CC BY
40
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2293-2294
2293
УДК 539.3
ОБ ИЗГИБЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННОГО СТЕРЖНЯ
© 2011 г. Н.В. Курбатова, Е.С. Чумакова
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
nvk@math.sfedu.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Построено численное решение задач изгиба естественно закрученного стержня (ЕЗС) с прямоугольным поперечным сечением методом конечных элементов, и на его основе исследовано его напряженно-деформированное состояние при произвольных значениях относительного угла закручивания - крутки. Исследованы зависимости жесткостей для различных параметров ЕЗС и выявлены особенности НДС для больших значений крутки.
Ключевые слова: естественно закрученный стержень, изгиб поперечной силой, метод конечных элементов, задача Сен-Венана.
На основе трехмерных уравнений теории упругости задача Сен-Венана для естественно закрученного стержня (ЕЗС) сводится к решению серии двумерных краевых задач на сечении стержня, которые описывают задачи растяжения—кручения и изгиба.
Модель ЕЗС и выражения основных соотношений теории упругости в сопутствующей системе координат приведены в [1]. С сечением стержня жестко связана подвижная система координат, две оси которой В и В2 совпадают с главными осями сечения, а третья ось В совпадает с осью стержня. Ограничимся тем, что приведем общий вид решений задач Сен-Венана об изгибе в виде линейной комбинации элементарных решений:
и = Яе(С1и1 + С2и2 + С3и3 + С4и4). (1)
Здесь и1 = еіХ^а1, и2 = егх^(^а1 + а2) — элементарные решения, описывающие смещения ЕЗС как твердого целого; и3 = еіХ^((^2/2)а1 +^а2 +
+ аз), и4 = е'х^((^3/6)а1 + (^2/2)а2 +^аз + а4) —
элементарные решения задач Сен-Венана чисто -го изгиба и изгиба поперечной силой, соответственно; векторы а1, а2, а3, а4 составляют жорда-нову цепочку, отвечающую собственному значению у = ІТ спектральной задачи
Ц (у)а = (у2Са + у£ха + ^а), мт(У)а =(yGтЯ + ЕтЯ) \ж = 0.
при этом а1 = (1, і, 0)1, а2 = (0, 0, —В1 — /'В2)1 — собственный и присоединенный векторы, а векторы а3, а4 являются неизвестными присоединенными векторами, которые определяются на основе решений двумерных краевых задач чистого
изгиба в случае / = 3 и изгиба поперечной силой при j = 4:
А 0т)а j = ^,
М т (/т)а} = /}.
Выражения С, Вт, Ат, Gт, Ет, Fj,£ соответствуют выражениям, представленным в [1].
В настоящем исследовании методом конечных элементов (МКЭ) строится решение краевой задачи, отвечающее задаче изгиба поперечной силой (/=4) и учитывающее предварительно построенное [2] конечно-элементное решение а3 задачи чистого изгиба.
Поскольку рассматриваемая задача является «задачей на спектре», т.е. соответствующая однородная задача имеет нетривиальное решение, то для обеспечения единственности решение приходится строить не во всем гильбертовом пространстве, а на его подпространстве, ортогональном нетривиальному решению однородной задачи. В этом случае условия единственности удовлетворяется с помощью метода множителей Лагранжа в сочетании с МКЭ.
С другой стороны, необходимость учитывать построенное конечно-элементное решение задачи чистого изгиба на этапе построения численного решения задачи изгиба поперечной силой и комплекснозначность искомых решений, увеличивающая размерность задачи и порядок локальной системы, послужила причиной разработки авторской методики [3, 4] автоматизированной дискретизации таких вариационных уравнений, которые ввиду указанных обстоятельств имеют свою специфику.
а) б)
Рис 1. Распределение нормальных напряжений 033 в сечении ЕЗС: а) т = 0.22, б) т = 22
В результате построения конечномерного аналога вариационного уравнения была получена система, решение которой ввиду плохой обусловленности строится методом сопряженных градиентов. На основе конечно-элементного решения были построены графики жесткостей в зависимости от Т — крутки для квадратных и вытянутых сечений, а также исследовано напряженно-деформированное состояние сечений стержня. Выявлено согласованное с незакрученным стержнем состояние ЕЗС для малых Т (рис. 1а), а в случае больших значений наблюдается изменение картины НДС, которое заключается в качественной схожести НДС незакрученного стержня, локализованной в круглой области, вписанной в сечение стержня (рис. 16).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №09-01-00065а
Список литературы
1. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Наука, 2003. 128 с.
2. Курбатова Н.В., Романова Н.М. Конечноэлементное решение задачи изгиба для естественно-закрученного стержня // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды IX Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР, 2005. Т. 1. С. 123-126.
3. Устинов Ю.А., Курбатова Н.В., Чумакова Е.С. Анализ основных характеристик естественно закрученного стержня в задаче Сен-Венана изгиба поперечной силой // Матер. VI Междунар. науч. конф. Донецк: Юго-Восток, 2010. С. 94-98.
4. Курбатова Н.В. Эффективные схемы конечноэлементной дискретизации // Современные проблемы механики сплошной среды: Матер. XIV Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. 2. С. 189-193.
ON THE BENDING OF A NATURALLY TWISTED ROD BY A TRANSVERSE FORCE
N. V. Kurbatova, E.S. Chumakova
A finite-element solution of a bending problem has been constructed for a naturally twisted rod (NTR) of a rectangular cross section. The stressed-strained state and rigidity have been analyzed for various values of the relative twisting angle.
Keywords: naturally twisted rod, bending by transverse force, finite element method, Saint-Venant's problem.
