Об изучении векторной геометрии в современной школе Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

виях городского Центра молодёжных проектов является формирование ценностно-смысловой сферы обучающейся молодёжи, содействие формированию нравственного опыта посредством его деятельностного освоения. Организационно-методическое обеспечение процесса нравственного воспитания реализуется при помощи активных методов - поискового диалога, практического дела, социокультурного тренинга, проектирования. Данные методы способствуют обогащению эмоциональной сферы обучающихся, активизации нравственного сознания и волевой сферы личности обучающегося, формированию созидательной мотивации, коммуникативных навыков и навыков практической деятельности и нравственного поведения [5].

В практике городского Центра молодёжных проектов используются следующие формы нравственного воспитания обучающейся молодёжи: анализ ситуаций повседневной жизни, занятия (в том числе и совместные с участием родителей), самостоятельная деятельность обучающихся, социокультурные праздники и досуговые мероприятия, экскурсии и целевые прогулки, кружковая работа и др.

Педагогическими условиями реализации организационно-методического обеспечения процесса нравственного воспитания в городском Центре молодёжных проектов являются: единый ценностно-смысловой контекст взаимодействия всех участников

Библиографический список

воспитательного процесса с опорой на нравственные ценности отечественной социокультурной традиции, реализация программно-методического комплекса процесса нравственного воспитания, повышение квалификации педагогов и специалистов городского Центра молодёжных проектов в вопросах нравственного развития и воспитания обучающейся молодёжи, педагогическое сопровождение семьи в вопросах нравственного воспитания детей, научно-методическое сопровождение деятельности городского Центра молодёжных проектов.

Главным результатом деятельности городского Центра молодёжных проектов по реализации организационно-методического обеспечения процесса нравственного воспитания обучающейся молодёжи является сформированность у обучающихся таких личностных качеств, как: ценностное отношение к семье, ближайшему окружению, природе, Родине; эмоциональная отзывчивость, совестливость, наличие нравственных идеалов, ценностей и ориентиров в жизни. В ходе реализации организационно-методического обеспечения процесса нравственного воспитания в городском Центре молодёжных проектов обозначенные личностные характеристики актуализированы не только у обучающейся молодёжи, но и у взрослых участников процесса нравственного воспитания - педагогов и родителей.

1. Васильева Т. В. Основные исторические вехи становления духовно-нравственных ценностей в отечественной педагогике. Available at: www.rusnauka.com

2. Костина Е.А. Академическая мобильность студентов высшей школы России: кросс-культурный подход. Философия образования. 2014; 6 (57): 64 - 76.

3. Костина Е.А. Кросс-культурность высшего профессионального образования. Вестник Академии права и управления. 2015; 40: 175 - 184.

4. Чипинова Н.И. Из опыта работы Центра духовно-нравственного воспитания студенческой молодёжи. Екатеринбург, 2015.

5. Загрекова Л.В. Духовно-нравственное воспитание - базовая основа современного образования детей и молодёжи. Москва, 2013.

References

1. Vasil'eva T.V. Osnovnye istoricheskie vehi stanovleniya duhovno-nravstvennyh cennostej v otechestvennoj pedagogike. Available at: www. rusnauka.com

2. Kostina E.A. Akademicheskaya mobil'nost' studentov vysshej shkoly Rossii: kross-kul'turnyj podhod. Filosofiya obrazovaniya. 2014; 6 (57): 64 - 76.

3. Kostina E.A. Kross-kul'turnost' vysshego professional'nogo obrazovaniya. Vestnik Akademiiprava i upravleniya. 2015; 40: 175 - 184.

4. Chipinova N.I. Iz opyta raboty Centra duhovno-nravstvennogo vospitaniya studencheskoj molodezhi. Ekaterinburg, 2015.

5. Zagrekova L.V. Duhovno-nravstvennoe vospitanie - bazovaya osnova sovremennogo obrazovaniya detej i molodezhi. Moskva, 2013.

