О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа1

Горбачёв Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет. e-mail: dvgmail@mail.ru

Мартьянов Иван Анатольевич — аспирант кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственного университет. e-mail: martyanow.ivan@yandex.ru

Аннотация

Для 0 < р < ж мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского для тригонометрических полиномов порядка не больше п

С{п,р) = sup

тп = 0 \\1п\\р

и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа не больше 1

С(р) = sup ■

/=о II/Ир

Недавно Е. Левин и Д. Любинский доказали, что

С(п,р) = С(р)п1/р(1 + о(1)), п ^то.

М. Ганзбург и С. Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского-Бернштейна.

Мы доказываем неравенства

п1/рС(р) < С(п,р) < (п + \р-1~\)1/р£(р), п е Z+, 0 <р< то,

которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашему старому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощью этого подхода ранее были доказаны оценки при р =1

пС( 1) < С(п, 1) < (п + 1)£(1).

Данные неравенства позволяют оценить константу С(р), приближенно вычисляя С(п,р) для больших п. Чтобы это сделать мы используем недавние результаты В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой, которые выразили константу Никольского С(п,р) при помощи алгебраического полинома рп, наименее уклоняющегося от пуля в пространстве Ьр па отрезке [-1,1] с весом (1 — где = (1 — ¿2)-1/2 — вес Чебышева. Как следствие, мы

уточняем оценки для константы Никольского С( 1) и находим, что

1.081 < 2жС(1) < 1.082.

Для сравнения предыдущие оценки были 1.081 < 2^£(1) < 1.098.

Ключевые слова: тригонометрический полином, целая функция экспоненциального типа, константа Никольского, вес Чебышева.

Библиография: 9 названий.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Для цитирования:

Д. В. Горбачев, И. А. Мартьянов. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 2, с. 80-89.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

On interrelation of Nikolskii Constants for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type

Gorbachev Dmitry Viktorovich — professor of the department of applied mathematics and computer science, doctor of physical and mathematical sciences, Tula State University. e-mail: dvgmail@mail.ru

Martyanov Ivan Anatol'evich — graduate student of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University. e-mail: martyanow.ivan@yandex.ru

Abstract

For 0 < p < to, we investigate the interrelation between the Nikolskii constant for trigonometric polynomials of order at most n

C(n,p) = sup

Tn=0 \\Tn\\p

and the Nikolskii constant for entire functions of exponential type at most 1

r< \ \\j \\TO

C(p)=sup——. f=0 \\/Hp

Recently E. Levin and D. Lubinsky have proved that

C(n,p) = C(p)n1/p( 1 + o(1)), n ^to>.

M. Ganzburg and S. Tikhonov have extend this result on the case of Nikolskii-Bernstein constants.

We prove inequalities

n1/pC(p) < C(n,p) < (n + \p-1\)1/pC(p), n e Z+, 0 <p< to,

which improve the result of Levin and Lubinsky. The proof follows our old approach based on properties of the integral Fejer kernel. Using this approach we proved earlier estimates for p =1

nC( 1) < C(n, 1) < (n + 1)£(1).

Using such inequalities, we can estimate the constant C(p) solving approximately C(n,p) for large n. To do this we use recent results of V. Arestov and M. Deikalova, who expressed the Nikolskii constant C(n,p) using the ^gebraic polynomial pn that deviates least from zero in the space Lp on the segment [-1,1] with the weight (1 — t)v(t), where v(t) = (1 —12)-1/2 is the Chebyshev weight. As consequence, we refine estimates of the Nikolskii constant £(1) and find that

1.081 < 2^£(1) < 1.082.

To compare previous estimates were 1.081 < 2^£(1) < 1.098.

Keywords: trigonometric polynomial, entire function of exponential type, Nikolskii constant, Chebyshev weight.

Bibliography: 9 titles. For citation:

D. V. Gorbachev, I. A. Martvanov, 2018, "On interrelation of Nikolskii Constants for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 8089.

