО;

дю (г, е) л

3) ------= -1 на дО,

дп

где n - вектор внешней нормали к дО .

Введем в рассмотрение достаточно гладкую функцию y = fM (x) [11], удовлетворяющую следующим условиям:

а) fM (0) = 0 ;

б) fM (0) = 1;

в) fM (x) > 0 Vx > 0;

г) fM (x) = 1 Vx > M (M = const > 0).

Условиям а) - г) удовлетворяет, например, функция

Mx

fM(x) =

1 - exp

1,

x - M

0 < x < M;

x > M.

Ясно, что такая fM (x) є C~ [0, + ^).

Обозначим

юм(г, е) = fMNr, е)]. (9)

Функция е) удовлетворяет условиям 1) - 3).

Кроме того, o>M (г, е) = 1, если ю(г, е) > M. Это условие означает, что если функция ю(г, е) монотонно возрастает при удалении от дО, то функция o>M (г, е) вида (9) отлична от единицы лишь в некоторой кольцеобразной области {0 <ю(г, е) <M} ,

содержащейся во внешности О и прилегающей к дО .

В работе [9] показано, что при любом выборе достаточно гладких функций Ф1 и Ф2 (Ф1 • г-2 ^ 0 при г ^ +оо ) краевым условиям (7) и условию на бесконечности (8) точно удовлетворяет функция вида

¥ = ^(¥0 +Ф1) + юЛ!(1 -юM)Ф2, (10)

1 2 ( RI 2

где у0 = — U^ (г - R) I 2 +— I sin е - решение Сто-4 1 г)

кса для задачи обтекания сферы радиуса R (считаем, что сфера радиуса R целиком лежит внутри обтекаемого тела О).

Для решения задачи (6) - (8) воспользуемся методом последовательных приближений. Пусть начальное приближение у(0) задано. В качестве начального приближения у(0) можно взять, например, решение соответствующей линеаризованной задачи (приближение Стокса) [10].

Если i -е приближение у(і) построено, то новое (i +1) -е приближение у (l+^ линейной задачи:

2 (і+1) _ 1 (Эу(1; ЭБу1; Эу1; ЭБу^

v Б2 у1

находим как решение

r2 sin 0

Э8 Эг Эг Э0

r2 sin 0

2ctg0

Эу(i) 2 Эу1

(i) 'ї

V

у

У

(i+1)

(i+1)

_ 0

Эг r Э0

Эу(1+1)

Бу(і) вне Q , (11)

Эп

_0

Э^

- -2и„ r2 sin2 0 при r ^ <

(12)

(13)

В соответствии с (10) структура решения задачи (11) - (13) имеет вид

у(і+1) _ юМФ(і+1) + юМ(1 -Юм)Ф21+1) •

Для аппроксимации неопределенных компонент Ф(і+1) и ф21+1) воспользуемся методом Галеркина [14].

Известно [12, 15], что общее решение уравнения Б2у _ 0 при отсутствии в физической постановке сингулярностей может быть записано в виде

у (r, 0) _ X (An rn + Bn r1-n + Cn r

n _2

+Dn r3-n) Jn (cos 0),

n+2

(14)

где An , Bn , Cn , Dn - произвольные постоянные; Jn (Z) - функции Гегенбауэра первого рода. Представлением (14) воспользуемся для выбора координатных последовательностей.

Для аппроксимации неопределенной компоненты Ф(і+1) воспользуемся функциями системы

{r-1J2(cos 0), r-1J4(cos0), r-2 J3(cos0), r-2 J5 (cos0),

r-n Jn+1 (cos0), r-n Jn+3(cos0),...}, (15)

а для аппроксимации неопределенной компоненты ф21+1) воспользуемся функциями системы

{j3(cos0),r J2(cos0),r2 J2(cos0),r4 J2(cos0), r3 J3(cos0),

r5 J3

J3(cos0),rn Jn(cos0), rn+2 Jn(cos0), ..} . (16) Итак, функции Ф(і+1) и Ф^і+1) представим в виде

ф

(і+1) „ Ф11+1) _ 2 anl+1)Tn ,

1 1,mi n n ’

1 n_1

+2

ф21+1) « ф2і+1) _ 2 a(l+1) Tn+m. ,

2 2,m2 ^ n+m1 n+m1 ’

n_1

где І1, t+1 - первые m1 функций системы (15),

а T+1+1 , Xm1+m2 - первые m2 функций системы

(16).

