Об образовании ячеистых структур в тонком слое атмосферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.513

ОБ ОБРАЗОВАНИИ ЯЧЕИСТЫХ СТРУКТУР В ТОНКОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

© 2010 г. С.А. Сухов, М.А. Волочай, М.Н. Грицаева, И.Н. Ларченко, А.А. Крупкин

Ставропольский государственный университет, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, info@sfavsu.ru

Stavropol State University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, info@sfavsu.ru

Приведено уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера, описывающее свободную конвекцию в тонком слое атмосферы. Потом это уравнение с учетом приближения Буссинеска преобразовано в двумерную адиабатическую модель конвекции сухого воздуха. Получено решение стационарного уравнения свободной конвекции сухого воздуха в виде конвективной ячейки. Произведена оценка параметров конвекции, таких как уровень конвекции, частота Брента - Вяйсяля, скорость, давление. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами из одномерной модели конвекции, а также с опытными данными.

Ключевые слова: свободная конвекция, ячейки Рэлея - Бенара, частота Брента - Вяйсяля, приближение Буссинеска, адиабатическая модель.

Equation of ideal liquid motion in the Euler form describing the free convection in the thin atmosphere layer is reduced. This equation is then transformed taking into consideration for the Boussinesq approximation to a two-dimensional adiabatic model of the dry air convection. The stationary equation solution of the free dry air convection is obtained as a convection cell. It is estimated convection parameters such that the convection level, the Brunt - Vaisala frequency, a velocity, a pressure. Results obtained well agree with conclusions from the one-dimensional convection model and also experimental data.

Keywords: free convection, Rayleigh-Benard cells, Brunt-Vaisala frequency, Boussinesq approximation, adiabatic model.

Свободная конвекция является первопричиной почти всех движений в атмосфере. Она подразделяется на два основных типа: рэлеевская [1, 2], обусловленная сверхадиабатическим вертикальным градиентом температуры при однородности тепловых и плот-ностных условий по горизонтали, и боковая [3], вызванная неоднородностью этих условий.

Примером вертикальной классической рэлеевской конвекции в атмосфере является тип, приводящий к образованию над большими пространствами небольших облаков, расположенных в порядке ячеек [3, 4].

Целью данной работы является получение устойчивых структур двумерной адиабатической модели конвекции, возникающей в тонких слоях атмосферы.

Двумерное уравнение свободной конвекции

Рассмотрим уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера в инерциальной системе отсчёта

ду

- + (v, V)v = - — Vp + g.

dt pi

(1)

Будем рассматривать движение в плоскости х - 2 . Запишем уравнение (1) в проекциях по оси координат:

др

du du du 1

--+ u--+ w— =--

dt dx dz р;

dw dw dw

--+ u--+ w—

dt dx dz

i

1

Pi

dx dp Hz

g.

(2) (3)

Однако наличие восходящих потоков должно вызвать появление компенсационных нисходящих дви-

жении, что математически определяется уравнением неразрывности:

^ + ^ = 0 . (4)

dx dz

В состоянии равновесия (статики)

v = 0, д-Р = 0. dx

1 ( dp

Pe Vdz

- g = 0 ,

(5)

где р; - плотность воздушной частицы; ре - плотность атмосферы, окружающей воздушную частицу. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует

Р\ = Р-&Т\ > Ре = Ре-&Те , (6)

где р;, ре - давление внутри и снаружи воздушной частицы; Т;, Те - температура внутри и снаружи воздушной частицы; — - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Сделаем следующее допущение: изменением давления в горизонтальной плоскости в уравнении состояния воздуха пренебрегаем, т.е. считаем, что Р; = Ре . Отсюда следует

T

e

Pi =Pe — . Ti

(7)

Будем предполагать, что плотность слабо зависит от давления по сравнению с зависимостью от температуры (приближение Буссинеска).

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону

Те (г) = Тео - У 2 , (8)

где у - градиент температуры окружающего воздуха; Тео - температура окружающего воздуха у земли. Также считаем, что подъем воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону

Ti (z) = Ti0 -Уа z

(9)

Pi = Pe

Ts + AT

= Pe-

1 +

AT

T

= Pe

1"

AT

TT

= Pe (1 "ßAT)

(11)

где / = 1/Т0 , Т0 = 273 К. Для атмосферы /ЛТ << 1. С учетом формул (9) и (10) функция перегрева запишется в виде

АТ(г) = А0Т -Ау- 7 , (12)

где Л0Т - значение функции перегрева у земли; АУ = Уa - У .

