CC BY
70ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОБ ИЗУЧЕНИИ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
1 2 3
Останов К. , Абсаламов Ш.К. , Нусратов Х.У.
1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет, 2Абсаламов Шариф Кобулович - ассистент, кафедра алгебры и геометрии, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд; 3Нусратов Хусниддин Уктамович - учитель, школа № 30, Кошрабадский район, Самаркандская область, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье рассмотрены в общем случае методы решения простейших тригонометрических уравнений в средней школе. Мы рассмотрим на примерах того, что при изучении тригонометрических уравнений встречаются такие случаи, когда приходится решать следующие виды уравнений: 1) (cos^) = 0, 2) sn (cos^) = ± 1, 3) tgх (ctgх) = 0; такие уравнения решаются с помощью тригонометрического круга. Рассмотрены три момента изучения метода решения тригонометрических уравнений: 1) виды общих решений простых тригонометрических уравнений;2) уравнения, приводимые к квадратным: основные элементы: можно привести к одной или нескольким функциям; степени понижаются в два раза; решается с помощью замены переменной; нужно показать его область значений; 3) однородные уравнения: основные элементы: углы одинаковые; функции- две; степени одинаковые; свободный член равен нулю.
Ключевые слова: уравнение, неизвестные, переменные, виды, основные элементы, алгоритм, углы, функции, степени, свободный член, область значений.
1. Тригонометрические уравнения и их решения. Прежде всего, ответим на вопрос: что такое тригонометрическое уравнение? Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения cos 3x=sinx; tg(n/2 - 11x) - tg ((3/2)n-5x) = 0; sin3x+sin 5x = sin4x и т.д. Уравнения sin x=(1/2)x; cos2x = - (1/2)x + (1/3); tg x = x и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически [1].
Решить тригонометрическое уравнение - значит найти все его корни - все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. При решении тригонометрических уравнений используются известные тригонометрические формулы. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: sin x=a и cos x=a, где 1а|<1, tgx=a и ctgx=a, где aeR. Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать эти простейшие тригонометрические уравнения [2].
2. Виды общих решений простейших тригонометрических уравнений. s^ = а sira = а
для а > 0 для а < 0
х = ( - 1)n arcsina + nn , n eZ . х = ( - 1)к +1 arcsin \a\ + n k eZ .
cosх = а cosx = а
для а > 0 для а < 0
х = + arccosa +2лп n eZ . x = +(л - arccos \ a \ ) + 2лп , n eZ .
tgx = а tgx = а
для а > 0 для а < 0
x = arctga + лп, n eZ . x = - arctg \ а \ + лп n eZ.
ctgx = а ctgx = а
для а > 0 для а < 0
x = arcctga + лп, n eZ . x = л - arcctg \ а \ + лп n eZ .
Можно предложить учащимся ключевые слова для запоминания: в косинус добавим 2лп, другим лп; В синусе ( - 1)n ; в косинусе +, в тангенсе и котангенсе arc; для отрицательных а: в синусе k +1; в косинусе плюс, минус ( л - arc...), в тангенсе минус arc... , в котангенсе л - arc...
Алгоритм. 1) привести угол к стандартному виду; 2) Выразить sin, cos, tg, ctg ; 3. Запись соответствующие формулы для целого угла: «Уравнение вида..., целый угол равен...»; 4) Найти неизвестное.
4. Решить уравнение: sin2x = 1/2 (уравнение синуса, целый угол 2х равен (-1)n...). Решение. 2х = (-1)n arcsin1/2 + лп, где п eZ . 2х = ( - 1)n л/6 + лп, х = ( - 1)n
л/12 + лп/2.
Ответ: (-1)n л/12 + лп/2 , где п eZ .
5. Решить уравнение 3tg^/3 - х) =
Решение. Выполняем пункты 1, 2 алгоритма: -3tg(x - л/3) = V3,
J3 /33
tg(x - л/3) = -У— . Выполняем пункт 3: х - л/3 = arctg(-——) + лп , где п eZ
3 3
V3
х - л/3 = - arctg--+ лп, х - л/3 = -л/6 + лп , х = л/3 - л/6 + лп, х = л/6 + лп.
