CC BY
74
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика
УДК 336
О ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
М.С. АЛЬ-НАТОР, Е.С. ГАРАНИНА, А.К. КЕРИМОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Рассмотрен основной критерий оценки инвестиционных проектов и обосновано существование премии за риск при определенных условиях на денежный поток проекта.
Введение
Состояние авиационного транспорта как одной из ведущих отраслей народного хозяйства во многом зависит от обоснованности инвестиционной политики, от качества принимаемых решений, от наличия количественных критериев оценки проектов развития.
В данной работе рассматривается задача оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях неопределенности в рамках упрощенной модели, т.е. без рассмотрения таких эффектов внешнего окружения как, например, инфляция, наличие возможности лизинга, структура налогообложения и т.д. Главной целью работы является рассмотрение основного критерия оценки инвестиционных проектов и обоснование существования премии за риск при определенных условиях на денежный поток проекта.
К классическому динамическому методу оценки инвестиционного расчета относится расчет чистой настоящей стоимости (Net Present Value - NPV) [1]. Однако следует отметить, что показатель NPV сам по себе, в общем случае, не является экономически интерпретируемым показателем. В противоположность этому такие показатели как остаточное имущество и уровень доходов являются показателями, экономическая интерпретация которых следует сразу из их определения [2]. Критерий эффективности NPV является частным случаем критерия - остаточная стоимость инвестиционного проекта в случае совершенного рынка, когда ставка займа совпадает со ставкой кредита.
В статье рассмотрен один из подходов к учету некоторых видов риска при обосновании инвестиционных проектов, а именно, подход на основе учета премии за риск в норме дисконта [3]. Доказывается существование положительной премии за риск для двух видов риска. Также находятся такие временные характеристики проекта, как среднее время жизни и дисперсия времени жизни проекта в случае, когда реализация проекта сопряжена с риском, приводящим к закрытию проекта. В некоторых случаях (например, когда реализация проекта угрожает экологической катастрофой: в приложении приведен пример прокладки нефтепровода через Байкал) некорректно говорить об эффективности исходя из критерия NPV.
1. Сравнение инвестиционных проектов
С точки зрения расчета показателей экономической эффективности инвестиционный проект представляет собой объект финансовой операции, связанной с распределенными во времени поступлениями и затратами денег, т.е. денежными потоками. При оценке проекта особо учитываются три вида деятельности: инвестиционная, операционная и финансовая. Конкретный состав денежных потоков зависит от того, какой вид эффективности оценивается. В условиях рыночной экономики основной инвестиционный проект всегда связан с другими инвестиционными действиями (так называемыми дополняющими инвестициями) в силу наличия рынка капитала. План осуществления таких действий, формируемый с учетом имеющихся свободных
средств инвестора и учитывающий как формы обеспечения внешнего финансирования, так и возможности дополнительного инвестирования временно свободных средств, называется полным финансовым планом. Иначе говоря, денежный поток самого проекта дополняется денежными потоками дополняющих инвестиций и кредитов.
Полный финансовый план включает в себя следующие пять потоков:
• Базисный поток платежей Mt (t = 0,1,...,T ), не зависящий от рассматриваемого проекта (здесь T - горизонт планирования проекта).
• Денежный поток анализируемого инвестиционного проекта zt (t = 0,1,..., T ).
• Денежный поток дополнительного финансирования, т.е. вложение временно свободных средств. Эффективная ставка по инвестированию за период [t — 1, t] обозначается ht.
• Денежный поток проектов кредитования. Эффективная ставка кредита за период [t — 1, t ] будет обозначаться через st .
• Денежный поток выплат собственникам капитала в форме дивидендов или предпринимательского дохода. Будем считать, что этот поток определяется базовой выплатой Y и вектором структуры доходов f = {/о, fl,..., fT }.
Проекты, подлежащие сравнению, рассматриваются в одной и той же внешней среде (экономическое окружение). В рассматриваемом случае внешняя среда характеризуется потоками процентных ставок ht и st. Напомним, что в данной работе такие эффекты внешнего окружения как, например, инфляция, наличие возможности лизинга, структура налогообложения и т.д. не рассматриваются. Как только сформированы эти пять потоков, можно говорить о финансовом плане инвестиционного проекта, его реализуемости и стоимости остаточного имущества (в случае финансовой реализуемости).
Определение [2]. Совершенный рынок характеризуется условием: дополняющие инвестиции и заимствования реализуются по одним и тем же ставкам процента, т.е. st = ht = it для всех t = 0,1,., T.