С учетом (11) и (5) уравнение (3) запишется в виде

дм дм дм

--Ъ и--Ъ м— =

дt дх дг

= -—(1 + РАТ )(- р, g )- g = ^АТ. Pe

Рассмотрим установившийся случай, тогда уравнения (2) и (3) запишутся в виде

(13)

du du _ 1 dp

dx dz p¿ dx

dw dw u--+ w— = ßgAT .

dx dz

Решение двумерного уравнения свободной конвекции

Введём функцию тока у :

(14)

(15)

ду ~dz

dy dx

Подставляя (16) в (15), получаем

dz Qx dx dzdx

(16)

(17)

где zT = ■

AoT

Ay

- уровень выравнивания температур

y(x, z) = —z(2zT - z) cos kx .

k

(18)

где Мву - частота Брента - Вяйсяля [5]; к -

волновое число.

Отсюда из определений (16) для проекций скорости получим выражения:

u = Z X =

zT - z

rcos kx,

где Tí0 - температура поднимающейся воздушной частицы у земли; ya - сухоадиабатический градиент температуры. Представим

Ti (z) = Te (z)+AT(z), (10)

AT (z) - функция перегрева. Тогда формула (7) может быть представлена в виде

w

k y¡z(2zT - z) = -ZX' = —BV>Jz(2zT - z) sin kx .

Отсюда dz dx =

dz I dx

dt / dt и (гт - 7)

Интегрируя последнее выражение, получим уравнение траектории частицы в конвективной ячейке

k ■ z(2zt - z)

(19)

(20) tgkx.

4z(2Zt - z)--= 0

cos kx

(21)

где С0 - постоянная.

Отсюда из условия м = 0 для уровня конвекции получим известный из одномерной адиабатической модели конвекции сухого воздуха результат 2Л0Т

zw = 2zT = '

Ay

(22)

Оценка параметров свободной конвекции

Проведем следующие преобразования. Из уравнения состояния сухого воздуха р; = р \ Л а Т; следует

^ = Rd + Ti^Pi dt d I/i dt 1 dt

dTi , T dPi

(23)

= Rd I Pi^J- + TidgL lW = _ Pe Rd У a ■w

С другой стороны,

dp dp dp — = — u + — w.

dt dx dz

С учетом уравнения статики и формулы (23) за-

(24)

пишем

dpu _ Pegw = _PeRdya ■ w .

dx

Отсюда

1 ф w f g 4 --= Rd----y

Pe dx U {Rd

Запишем формулы (2) и (3) в виде

du dt dw dt

Запишем также

-__L dp

Pe dx ' = ßg (AoT -Ay z).

dAT dt

= -Ay ■ w .

(25)

(26)

(27)

(28)

поднимающейся воздушной частицы и окружающего воздуха.

Представляя решение уравнения (17) в виде произведения двух независимых функций координат у(х, г) = X (х) - 2 (г), получим решение в виде

^БУ

Подставляя выражение (25) в формулу (26), полу-

чим

du 2 dt

(

= -2R

g_ Rd

• w.

(29)

Система уравнений (27) и (28) описывает гармонические колебания связных величин. Действительно, из уравнений (27) и (28) следует

T

e

1

u =

d2w dt2 d2AT dt2

= - N

BV

= - N

BV

■AT.

(30)

(31)

Принимая во внимание граничные условия: при г = 0 скорость ^ = 0, а перегрев АТ = А0Т, решение системы уравнений (30) и (31) запишем в виде

W = w0 ■ (), (32)

АТ = А0Т ■ ес8(^ВуО. (33)

Подставляя выражение (32) в формулу (29), полу-

чим

du

= -2Rd (/A -/a ) ■ w0 ■ SÍn(NBVt) , g

(34)

u 2 = 2Rd (/A -/a )■

N

■ cos

(nbv t).

BV

Уровень максимальных скоростей найдем из условия д^/дг = 0 . Взяв производную по 2 в выражении

(20), получим

dw дг — = N

дг Ш г(22т - г)'

Отсюда следует, что уровень максимальных скоростей совпадает с уровнем выравнивания температур: г№шах = гт. Подставляя выражение для гт в

формулу (20), для максимальной скорости восходящих потоков получим равенство

(zT - z)

rsin kx = 0.

= Nbvzt sin kx = AnTjí-2- sin kx .

