CC BY
26
УДК 519.682.1
ОБ ОБЪЕКТАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ФОРМУЛАМИ В АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ
© 2015 А. М. Фрумкин
ст. науч. сотрудник кафедры математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук, e-mail: frumkinamamail. ru
Курский государственный университет
Предлагаются определение операции с передаваемой переменной (F-операции) и определение суперпозиции таких операций. Определяется процесс вычисления суперпозиции, в котором допустимо промежуточное преобразование переменных. Строится синтаксис текстовых описаний суперпозиций и осуществляется расширение простейшего языка описания алгоритмов с использованием F-операций.
Ключевые слова: F-операция, операция присваивания, суперпозиция, функция подстановки, дерево суперпозиции, правильная нумерация, вычисление суперпозиции, выражение.
Введение
Ранее автором статьи [Фрумкин 2014] было предложено определение формального языка как математической структуры, включающей в качестве компонентов множество описываемых объектов и семантическое отображение. Был дан вариант определения вычислительного алгоритма как композиции вычислительных операций и вариант простейшего языка для описания алгоритмов. Возможности рассматриваемого языка оказались ограниченными. Например, в нем отсутствовали формулы как инструмент описания композиций операций и, соответственно, операторы присваивания. Для того чтобы ввести в язык формулы, необходимо, чтобы на нем можно было описывать операции, ссылки на которые изображаются так же, как функции в математике. Это операции с выделенной переменной, значение которой функционально зависит от остальных. В такой форме операция определяется в большинстве языков высокого уровня. Это «процедура-функция» в языке «Паскаль» [Фаронов 1998], «функция» в языках C\C++ [Павловская 2013], «функция» в языке «Matlab» [Дьяконов 1999] и т.д. При этом в каждом языке понятие «функция» имеет свои смысловые особенности.
В данной статье в терминологии работы [Фрумкин 2014] дается формальное определение F-операции - аналога понятия процедуры-функции и исследуются возможные интерпретации суперпозиции F-операций. Таким образом, статья продолжает исследование процесса построения алгоритмического языка.
1. Обобщение определения ссылки на операцию
Определение 1. Пусть p=(Q,T,f) - вычислительная операция. Переменную aeQ назовем независимой или входной переменной операции p, если значение этой переменной после выполнения операции всегда совпадает с ее значением до выполнения операции.
Формально: V xeDm(f)eQAT [f(x)]a=xa. Переменную aeQ назовем строго зависимой или выходной переменной операции p, если значение этой переменной после выполнения операции не зависит от ее значения до выполнения операции.
Формально: V xe(Q\{a})AT Vu eT(a) VveT(a)
[ х^((а,и)}еБш(0 л х^{(а,у)} еБшф ] ^ [Г(хи{(а,и)})]а = [Г(хи{(а,у)})]а. Переменную аеО назовем обычной, если множество {иеТ(а): ЗхеОтф: ха=и} содержит более одного элемента.
Утв. 1. Обычная переменная не может быть одновременно и входной и выходной.
^ Пусть переменная а одновременно входная и выходная. Пусть хе(0\{а})ЛТ, иеТ(а), уеТ(а) и и^у. Так как переменная выходная, то [Г(х^{(а,и)})]а = [Г(х^{(а,у)})]а. Так как переменная входная, то [Г(х^{(а,и)})]а=[х^{(а,и)}]а=и и [Дх^{(а,у)})]а=[х^{(а,у)}]а=у, то есть и=у, ■. ►
Определение 2. Пусть (О,Т) и (Л,8) - области переменных, Л и О -непересекающиеся множества: ЛпО=0. Функцию назовем подстановкой
переменных, если УаеО Т(а)=Б(^(а)).
Функция подстановки переменных не обязательно инъективна. Пусть р=(О,Т,Г) -операция и множество О упорядочено. Используя отношение порядка на О, определим вычислительную операцию (Н^^), определенную операцией р и функцией подстановки Положим Н=^(О) и 0=БН - сужение Б на Н.
Область определения g Бш(§)={ х е HЛQ: {(аД): а е О л 1=х(^(а))} еDш(f)}. Для вычисления значения g на наборе xеDш(g) определим набор у={(аД): а е О л 1=х(^(а))} и вычислим z=f(y). Для каждой переменной РеН найдем а=шт{уеО: ^(у)=Р} Положим ир=2а. В результате получим набор значений иеНЛБ, который и будем считать значением функции g.