Статья поступила в редакцию 08.06.17

УДК 514(075.8):81(075.8)

Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Mathematics, Physics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V. P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

Kolobov A.N., Cand. of Sciences (Engineering), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V. P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

THE STUDY OF VECTOR GEOMETRY IN MODERN SCHOOL. The paper studies statistics of one of the most important and at the same time the difficult conditions of a school course of geometry vector. The main opinion in the work focuses on the ways to introduce a concept of "vector" in geometry class in high school. The work studies its qualities and practical use in tasks of different levels. The authors describe the characteristic features of the methods of solving the vector theory. Significant attention relates to the methodological scheme of postoperative images of spatial figures. The method of teaching the basic principles of the theory of vector method is used for the introduction of concrete terms into the educational process at the lessons of geometry. Key words: school geometry, vector, coordinate system, scalar product, vector method.

И.В. Прояева, канд. физ.-мат. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, E-mail:docentirina@mail.ru

А.Н. Колобов, канд. технич. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, E-mail: docentirina@mail.ru

ОБ ИЗУЧЕНИИ ВЕКТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ

В данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в тоже время сложных понятий школьного курса геометрии -вектор. Основное внимание в работе авторы акцентируют на выработке алгоритма грамотного введения понятия «вектор» на уроках геометрии в школе, обоснования его особых свойств, практического применения к задачам разного уровня сложности. Выделяются и описываются характерные особенности методики решения задач векторным методом. Значительное внимание уделяется методической схеме построения изображения пространственных фигур. Представленная в статье методика изучения основных понятий теории векторного метода решения задач была реализована в конкретном учебном процессе на уроках геометрии и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала.

Ключевые слова: школьная геометрия, вектор, система координат, скалярное произведение, векторный метод.

К числу самых сложные и в тоже вусмя важных разделке школьной геометрии, можно отнести векторы. ВеКТ09КЫ9 меток является одним из эффеетиэвыс о чмоющих широтин nfKBao-жения математических методов, изучаемых в штекм. Лототые проблема совершенствование иодерумузя и глзтк,9оо оттенен математике в школе в свете современных требований с необходимостью включает совершенооповенве методики изунеоио векторов. Для современно— иимтымаоики м хе приложмомВ вим1;1э1^а существенной является коородойтаиао оуактовсо ияераций но71 векторами. Такая трактовка вевтоуо вожно для теории и иомини-ки линейного программиравап ну, ооа неходко шиоокое повме-нение в анализе функций многих переменных, в линейнвй алгебре. В школьном курсе фвзики векторе, виеорпрепкоохмые как направленные отрезки, оиово же связываются с кнординооами, поэтому знакомство учащихся с координаансн яектоос eeoícco-димо для школьного курса фвинк» П].

Впервые, упоминанов о векуяня восходит к школе Аристотеля (384 г. до н. э., - 322 г. до н. э.), где в роботе «Мехаивну-ские проблемы» был введен термин «илижяоми ониеяя и^^^ о,е. скоростей, и сформулиропано воавило вapaллтлoгвидлa.Teкжe его использовал Архимед (287 г до н. э - 212 г. до н. э)в рсеоич «О спиралях», а позже - Птолемей (100 - 168) в «Альмегосео». Астрономы средневекового Востока, развивая теинкюПтвыз-мея, постоянно использовали «сложение движений».

Термин «вектор» ввёл в науку в серсдине Н«1ййв. выдию-щийся ученый Уильям Гамильтон (1805 -математический аппарат, который впоследствии послужил основой для построения квантовой механики. В дальнейшем, уаеныв Европы Симон Стевин (1548 - 1620) в работы «Ыныоды мтмты-ки» и Джон Валлис (1616 - 17030) в «Механиие» рыеоейамымтее теорию векторов. Огромную роль в развитии векпс.нсгометоды сыграла система координат Р. Декарта (1ДМ6 - 1650), «отераыы основана на его идее единой математики, объединяюы|ей геометрию и алгебру. В трудах ученых XIX в. бысн я;(-;),с!аюга тен^е направленных отрезков, которая в дальнейшем стал научасй базой для развития физических теорий, что впосяндонвии и^семю к созданию тех благ цивилизации, которымипользеетая сндосм-чество в XX в.

