О задаче фильтрации диффузионных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 3-9.

УДК 519.2

О ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

Э.М. АСАДУЛЛИН, Ф.О. НАСЫРОВ

Аннотация. В работе рассмотрена задача нелинейной фильтрации одномерных диффузионных процессов. Найдена структура наблюдаемого и ненаблюдаемого процессов. Показано, что решение задачи оптимальной фильтрации может быть сведено к решению задачи фильтрации, когда ненаблюдаемый процесс имеет более простую структуру, а наблюдаемый представляет собой винеровский процесс со случайным гладким сносом. Показана связь условного математического ожидания исходной задачи с ненормализованной фильтрационной плотностью редуцированной.

Ключевые слова: диффузионные процессы, задача оптимальной фильтрации, фильтрационная плотность

1. Введение

Пусть задано полное вероятностное пространство (О, Т, Р) с потоком а-алгебр {^}, £ € [0,Т], и независимые винеровские процессы Ш\(1), W2(t), t € [0,Т], согласованные с потоком {Ft}. Рассмотрим диффузионный процесс (х(Ь), у(£)), удовлетворяющий следующей системе стохастических дифференциальных уравнений:

х(Ь) = х0 + / Ь1(в,х(в),у(в)) ¿в + I а1 (в, X (в), у (в)) дШ\(8) +

л Л) (1)

+ / а2(в,х(в),у(в)) вш2(8),

./0

У(£)= Уо +[ Ь2(в,х(8),у(в)) ¿8 +[ a0(8,y(8))dW2(8), (2)

00 где интегралы по винеровским процессам — стохастические интегралы Ито. Предполагается, что коэффициенты уравнений совместно непрерывны по (Ь,х,у), локально липшицевы и удовлетворяют условиям линейного роста по (х,у). Эти условия гарантируют существование единственного решения системы (1)-(2). Предполагается также, что функция а0(в,у) отделена от нуля.

Пусть процесс у(£) доступен наблюдениям, а процесс х(Ь) - нет. Задача фильтрации диффузионных процессов заключается в нахождении условного математического ожидания тг = Е[/(х(£))| Уг], где У* = а{у(в), в < £} — а-алгебра, порожденная значениями процесса у(в) при в € [0,£], /(х) - детерминированная функция, такая, что Е|/(х(£))1 < то.

В работах Липцера Р.Ш., Ширяева А.Н. [1], Каллианпура Г. [2], Розовского Б.Л. [7] и многих других исследователей данная проблема (в многомерном случае) была сведена к задаче нахождения ненормализованной фильтрационной плотности, которая является решением стохастического дифференциального уравнения в частных производных. Известно (см. [7]), что условное математическое ожидание тг можно вычислить по формуле

т* = Е[/(х(£))|У*] = [ /(х) п(г,х) ¿х, (3)

./я

E.M. Asadullin, F.S. Nasyroy, About filtering problem of diffusion processes. © Аслдуллин Э.М., Насыров Ф.С. 2011.

Поступила 22 марта 2011 г.

где п(Ь,х) = J у 1 х)Лх V(Ь,х) и V(Ь,х) - соответственно нормализованная и ненормализованная фильтрационные плотности, причем плотность V(Ь, х) удовлетворяет линейному стохастическому дифференциальному уравнению Ито в частных производных

V(Ь,х) - V(0, х) =

г £

'0

[а(8,х,у(8)) V(8,х)]Хх - [Ь1(8,х,у(8)) V(з,х)]Х| ds+

^ V^,х) - [а2(в,х,у(в)) V(s,x)]X} (^

V (0,х) = п(0,х). (4)

Здесь а = 2[(а1)2 + (а2)2], к = , п(0,х) — условная плотность х(0) относительно У0, а

Ш(Ь) — винеровский процесс, полученный в процессе применения теоремы Гирсанова с целью „уничтожения сноса“ в уравнении для наблюдаемой компоненты (2):

У(Ь) = Уо +[ а0(*,у(*)) (*), (5)

0

Нормализованная плотность п(Ь,х), в свою очередь, также удовлетворяет некоторому стохастическому дифференциальному уравнению, которое уже нелинейно.