1. Введение

Для 0 < p ^ той Q С R через

J \f (x)\P dxj / , 0 <p< то, ess sup \f (ж)\, p = то,

xeQ

обозначим норму функции f в лебеговом пространстве LP(Q).

Рассмотрим задачу о взаимосвязи точных констант в неравенстве Никольского между и LP нормами для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа. Этой задаче посвящены недавние работы [7, 8, 5], а также наша ранняя работа [6].

Константа Никольского для тригонометрических полиномов порядка не больше п £ Z+

к=—п

определяется равенством

С(п,р) = sup

Тп(х)= £ скeikx £ Lp([0, 2ж)) II ^'П- II ГО

Тп= 0 ^Тп^р

Как хорошо известно, при фиксированном р

С(п,р) х п1 /р, п ^то. (1)

Похожим образом определяется константа Никольского для целых функций f экспоненциального типа не больше 1:

С(р) = sup

f=0 IIJ IIP

Напомним, что целые функции f £ LP(R) экспоненциальното типа не больше а > 0 ограниче-R

\/(^)\ < II/IL-(R)eCT|Imг|, vz £ C.

Замечание 1. Константа, Никольского для функции типа, не больше а равна С(р)а1/р.

Замечание 2. В работе [5, Theorem 1.1] доказано, что в обоих случаях при вычислении константы Никольского достаточно ограничиться действительными функциями.

Точные константы Никольского при р > 0 известны только при р = 2. В этом случае

С(п, 2) = (п + 1/2)1/2£(2), п е Z+,

где

С(2) = ж-1.

Нахождение точных констант для других р > 0 является открытой проблемой. Однако известно точное значения в предельном случае р ^ 0, полученное в работе [1]:

С(п, 0) = 4пе-п/2. (2)

Особый интерес представляет случай р = 1, имеющий долгую историю. Обзоры известных результатов приведены в [3, 5, 6]. В частности в [6] доказано, что для всех п е справедливы оценки

пС(1) < С(п, 1) < (п + 1)£(1), (3)

где

1.081 < 2жС(1) < 1.098. (4)

В работе [7] получен следующий результат о взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа в пространстве Ьр при р > 0:

С(п,р) = С(р)п1/р(1 + о(1)), п ^то. (5)

В работе [5] это равенство обобщено на случай констант Никольского-Бернштейна.

Здесь мы хотели бы уточнить асимптотическое равенство (5) и по аналогии с (3) записать следующие границы.

Теорема 1. Пусть р> 0 и п е Тогда

п1/рС(р) < С(п,р) < (п + \р-1])1/рС(р), (6)

где \а\ обозначает наименьшее целое число, не меньшее, чем а.

Простое доказательство теоремы 1, основанное на нашем подходе из [6], мы приводим в секции 2. Отметим зависимость верхней оценки в (6) от р е (0,1), что представляется не случайным в связи с разным типом поведения констант Никольского С(п,р) при р > 0 и р = 0 (ср. (1) и (2)).

Мы пока не рассматриваем случай констант Никольского-Бернштейна, где у нас есть трудности в случае 0 < р < 1.

В связи с теоремой 1 отметим доказанное в работе [4] похожее неравенство

1 \

ар ^ Спр ^ 1 + , 1 ^ р ^ ж,

где ар = ^\\eosх\\р, , Спр = inf ||Тга||р и нижняя грань берется по всем действительным тригонометрическим полиномам Тп(х) = ^fc=ü(afc eos кх + bk sin кх), для которых

ЦТпЦю = max||ао|, |ai|,..., lanI, Ibil,..., Ibn\} = 1.

Кроме того, Спр = ар, если р' = 2,4,... и п ^ р' — 1.

Неравенство (3) и теорему 1 можно использовать для оценок константы С(р). Для этого нужно приближенно вычислить константу С(п,р) при достаточно большом п. При р ^ 1 соответствующий алгоритм может быть разработан на основе результатов статьи [2]. Мы проделаем это в секции 3. Как следствие, получается следующее утверждение, уточняющее (4).

