Научная статья на тему 'О выборе стратегий эксплуатации технических систем'

О выборе стратегий эксплуатации технических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
177
68
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СТРАТЕГИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ / ИНТЕНСИВНОСТЬ ЗАТРАТ / КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ / ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ / RECOVERY STRATEGY / THE COSTS INTENSITY / AVAILABILITY FACTOR / THE DISTRIBUTION LAW

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Вайнштейн И.И., Михальченко Г.Е., Вайнштейн Ю.В., Сафонов К.В.

Исследуется функция интенсивности эксплуатационных затрат стратегии строго периодических восстановлений технических систем в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений. Функции распределения времени наработок заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях могут не совпадать. В стратегии строго периодических восстановлений в случае отказа системы проводится аварийное восстановление, а если система проработала без отказа заданный интервал времени, то проводится профилактическое восстановление. Случай совпадения функций распределения при аварийных и профилактических восстановлениях хорошо изучен в математической теории надежности. При экспоненциальных распределениях (параметры распределений различны) установлена связь между параметрами распределений и стоимостями аварийных и профилактических восстановлений, когда функция интенсивности затрат имеет одну точку минимума. Для этого случая установлен характерный график функции интенсивности затрат. Минимальное значение интенсивности затрат меньше интенсивности затрат стратегии только аварийных восстановлений (в стратегии только аварийных восстановлений профилактические восстановления не проводятся). В общем случае получено условие на функции распределения времени наработок заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях для выбора проведения рассматриваемой стратегии с несовпадающими или совпадающими функциями распределения по критерию минимума интенсивности эксплуатационных затрат. Для случая, когда законы распределения наработок на отказ при аварийных и профилактических восстановлениях совпадают, но отличаются параметрами, получены условия для параметров, при которых следует проводить рассматриваемую стратегию с несовпадающими функциями распределений для часто встречающихся в теории надежности законов распределения: экспоненциального, Эрланга порядка n, Вейбулла-Гнеденко, Релея, Максвелла и логарифмически нормального распределения. Полученные результаты о выборе стратегий эксплуатации технических систем для минимизации интенсивности эксплуатационных затрат рассматриваемой стратегии справедливы для максимизации коэффициента готовности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Вайнштейн И.И., Михальченко Г.Е., Вайнштейн Ю.В., Сафонов К.В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT THE CHOICE OF STRATEGY OF TECHNICAL SYSTEMS OPERATION

The intensity function of exportation expenses for the strategy of strongly periodical systems recovery technology according to the time of carrying out preventive recoveries is investigated. The frequency functions of substitution elements service time under the emergency and preventive recoveries may be not equal. In the strategy of strong periodical recovery in the case of systems crash, the emergency recoveries are carried out, and if the system had worked without a crash for a definite period of time, then preventive recoveries are performed. The case of frequency functions correspondence under the emergency or preventive recoveries is well studied in the mathematical theory of reliability. For the exponential distribution (where the distribution parameters are different) the correlation was established between the parameters of the distribution and the costs of emergency and preventive recoveries, when the cost intensity function has one minimum point. In this case a characteristic graph of the costs intensity is set. The minimum value of the cost intensity is less than the cost intensity of the strategy of emergency recovery only (for the strategy of purely emergency recovery the preventative recovery is not carried out). In general, the condition is obtained for the function of time distribution of developments of replaceable elements under emergency and preventive recovery for the choice of the strategy implementation methods under study including equal and different functions of distribution by the criterion of the minimum intensity of the operating costs. In the case, where the developments distributive laws under failures in emergency and preventive recoveries are identical, but differ in parameters. The conditions are defined for the parameters where the given strategy should be considered with not equal distribution functions for the distribution laws frequently used in the reliability theory, in particular the exponential, Erlang distribution of the nth order, Weibull-Gnedenko, Rayleigh, Maxwell, and the log-normal distribution. The results of the choice of strategies of technical systems operation in order to minimize the operating costs intensity of the strategy under study are considered to be valid for maximizing the availability factor.

