Об истечении вязкой струи в перпендикулярно сносящий поток Текст научной статьи по специальности «Математика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том XVIII 1987

№ 4

УДК 532.525.2

ОБ ИСТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ СТРУИ В ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО СНОСЯЩИЙ ПОТОК

А. Е. Внуков

Решена задача о структуре течения на начальном участке струи вязкой несжимаемой жидкости, вытекающей из малого круглого отверстия в перпендикулярно сносящий поток. Путем линеаризации уравнений Навье—Стокса около решения Шлихтинга найдены малые возмущения исходного осесимметричного течения, вызванные влиянием сносящего потока.

Задачи, связанные с вдувом струй в перпендикулярно сносящий поток, находят широкое применение в вопросах струйного управления летательными аппаратами, в технологических процессах и т. п. Рассмотренный ниже случай позволяет понять некоторые особенности взаимодействия струй с набегающим потоком на начальном участке, где течение может быть ламинарным.

Рассмотрим следующую задачу. Струя с конечным импульсом вытекает из бесконечно малого круглого отверстия в твердой плоской стенке в перпендикулярно сносящий поток, движущийся со скоростью С/оо на бесконечности. Жидкость считается несжимаемой. Для решения задачи используем цилиндрические координаты х, г, у (рис. 1). Обозначим импульс струи через /о, плотность через р, кинематическую вязкость через V. Введем число Рейнольдса задачи Де= (3/64я)/о/^2. Рассмотрим случай Ке-»-оо.

В работе Г. Шлихтинга * дано решение задачи об истечении осесимметричной струи с конечным импульсом из бесконечно малого круглого отверстия в затопленное

* Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.

пространство в рамках уравнений пограничного слоя. Продольная и радиальная скорости этого решения имеют следующий вид:

[/=Яе— /(6); У = — § (£), (1)

X X

__ о 4£ П _£2\

где 5 = Уяе/х; /(&)= (1 + 52)2- ; *(« = (1 + р)1 •

Давление р в решении Шлихтинга — произвольная постоянная величина. Поскольку в уравнениях Навье—Стокса содержится только градиент давления, конкретное значение р в дальнейшем не понадобится.

V Ие1/4 V

Будем рассматривать область течения: ------------<?х<£—!.----- . Предположим,

V']/'Ие

что генерация свободного потока происходит на расстоянии Ь ~ . - отточки

^со

вдува струи. (Это предположение необходимо, так как вязкое течение над бесконечной плоскостью невозможно). Тогда на твердой поверхности возникает пограничный слой толщиной порядка ч 1?е1/,4/£/00. Отсюда следует левое ограничение на х. Правое ограничение связано с возможностью линеаризации уравнений Навье — Стокса около решения Шлихтинга.

Течение имеет две характерные области: а) ядро струи г ~х1УгЯе, где вязкость существенна; б) внешняя область, где течение потенциально.

В ядре струи индуцируемые поперечным обтеканием скорости имеют следующий порядок: радиальная V* и окружная по* — порядка и„, продольная и* ~ У Не б'оо (это следует из уравнения неразрывности). Таким образом, они много меньше, чем характерные скорости V и С/.

Введем следующие безразмерные переменные:

Х = х г = Уне ги№1ч-, V = v|U00; ш> = ;

й^и/и^; р = />/р£&; и=и1иоо;

Р = Р1? и2^\ V* = V*! 1/^; й>* = &*1иж ; в* = и*1ит /Йё .

Выпишем безразмерные уравнения Навье—Стокса в цилиндрических координатах:

Условием на бесконечном удалении от ядра струи является невозмущенный поток со скоростью и о». Решение системы (2) будем искать в виде:

v = V + v* ; w = w* ; и — U u*YRe ; р = Р + р* YRe/jc.

(3)

В ядре струи: V ~ У"Ие , и ~ Ие , и* ~ т* ~ V* ~ 1, следовательно, в этой

области уравнения Навье—Стокса (2) могут быть линеаризованы. Необходимо отметить, что решение (1) в области б) вырождается в потенциальное течение от равномерно расположенных по оси х стоков:

^йе-оо = 0 5 ^йе-оо ~~~~-

Отсюда следует, что решение рассматриваемой задачи во внешней области есть потенциальное течение от тех же стоков в сносящем со скоростью потоке.

Подставим представление (3) в уравнения (2), используя выражения (1). Оставим члены порядка Не в первых двух уравнениях (2) и члены порядка Ие3^2 в третьем уравнении. Учтем то обстоятельство, что £/, V, Р являются решением уравнений пограничного слоя. После этого получим следующую систему для индуцируемых скоростей:

g dv* v* f dv*

x dr Xі ^ x dx

(lg) _ 1 dp* _

—=------- u* = — -=- + Ді>*

x^ x dr

2 dw*

Г2

g dw* g _

f dw*

r2 di 1 dp*

w*

2 dv*

x dr rxW x dx xr dy ^ r2 r2 df '

g du* f __ (5/)' _ f du* _

——=- + t>* — —=— u* -j- —---------------— = Д u* ,

x dr Xі Xі x dx

d (re*) dw*

dr

d (r u*)

+------- + — - =0.

d'l dx

(4)

Из условия сращивания с внешним потоком видно, что при г -* оз

v* = cos 7 ; w* = — sin 7 ; и* = 0 ; р* = 0 .

Решение линейных уравнений (4) можно искать в виде:

v* — v (S) cos 7; w* = —w (I) sin 7; и* = и (£) cos 7; p* = p (£) cos 7 ,

где 5 = rjx — автомодельная переменная задачи.

Система (4) преобразуется к следующей линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

v" + — g + £/j v’ - -f g,Sj v + (Є g)' h + w - p' = 0;

v" +

g + i/'j w' — S+ 2

S2

и',+ (у--ёг + ?/] a' - (y- - (5/)') = 0;

S v' + v — w — i2 и' — 0 . с граничными условиями, при £ оо

v = w = 1 , и—р = 0;

при 1 = 0

v = w , и=р = 0 (условие однозначности решения на оси).

Масштаб скорости: 4

ПО

Эта система решалась численно. Графики и(\), и(£), ш(1) приведены на рис. 2 и 3. Из результатов расчета следует, что добавочные скорости, индуцируемые поперечным

потоком, имеют максимумы на некоторых лучах £ = У Re г/х . Максимум скорости v достигается при 1«*0,6, максимум w — при 1*1,9, максимум и-—при |»0,5. На рис. 4; показано течение в плоскости х — const. Внутренняя окружность соответствует г=0,5 х,. внешняя — г=2 х. Стрелками показаны направление и величина проекции индуцируемой скорости на указанное сечение. Из рис. 2—4 видно, что индуцируемые радиальная и окружная скорости в ядре струи больше, чем скорость сносящего потока £/„. На начальном участке струи в поперечном потоке форма оси струи соответствует параболе:

X

о

Рукопись поступила 221VIII 1985 г.