Предложение 1. Имеем

1.081 < 2жС(1) < 1.082.

2. Доказательство теоремы 1

2.1. Предварительные сведения

Как было отмечено в замечании 2 во введении можно ограничиться действительными функциями.

Для удобства рассмотрим константы Никольского для 1-периодических полиномов

tn(x) = ^ скe2nikx е LP(T), T = R/Z,

|fc|<n

и целых функций

f (z) = 0(e27rllmг|), г е C,

экспоненциального типа не больше Соответствующие константы обозначим через спр и £р. С помощью замены переменного находим, что

спр = (2ъ)1/рС (п,р), £р = (2^)1/р С(р), (7)

поэтому

с (п,р) = Спр С(р) = 1р •

Во всех работах [6, 7, 8, 5] в том или ином виде применялись свойства sinc-функции

, . sin КХ

Sinc(^) = -.

КХ

В частности, положим

Д(ж) = max(1 -|ж|, 0), ж е R. Тогда по [6, Лемма 3] преобразованием Фурье функции Д будет интегральное ядро Фейера

Д(у) = I Д(х)е-2™ху dx = (^^И) 2, у е R. /в V KV )

ъу

Функция Д является неотрицательной четной целой функцией экспоненциального типа 2п со следующими свойствами: Д(0) = 1, Д(к) = 0 для всех целых к = 0,

Д(у) < 1, Д(у) = о(Yq—^2), у g R,

и

£ Д(у + к) = 1, V у G R. (8)

kez

Д

Доказательство тождества (8) основано на классической формуле суммирования Пуассона [9, Sect. VI 1.2]

^ f (ж + к) = f(k)e2nikx, х G R, (9)

kez kez

справедливой, в частности, если f (ж) и /(ж) одновременно оцениваются как 0((1 + |ж|)-1-£) для всех х G R с некоторым е > 0.

Норма пространства Ьр на периоде или оси при 0 < р ^ то инвариантна относительно сдвига аргумента функции. Таким же свойством обладают подпространства полиномов и целых функций. Отсюда вытекает следующий известный факт:

*п(0)

Спр = 8Ир тг—-тр, 0 <р < ТО,

\\1п\\р

и аналогично для константы £р.

При р ^ 1 здесь можно ограничиться четными функциями /, поскольку иначе можно рассмотреть четную составляющую /еуеп(ж) = ( /(ж) + /(—ж))/2, которая остается в нужном классе и обладает свойствами /еуеп(0) = /(0) и \\/еуеп\\р ^ \\f\Ip-

2.2. Доказательство неравенства п1/рС(р) ^ С(п,р)

При п = 0 неравенство верно, поэтому пусть п е N. Возьмем произвольную целую функцию / е Ьр (М) экспоненциальното типа не больше 2^ и построим по ней тригонометрический многочлен Ьп порядка не больше п с нужными свойствами. Для этого положим

</(х) = /(х)Д( |).

' х4

Тогда д — целая функция экспоненциального типа не больше 2^(1 + 1/п) и д(х) = 0(х-2) при х ^ Поэтому д £ L*(R) П L2(M), (/ £ С(R) и по теореме Пэли-Винера f9, Sect. III.4]

д(у) = 0, lyl > 1 + ^.

Искомый многочлен tn найдем периодизацией функции пд(пх). Ее преобразование Фурье равно 7j(у/п), поэтому по формуле суммирования Пуассона (9)

£пд(п(х + к))= £ -)е2ткх = 1п(х). fcez |fc|<n

Поскольку Д(к) = 0 для целых к = 0, то

1п(0)=п ^ /(пк)Д(к)=п/(0). fceZ

Оценим сверху норму полинома Ьп при 0 < р < то. Имеем

п\\р =

J о

Покажем, что

/ ^ Щ(п(х + к)) йх ^пр [ }(п(х + к))| Д(х + к)) йх. kez '0 ^ fcez '

( £ |Яп(х + к))| Д(х + к))Р < £ |Яп(х + к))Г (10)

• fcez 7 fcez

При р ^ 1 для этого воспользуемся неравенством Гёльдера

1/р , \ 1/р'

/ \WP / \

£ |/(п(х + к))| Д(х + к) < I/(п(х + к))П ( Е ДР (х + к) )

Г

fcez 4 fcez у 4 fcez

где сопряженный показатель р' = р/(р — 1) ^ 1. Поэтому

Е Др' (х + к) ^ Е Д (х + кЛ Р = 1 fcez ^ fcez '

и (10) верно.