История векторного анализа подчеркивнот нердзрыамую связь отдельных областей математики - идгебоы, тяoоoм0ии, математического анализа, теории функций кос^пр^!=ксн51"д иссДт менного. Векторный анализ, построенныйкис моияма-^-^|^е):ки1с аппарат для изучения электричества и магнениндо, отес яи)/ч-ной базой для развития физических теома., »то ипйялoмстoпт п[зоовло о сонденим яоо блот ципнуазаепи, к0"й0fэ»>l^ки опль5сд^ост КОЛоНеЧеСТиНИВХМЙЕС

До КЫBИ2H0К EÍ илуо.пкк HO^InlO ЛртСУу-Е—У ПО МаЯеУТТЛКн о ГКОе нясним взаатра увещаете пчзуоыо втoоо»oeииo в корни сЛ'кшикю ]1^KE)|оoc^]Ьэ, соклла, уолеоеип», йзпoажeннвинн ыт-нкыно<о enci о о*, в,). ^о.Е.л^ о-). аптеки» хриконод7еривссвнэ cJсuфнеLJи-F я ооо-вилпeиням к^цис—е мковавой ^^i'HD-a^iJii—ii-i яячоляковеяосо -понятие BTUoopa. Пловумо 0 ускещихся оклидыволосо иoпpякхдднoe Пf)f-.^гг7aвлeнвгe о у1со-"1, чГго вокяоо - i^^-cíct-c^ ^ю, з .н -с^е- ок^ Между ову реаоау -»» чисто к-Егунлнмо-тсг^!^^^)-!:! пиесено, котсовс^гэ ложе ПFйИ|1u—генетта в с:|:ио^1еое гйвво дяоивo зявклaдoвlx нхукав и которос птсволоос озввяoкву ц-е^.иоке некюоо|1ВЕе1с сложхыо зoдaa этих наук [U]l

i=:>i йеяжвожев одн..- я—:з |ич^Суол^к ве-типои итсeoохрвн 0^ то до в соедиев школе" 2иаиoниe азн^йкинсиин осноЕ^ км—|эс;а ч -О-х клтссое начинаятст си— знакомство с ^есгл^Езскос— вoх7УЫнoИ аеевявотиаосва0 геемсвуи», пто вуаacтa»лooу ci3C"|o0 инеяезо| по-кснчо1х° оoтoм0: "ото кокнсоные меоооы вожно1 и сзни"и1-1льсньн: с<з[Сс11ас как ко уoяelxтoвзc, "гак .с —а ео кониажокаот — сТинике1 —ки-

13ЕСи, УКИЗЯУаСО С— ,ЛН|Е^С]иИ1)|[ сОлоОТУМ ВХ0НИЙ| ПО-В"Л^[—^1Х, ПТХТМу,

кос весуровао австемаоето диез нaкеoJкea oeoc"clool йонвочае it аовоевойвае аклимокио э1И(-1||И^нс"т1^нов ^"^o.u[ieiT"|K"c(n: веретено. по-хомо1 |)l-o изо аксиосаевко оОсииннппатх зленпоЫ ice|ce^OiC" а -ги-воВпеН оокебоо с ее оеорооИ лепоТных о: оиилиотвые пскаорпых .KЕU0C"H))"CBC|CB| интитело0 ni в^е.

В -CKJOix актоие метеке нео п|з^,неля^ -koii—e и повсевямп явх тюзни ooaco. ^екст^о^ ее лесдеюжко ооаеацви нaт ниссптi люЯой n^fccc точек сД ОД одйоина|иио соноитавляется вэк0-"0|сжИ чееяяя яОКв лю-Итм двуют в^нЕоооЕ-ам Я" и X ндиазноння оoвoятeнляeеcинeкoтхpыз вякяоя ас а X - соммо ваяеякoй <—. X, лкоЕ"^ о ие^ ^ но кто<)у Л о— лмбняу действиттльному числу k однозначно сопоятавляется некоторый секатор" -ж к- е)-lэиивв^зуe ^е^"стора р на число к; любымвоиса-

ное

ком П, О однозначно со поставляется некоторое число аЬ - скалярное произведение вчкторяв а с Ь.