Решить стохастическое дифференциальное уравнение (4) ранее удавалось только в линейном случае (фильтр Калмана-Бьюси), в других отдельных случаях задачу пытались решить методами статистического моделирования, что представляет собой трудоемкую и сложную задачу. В работе [1] данную задачу мы свели к решению пары нестохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, был приведен пример построения решения задачи нелинейной фильтрации диффузионных процессов.

Цель данной работы состоит в том, чтобы упростить само уравнение фильтрации (4), заменив исходную задачу фильтрации (1)-(2) на более простую задачу, для которой стохастическое дифференциальное уравнение для ненормализованной фильтрационной плотности значительно проще, а обновляющий процесс совпадает с новым наблюдаемым процессом. Таким образом, данный результат позволяет упростить решение практических задач фильтрации шумов.

Введем необходимые обозначения. Множества Я = (-ж, +ж), [0,Т], Т > 0 предполагаются наделенными а-алгебрами борелевских множеств, которые соответственно обозначаются В (Я), В([0,Т ]); на этих подмножествах считается заданной мера Лебега. Обозначим через 1(А) индикатор множества А, то есть функцию, равную 1 на А и 0 вне А.

2. Структура процессов х(Ь) и у(Ь)

Приведенные ниже рассуждения во многом базируются на структуре решений системы уравнений (1)-(2). Поэтому наша ближайшая цель - исследовать структуру процессов х(Ь) и у(Ь). Перепишем уравнения (1) и (2) со стохастическими интегралами Стратоновича

х(Ь) = х0 + Ь1(*,х(*),у(*)) Я* + а1(*,х(*),у(*)) * ЯШ1(*) +

Л Л£ (6)

+ а2(*,х(*),у(*)) * ЯШ2(*),

0

г £ г £

где

у(ь) = уо + Ь (*,х(*),у(*)) ^ + а * dW2(s),

Ь1 - 2[а1(а1)/х + а1(а2Ух + а0(а2)у],

Ь2(и,ф),у(и)) = ЬР&ф')^^ - 1 а°(*,у(*))(а°),у^,у(^).

Известно [5, 6], что нахождение решения данной системы может быть сведено к решению конечной цепочки систем дифференциальных уравнений, не содержащих стохастические интегралы. Поэтому будем искать решение системы (6)-(7) в виде

х(Ь) = ф(Ь, ^Ш1 (ь), ^Ш2(Ь')'), у(г) = ф(t, W2(t)),

где ф(Ь,п,у), ф(Ь,п,у) - гладкие случайные функции. Имеем

= а1(s,ф(s,U,W2(s)),ф(s,W2(s))), (8)

Ф'ь = а2(s,Ф(s,W1(s),v),Ф(s,v)), (9)

ф ^^) = а0^,Ф^,'и)). (10)

Из формулы (10) следует / 0^ф~ = V + С^), значит, ф = ф^,у + С^)), где ф^^) —

® (5 , ф)

уже детерминированная функция, которая определяется из последнего соотношения, а С^) — неизвестная случайная гладкая функция. Следовательно наблюдаемый процесс представляется в виде

у^) = ф(s,w2(s) + С ^)). (11)

Далее, проведя аналогичные рассуждения, из соотношения (8) получим

х^ = ф^^^^ + 5 (s,y(s))), (12)

где ф^^,4) — детерминированная функция, определяемая из равенства

I а1(в(ф Ф) = и + 5 ^,ф), здесь 5 ^,ф) — неизвестная функция.