Текст научной работы на тему «О выборе стратегий эксплуатации технических систем»

УДК 519.248

Вестник СибГАУ Т. 16, № 3. С. 645-650

О ВЫБОРЕ СТРАТЕГИЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И. И. Вайнштейн1 , Г. Е. Михальченко1, Ю. В. Вайнштейн1, К. В. Сафонов2

1 Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий

Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26 2Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

'Е-mail: isvain@mail.ru

Исследуется функция интенсивности эксплуатационных затрат стратегии строго периодических восстановлений технических систем в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений. Функции распределения времени наработок заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях могут не совпадать. В стратегии строго периодических восстановлений в случае отказа системы проводится аварийное восстановление, а если система проработала без отказа заданный интервал времени, то проводится профилактическое восстановление. Случай совпадения функций распределения при аварийных и профилактических восстановлениях хорошо изучен в математической теории надежности.

При экспоненциальных распределениях (параметры распределений различны) установлена связь между параметрами распределений и стоимостями аварийных и профилактических восстановлений, когда функция интенсивности затрат имеет одну точку минимума. Для этого случая установлен характерный график функции интенсивности затрат. Минимальное значение интенсивности затрат меньше интенсивности затрат стратегии только аварийных восстановлений (в стратегии только аварийных восстановлений профилактические восстановления не проводятся).

В общем случае получено условие на функции распределения времени наработок заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях для выбора проведения рассматриваемой стратегии с несовпадающими или совпадающими функциями распределения по критерию минимума интенсивности эксплуатационных затрат.

Для случая, когда законы распределения наработок на отказ при аварийных и профилактических восстановлениях совпадают, но отличаются параметрами, получены условия для параметров, при которых следует проводить рассматриваемую стратегию с несовпадающими функциями распределений для часто встречающихся в теории надежности законов распределения: экспоненциального, Эрланга порядка n, Вейбулла-Гнеденко, Релея, Максвелла и логарифмически нормального распределения.

Полученные результаты о выборе стратегий эксплуатации технических систем для минимизации интенсивности эксплуатационных затрат рассматриваемой стратегии справедливы для максимизации коэффициента готовности.

Ключевые слова: стратегия восстановления, интенсивность затрат, коэффициент готовности, закон распределения.

Vestnik SibGAU Vol. 16, No. 3, P. 645-650

ABOUT THE CHOICE OF STRATEGY OF TECHNICAL SYSTEMS OPERATION

I. I. Vainshtein1*, G. E. Mihalchenko1, J. V. Vainshtein1, K. V. Safonov2

Siberian Federal University, Institute of Space and Information Technologies 26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation 2Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation *Е-mail: isvain@mail.ru

The intensity function of exportation expenses for the strategy of strongly periodical systems recovery technology according to the time of carrying out preventive recoveries is investigated. The frequency functions of substitution elements service time under the emergency and preventive recoveries may be not equal. In the strategy of strong periodical recovery in the case of systems crash, the emergency recoveries are carried out, and if the system had worked without a crash for a definite period of time, then preventive recoveries are performed. The case of frequency functions correspondence under the emergency or preventive recoveries is well studied in the mathematical theory of reliability.

For the exponential distribution (where the distribution parameters are different) the correlation was established between the parameters of the distribution and the costs of emergency and preventive recoveries, when the cost intensity function has one minimum point. In this case a characteristic graph of the costs intensity is set. The minimum value of the cost intensity is less than the cost intensity of the strategy of emergency recovery only (for the strategy ofpurely emergency recovery the preventative recovery is not carried out).

In general, the condition is obtained for the function of time distribution of developments of replaceable elements under emergency and preventive recovery for the choice of the strategy implementation methods under study including equal and different functions of distribution by the criterion of the minimum intensity of the operating costs.

In the case, where the developments distributive laws under failures in emergency and preventive recoveries are identical, but differ in parameters. The conditions are defined for the parameters where the given strategy should be considered with not equal distribution functions for the distribution laws frequently used in the reliability theory, in particular the exponential, Erlang distribution of the nth order, Weibull-Gnedenko, Rayleigh, Maxwell, and the lognormal distribution.