В пространстве эти понятия имеют тот же смысл, что и на плоскости. Например, вектор можно наглядно представить как направленный отрезок или (что более правильно) как бесконечное множество направленных отрезков, имеющих одинаковое направление и одинаковую длину; сумму параллельных переносов - как диагональ параллелограмма. Свойства векторных опе-рацийввейлевскойаксиоматикепринимаются за аксиомы[2].

Дальнейшие понятия (прямая, плоскость) определяются, а дальннйшие фтюы (теоремы) додазывнются.

Пт и н яннт си ите мн н дсионн иотвтояет сгро ыоис но опреди-лиен Оазис паосесстисна яьвилиоо (яердт тенятрю льепоиот ео-ниаияюсии одзсоЕНисН ее есеесевенеыв оИродям кортшии к еаесй ВОЖСОи ОРе".!.). (киаи вется^смо, квак 1^^ВСР(ВЕПО^ П"ИСЗЗ,ЗЕП(3ЕЫВЕНЕЯ(ЕЯ СПЕ^Еа(Д[:013. Рдолмикрнтиития С^О^зЧСЧКИВЫКТПиЫ ССеИ:С|е;Л ЕЗ(Е!П"^0[ОНСОК1Д П[30-изиедясти к с"и юклссс^но иявяы с^в)цосЕИ1 (скиоЕзЫЫсп тс^ ып . (Иное Еке)||киыь"(,зни:т к(кордин<^о кк:рточео-ч одиовос,ыироо ввзкт^.вожз,

а П":: (их-о а аг а^С) Ь=ИЬо; л?),0,-

истоль^^ется рамл оже ние определителя по эле ментам первой стро ки. _ ^

i j д

ax ay ab

bc "y ья

Ютпд еопеос не Eзссы:хlE-пeт ос^^ых 3(aт|о^-lн^ниií, гсиаколлйB' (K"--:|^ДД) еял^-i аинОсте лнхeлймвх^.еу^й с«^ирйо^^нви ccлиfсы

лнннаи^оl-с ымои-йним в aоlв^г1Xl^: «^a дйы,^ втхсocкой нкcискlcетике д^д сж^нв^юеся 5Tвepждунииlпвдвющиoияaкpйомaмв и пиии 1сиT( ондно и^ниоаre5^вf-тf(ик « таoсвд()l(^"^eдиин1opoии оЗ].

-([кск еп^eо^eлстсс я(т!нмсe н 5лтнкттoи кыкeo,дынтo)тoя соо новы ^нoгкн1Iсичeниoo иfк(30стк"p(и,c. ыкоoтнслe се oахлт<^((т, нто из, Индки0 кo-м(K"Г]эoн оз «О-им ллc(-(^e сводиест к ))кшeксию ^ада,« но вeктоcнио т"ои"гfкc^ е иняле"кетиотсо гс^oюиocее, поттоло^ аиск■e(-имк^ся дк^ o"mи^oмтк(я от1 п0щcкpеноoагo ,рлo кeхe-)илк5(^к"lи -cиoкк1 п рт в.гоо мe-1к.кг .<ои(здй нао. p^o cпo1:o(г E)^шí] нйя 0(^50, ти н^скни eнрт неминиf^"^l-эд-имl нн аи и^воыс кoнкcc5pceл с ooхoлнаыын. Pé^ecмo■-оиlс) иoи^ef) его иcинJкco^a^pи!к оила ни.из^1:!^ ФиймУ^л: тд^ синр]са юдаcooви к-oy>г оглoк.

E3¡ cсoи^f^^^ктвниcoпаeдкeнмиoмпдтвклийвeктвoaна кoоа-|pнl■(^упы.^ оси ^лоо лдантзных аг-^]""KE(Poв.

ОМ с ЕоЫт OM = (cosa;sinQ;), ON = (cos/?; sin/?). Ттзгдд (р(ис.И)1

m (и. 1гe^ тг^ 10 . .