0T

(36)

Запишем выражение для квадрата скорости восходящих потоков

W = [fig(ra - r)z(2zT - z)]sin2 kx. Отсюда следует, что, если перегрев у земли равен нулю AqT = 0 или zT = 0, то условием развития конвекции в сухой атмосфере является известное условие Г > ra. Тогда для квадрата скорости восходящих потоков получим выражение

w2 = ¡3g(r - ra)z2 sin2 kx (37)

или для скорости восходящих потоков

w = y¡3g(r-ra)zsin kx, (38)

т.е. скорость восходящих потоков будет расти с высотой по линейному закону, и уровень конвекции не будет достигнут. Атмосфера в этом случае сухоне-устойчива.

Из формулы (35) для максимальной скорости горизонтального потока получим выражение

u0 =

2Rd (/A -/a )■ w0

(39)

N BV

или с учетом выражения для максимальной скорости

W0 = A0T Í^L

(40)

запишем

= j 2Rd (/A -/a )

AcT A/

(41)

Из уравнения (14) получим выражение для давле-

p(x z )=-

2 (

Pe N Bv

2k2

(ZT - z)2 +

Z 2 ^ ZT

z(2zt - z)

2

cos kx +

(42)

+ P0 - PegZ-

Волновое число k можно оценить из выражения

N BV

k = -

u0

(43)

Подставляя в формулу (43) выражение (41) для величины Uo,получим

где Га = = 0,0342 K/i - градиент температуры Rd

однородной атмосферы. Отсюда

k =

ßg

-A/.

(44)

'2Rd(га -гакГ

Оценим значения полученных постоянных при

3 W

(35) следующих значениях параметров: ß = 3,7 ■Ю K

g = 9,8 м/c2, /а = 0,0098 Км, / = 0,006 Км, Rd = 287 м 2/(с2 ■ К), A0 T = 4 К, /А = 0,0342 Км .

Следовательно, NBV = 1,2 ■ 10 2 с-

k = 0,1 км 1,

гт = 1 км, 2Ж = 2 км.

На рисунке приведен график функции тока с данными значениями постоянных.

Линии тока: zw = 2 км , к = 0,1 км-1, = 1,2 ■ 10 2 с-1

Так как по определению к = 2ж]Л, Л - длина волны, равная удвоенному горизонтальному размеру области возникновения конвекции Б = Л2, получим Б « 31,4 км .

Согласно опытным данным, проанализированным Н.Ф. Вельтищевым, отношение вертикального размера к горизонтальному размеру ячейки заключено между 1/35 и 1/1 при среднем значении 1/16 [6]. В нашем случае zW|D « 0,064, что является самым распространенным отношением для конвективных ячеек в атмосфере.

При двумерной конвекции образуются гряды облаков («облачные улицы»), состоящие из отдельных

2

w

u

0

2

ния

w

0

w

облаков или их групп, вытянутых в линии [7, 8]. Площадь областей, занятых облачными улицами, достигает 104 км2. Длина облачных улиц колеблется от 20 до 500 км, ширина - от 5 до 10 км, а расстояние между смежными грядами - от 2 до 8 км. Согласно результатам исследований над Англией, с увеличением высоты верхней границы конвективного слоя расстояние между смежными грядами тоже возрастает. Отношение ширины облачных полос к их толщине в разных случаях колеблется от 2 до 4. Средняя толщина конвективного слоя «1,5...2,6 км, т. е. двумерная конвекция является мелкой. Формирование гряд облаков обычно завершается через 10-30 мин после появления первых облаков.

Уравнение переноса вихря

Вернемся к системе уравнений свободной конвекции (14) - (15)

du du 1 dp u--+ w— =---—,

dx dz pe dx

ulT + = ßg(A0T ~АУ-z)'

dx dz du dw _ dx dz

(45)

(46)

(47)

u

dw ]

д (du dw ^ д f du

— I---1 + w—I---i-

ddx ^ dz dx ) dz ^ dz (dx ) du ( du dw dw ( du dw4

+ — I---i + - i

dx ^ dz dx ) dz ^ dz dx , _ 1 d2p 1 dp; dp

Pi dzdx p2 dz ddx

(48)

-(rot v)y = Q,

(49)

Замечаем, что

ди дм

---= (Г0Г У)у V •

дг дх у

т.е. это проекция ротора скорости (вихря) на ось у .

Будем ее в дальнейшем обозначать О у = О. Учтем также, что

д2Р = 4^ 1 = -(-Реg)= 0 .