Если 0 < р < 1, то

|/(п(х + Щ А(х + лЛР < ^ |/(п(х + к))1Р Ар(х + к) ^ кеъ ' кеъ

и (10) верно в силу Ар(х + к) ^ 1. Продолжим оценку рга||р:

/■1 _ _

ЛР < пр ^(п(х + ^))1Р (1х = пР-1^ 1ЯЖ)1Р(1х = ^П/ 11Р.

¿0 ^ ТГп, -)пк

/0 йеж йе^

Таким образом,

(0) . 00) ^ ^ п^/Р||/ 1р ^ НЪ||Р ^.

11Р |Гга Цр

Отсюда, переходя к верхней грани по /, выводим нужное неравенство п1/р£р ^ спр.

2.3. Доказательство неравенства С(п,р) ^ (и + Ь-11)1/р С(р)

Пусть п € N и 1п-1 — произвольный тригонометрический полином по рядка не больше п — 1. Одновременно он является целой функцией экспоненциального типа не больше 2ж(п — 1). Определим целую функцию

7т I ^ > • ' ^

! М = Д »(^„-^ ^

где т = \р 11. Она имеет экспоненциальный тип не больше 2ж(т + п — 1)/п. Отсюда, замечания 1 и второго соотношения в (7) следует, что

1(0) < (т +;—1 у/р 1р. (п)

Имеем /(0) = ¿га_1(0) и как в пункте 2.2

= Е/ 1/(ж)1р г1х = п У2и(п(х + ^))Г

кеъ'1 пк 70 кеъ

Подставляя сюда выражение / и учитывая периодичность ¿га-1, находим

г-1 г 1

р = п1 Е Атр (ж + А0|*га-1(ж + й)|рйх = п^ |^га-1 (ж)|р ^ Атр(х + Л) Лх.

— п I / А I ^ л ип— 1 ( ^ I п ) | Ы,^ - I и I | ип— 1

1/0 ке&

Поскольку тр ^ 1, то как и в пункте 2.2 имеем Х^еж Атр(х + й) ^ 1. Поэтому

||/||р < п1/рН^Цр. Таким образом, с учетом (11) находим

Ж-ПГ < < <"' +"— ^р

Ып-^р п1/рщц

Переходя здесь к верхней грани по 1 и заменяя п — 1 на п, получаем нужную оценку

сПр < (п + т)1/р£р, п € Ж+.

С (п, р) = 2 1/pMv (п, р), Mv (п, р) = sup

3. Доказательство предложения 1

Пусть 1 ^ р < ж. В силу теоремы 1

(п + 1)-1/рС(п,р) < С(р) < п-1/рС(п,р).

Эти границы можно использовать для получения оценок константы Никольского С(р), вычисляя приближенно С(п,р) для больших п.

Покажем, как этом можно сделать при помощи результатов работы [2]. Во-первых, в ней показано, что

iv (П, р), Mv (п, р) = sup \ ^^ ,

Рп=0

где Mv (п, р) — константа Никольского для действительных алгебраических полиномом -n(t) = ^fc=0 aktk в пространстве Lp на отрезке [—1,1] с весом Чебышёва v(t) = (1 — t2)-1/2,

\\f \L« = (11 I f(t)IPv (t)dt)1/P, \\f\\те = sup I f(t)I.