ь^в со - Т) =н . ,|с -уг д^ bHs (X ь hs / -и .-.с« a sin / ЮМ\ ■ ЮМ

Можно орите сои мндсо ^1^^елнмо|го в oффeкeoвнo во^ЬгТопаоия еудccpеыx н^смоа. -(pлнcсы(^вс^lс ил лсак]ис]лсахсвlс вelклaд(И" еeeTалдимые пи |зядн! <ввE^^-Eг^сгЕ^ ик-ю Езештонит (^сeх^oмдг оf^онрук^3 иoloaГ]и пeиeеl-)в ныгдядят ^синии ныю^ин^а ттыи вик(ro()-(и,x c-ПEг(вa"U|Klй [e""

»c l / —V юн

Т^ sonoa /

/ sin0 / \ви

кТ>'

cosa / x

—i^c. К

3 адава 1е В провильпой Аеоырих=голзноЗ п ирамиде ТАВСD имоведмнзо двх пахаолеяннмх манда ьоССор плсп-ости, одна изкоторыппоходря ^^е-дэ^и вершилу пирамиды М м) оерезину стороны АД г рругая - зермвс ^«зд^шии^ оетнсдее^июо вв и середину бОУОВПРО днбуп ТС. 10ИСст(ПМНиУ МАУДП ОТими ПЛОСКТИТЯТТ рОТ-по, а суахооанстовднияррвдп 2. Найдиопобоом птнимиды.

РНШМТО4/

РаДУТОЯНММ МеЖДУ НАЖМЯ ЛНрМЛРМЛЫГЫМИПЭОЛПОСТЯМИ

вычисляется кпи поляоптолмтая д>лоп^дд1ГЕЗптсЗ9ПС^ ^езкто|на НТК дм ьптапд н0омали п ее плоотпспум, >де АУ системе тоодииоот (уипго. .Д ль анчестее егуткеслтоеи -Сппожогт Аь.тзнрьми лю0ой вектор, кол-лин^£К|эиый ьекяорному пуоловмдэспюС9С- С>С.

Прт эрос т = (О'О ;а) , ЫН -Тогда 0 ] 0 я = я о о 3 о -о

>■ о о

л' л 'л

о 0 0 0 0 о

0 ■ - ] • +03-

о -0 3 -0 3 о

= 0-Л0;Я0;-Я ).

Расстояние между параллельными плоскостями

т ■ л

12

о

ргЫБ

МБ = (1;2;0) .

Скалярное произведение вечисляетсяпоформуле:

МБ■ С = -ИУ + 6У |-| = -\/4 У2 +9/г2 + 9 л 1=13У 2 + 9 .

Таким нИрееом, 1кз уран01 егннн

, 9 озкеокнозз к = —

2

4Кк

220

ли.

' 11

Объём пирамздыоызесля етсипсформуре: 1

V = 3 8оснк = И

А Р

Рис. 3 X

Задача 2. В единичном кубе АВСDАlВlСlDl найдите рас-сттотпл оа ночаи А1 доплоскости ВDСl.

Решение. Составим уравнение плоскости (рис. 4), проходящей чедез точки ,В(0;1;0), £)(1;0;0) и СГдСЩ 11 П>- Для ¡этого под-ставимгозлдинн™ отих точек в общее уравнение плоскости Ас + Д0пСг + О = 0.

Полузтн писяимуурапнении

О >Т + 0 = 0 [В = -1=

- Л + Л = 0 = и «А = -В Оссянха находим уравнтяие

{нсь+жмо = о {с=+а

ММх -Бу + Dz + D = 0 или ео +у — z-l = 0. По формуле нахо-.и= р алстуян уео) точк и А1 (0;0; 1 )доплоскости

Р = BDC1 : р{А.1Р) = -

Ответ: -=.

иа

0+0-1-1 -И1 + ( + 1

2

е/о ■

Тш. И

Обозначим через к высоту пирамиды (рис . 3) и выпишем

ииовдлнатыое0шин вп^ат 9)Ы'0'0ЛЫ)Л'Л'0)\ А3-;0у0--.

IЛ Л л^

Рис. 4

Задача 3. ВединичномкубегШС-АиВуСЮ) яайди1ерас-стояние междудиагональюкуба ВDl и ди агонал аю гран и АВ1.

Решении. Введед прярд=гол ьную снслемг ко ординат (рис. 5), тогда А(0;0;0), 5(0;1;0), £1(0;1;Т), Юн(1; 0; 1). Пузтт +З -общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ВDl и АВ1, то елть ЕЕ ± АВ1, ЕЗА BD, причем Е е АВ1 и А е BDl. Обозначим

„ ДЕ ВЛ .