Для нахождения 5^, ф) воспользуемся соотношением (9), для этого заметим, что в силу (11)

ф^^^)^) = ф^,ф^^ + С (s)),Wl(s) + 5 ^,ф^^ + С ^)))), поэтому соотношение (9) с учетом формул (8) и (10) примет вид

^ ^,щ(^^) =

= ф'у ^,ф^^ + С ^^1^) + 5 ^,ф^^ + С ^))))а0 ^,ф^^ + С (в)))+

+ а1 ^,ф^,ф^^ + С^^1^) + 5^,ф^^ + С(s)))),ф(s,v + С^))^ х х 5ф ^,ф^^ + С(^)) а0^,ф^^ + С(^)) =

= а2 (s, ф^,ф^^ + С^^1^) + 5^,ф^^ + С(s)))),ф(s,v + С^))

Положив в последнем равенстве ф = ф^^ + С^)), получим уравнение на неизвестную функцию 5:

5 ф ^,ф)

а2^,ф,ф,Щ(^ + Ъ(^ф))^) - фф(и,ф,т(и) + Ъ(^ф))а0(^ф) (13)

а1^,ф^,ф, Wl(s) + 5(s,ф)),ф)а0(s,ф)

Уравнение (13) позволяет найти неизвестную функцию 5 ^,ф) с точностью до неизвестной случайной функции Р(s):

5 (,з,ф) = 5(,з,Р (,з),ф), (14)

где 5^,р,ф) находится из уравнения (13). В свою очередь, неизвестные функции С^) и Р^) находятся (см. [6]) из соотношений

фs(s,U,V')\u=Wl(s) ^=Ш2(в) Ь ^, х(^ ^^^, , ,

~ ~ (15)

ф (s,v)\v=W2(s) = b2(s,x(s),y(s)),

которые представляют собой систему дифференциальных уравнений на С^) и Р^). Действительно, с учетом формул (8)—(14) первое соотношение из (15) примет вид (для крат-

кости записи С = С^), Р = Р^), W1 = W1(s), W2 = W2(s))

^, ф(s, ^^2 + С), W1 + Ъ(s, P,ф(s, W2 + С))) +

+ фУ (s,ф(s, W2 + С), W1 + Ъ(s, P,ф(s, W2 + С))) х

х [ф'а^, W2 + С) + а0^, ф^, ^^2 + С)) С’] +

+ а1 (.в, ф(.з,ф(.в, ^У2 + С), Wl + 5(,з, Р,ф(.в, ^У2 + С)), ф^, W2 + С))) х х 5^, Р, ф^, W2 + С)) + ^, Р, ф^, W2 + С))Р’+

(s, P,ф(s,W2 + С)) (ф ^^2 + С) +

+ а^ф^^ + С)) С’)] = = Ъ1^, ф^, ф^, W2 + С)^1 + 5^, Р, ф^, W2 + С))),ф(s, ^У2 + С)).

Аналогичным образом второе соотношение из (15) дает уравнение

ф’3W2 + С) + а0^, ф^, ^^2 + С))С’ =

= Ъ2^, ф^, ф^, W2 + С)^1 + 5^, Р, ф^, W2 + С))),ф(s, ^У2 + С)). Воспользовавшись последними соотношениями, приходим к задаче Коши

а0

С' =-о [ Ь2 - ф' ], (16)

1

р'

а1Б'р

Ь1 — ф'а — ф'уЬ2 — и1 В'3 — и1 Ь2 , (17)

ф(в,ф(в,Ш2(в) + С (в)),Ші (в) + Б (в,Р (в),ф(в,Ш2(в) + С (в))))|5=о = Хо,

ф(в, Ш2(в) + С(в))|в=о = Уо.

Выше мы опустили аргументы у функций, входящих в уравнения (16) и (17).

Итак, система стохастических уравнений (1)-(2) может быть сведена к решению некоторой цепочки систем дифференциальных уравнений, уже не содержащих стохастические интегралы.

3. Редукция исходной задачи

Дальнейшие рассуждения будут связаны с формулами (11)—(12). Обозначим

y(s) = W2(s) + С^), х^) = Wl(s) + 5^,Р(s),ф(s,y(s))), (18)

тогда у^) = ф^,]}^)), х^) = ф(,з, ф(,з, у(,$)), х(,$)). Следовательно исходный наблюдаемый процесс у^) представляет собой детерминированную функцию от процесса у^). Положим У = а(у^), s < Ь), У£ = а(у^), s < Ь).