Лемма 1 [2]. В случае совершенного рынка остаточная стоимость Ct (1 < t < T )
~ <MS — fY + zs
Ct =a z s '—S (1)
s=0 1 + CCS
где as определяются равенствами as = (1 + i1 )(1 + i2) •... • (1 + is), s > 1, a0 = 1.
Из (1) следует, что остаточная стоимость на конец горизонта планирования представляется
в виде
CT =aT \ Z Mt — ftY + NPV(i, z) \, где NPV(i, z) = .
[ Ct=0C
NPV (Net Present Value) называется чистой настоящей стоимостью проекта. Отметим, что NPV зависит только от денежного потока инвестиционного проекта z = {zt} и динамики рынка капитала на горизонте планирования i = {it}.
Теорема [2]. В условиях совершенного рынка критерий остаточной стоимости эквивалентен критерию NPV, т.е. проект с максимальной остаточной стоимостью совпадает с проектом с максимальной чистой настоящей стоимостью.
2. Премия за риск в условиях вероятностной неопределенности
Учет неопределенности, т.е. возможности различных сценариев реализации проекта, меняет подход к оценке его эффективности. В детерминированной ситуации проект эффективен, если
вложения в него дают больший доход по сравнению с альтернативными и доступными для инвестора вложениями. В условиях неопределенности это не так: при «плохом» сценарии вложений может потребоваться больше, а доход окажется меньше. Здесь «эффективность» понимается иначе: проект эффективен, участие в нем предпочтительнее, чем отказ от него, а критерий эффективности должен измерять такую предпочтительность количественно. С другой стороны, он должен отражать эффекты проекта при всех возможных сценариях его реализации. Поэтому такому критерию дают иное название - ожидаемый эффект.
В случае вероятностной неопределенности степени реальности возможных сценариев или отдельных параметров процесса можно описать в вероятностных моделях с известными характеристиками. В этом случае считается, что аналитическими методами или методом Монте-Карло можно установить необходимые характеристики эффективности для каждого возможного сценария проекта. В дальнейшем в качестве оценки эффективности отдельно взятого сценария используется критерий ЫРУ(г) при заданной ставке дисконта, одной и той же для всех сценариев. Допустим, что ЫРУ(г) является дискретной случайной величиной с известным дискретным распределением вероятностей: ЫРУ: ЫРУ1 , ЫРУ2 , ЫРУ3 , ... , ЫРУп; рк = Р (ЫРУ = ЫРУк), к = 1,2, ..., п. Тогда в качестве ожидаемой эффективности проекта можно использовать математическое ожидание ЫРУ:
ЫРУа = М {ЫРУ} = £ РкЫРУк
к
Риск неэффективности проекта можно определить как вероятность неположительности ЫРУ, т.е.
Я = Р{ЫРУ < 0} = £ {рк: ЫРУк < 0}. (2)
к
Средний ущерб определяется как математическое ожидание ЫРУ при условии, что ЫРУ < 0,
т. е.
£{РкЫРУк : ЫРУк < 0} и = М{ЫРУ : ЫРУ < 0} = -!-------------------------------------------. (3)
2.1. Учет риска в норме дисконта
Наличие риска в определенных ситуациях можно учесть путем увеличения нормы дисконта на величину премии за риск. Для обоснования премии за риск необходимо описать процедуру, позволяющую операционально определять эту премию. Ниже приводится решение этой задачи в случае вероятностной неопределенности. Если в качестве оценки эффективности использовать математическое ожидание ЫРУ при заданной безрисковой ставке г, то премию за риск естественно определить из уравнения
КРУа(г) = КРУь(г + 5г), (4)
где ЫРУа(г) - ожидаемое значение чистой приведенной стоимости, а ЫРУЬ - чистая приведенная стоимость базового сценария.
2.1.1. Риски, приводящие к закрытию проекта
Рассмотрим проект, предусматривающий создание и последующее функционирование объекта А. В проектных материалах указан единственный базовый сценарий проекта и для него определен денежный поток: С¥ = (¥0, ¥1, ..., ¥Т, ...}. В то же время реализация проекта сопряжена с определенным риском типа катастрофы, по наступлении которой проект закрывается. Для учета такого рода риска допустим, что вероятность катастрофы за год ^ одна и та же и равна р. Кроме того, будем считать, что наступление катастрофы в текущем году не зависит от того, была ли она или нет в предыдущие годы. Далее рассмотрим два случая:
X =
а) Проект теоретически бесконечен во времени (время проекта Т ® +ю).