X л- в Л- в фо.мапамадлякоординат

в1Ло Г) н

точки, котитоя делит дннный отрезок в заданном отношении. По-лу==и

Е| 0:

и и

Пусть

1 ли- 1 + И X

^—Т л Р е+ии

лм

В

в

1

а + в

в

1 + в 1 + в 1 + в

ля

З(В

Рис.5

/

в

х

тогда ЕАА; р; р), А5д;1- к еФ-

Так как вектор ЕР = - Я-р) должен быть пер а н-дик улярныА вектора о АВ^(0,1; 1) и = (1;—1; 1), той меем

( рАТ-МОО= о Г 1-я-рврор = о

системууравнении: ^_ _ иш <{

[РЯНо ■АБ = -В -С1-1-0Я-нр-всс-Р = 0

Р = 2 в нОг 5 1 1 с

г Отсюда ЕР = 1—1—1—

С = О 5 3 6 В

3

1

Н и агссо4-

где <р -

о

Ответ: а™004^ .

АБ= |ЕГ| = ,О + ± + вЛ_л

19 36 36 46

В твел

Заметвм,чтвЕз^кто[^1г1 можно привенять не толь^ко чгеомо-трги, нет и п[чи изононси неготовых олзрксов ч1ЛГ1Ке^вч>1, рри вошепаи аосчом ерачыенчр. оокигг<а^1ИЛ1:>СЕГ>^зг члравенств, решниии кв оошннси ме,цач гго отьг1нконзгк экст.рмума.

Р^облетниги задлп т помосг(^ю ЕкесыскзигЕ! чо^чч'л^лт.^ив в&югжнко алг геРх^^и:л(ижк:ие укгюл^леи мм кызываез (зол>зЕиос1 1/1Н1!к:ч!ЕС 1ак у обучи ЮЩНХЛИ, оЧК В т нч>1^НЖЛ!51К >1].

ОЗл^агюг ^. Релвхе ^ик^вп^нив: ТпхН "В]Г .г = >с Р Н - 1-Решлснч. Пажепв1К«1м ЕИснвчн ссткичлни в видо

-тру + з2 в Рн - 1 FГl^lгcьмЕ>"ЕЕ)и,К1 п,т^^10|пКЕl аЕх;у), и(1;1у

те [.до: |н| З ЗЛ2 + У2 н И = тИ12 + Е2 • чо. Спмлкиное произве-

рчнке а-иио + н. В счотвтчствва но сЕ0ЙcтЕ0м заключаем,

что к/в•е+ИГ+HПKИ/o -итг^си-ъ,^-^. Значит, исходное уравнение ив ин^ен кс|])ИР1-]

ОсобыИ интерес у обучающихся вызывает решение систем у]авн енхУ е^^смнтчивЕыгмым спо2обом. BlЕкиo1ЕH11lИ метод чаще н^с!зыв^ется горозди п|^оипьг н.адиционныи способо^таккак не: плчисит от чиниин нeчиызоитыx ел нзcтнди Вти объяспниноя тям, кап^ьыз скесансого п|эc^и^EзeЕнI£:^^nи^ч ыикнояоо нта плосакостис оотeо-

_ __оленно ^нг1^ог:нчна папчеи окооопнсro П1^еэи^^^дс^н111ев нокьсяов о

Бегловт. ВБч, с АиА ^(^ляес^тт^;^ пинопоаня ПЕ^(П(т"|:1анс"к^1^ ее

Задсчс 6. Рошияь оисипму уроинсний

1

76

Оауача 4. В кубп л-ТСАА.г.ВпСС!)( чийднту уголм еж—п]: скостями АВС и ВСЮ. Решение.

Лусгы ОгУ у С,= Ь^2)А1 п со (¡кис. нз^,

гоу |а| п |т | - |с| по И а " Т -А . "с п Т • И п (К.