Лемма 1. При любом Ь справедливо равенство У£ = У£.

Доказательство. Очевидно Yt С Yt, остается проверить обратное включение. Действительно, в силу соотношения (10) и предположений, налагаемых на функцию а0, функция ф(в,у) при каждом s строго монотонна по переменной v. Поэтому для прообразов справедливо равенство {ш : ¡j(s,u) < x} = {ш : y(s,u) = ^>(s,y(s,u)) < ip(s,x)} E Yt.

Рассмотрим задачу фильтрации процессов (Y(s),Y(s)), где первая компонента ненаблю-даема и подлежит оцениванию, а вторая — наблюдаема. Из леммы 1 в силу формул (12) и (11) следует, что условное математическое ожидание mt для исходной задачи (1)-(2) равно

mt = Eff (x(t))|Yt] = Eff (x(t))| Yi] = E[f (ф(8,ф(а,т),Э:тШ, (19)

здесь f (x) и ф(s, y, u) - детерминированные функции. С другой стороны, ненормализованная условная плотность Y(t, x) для задачи фильтрации (x(s), Y(s)) существует, и условное математическое ожидание mt находится по формуле

mt = E[f (x(t))l Yt] = Y 1 I f (u) Y(t,u) du. (20)

jR V (t, u) du J r

В дальнейшем нам понадобится одно свойство условных математических ожиданий. Лемма 2. Условное математическое ожидание mt из формулы (19) равно

mt = ~ 1 f f^(t,^(t,y(t)),u)) Y(t,u) du. (21)

JR V (t, u) du J R

Доказательство. Заметим, что для доказательства формулы (21) достаточно убедиться, что для любой детерминированной функции g(t,v,u), для которой выполнено Elg(t,y/(t),xi(t))l < то, справедливо равенство

E[g(t,~(t),~(t))|Yt] = Y 1 f g(t,y(t),u) Y(t,u) du. (22)

R VY(t, u) du R

Действительно, взяв в последней формуле g(t,v,u) = f (4>(t,^(t,v),u)), приходим к формуле (21).

Пусть S E B(R+ ),U,V E B(R), тогда, положив f(u) = l(u E U) в формуле (20) и умножив обе части этой формулы на 1((t,y(t)) E S х V), в силу свойств условных математических ожиданий и аддитивности интеграла приходим к формуле (22) с функцией g(t,v,u) = 1((t,v,u) E S х V х U). Очевидно, что формула (22) остается справедливой для линейных комбинаций такого вида функций g(t,y,u). Далее, воспользовавшись стандартными предельными переходами, получим, что наша формула (22) будет справедливой для произвольной ограниченной или знакопостоянной функции g(t,v,u) такой, что

Elg(t,y(t),x(t))l < ^.

Лемма 3. Пусть Y(t,x) — нормализованная фильтрационная плотность для задачи фильтрации (x(s),y(s)). Тогда при любых t и x справедливо равенство

n(t,x) = n(t^-1(t,y(t),x)) (a1(t,x,Y(t)))-1 , (23)

Доказательство. Сделаем замену переменных x = ^>(t,y(t),u) в интеграле из правой части соотношения (21), тогда в силу (8) имеем

dx = a1(t, <^(t, y(t),u),y(t))du, u = 4>-1(t, y(t),x),

где 4>-1(t,y(t),x) = f al(tdxXy(t)) - D(t,P(t),y(t)) — функция, при каждом t обратная к функции ф(t,y(t),x).

Значит, правая часть формулы (22) равна

mt = ~ 1 / f(x) Y(t,^1(t,y(t),x)) (a1(t,x,y(t)))-1 dx.

JR V (t, u) du J r

С другой стороны, согласно (3), имеем шь = /(х)п(1,х)(х, следовательно в силу

призвольности функции /(х) приходим к формуле (23).