б) Проект имеет конечное время жизни.
Случай а). Вследствие независимости появления катастроф, имеем: (1 -р) - вероятность успеха за год ,. Денежный поток есть последовательность случайных величин С¥ = {Х0, Х1, ... ХТ, где Х( (, = 0,1,2, ...) - случайная величина с распределением
| ¥( с вероятностью (1-р)‘,
[0 с вероятностью 1 - (1-р)1.
На основании равенства (4) получим, что премия за риск равна [1]: Ьт = р +гр.
Временные характеристики проекта. В рассматриваемом случае большую роль играют вероятностные характеристики времени жизни проекта. Пусть Т ® да время жизни проекта. Возможные исходы представим последовательностью Н, УН, УУН, УУУН, ., где Н означает катастрофу в соответствующем году. Таким образом, время жизни распределено по геометрическому закону. Отсюда получим, что среднее время жизни М(Т) = р/ц , дисперсия времени жизни Б(Т) = р/ц2.
Рассмотрим практически важный случай, когда срок проекта конечен и равен т.
Случай б). Аналогично случаю а), имеем (1 — р)Т - вероятность успеха за год Т. С учетом этого обстоятельства денежный поток есть последовательность случайных величин С¥ = {Х0, Х1, ... ХТ}, где Х( (, = 0, 1,2, ... ,Т) - случайная величина с распределением
- ¥, с вероятностью (1-р)‘,
‘ [о с вероятностью 1 - (1-р)‘.
Тогда премия за риск: Ьт = р +тр.
Временные характеристики проекта. В этом случае (срок проекта конечен и равен Т = т) возможные исходы жизни проекта можно представить в виде последовательностей Н, УН, УУН, УУУН, ., УУ ... УН, УУ.УУ. Размер двух последних последовательностей равен т. Отсюда получим, что возможные значения времени жизни вместе с соответствующими вероятностями представляются таблицей:
Т 0 1 2 т-1 т
р р яр ц2 р ч’~1р ц’
Отсюда вероятность того, что время жизни проекта в точности будет равно т, равна Р{Т = ’} = ц’, а вероятность того, что проект будет закрыт (т.е. срок реализации проекта меньше т), равна Р{Т <’} = 1 — ц’. Тогда среднее время жизни проекта есть математическое ожидание случайной величины Т:
М {Т} = 0 р + 1цр + 2ц2 р +... + (т — 1)ц’—1 р + тц’ =
Т—1 т—1
= цр(1 + 2ц +... + (т — 1)ц’—2) + тц’ = цр (£ гц'~1) + ЩТ = цр(£ ц' )' + Щт =
2=1 '=0
1 — ц’ , т 1 — щ’~1 + тц’— ц’ т 1 — ц’
= цр(^-) + ’ =—-------------------Ъ— • ц(1 — ц) + ’ = .
1 — ц (1 — ц) 1 — ц
Дисперсия времени жизни проекта находится из уравнения:
’ IV р, 0 < , < т;
В{Т} = £ (, — М {Т}) ■ р,, где р, = -Г Т'
, .0 [ц’, , = ’
X(
2.1.2. Риски, не приводящие к закрытию проекта
Рассмотрим случай, когда реализация проекта сопряжена с риском другого типа. Предположим, что в каждом году возможен сбой, не приводящий к прекращению проекта. Пусть: р1 -вероятность сбоя за год г, Ьг - расходы на устранение последствий сбоя. В качестве базового сценария проекта выбирается сценарий без сбоев. Тогда поток платежей есть последовательность случайных величин С¥ = {Х0, X], ... ХТ} с распределением
[ ¥( с вероятностью (1 - рг),
[¥( - Ц с вероятностью р(.
Среднее значение за год г равно М{Хг} = (1 - р()¥г + р( (¥г - Ц ) = ¥г - рЦ(. Следовательно,
¥ — р Ц
ожидаемый эффект по безрисковой ставке дисконта есть МРУа (г) = I- л------(-у-. МРУ базового
г (1 + г )
сценария при заданной временной структуре процентных ставок г = {гг} :
мруь (г)=1-5-.
г (1 + г )
Теорема 1. В рассматриваемой ситуации премия за риск существует при условии, что МРУа > 0 , т.е. уравнение (4) имеет хотя бы одно решение ёг > 0.
Доказательство. Из условия ¥( — рЦ( < Ь( получаем
Т ¥ - пт Т 5
ЫРУа (г) = I г р Ь < I------= ЫРУЬ (г).
