Об аффинности булевых функций на подпространствах и их сдвигах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Класс ВКП-функций во многом обобщает класс полиномиальных функций. В частности, можно показать, что системы уравнений, левые части которых являются такими функциями, могут быть решены методом покоординатной линеаризации, предложенным в работе [3] для полиномиальных функций над кольцом Галуа — Эйзенштейна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос-АРВ, 2006.

2. Заец М. В., Никонов В. Г., Шишков А. Б. Функции с вариационно-координатной полиномиальностью и их свойства // Открытое образование. 2012. №3. С. 57-61.

3. Михайлов Д. А., Нечаев А. А. Решение системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа — Эйзенштейна с помощью канонической системы образующих полиномиального идеала // Дискретная математика. 2004. №1. Вып. 1. С. 21-51.

УДК 519.7

ОБ АФФИННОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИХ СДВИГАХ1

Н. А. Коломеец

Пусть / — булева функция от п переменных и для любого аффинного подпространства Ь размерности [п/2] функция / аффинна на Ь тогда и только тогда, когда / аффинна на любом сдвиге Ь. Доказано, что тогда либо степень / не превышает 2, либо не существует ни одного аффинного подпространства размерности [п/2], на котором / аффинна.

Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, квадратичные функции.

Рассматривается свойство булевых функций, связанное с их аффинностью на аффинных подпространствах.

Введём необходимые определения. Отображение f : ^ Ш2 называется булевой

функцией от п переменных. Алгебраической степенью или просто степенью булевой функции называется степень её алгебраической нормальной формы (полинома Же-галкина). Булева функция называется аффинной, если её алгебраическая степень не больше 1, и квадратичной, если её степень равна 2. Множество и С называется аффинным подпространством, если и = а ф Ь, где а € Щ и Ь является линейным подпространством в Ш^. Будем называть и сдвигом подпространства Ь. Через /п^о обозначим характеристическую функцию множества О С Ш^. Через (и, у) обозначим скалярное произведение векторов и и у. Булева функция f от п переменных аффинна на множестве О С Ш^, если существуют а € ЩП, с € Ш2, такие, что для любого х € О верно f (х) = (а,х) ф с. Под расстоянием между двумя булевыми функциями подразумевается расстояние Хэмминга между их векторами значений.

Все квадратичные булевы функции обладают следующим свойством.

Утверждение 1. Пусть f — квадратичная булева функция от п переменных. Тогда для любого аффинного подпространства Ь функция f аффинна на Ь, если и только если f аффинна на любом сдвиге Ь.

Доказательство утверждения следует из неравенства deg(f (х) ф f (х ф в)) ^ 1, верного для любого в € ЩП.

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект №12-01-31097).

Отметим, что не для всех квадратичных функций существует хотя бы одно аффинное подпространство размерности больше чем [n/2], на котором функция аффинна. Например, если f является бент-функцией (n чётно), то не существует подпространств размерности n/2 + 1, на которых f аффинна. Бент-функция — это булева функция от чётного числа переменных, максимально удаленная от множества всех аффинных функций. Понятие бент-функций ввел О. Ротхаус [1]. Бент-функции представляют интерес в криптографии и теории кодирования, поскольку имеют в этих областях множество различных приложений. Тем не менее до сих пор существует большое количество нерешённых проблем, связанных с бент-функциями [2].

Внесём ограничение на размерность подпространств в условие утверждения 1. Утверждение 2. Пусть f — квадратичная булева функция от n переменных. Тогда для любого аффинного подпространства L размерности [n/2] функция f аффинна на L, если и только если f аффинна на любом сдвиге L.

Если f является бент-функцией, то по подпространствам размерности n/2, на которых она аффинна, можно строить другие бент-функции.

Утверждение 3 [3]. Пусть f — бент-функция от 2 k переменных и L С Z2;k, |L| = 2k. Тогда f (x) Ф IndL(x) является бент-функцией тогда и только тогда, когда L является аффинным подпространством и f на нём аффинна.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между бент-функциями на расстоянии 2k от f и аффинными подпространствами, на которых f аффинна.

Следующая теорема показывает, для каких функций, помимо квадратичных, справедливо утверждение 2.

Теорема 1. Пусть f — булева функция от n переменных и для любого аффинного подпространства L размерности [n/2] функция f аффинна на L, если и только если f аффинна на любом сдвиге L. Тогда либо deg f ^ 2, либо не существует ни одного аффинного подпространства размерности [n/2], на котором функция f аффинна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions jj J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.

2. Токарева Н. Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения.

Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.

3. Коломеец Н. А., Павлов А. В. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга jj Прикладная дискретная математика. 2009. №4. С. 5-20.

УДК 510.53

ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ОРБИТ КУСОЧНО-АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

А. Н. Курганский

Рассматривается открытая проблема достижимости в одномерных кусочно-аффинных отображениях с двумя интервалами. Найдены частные случаи алгоритмической разрешимости рассматриваемой проблемы, сформулированные на языке топологических свойств орбит в таких системах.

Ключевые слова: кусочно-аффинные отображения, проблема достижимости.