Итак, для решения задачи фильтрации (1)-(2) достаточно найти ненормализованную фильтрационную плотность у(Ь,и) для задачи фильтрации (х(з),у(в)). Для того чтобы построить стохастическое дифференциальное уравнение для плотности у(Ь,и), необходимо знать уравнения, которым удовлетворяют процессы х(з) и у(з). Ввиду формул (18) и (16) в силу формулы Ито имеем

с(у(8) = В 2(8,х(8),у(з))й8 + (Ш2(8), (24)

где

в2(8,и,У) = —-----1-----[ Ь2(8,ф(8,'ф(8,У),и)),'ф(8,У))-

а0(8,ф(И^))

-2*0(8,/Ф(8,у))(*0)4,(8,Ф(8,у)) - Ф'8(8,^) ].

Чтобы вывести уравнение для ненаблюдаемой компоненты х(8), найдем стохастический дифференциал Ито функции х(8) = Wl(8) + 0(8, Р(8),Ф(8,Ш2(8) + С(8))) и преобразуем полученное выражение с помощью формул (8)—(17), получим

СУ = дШ\ + Оф ф[и (Ш2+

+ /О', + ОрР'3 + ОффVС' + Офф'3 + 2^0^фV(8 = dW1 + у2сШ2 + В1 (8, (25)

где

СУ2(8, и, V)

а2(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^)) - ф1ф(8,ф(8^),и)а0(8,ф(8^))

а1(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^))

В1( )= Ь1(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^))

8,и,У я1 (8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^))

ф'3(8,ф(8^),и) + фф (8,ф(8^),и)Ь2 (8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^)) +

а1(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^))

1

+ 2

га2(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^)) - фф(8,ф(8^),и)а0(8,ф(8^))

а1(8,ф(8,ф(8^),и),ф(8^))

Итак, из формул (24) и (25) следует, что процессы (х(8),у(8)) являются решениями стохастических дифференциальных уравнений

х(Ь) = У0 + [ В1 (8, х(8), у(8))(8 + W1(t) + [ a2(8,x(8),у(8))dW2(8), (26)

ио ио

У = Уо + [ в2(8,х(8),у(8))С8 + ^У2(Ь^ , (27)

Jо

где х0 = ф-1(0,уо,хо), у0 = ф-1(0,уо). Значит, мы можем для задачи фильтрации процессов (х(8),у(8)) построить уравнение вида (4) для ненормализованной фильтрационной плотности, при этом из формулы (5) вытекает, что наблюдаемый процесс у(8) совпадает с W(Ь).

Теорема 1. В предположениях, сделанных выше, условное математическое ожидание шь для задачи фильтрации (1)-(2) может быть найдено из соотношения (21), где у(Ь,х) — ненормализованная фильтрационная плотность для задачи (26)-(27), при этом нормализованные фильтрационные плотности для указанных выше задач фильтрации связаны равенством (23).

В заключение отметим, что решение задачи фильтрации для (x(s),y(s)) позволяет решить аналогичную задачу не только для исходных процессов (x(s),y(s)), но и для некоторого класса диффузионных процессов, которые могут быть представлены в виде соотношений (11) и (12).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Асадуллин Э. М., Насыров Ф. С. О решении задачи нелинейной фильтрации одномерных диффузионных процессов // Вестник УГАТУ. 2009. T. 12, №1. C. 161-165.

2. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987. 320 с.

3. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 4-е изд., испр. и доп. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 816с.

4. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов М.: Наука, 1974. 696 с.

5. Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и стохастический анализ // Теория вероятностей и ее применение. 2006. T. 51, №3. C. 496-517.

6. Насыров Ф. С. О решении систем стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. T. 15, вып. 4. С. 643-644.

7. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы. М.: Наука, 1983. 208 с.

8. H. Kunita Nonlinear filtering problems I. Bayes formulae and innovations. 2009.

9. H. Kunita Nonlinear filtering problems II. Associated stochastic partial differential equations. 2009.

10. M. Zakai On the optimal filtering of diffusion processes // Z.W. 11, 1969. P. 230-243.

Эльдар Маратович Асадуллин,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: mrsine@mail.ru

Фарит Сагитович Насыров,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: farsagit@yandex.ru