2. Операции с передаваемой переменной Определение 3. Операцией с передаваемой переменной (Б-операцией) назовем кортеж (О,Т,£,л:), в котором О - конечное множество внутренних переменных, л:1О -передаваемая (внешняя) переменная, Т - семейство множеств (типов) с областью индексов О^{л}, Г Dm(f)e ОЛТ^(О^{^})ЛТ.
Функцию Го: хе Dш(f)^f(x)Q назовем внутренним преобразованием Б-операции. Функцию Г1={(х,у): хе(О^{л:})ЛТ: хОе Dш(f) л у= Г(хО)и{(тс,хл)} } назовем полным преобразованием Б-операции.
Б-операцию назовем простой, если все переменные аеО являются входными относительно операции (О^{л},Т,Г1), или, иными словами, если £ - тождественное отображение на своей области определения. Простая Б-операция определяет внешнюю функцию, то есть функцию, которая набору значений внутренних переменных ставит в соответствие значение передаваемой переменной.
Определение 4. Операцией присваивания, порожденной Б-операцией (О,Т,£,л:) и переменной а называется операция (Л,Б^) с компонентами:
Л=Ои{а}, Б=Т^{(а,Т(л))} и g={ (х,у): хеЛЛБ л xQеDш(f) л у={(Р,1): (реО\{а}л 1= [Г(хп)]р ) V (р=а л 1= [АМ]*) } }. В определении функции g набор хО обозначает сужение х на множество переменных О. Определение применимо как для случая а1О, так и для случая аеО. В последнем случае в процессе вычисления функции g значение а, вычисленное с помощью функции заменяется на значение внешней переменной л, вычисленное с помощью функции Г Из определения следует, что а является выходной переменной операции присваивания. 3. Композиции суперпозиции для операций с передаваемой переменной Б-операции можно использовать для того, чтобы ввести в алгоритмический язык формулы (алгебраические выражения) и сформулировать правила их интерпретации. Рассмотрим пример формулы:
Л(х,Б(х,у),С(у^)).
В ней A обозначает операцию или F-операцию, B и C обозначают некоторые F-операции, x, у, z обозначают переменные. Множества переменных, участвующих в определении операций A, B, C, в формуле никак не обозначены, потому что переменные x, у, z «подставлены» на место этих переменных. Место подстановки определяют позиции между запятыми. Более того, на место двух переменных, участвующих в определении операции A, подставлены обозначения F-операций B и C. Это означает, что при вычислении по формуле мы должны сначала вычислить B(x,y) и С(у^) и затем подставить результирующие значения их внешней переменной л в формулу для А. Но в общем случае переменная х может измениться при вычислении В(х,у), а переменная у -при вычислении С(у^). Поэтому результат зависит от порядка вычислений. Далее рассматривается модель, согласно которой может интерпретироваться формула общего вида, и выбирается один из вариантов вычисления согласно данной модели.
Определение 5. Пусть (Л,Б) - область переменных, Р - множество уже определенных F-операций. Суперпозицией F-операций над областью переменных (Л,Б) назовем кортеж ^^^,ш,£,г), в котором F - конечное непустое множество позиций F-операций, V - конечное непустое множество позиций переменных, FnV=0, -
семейство F-операций, ш^^-Л - семейство переменных, P=FoV - функция
подстановки.
Функция g каждой позиции pеF автоматически ставит в соответствие все атрибуты F-операции g(p): О, Т, Г, л. При описании свойств функции подстановки придадим каждому символу функциональный смысл, то есть будем считать, что мы задали семейства О, Т, Г, л с одной и той же областью индексов F. Функция подстановки обладает следующими свойствами.
1) Для каждой позиции pеF и аеОр если £(p,а)еF, то Т£(р,а)(л£(р,а))=Тр(а), а если ^(р,а)е^ то Б(ш(£(р,а)))=Тр(а). Это свойство назовем свойством согласованности типов.
2) Существует единственная позиция геР, которая не является образом подстановки.
3) Функция £ инъективна: VpеF (аеОрлРеОрла^Р)^£(р,а)^£(р,Р); Vp,qеF р^ ^ V аеОр VpGОq £(р,а)^ £(^р).
4) Маршрутом подстановки £ длины п назовем последовательность р:[1..п]^Р, обладающую свойством V те[1..п-1] pmеFл Зае Орт ■ рт+1=£(рт,а). У функции подстановки отсутствуют циклические маршруты, то есть маршруты, в которых повторяются позиции.