The results of the choice of strategies of technical systems operation in order to minimize the operating costs intensity of the strategy under study are considered to be valid for maximizing the availability factor.

Keywords: recovery strategy, the costs intensity, availability factor, the distribution law.

Введение. В теории надежности стратегия эксплуатации технической системы - это некоторый процесс восстановления, учитывающий различные состояния системы, например, аварийные и профилактические восстановления, а также время, продолжительность и стоимость их проведения [1-15]. Управляя временем проведения профилактических восстановлений, можно по различным критериям оптимизировать стратегии восстановления. Например, при эксплуатации ракетно-космической техники, электронно-вычислительных систем, систем электроснабжения, теплоснабжения, транспортных систем и многих других требуется близкий к единице коэффициент готовности, так как отказы и время простоя могут приводить к значительным техническим, экологическим, экономическим последствиям.

В работе продолжается исследование введенной авторами в [11] стратегии Со, в которой функции распределения заменяемых элементов при аварийных и профилактических восстановлениях могут не совпадать, что характерно в реальных условиях эксплуатации. Случай совпадения функций распределения хорошо изучен в теории надежности [3]. В указанной статье рассматривались две стратегии эксплуатации. Стратегия Са - проводятся только аварийные восстановления; стратегия Со (стратегия строго периодических восстановлений) - в случае отказа системы проводится аварийное восстановление, а если система проработала без отказа заданный интервал времени т, то проводится профилактическое восстановление. В качестве критериев оптимальности стратегий были рассмотрены минимум по моменту времени проведения профилактических восстановлений интенсивности эксплуатационных затрат Я(т) (средние затраты на восстановление в единицу времени) и максимум коэффициента готовности К(т). Также решалась задача выбора по этим двум критериям оптимальной из стратегий Са и С0.

Пусть Fa(í) и Fp(í) - функции распределения наработок на отказ после каждого аварийного и профилактического восстановления соответственно. Время восстановления не учитывается. Получено аналитическое представление функций Я(т) и К(т):

r(t) = -

CaFp (t) + KFa (t)

Fp (х){ Fa (t)dt + Fa (t) j Fp (t)dt

0 0

K (t) =- 1

(1)

(2)

ВД +1

где са и ср - средние затраты на аварийное и профилактическое восстановление соответственно; Я^т) совпадает с функцией интенсивности затрат, если в ней са и ср заменить на Та и Тр - среднее время,

затраченное на аварийное и профилактическое восстановление соответственно. Из (2) следует, что максимум коэффициента готовности достигается в точке минимума функции Я1 (т).

В случае, когда наработки после аварийных и профилактических восстановлений распределены по экспоненциальным законам

Fa (/) = 1 - е-а, Fp (/) = 1 - е-р, а, р > 0, (3)

было показано, что при выполнении неравенства

к <1/{1 + п), с = ср /са , к = р/а (4)

для стратегии Со имеется оптимальное время проведения профилактик, при котором интенсивность эксплуатационных затрат меньше интенсивности затрат стратегии Са только аварийных восстановлений. Кроме того, показано, что при р = а (/) = Fp (/))

профилактики проводить нецелесообразно, и оптимальна стратегия только аварийных восстановлений.

Из равенства (2) следует, что при выполнении неравенства

к <1/(1 + й), й = Тр/Та ,

аналогичного неравенству (4), при значении т , дающего минимум функции Я1 (т), достигается максимум функции К (т) - коэффициента готовности.

Исследование функции интенсивности эксплуатационных затрат. Определим условия, при которых в случае выполнения неравенства (4)

и экспоненциальных распределений наработок на отказ после аварийных и профилактических восстановлений функция интенсивности затрат Я(т) имеет единственную точку минимума. Ее график представлен на рис. 1, где Яа = са / ц - интенсивность затрат стратегии аварийных восстановлений

ад

(профилактики не проводятся), ц = | ¥а (/-

0

средняя наработка до отказа.