\J-1 J ie[-1,1]

Во-вторых, в [2] доказано, что

l|p Нр-1 Г1

Mv(п,р) = га^, 1(п,р) = j Jpn(i)|p-1 signрп(t)v(t)dt,

где pn(t) — полином вида

п

Pn(t) = Y\(t — tni), 1 > tn1 > ... > tnn > —1,

i=1

наименее уклоняющийся от нуля в пространстве Lp на отрезке [—1,1] с весом w(t) = (1 — t)v(t). Полином рп единственный и характеризуется следующим соотношением ортогональности:

J ^Pn-1(t)Ipn(t)IP-1 signpn(t)w(t)dt = 0, УРп-1 (t). (12)

Вернемся к доказательству предложения 1, для которого р = 1. Имеем

с("'11 = 2Г(Ь) •

где

/1 п rtn,i+l

sign pn(t) v(t) dt = ^2(—1)г v(t) dt

1 i=0 tni

и положено tn0 = 1, tn,n+1 = —1.

Соотношение (12) достаточно записать на базисных функциях. Мы использовали полиномы Чебышева Tj (t) = cos (j arccos t):

, rtn,i+i

z2(—1)l Tj (f)(1 — t)v(t)dt = 0, j = 0,1,...,n — 1.

i=0

Теперь удобно вернуться к тригонометрическим функциям при помощи замены переменного t = cos^ х £ [0,ж]. Тогдa tni = cosхПг, где 0 = хп0 < хп1 < ... < хпп < хп,п+1 = ж, и

г=0

(—1) (1 — cos х) cos jхdх = 0, j = 0,1,...,п — 1.

Простое интегрирование дает систему из п тригонометрических уравнений для определения п неизвестных корней хПг € (0,ж), г = 1,... ,п. Эта система эффективно решается методом Ньютона с переменным шагом при достаточно больших п. Проделав это, вычисляем величину

и приближенное значение С(п, 1).

Мы провели необходимые вычисления для разных п. В частности, предложение 1 было получено при п = 6000.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arestov V. V. Inequality of different metrics for trigonometric polynomials // Math. Notes. 1980. Vol. 27, no. 4. P. 265-269.

2. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and Lg-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689-708.

3. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and Lg-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Analysis Math. 2016. Vol. 42, no. 2.

4. Ash J.M., Ganzburg M. An Extremal Problem for Trigonometric Polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127, no. 1. P. 211-216.

5. Ganzburg M., Tikhonov S. On Sharp Constants in Bernstein-Nikolskii Inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449-466.

6. Gorbachev D. V. An integral problem of Konvagin and the (C, L)-constants of Nikol'skii // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Vol. 2. P. S117-S138.

7. Levin E., Lubinskv D. Lp Chritoffel funct ions, Lp universality, and Palev-Wiener spaces / / J. DAnalyse Math. 2015. Vol. 125. P. 243-283.

8. Levin E., Lubinskv D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 3. P. 459-468.

9. Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. N.J.: Princeton, 1971.

REFERENCES

1. Arestov V. V. Inequality of different metrics for trigonometric polynomials // Math. Notes. 1980. Vol. 27, no. 4. P. 265-269.

2. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and Lg-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689-708.

3. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and Lg-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval // Analysis Math. 2016. Vol. 42, no. 2.

P. 91-120.

P. 91-120.

4. Ash J. M., Ganzburg M. An Extremal Problem for Trigonometric Polynomials // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127, no. 1. P. 211-216.

5. Ganzburg M., Tikhonov S. On Sharp Constants in Bernstein-Nikolskii Inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449-466.

6. Gorbachev D. V. An integral problem of Konvagin and the (C, L)-constants of Nikol'skii // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Vol. 2. P. S117-S138.

7. Levin E., Lubinskv D. Lp Chritoffel functions, Lp universality, and Palev-Wiener spaces // J. DAnalyse Math. 2015. Vol. 125. P. 243-283.

8. Levin E., Lubinskv D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 3. P. 459-468.

9. Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. N.J.: Princeton, 1971.

Получено 05.06.2018 Принято в печать 17.08.2018