Громоздкость теоретико-множественной конструкции для описания суперпозиции связана с тем, что в разных местах формулы, изображающей суперпозицию, могут появляться имена одних и тех же переменных и одних и тех же F-операций. Поэтому необходимо рассмотреть множество позиций и функции пометки позиций F-операциями и переменными.
Утв. 2. Пусть - суперпозиция. Определим отношения
h={(p,q)еPxF: ЗaеОq : р=£^,а)}, 9={(р,а): реР л ЗqеF: аеОq л р=£^,а)}. Тогда имеют место утверждения:
1) оба отношения являются функциями;
2) тройка (Р,г^) является деревом [Новиков 2011], то есть Бт(^=Р\{г} и VqеDm(h) ЗnеN : ^(ф=г;
3) множество V есть множество терминальных узлов дерева.
^ Пусть (р^) е h л(р^) еhлq^s.
Тогда ЗaеОq, РеО./ р=£^,а), р=£^,Р). Так как £ инъективна, из q^s следует, что р^р, ■. Следовательно, h - функция.
Пусть (р,а)е9л (р,Р)е9. Тогда найдутся £(дьа)=рл£(дьР)=р. Так как £ -инъективна, то я^гл а=р. Таким образом, (р,а)е9л (р,Р)е9 ^а=Р, то есть 9 является функцией.
Из определения функции И следует, что область определения И совпадает с образом функции подстановки, то есть по свойству 2) функции £, От(Ь)=Р\{г}. Возьмем любую позицию де Бт(Ь). Пусть для некоторого п>1 Ьп(д)=8. Если б^г, то 8еБт(Ь) и найдется 1еР: 1= Ип1(д). Если не найдется такого п, что Ип(д)=г, то последовательность Ип(д) - бесконечна. Но тогда в ней обязательно встретится повторяющийся элемент, то есть у функции £ найдется циклический маршрут, И. Следовательно, найдется такое натуральное п, что Ип(д)=г, то есть (Р,г,И) - дерево.
Если позиция ре У, то на ней не определена функция £, то есть р - терминальная позиция. Обратно, если р - терминальная позиция, то на ней не определена функция £, то есть реУ. ►
Определение 6. Дерево, определенное в последнем утверждении, назовем деревом суперпозиции. Для реБ наследников р, принадлежащих Б, назовем Б-наследниками, а наследников р, принадлежащих У, назовем У-наследниками. Для реР\{г} позицию И(р) будем называть родительской позицией позиции р, а переменную 9(р) - родительской переменной позиции р.
В определении суперпозиции участвуют множество переменных ш(У)^Л и семейство множеств переменных Ор, реБ. Переменные из множеств Ор будем называть формальными. Переменные из множества ю(У) будем называть фактическими. Определим Б-операцию с множеством переменных ю(У), задаваемую суперпозицией, описав процесс ее вычисления. При этом формальные переменные будем использовать для «хранения» промежуточных результатов.
Если (Б,§,У,ш,£,г) - суперпозиция, то для каждой позиции реБ множество Ор делится на два непересекающихся подмножества:
множество У-переменных Бр={аеОр : £(р,а)еУ} и множество Б-переменных Ур={аеОр : £(р,а)еБ}.
Определение 7. Элементарной операцией вычисления суперпозиции (Б,§,У,ш,£,г) в позиции реБ\{г} назовем операцию (Е^^) со следующими компонентами.
Множество переменных Е включает родительскую переменную 9(р), множество подставляемых переменных [шо£(р,-)](Др) (образ множества У-переменных) и множество Б-переменных Ур, то есть Б={9(р)}^ [шо£(р,-)](Др)о> Ур.
Семейство типов Q определяется теми типами переменных из Е, которые определены моделью суперпозиции.
Вычислительное преобразование w осуществляется в следующей последовательности. Пусть хеЕ^. Сначала каждой переменной аеДр ставим в соответствие значение переменной шо£(р,а)е[шо£(р,-)](Др). В результате получаем набор значений переменных уеОрЛТр. Затем осуществляем вычисление ъ=Гр(у)е(Оро>{л;р})лтр. Далее для каждой переменной Ре[шо£(р/)](Др) найдем а=тт{уеДр: шо£(р,у)=Р} и положим ир=ъа. В результате получим набор значений ие[шо£(р,-)](Др)л8. Дополним этот набор сужением функции ъ на множество Б-переменных Ур и парой (9(р),г^). В результате получим набор значений w(x)е EЛQ.