дгдх дх ^ дг) дх

Кроме того, в приближении Буссинеска

др дАТ

-9- = - Ре Р = РеРАу . ¿ж дг

Тогда уравнение (48) запишется в виде

дО дО (ди дм ^ РАу др и-+ м-+ О|— + —1 = -

дх дг ^ дх дг) ре дх С учетом уравнения неразрывности (47) запишем

(50)

dQ dQ ßAy dp u-+ w- -

dx

случае. Слагаемое в правой части уравнения переноса вихря возникло за счет приближения Буссинеска. Для несжимаемой жидкости оно равно нулю, и получим уравнение переноса вихря идеальной несжимаемой жидкости в стационарном случае: дО дО

и-+ м-= 0 . (51)

дх дг

Из уравнения неразрывности (47) следует, что для условия неглубокой конвекции можно ввести функцию тока у :

ду ду

и = —— , м =--—.

дг дх

Подставляя выражения (52) в (51), получим

2 2

^ д у д у

сх2 дг ду дАу ду дАу _ ^

(52)

- (53)

дг дх дх дг Выше для функции тока было получено выражение (18)

N

у = —— д/z(2zT - z) cos kx.

Возьмем производную по г от уравнения (45), помня, что в нем вместо ре должно стоять Р\ = Ре (1 - РАТ), и производную по х от уравнения (46) и вычтем второе из первого. Получим

к

Проверим, является ли оно решением уравнения (53). Отсюда

ду дАу _ дг дх

f

= —

BV

k (zt - z) +1

zT

2 (zT - z)

k (z(2zt - z))2

sin kx cos kx, (54)

dy dAy

dx

dz

(

= — BV

3

k (zt - z)--

zT

2 (zT - z)

sin kx cos kx . (55)

к (г(2гт - г))2 ,

Уравнение (53) не выполняется для данной функции тока в общем случае, т.е. она не является ее решением в общем случае. Из полученных выражений (54) и (55) следует, что только лишь при гт = 0, т.е. в отсутствие перегрева функция тока (18) является решением уравнения (53). В случае же перегрева у земли функция тока (18) является решением уравнения (50). Проверим это.

Запишем уравнение (50) в виде ду дАу ду дАу /Ау др

dz dx dx dz

Pe dx

Решение уравнения (56) ищем в виде у(х, г) = X (х) - 2 (г). Подставляя (57) в (56), получим р(х, г ) =

(56)

(57)

2Pe —

e — BV

2 ( 2 zT

k 2 ßAy

(zT - z)

(z(2zt - z))2

cos kx + po - pegz . (58)

ßAy dp = 4—Bv f zT (zt - z) A

pe dx k

дг ре дх

Это есть уравнение переноса проекции вихря на ось у (будем говорить просто вихря) в стационарном

(z(2zT - z))2

sin kx cos kx .

(59)

Полученное нами выражение для давления отличается от формулы (42), при выводе которой мы не учли зависимость плотности воздуха от температуры.

2

Вычитая из формулы (54) формулу (55), получим ду дАу ду дАу

dz

4N-

dx dx dz 2 f 2/ \ Л

BV

к

zT (zT ~ z)

(z(2zt - z))2

sin kx cos kx,

что совпадает с формулой (59).

Таким образом, получено решение стационарного уравнения свободной конвекции сухого воздуха в виде конвективной ячейки. Полученные результаты хорошо согласуются с опытными данными.

Работа выполнена под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора Р.Г. Закиняна в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (№ 02.740.11.0739).

Литература

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость жидкости. М., 1972. 320 с.

2. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л., 1988. 424 с.

3. Алексеев В.В., Гусев А.М. Свободная конвекция в геофизических процессах // Успехи физ. наук. 1983. Т. 141, вып. 2. С. 311 - 342.

4. Шишкин Н.С. Образование ячеистых структур в слоях жидкости и газа. // Успехи физ. наук. 1947. Т. 31, вып. 4. С. 461 - 490.

5. Андреев В., Панчев С. Динамика атмосферных терми-ков. Л., 1975. 152 с.

6. МатвеевЛ.Т. Физика атмосферы. СПб., 2000. 779 с.

7. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака: строение и физика образования. Л., 1983. 279 с.

8. Шметер С.М. Термодинамика и физика конвективных облаков. Л., 1987. 287 с.

Поступила в редакцию

24 февраля 2010 г.