Тогда

N

у(і+1) = у(І+1) _ юМуо + 2 ani+1)9n , (17)

n _1

где N _ m1 + m2,

Ф1 _ЮМ т1, 9m1 _юМ Tm1,

Фі1+1 _ ЮМ (1 -ЮМ)Tm1+1 ;

ФN _ЮМ (1 -ЮМ) Tm1+m2 .

Таким образом, построенные функции фп образуют координатную последовательность.

Коэффициенты a1l+1), aN+^ найдем из условия

ортогональности невязки, полученной после подстановки функции (17) в уравнение (11), к системе функций

{юМ (r, 0)r1-kJk (cos 0),k _ 2,3,...; юМ (r, 0)r3-kJk(cos 0),k _ 4,5,...; юМ (r, 0)rJ2 (cos 0), юМ (r, 0)J3 (cos 0),

юМ(r,0)rjJj(cos0), юМ(r,0)rj+2Jj(cos0), j _ 2,3,...}.

Это приводит к необходимости решения системы линейных уравнений относительно a1+1), a((N+1).

Итерации

у(і+1) -у(і)

следует прекратить,

< є , где є > 0 - малое число.

когда

4. Метод решения задачи для концентрации

Подставив найденную функцию тока в уравнение (3), решим задачу (3) - (5) также методом R-функций.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема. При любом выборе достаточно гладких функций У1 и У2 (У1 ^ 0 при r ^ +°°) краевым условиям (4) и (5) точно удовлетворяет функция вида

c _ co (1 -юМ) + юМ У1 + ®М(1 -юМ)У2 .

Для аппроксимации неопределенных компонент У1 и У 2 также воспользуемся методом Галеркина [14].

Для аппроксимации неопределенной компоненты У1 воспользуемся функциями полной системы частных решений уравнения Лапласа относительно области {ю(г, 0) > 0} :

{rn pm (cos 0), m _ 0,1,2,..n, n _ 0,1,2,...} , (18)

а для аппроксимации неопределенной компоненты У2 воспользуемся функциями полной системы

частных решений уравнения Лапласа относительно области {ю(г, 0) < M} :

{r-n-1 Pnm(cos 0),m = 0,1,2,...,n,n = 0,1,2,...}, (19)

где P™(cos 0) - присоединенные функции Лежандра. Итак, функции ¥1 и ¥ 2 представим в виде

m3

¥1 »¥1,m3 = Z PkYk,

k=1

m4

¥2 “ ¥ 2,m4 = Z Pk+m3 Yk+m3 ,

k=1

где Y1, ..., Ym3 - первые m3 функций системы (18), а Ym3+1, •••, Ym3+m4 - первые m4 функций системы (19).

Тогда

K

c “ cK = c0 (1 -®M )+ Z PkФk 5 (20)

k=1

где K = m3 + m4,

Рис. 1. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 0

ф1 = ®M И —5 Фm3 = ®M Ym3 >

Фm3 +1 = ®M (1 -им) Ym3 +1 > фК =®M(1 -fflM)Ym3 +m4 ■

Коэффициенты P1, ..., Pk найдем из условия ортогональности невязки, полученной после подстановки функции (20) в уравнение (3), к первым m3 функциям системы (18) и к первым m4 функциям системы (19).

Это приводит к необходимости решения системы линейных уравнений относительно Р1, ..., Рк .