Определение 8. Элементарной операцией вычисления суперпозиции (Б,§,У,ш,£,г) в позиции р=г назовем операцию с передаваемой переменной (Е^^,л:г), компоненты кортежа которой определяются так. Множество переменных Е=[шо£(г,-)](Дг)о> Уг. Семейство типов Q определяется теми типами переменных из Е, которые определены моделью суперпозиции.
При вычислении w(x) для xeEAQ сначала каждой переменной аеЛр ставим в соответствие значение переменной шо^(р,а)е[шо^(р,-)](Лр). В результате получаем набор значений переменных yeQrATr. Затем осуществляем вычисление z=fr(y)e(Qr^{TCr})ATr. Далее для каждой переменной Ре[шо^(р,-)](Лр) найдем а=шт{уеЛр: шо^(р,у)=Р} и положим up=za. В результате получим набор значений ие[шо^(р,-)](Лр)А8. Дополним этот набор u сужением функции z на множество Yr^{^r}). В результате получим набор значений w(x)e (E^{^r})AQ.
Для того чтобы описать последовательность вычислений, добавим в каждый из типов формальных переменных элемент е. Готическая буква «е» здесь означает «етр1у», то есть «пустой». Если набор значений xeQ^Tf, таков, что для какой-то переменной a xa=e, то xIDmfj,). Будем считать, что до начала вычисления суперпозиции заданы начальные значения переменных из ra(V), а все формальные переменные имеют значение е.
Определение 9. Пусть в множестве F n элементов и р:[1..п]оБ - нумерация множества F. Набор значений переменных xera(V)AS назовем допустимым для данной нумерации, если можно последовательно выполнить элементарное вычисление в позициях р1з р2, ... рп.
Утв. 3. Для того чтобы набор xgq(V)aS был допустим для нумерации, необходимо, чтобы согласно данной нумерации каждой позиции предшествовали все ее F-наследники.
^ Любая формальная переменная aeQq может изменить свое исходное значение е только в случае, если выполнена элементарная операция в позиции ^(q,a). Если позиция ^(q,a) расположена в последовательности р после q, то при достижении в процессе вычисления позиции q окажется, что значение переменной a равно е. ^
Определение 10. Если согласно нумерации F-позиций суперпозиции каждой позиции предшествуют все ее F-наследники, то данную нумерацию назовем правильной.
Утв. 4. Для того чтобы нумерация была правильной, необходимо и достаточно, чтобы каждая позиция располагалась после всех своих потомков согласно дереву суперпозиции.
^ Пусть нумерация правильная. Пусть q и s - две F-позиции, причем q -потомок s. Если q - наследник (непосредственный потомок) s, то, в силу правильности нумерации, s располагается после q. Если q не является наследником s, то воспользуемся индукцией по расстоянию от q до s. Позиция h(q) располагается после q в силу правильности нумерации, а s располагается после h(q) по предположению индукции. Следовательно, s располагается после q.
Обратно, если каждая позиция располагается после всех своих потомков, то, в частности, каждая позиция располагается после своих F-наследников. ^
Утв. 5. Если нумерация F-позиций является правильной, то первая позиция не имеет F-наследников, а последняя позиция является корневой.
^ Если бы первая позиция имела F-наследника, то этот наследник должен был бы располагаться перед первой позицией, И. Вторая часть утверждения является прямым следствием предыдущего утверждения. ^
Определение 11. F-операцией, порожденной суперпозицией (F,g,V,Q,^,r), и правильной нумерацией p:[1..n]oF множества F назовем кортеж (ra(V), Sro(V), w, л:г) в котором функция преобразования w определяется так. Dm(w) - множество допустимых для нумерации р наборов значений xgq(V)aS. Для допустимого набора значений x результатом преобразования является набор значений ye(ra(V)^{^r})AS и значение
переменной л:г, полученное после выполнения всех элементарных процедур в позициях Pl, P2, ... Pn.
Утв. 6. Пусть (Р^^,ш,Ъ,г) - суперпозиция и p:[1..n]oF - правильная нумерация. Возьмем позицию qeF\{r}. Обозначим через F' множество F-позиций, достижимых из позиции q, через V' множество V-позиций, достижимых из позиции q, Пусть P'= V', g', ш',Ъ' - сужения функций g,ш,Ъ на множества F', V', F'®Q соответственно. Тогда - суперпозиция и нумерация множества F', порожденная p, является
правильной.