£0(1+г) £0(1 + г) ъК)
Далее, поскольку на нулевом этапе предполагается вложение, имеем
Т ¥ г=1(1 + г + 3г )
Отсюда следует, что при ёг ^ да разность
т ¥ - V Ь
МР¥ь (г + 6г) — МРУ, (г) ®-1 ' р‘ = -МРУ, (г) + ¥0 < 0.
г=1 (1 + г )
Как следствие, существует ёг], для которого ЫР¥ь(г + ёг}) < ЫРУа(г). Отсюда, в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, следует существование решения уравнения (4).
Сделаем несколько замечаний.
В общем случае уравнение (4) может иметь несколько корней. В качестве премии за риск следует выбирать наименьший корень определяющего уравнения (4). Достаточным условием единственности корня является нормальность проекта. Это проекты, в денежных потоках которых имеется лишь одно изменение знака. Для таких инвестиций можно показать, что премия за риск единственна (раздел 2.2). В любом случае премию за риск можно найти с помощью метода Ньютона, или каким-либо иным итерационным методом.
В книге [3] дано неверное утверждение о том, что для рассматриваемого типа рисков премии, не зависящей от элементов денежного потока и затрат на восстановление, не существует.
¥ - р Ь ¥
Причина в том, что из равенства I —-------— =1--------г----- авторы делают вывод, что соот-
Т (1 + г) г (1 + г + 8г)
¥ - р Ь ¥
ветствующие члены этих сумм совпадают, т.е. —--------— =-------г-. Это, вообще говоря, не
(1 + г ) (1 + г + 8г )
так: из того, что суммы двух последовательностей совпадают, не следует совпадение этих последовательностей.
Доказательство существования премии за риск проведено для проектов с конечным гори-
Цш3г®+¥Шуъ (г + дг)} = ¥0 + Цт8г®+¥I -= ¥0 < 0.
зонтом планирования. На самом деле, теорема остается верной и для проектов с бесконечным горизонтом. Логика рассуждений остается прежней только при условии Т^да;
¥ р
Ит*.®+¥ Ш¥ъ (г + 5г) = р0 + Нш^®+¥ У -----------= р < 0. Действительно, полагая, что
£1(1 + г + 5г) *
| ¥{ |< М, в случае бесконечного проекта имеем;
¥{ М ^ М п 1
t <^ < л , , г V (1 + л . , , 5 +•••) =
(1 + г + 5г)* * Й1 (1 + г + 5г) * (1 + г + 5г) (1 + г + 5г)
и
М1
(1 + г + 5г) ‘ 1_1
1 + г + 5г
->0
Оценка риска неэффективности и ожидаемого ущерба. В рассматриваемом случае число возможных сценариев конечно, но слишком велико - 2Т, где Т - горизонт планирования. Поэтому оценка риска неэффективности и среднего ущерба по формулам (2) и (3) практически невозможна. Эти характеристики довольно просто определяются методом Монте-Карло. Исходными данными являются характеристики потоков ¥{, Ь{, р(, ставка дисконтирования г и горизонт планирования Т.
Схема алгоритма. Случайный поток проекта X* генерируется достаточно большое количество раз N (К ~ 1000) по формуле
х = _р), если > Р(
* - Ц, если < р/
где К - равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина, которая генерируется датчиком случайных чисел. Каждая реализация потока представляет собой возможный сценарий проекта. Для сценария с номером к (к = 1,2, Ы) определяется соответствующее ЫРУк (при заданной ставке г), на основе которых оцениваются необходимые параметры;
~ 1 Ы среднее; Ырга = — У ЫрУк,
Ы к=1
риск неэффективности ; К = Ы-,
средний ущерб; и = М{ЫРУ ; ЫРУ < 0} = — У {ЫРУк ; ЫРУк< 0},
Ы- к
где Ы- - число сценариев с неположительным ЫРУ.
2.2. Премия за риск для нормальных проектов
Проекты, в денежных потоках которых имеется лишь одно изменение знака с минуса на
плюс, например, (- + + +) или (-+ +), называются нормальными. Это значит, что в начальный
момент времени инвестор осуществляет затраты (денежный поток отрицателен), а затем начинает получать доходы (поток становится положительным).
Теорема 2. Для нормальных проектов премия за риск существует тогда и только тогда, когда ЫРУа (г) < ЫРУъ (г). Иначе говоря, если ЫРУа (г) < ЫРУъ (г), то положительная премия за риск существует и единственна, в противном случае премии за риск не существует или она может быть отрицательна.