Таким образом, мы получим приближенное решение задачи (3) - (5).

5. Вычислительный эксперимент Вычислительный эксперимент был проведен для задачи обтекания сферы x2 + y2 + z2 = 1 и эллипсои-2 2 2

x2 + y2 z2 , , .. .

да вращения --^—+ — = 1 при c0 = 1, M=5, раз-

a2 b2

ных числах Рейнольдса и Пекле. На рис. 1 - 6 приведены линии концентрации для сферы, на рис. 7 - 12 -для эллипсоида вращения.

Рис. 2. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 10

Рис. 3. Линии концентрации для сферы для Re = 0 и Pe = 20

Рис. 4. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 0

Рис. 5. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 10

Рис. 7. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Pe = 0

Рис. 9. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Ре = 20

Рис. 11. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 10

Рис. 6. Линии концентрации для сферы для Re = 25 и Pe = 20

г

Є -4 -2 246

Рис. 8. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 0 и Pe = 10

Рис. 10. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 0

Рис. 12. Линии концентрации для эллипсоида для Re = 30 и Pe = 20

Выводы

Впервые предложен численный метод расчета массообмена тела вращения с равномерным поступательным потоком, основанный на совместном применении методов последовательных приближений, R-функций и Галеркина, который отличается от известных методов универсальностью (алгоритм не изменяется при изменении геометрии области) и тем, что структура решения точно учитывает все краевые условия задачи, в том числе и условие на бесконечности. Разработанный метод позволяет проводить математическое моделирование разных технологических и физико-механических процессов.

Сказанное выше и определяет научную новизну и практическую значимость полученных результатов.

Литература: 1. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика: Спр. пос. М.: Квантум, 1996. 336 с. 2. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 3. Колосова С.В. Применение проекционных методов и метода R-функций к решению краевых задач в бесконечных областях. Дисс. ... канд.физ.-мат.наук: 01.01.07 Вычислительная математика. Харьков: ХИРЭ, 1972. 85 с. 4. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету плоских течений вязкой жидкости // Вісн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. і мех. 2003. № 602. С. 61 - 67.

5. Суворова И.Г. Компьютерное моделирование осесимметричных течений жидкости в каналах сложной формы // Вестн. НТУ ХПИ. Харьков, 2004. № 31. С. 141 - 148. 6. Тевяшев А.Д., Гибкина Н.В., Сидоров М.В. Об одном подходе к математическому моделированию плоских стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях // Радиоэлектроника и информатика. 2007. № 2. С. 50 - 57. 7. Суворова И.Г., Кравченко О.В., Баранов И.А. Математическое и компьютерное моделирование осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости с использованием метода R-функций // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2011. 54, № 2. С. 139 - 149. 8. Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование теплообмена при движении жидкости по каналам с винтовым типом симметрии методом R-функций // Доп. НАН України. 2005. № 9. С. 41 - 46. 9. Ламтюгова С.М., Сидоров М.В. Застосування методу R-функцій до розрахунку зовнішніх повільних течій в’язкої рідини // Відбір та обробка інформації. 2012. № 36 (112) С. 56 - 62. 10. Ламтюгова С.Н. Математическое моделирование линеаризованных задач обтекания в сферической и цилиндрической системах координат // Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-математичні науки. 2012. №1. С. 112 - 122. 11. Стрельченко А.Й., Колосова С.В., Рвачов В.Л. Про один метод розв’ язування крайових задач // Доп. АН УРСР, сер. А. 1972. № 9. С. 837 - 839. 12. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с. 13. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с. 14. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 420 с. 15. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

Поступила в редколлегию 14.03.2014 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Колосова Светлана Васильевна, канд. физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Ламтюгова Светлана Николаевна, аспирантка каф. прикладной математики ХНУРЭ, ассистентка каф. высшей математики ХНУГХ им. А.Н. Бекетова. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.