^ Так как Ъ' есть сужение Ъ, то Ъ' инъективна и обладает свойствами согласованности типов. Кроме того, не существует циклических маршрутов относительно Ъ'. Позиция q не является образом функции Ъ'. В противном случае существовал бы циклический маршрут. Таким образом, все свойства функции Ъ повторяются для функции Ъ' , и q есть корневая позиция.
Если в множестве F ' m<n элементов, то нумерация множества F' , порожденная p, имеет вид s=poа, где а: [1.^]^^.^] - монотонно возрастающая последовательность. Пусть si=p(аi) - потомок sk=p(аk). Тогда, в силу правильности p, а^а^ а в силу монотонности а, ^
Утв. 7. Если все F-оперaции в суперпозиции просты, то любая правильная нумерация порождает одну и ту же простую F-оперaцию.
^ Воспользуемся индукцией по высоте дерева суперпозиции. Пусть утверждение верно для деревьев высоты, не большей п>2. Рассмотрим суперпозицию высоты п+1.
Корневая F-оперaция простая. Ее передаваемое значение определяется значениями ее V- и F-переменных и она не изменит значений переменных. Все F-поддеревья корня задают суперпозиции высоты, не превышающей п. Правильная нумерация позиций исходной суперпозиции определяет правильные нумерации поддеревьев. Поэтому по предположению индукции при любой нумерации значения одноименных F-переменных для коневой функции будут одинаковы. Но и значения V-переменных одинаковы и равны исходным значениям, потому что ни одна F-оперaция поддерева их не изменила. Следовательно, преобразуемый набор переменных коневой функции не зависит от нумерации. ^
В общем случае результирующая F-оперaция зависит от нумерации, поэтому имеет смысл выделить стандартный вариант нумерации позиций, согласно которой осуществляются вычисления. Опишем его в предположении, что формальные переменные всех F-оперaций упорядочены. Тогда каждый уровень дерева упорядочен. Сначала пронумеруем F-позиции последнего уровня, затем F-позиции предпоследнего уровня и т.д. , пока не достигнем корневой позиции. Описанную нумерацию назовем стандартной нумерацией для вычисления суперпозиции.
По аналогии с проведенными рассуждениями мы можем определить суперпозицию, в которой корневая позиция помечена не F-оперaцией, а обычной операцией. Для такой суперпозиции по той же схеме соответственно определяется эквивалентная обычная операция. Оба варианта суперпозиции обобщают понятие ссылки. Ссылки используются для определения операций и F-оперaций в терминальных узлах дерева, описывающего алгоритм вычислений.
4. Синтаксис выражений Синтаксические конструкции, описывающие суперпозиции в формальном языке, называют выражениями. Опишем грамматику [Ахо, Ульман 1978] выражений, которая может быть использована для усовершенствования языка из статьи [Фрумкин 2014]. Будем использовать метасимволы, определенные в упомянутой статье. Частным случаем
суперпозиции будем считать константы и переменные. Простейшая грамматика строится с помощью следующих предложений. <выражение> ::= <константа> | <переменная> | <суперпозиция>$ <суперпозиция> ::= <имя> (<список выражений>)$
<список выражений>::= <выражение> | <выражение>, <список выражений>$ <переменная>::= <имя>$ <константа> ::=<целое число>$
Более сложная грамматика выражений, содержит обозначения алгебраических операций. С точки зрения построения алгоритмического языка алгебраические операции - это некоторые выделенные простые F-операции, для обозначения которых предусмотрены специальные символы сложения, вычитания, умножения, деления и т.д. <выражение> ::=<правильное выражение> | <алгебраическая операция>$ <правильное выражение>::= <константа> | <переменная> ^суперпозици^ (<выражение>) $
<суперпозиция> ::= <имя> (<список выражений>)$
<список выражений>::= <выражение> | <выражение>, <список выражений>$ <алгебраическая операция>::= <унарная алгебраическая операция>
| <бинарная алгебраическая операция>$ <унарная алгебраическая операция>::= <знак операции> <выражение>$ <бинарная алгебраическая операция>: :=<выражение> <знак операции> <выражение> $ <знак операции>::= - | + | * | / | < | >| <= | >= | != $
Каждый знак операции определяет простую F-операцию с одной входной переменной или двумя входными переменными. При интерпретации выражения, содержащего знаки алгебраических операций, сначала строится дерево, в позициях которого одинаково представляются как F-операции общего вида, задаваемые именами, так и алгебраические операции, задаваемые специальными символами. При этом учитываются приоритеты выполнения алгебраических операций. После построения дерева можно проводить вычисления согласно стандартной правильной нумерации его F-позиций.