Доказательство. Пусть выполнено
ЫРУа (г) < ЫРУъ (г). (5)
Имеем
Пт ЫРУ (г')=р <0, (6)
г'®+¥ ъ V / 0
где г' = г + ёг - норма дисконта, увеличенная на премию за риск. Кроме того,
Цт ЫРУъ (г') = +¥.
г '®-1
Действительно, пусть к - номер шага, с которого происходит смена знака денежного потока
с «-» на «+» , т.е. р < 0 V/ < к, р > 0 V/ > к. Тогда
р Я р
ЫРУъ (г') = р0 + 7^ +... + ^—+... + " -
0 (1 + г') " (1 + /)к (1 + г')т
1 ■ (^0(1 + г')к + ... + Р ++ ... + Р1Т _к ) ,®_, >+¥.
(1 + г')к " к (1 + г') " (1 + г')т-к г'®-1
Т р - р I
Кроме того, ЫР¥Ъ(г + 8г) -ЫРУа(г) ® ~= -ЫР¥а(г) + Р0 < 0. Из (5) и (6) в си-
і=1 (1 + г )
лу теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции следует существование хотя бы одного корня, т.е.
$8г > 0: ЫРУа(г) = ЫРУЪ (г + 8г). (7)
Однако, принимая во внимание, что для нормальных потоков существует единственная норма доходности [2], можно показать, что корень уравнения (7) один и только один. Действительно, если СР = {Р0,Рь...,¥т} - денежный поток базового сценария, то С¥' = {Р0 -ЫРУа(г),Рь...,Рт} - новый денежный поток (являющийся нормальным), для которого ЫРУ '(г + 8г) = ЫРУЪ (г + 8г) - ЫРУа (г) = 0. Это означает, что при фиксированном г существует единственная положительная премия за риск, удовлетворяющая уравнению (7). Если же ЫРУа(г) > ЫРУъ(г), то в силу свойства убывания функции ЫРУ для нормальных проектов [3] не существует премии за риск или она отрицательная. Что и требовалось доказать.
Приложение
В апреле 2006 г. Президент России Владимир Путин провел совещание по поводу строительства нефтепровода Восточная Сибирь - Тихий океан, маршрут которого должен был проходить по самой кромке (на расстоянии 800 м) озера Байкал на участке водосбора. Руководство ОАО «Транснефть», реализующего данный проект, заявило, что проект прошел все экспертизы и никакой опасности не представляет [5]. Как показано в [6], реализация этого проекта приведет к тому, что Байкал не избежит опасности быть загрязненным и погубленным нефтепродуктами. Показано также, что проекты, связанные с экологической безопасностью, нецелесообразно оценивать исходя из критерия ЫРУ, а следует первоначально учитывать временные показатели и характеристики, т.е. говорить о рисках в денежном выражении в данном случае бессмысленно, поскольку оценить ущерб от загрязнения Байкала не представляется возможным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Орлова Е.Р., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. - М.; Дело, 1998.
2. Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты. - СПб.; Питер, 2001.
3. Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов; Теория и практика; Учеб. пособие. - М.; Дело, 2004.
4. Воронцовский А.В. Методы обоснования инвестиционных проектов в условиях определенности; Учеб. пособие. - СПб.; Изд-во С.-Петерб. Ун-та ,1999; ОЦЭиМ, 2004.
5. http;//www.sovross.ru/2006/48/48_2_1 .Мт (официальный сайт газеты «Советская Россия»)
6. Г аранина Е.С. Оценка инвестиционных проектов. Магистерская диссертация. - М.; РУДН, 2006.
ON ESTIMATION PROBLEM OF INVESTMENT PROJECTS EFFICIENCY
Al-Nator M.S., Garanina E.S., Kerimov A.K.
The purpose of this work is the consideration of the basic criterion for the estimation of the investment projects and substantiation of existence of the premium for risk under certain conditions on a money flow of the project.
Сведения об авторах
Аль-Натор Мухаммед Субхи, 1968 г.р., окончил РУДН (2000), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 20 научных работ, область научных интересов - актуарная математика, теория риска, теория представлений групп и алгебр Ли, криптография.
Гаранина Екатерина Сергеевна, окончила РУДН (2006), область научных интересов - финансовый и инвестиционный анализ.
Керимов Александр Керимович, 1947 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономико-математического моделирования РУДН, автор более 40 научных работ, область научных интересов - финансовый и инвестиционный анализ, информационные технологии в экономике и финансах, математическое моделирование в экономике.