плослост"е^ вЛСиС и ВСЮ п;оот^етс"сиеопо, оса кс^к йИРо _|г нОТРИН н РАЮ. Инда

-УУХ1 = а -у И -н А, АА 1 о -а-Т -н с1,

вБх-АНу по 1

О11

а

- ^ (а - Т Ш сс ^ шСИ+2>4+С

--/(-а-Т+ с И =/0а2 Н-^И +

В1

у// / / \ N Ч

+ / / Ч ч е

/ / ч

/ к 1 ч ч ЛЛниК

и: ]] / о ✓

-- ]]]]] / ВВ У г у с ✓ У ит__________

Рс / сШ «к с — - ч _ — — .КЕ'УЬ

"" "" V ч

Рис. 6

| гчв ^ ^1ТАь|

|И2ВХ1| '|)ЕТМ/|

С04(Н =

БиблиографическиИсписок

' Тз-Лк е6

И4-/Л/- 1

н*млPшлсzп= ГпГе|

^^"^«сеьик^. 1Р>с"с;^мот|эи1\к^^к;':к(е|::)ЬЕ| а{х2-Нох^сИ--). Вычислим: |м| = л у4 -о Ы= = - с |е. = = МО

и |гв • е| =х2 -Ну с+Се "2. сихт,опаю (чис^г-ши;,- снпм - Iя можси появл- -сстн в вс^А^еЕ^ о |а| • |п| = • с1

|п • е| = а/!.

П;:^1к11-1сив:сз ^ ^^л^ СезО|кС"1еди1 |в • в^ |сы| | |н|, к |ккля д<^бной си1е:11ек

М1и1 эчко ссу|тст13(5 не ^1й100лня^уяя, пос^оли0^;0 -нГТО >- ■ОЧ"' ^ уу^"ичи-Г| сис"1е1\ик! ^нг лопея [^етиечпя.

•••^•да0!^ 7. 61о:к'ни ечмые сничосн иг ^ н+ ир о ко^сгскоо г^^ и кцгся

у -!-]• ьЗНссШСх -ни пф^иибтссгее'п нр!ихг(ьль^ш^^ l^н^^"еь

зон.

Рьшиеио. И[yнl^L^и^ оиpIг,г^слeнс и|и езсих х € И^. Е^^^+^лл

ЕЗеКЗО|Э1:и1 а

-Е"0^Х - ((ккКРРнН^Е, тьс1^а

|а-"=б2^ = а | «л? ^о- Ь""Л1 -ИЕо/ЮЕкк^'^^СС^}4 -сИ. 0ЕК-

со ч • |иЕ= • | е^ = . Ига о(^нов^н иисвоЕ^тв^ | н ■ ог| ^ ='3|^||о|о зьнпииое^ е+шСсо^2--:?^ 1е'^ lГ-^,^^кn22?x 1-|>:•E-И1^2. Днн^я Зо^хекг^чя еско =кмма .с^вл= мооо^схраю)11ЕИХ 1-ндЕнк:-(^Й; ^еыт (^н^ ^Ох-Е)(-с^"гаюо1х<н!С| г^(^илкем^е1п^сси^вмдо<ооиосеосяп[^с -^-^^(^чо2:"-:?^ -Н =-со;^-иК:?(1 =ЯЕ ^ = =1=71с/8 ^ ктоим ]P"€:;|"Е|

1. Прояева И.В. Формирование конструктивных способностей учащихся при решении стереометрических задач. Россия и Европа: связь культуры и экономики: материалы XI международной научно-практической конференции. Прага, Чешская республика, 2015.

2. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА курсу «Геометрия». Орен-бург:ИздательствоОГПУ, 2016.

3. Прояева И.В., Сафарова А.Д Методические рекомендации к решению стереометрических задач. Оренбург: Издательство ОГПУ, 2010.

20 2

References

1. Proyaeva I.V. Formirovanie konstruktivnyh sposobnostej uchaschihsya pri reshenii stereometricheskih zadach. Rossiya i Evropa: svyaz' kultury i'ekonomiki: materialy XI mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Praga, Cheshskaya respublika, 2015.

2. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Organizaciya samostoyatel'noj raboty studentov po podgotovke k GIA kursu «Geometriya». Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.

3. Proyaeva I.V., Safarova A.D Metodicheskie rekomendacii k resheniyu stereometricheskih zadach. Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2010.

Статья поступила в редакцию 09.08.17