5. Расширение алгоритмического языка с использованием выражений
Объектами, описываемыми усовершенствованным алгоритмическим языком, являются композиции операций и F-операций, которые определяют как эквивалентные операции, так и F-операции. Если в усовершенствованном языке используются различные типы данных, то заголовок процедуры, посвященной F-операции, отличается от заголовка процедуры, посвященной обычной операции, описанием типа внешней переменной. Но в нашем простейшем языке используется только один тип (целые числа), поэтому заголовок процедуры, посвященной F-операции, будет совпадать с заголовком процедуры, посвященной обычной операции. Описания операций и F-операций будут отличаться не заголовками, а наличием некоторой конструкции внутри текста. Можно предложить два варианта такой конструкции - конструкцию «return», возвращающую значение внешней переменной, или конструкцию присваивания внешней переменной ее значения. В последнем варианте фиксированное имя внешней переменной становится зарезервированным словом, таким же как «if», «while» и др. Выберем второй вариант и для обозначения внешней переменной выберем слово «passed» ( передаваемая ).
Новая версия языка отличается от версии [Фрумкин 2014] следующими особенностями:
1) в описателях if-композиций и while-композиций кроме имени управляющей переменной можно указать выражение, описывающее суперпозицию с результирующей F-операцией;
2) в описателе элементарной композиции помимо определения переменной и обычной ссылки можно описать выражение, описывающее суперпозицию с результирующей обычной операцией, или описатель операции присваивания переменной.
Далее приводится часть грамматики, связанная описанными изменениями. <4/-композщия>::= if # (< выражение >^) # <композиция> #end | if # <выражение># <композиция> # else <композиция> #end $
<wЫ1е-композиция> :: = while # (<выражение>) # <композиция> #end $
<элементарная композиция>:: = <выражение> | <присваивание>$ <присваивание>:: = <присваивание значения передаваемой переменной>\ <присваивание значения обычной переменной> $
<присваивание значения передаваемой переменной> ::= passed = <выражение>;$ <присваивание значения обычной переменной> ::= <имя> =<выражение>; $ К данному набору правил добавляется более сложный вариант грамматика выражений с обозначениями алгебраических операций из предыдущего пункта.
Определение переменной - это частный случай присваивания, поэтому в новой версии языка не нужно правило:
<определение переменной> ::=<имя> =< целое число>; Элементарная операция копирования также описывается как операция присваивания. Нет упоминания ссылки, потому что понятие выражения обобщает ссылку. Элементарные операции арифметических действий описываются с помощью алгебраических выражений со стандартными обозначениями этих операций: «+», «-», «*», «/».
Приведем примеры описаний простейших алгоритмов на модифицированном
языке.
Factorial (x) % вычисление факториала положительного числа x passed=1; m=1;
while (m<=x)passed=passed*m; m=m+1; end end
IsSimple(x) % простое ли положительное число x ? y=2; passed=1;
while (y*2<x) if (x-(x/y)*y=0) passed=0; endy=y+1; end end
Приведем также пример, иллюстрирующий рассуждения из п. 3. Рассмотрим четыре вычислительных процедуры. A(x,y,z)passed=x+y+z; end B(x) x=x+2; passed =1; end C(x,y) x=x+1; passed=1; end D(x) x=xA2; passed=1; end Проанализируем процесс вычисления выражения A(x,B(x),C(x,D(x))). Согласно стандартной нумерации позиций (стандартному обходу дерева суперпозиции) процедуры выполняются в последовательности: D, B, C, A. При начальном значении x=2 результатом выполнения суперпозиции будет число 9. Если же принять другой допустимый обход, например B, D, C, A, то результатом будет число 19.
Библиографический список
АхоА., УльманДж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. Т. 1 Синтаксический анализ. М.: Мир, 1978. 612 с.
Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. 640 с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика. СПб.: Питер, 2011. 384 с.
Павловская Т.А. C/C++. Программирование на языке высокого уровня. СПб.: Питер, 2013. 461 с.
Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. М.: Нолидж, 1998. 516 с.
Фрумкин А.М. Об объектах, описываемых алгоритмическим языком // AUDITORIUM. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. №2. URL: http://auditorium. kursksu.ru/pdf/002-001.pdf (дата обращения: 13.02.2015).