3
6. Решить уравнение: 2cosх/2 - 1 = 0,
Решение. cosх/2 = 1/2, х/2 = + arccos1/2 +2лп , где п eZ, х/2 = + л/3 + 2лп ,х = + 2л/3 + 4лп (после умножения на 2 ). Ответ: + 2л/3 + 4лп, где п eZ
З.Уравнения, приводимые к квадратным. Основные элементы метода решения: приведение выражение в правой части к одной или нескольким функциям; степени понижается в два раза; решается с помощью замены переменной; нужно учитывать область значения функций [3].
7. Решить уравнение 2sm^ - 5srnÄ + 3 = 0.
Решение. Пусть sinх = t , то тогда \ t \ < 1, так как \ sinÄ \ < 1
5 ± 1 t 3
2t2 - 5t + 3 = 0, D = 25 - 24 = 1; ti 2 =-, t = 1, L = —. -лишний корень.
, 4 1 2 2
Поэтому srnÄ = 1, х = л/2 + 2лп , где п e Z .
8. Решить уравнение : 4(cos^ + cos 2х) + 3sin(270o + х) = 2.
Решение. Применяя формулу для косинуса формулу двойного угла и используя формулу приведения приводим выражение к одной функции 4(2cos^ - sin2 х) -3cosх = 2, 8cos2х -4 sin2 х -3cosх = 2, так как sin^ = 1 - cos^. Отсюда 8cos2х -4 + 4 cos^ -3cosх = 2, 12cos^ - 3cosх - 6 = 0, 4cos^ - cosх - 2 = 0 Пусть cosх = t .Тогда \ t \ < 1, так как \ cosх \ < 1. Тогда получим
9 1 -I- fri I 1 ±л/33 , ,
4t2 - t - 2 = 0, D = 1 + 32 = 33, t12 = 1 33 - < 1,
, 8 , ' 8 1
1 -л/33 cosx =___
1 + л/Э3 cosx =___
Ответ: +(— - arccos(
х = + arccos(
х = + arccos( л/33 -1
1 -л/33 8
1 + У3з 8
)
+ 2—n , где n e Z .
) + 2—n , где n e Z .
ч, 1 + л/33 ч ) ) + 2—n; х= + arccos(- ) + 2—n , где n e Z .
8 8
4. Однородные уравнения. Основные элементы при учете вида уравнения: углы одинаковые; функции- две; степени одинаковые; свободный член равен нулю. Решается почленным делением на одну из функций в большой степени не равной нулю, потом выполняется преобразование полученного выражения.
8. Решить уравнение: 3cos2x - 2sinxcosx - sin2x = 0.
Решение. Углы одинаковые; функции две (sinx и cosx); степени два, так как степень произведения равен сумме степеней множителей (1 + 1 = 2); свободный член равен нулю - уравнение однородное [4].
Почленно делим на cos2x, нужно доказать, что cosx Ф 0 .Допустим противное, т.е. пусть cosx = 0, тогда sin 2x = 1, значит уравнение не имеет решения. 3cos2x - 2sinxcosx
- sin х = 0.
2 2sin х : cos2x ф 0.3---
cos х
sin2 х
cos2 х
= 0,
- г^х - + з = о, гя2х + - з = о.
Пусть tgх = 1 Тогда г2 + 2г - 3 = 0, г 1 = - 3; г2 =1 . По обратной теореме Виета tgх = -3, х = аг^(-З) + лп , где п е2 . х = - аг^З + ли . tgх = 1, х = агС^1 + лп , где п е2 х = л/4 + ли .
5. При решении уравнений методом разложения нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления и искусственные приемы. Необходимо так же
знать многие формулы тригонометрии: sin х. cos х - . cos х = o,cos х
2
(
sin х--
S
\
= о,
cos х = 0,
V3 2 .
sin х = -
х = — + лк, k e Z, 2
—
: = (-l)k- — + —k, k eZ.
6. Многие тригонометрические уравнения решаются на основании условий равенства одноименных тригонометрических функций, т.е. тех условий, которым должны удовлетворять два угла: a и b, если a) sin a =sin b, б) cos a= cos b, в) tg a = tg b.
Список литературы
1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: Просвещение, 1990. 416.: ил.- ISBN 5-09-001295.
2. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1989. 239 с.: ил. ISBN 5-09-000613-Х.
3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решения и отбора корней. [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.alexlarin.net./ (дата обращения: 23.04.2019).
8
8
2