Рис. 1. График функции интенсивности эксплуатационных затрат

Пусть наработки распределены по экспоненциальным законам (3), тогда имеем [11]

r(t) = apca

r'(t) = apca

Fp (т) + cFa (x)

Fp (т)(( (т) + aFa (t))'

F (т) y(x) (Fp (t))2 )pFa (t) + a¥a (t))2

где

y (t) =-capFp (t)+(d2 - ap) Fp (t)-

-cp2 Fp (T) Fa (T)- acpFp (T) Fa (t)' c = cd/ca •

Заметим, что знак производной R' (t) при t> 0 совпадает со знаком y (t) . Имеем

lim y (x)=-acp < 0, lim y (t) = (-cp + a - p)a. (5)

t^0 Х^ВД

Пусть выполнено неравенство -cp + a - p > 0 или равносильное ему неравенство (4). Тогда из непрерывности функции y(x) следует, что в некоторой точке т * (0 < т* < вд) она, и вместе с ней производная функции интенсивности затрат, обращаются в ноль. Вычислим y' (т). Так как Fp (т) = pFp (т),

F' (т) = aFa (т), F' (т) = -< (т), k = p / a , то

y '(т) = a2 (ckpFp (т) + 2 p(1 - k)Fp (т)Fp (т) --ck2 (-pFp (t)Fa (t) + aFp (т)Fa (т))) =

-ck (-pFp (x)Fa (x) + aFp (т)Fa (x)) =

= a3kFp (t) (-ck + 2(1 - k) Fp (t) + Fa (x)ck2 + cFa (x)). Обозначим

H(t) = -ck + 2(1 - k)Fp (t) + Fa (x)ck2 + cFa (т),

тогда

y' (x) = a3 kFp (x) H (x),

и знак y' (т) определяется знаком функции H (т). Имеем

lim H(т) = c(1 - k), lim H(т) = (1 - k)(2 - ck).

Из (4) следует, что k < 1, и при выполнении неравенства c < 2/k получаем

lim H(т) > 0' lim H(т) > 0.

Далее исследуем функцию H (т) на экстремум: H' (т) = 2 p(1 - k )Fp (т) + ck2 aFa (т) - caFa (т) = = a(1 - k) (2 kFp ( t) - c(1 + k) Fa ( t) ). Приравняем H' (т) к нулю. Имеем: 2kFp (т) - c(1 + k)Fa (т) = 0.

Отсюда с учетом равенств Fa (x) = 1 - Fa (x) = e~ax получаем 2ke~pT = c(1 + k)e~aT, или (p - a)x = = ln (2k / c(1 + k)). Так как p < a, то (p - a)x<0. Если потребовать выполнения условия ln (2k / c(1 + k) )> 0, то H' (т) не обращается в ноль на промежутке [0, вд), и тем самым функция H (т) не имеет на этом промежутке экстремума, а так как в нуле и на бесконечности она положительна, то она положительна на всем промежутке [0, вд) .

Таким образом, при выполнении неравенств

2k/c(1 + k) > 1 и k < 1/(1 + c) (6)

на промежутке [0, вд) функция y'(т) > 0, y(x) возрастает. Отсюда следует, что только в одной точке R'(т) обращается в ноль, и в этой точке функция интенсивности затрат имеет минимум (производная при ее переходе меняет знак с минуса на плюс).

Учитывая, что прямая R(t) = Ra является горизонтальной асимптотой графика функции R(t) (lim R(t) = Ra) и что ee предел в нуле равен беско-

х^ВД

нечности, заключаем, что график функции интенсивности затрат стратегии Ct имеет вид, представленный на рис. 1. На рис. 2 выделена штриховкой область, удовлетворяющая неравенствам (6), где

A(V3 - 1,Тз/з).

Рис. 2. Область, удовлетворяющая неравенствам (6)

Стратегия Сс, сравнение стратегий Со и Сс.

Стратегия Сс определяется как стратегия Со, в которой функции распределения наработок на отказ после профилактики и после аварийного восстановления совпадают: Fp (/) = Fa (/) [3]. Функция Яс (т) интенсивности затрат для стратегии Сс имеет вид [3]

„ , Л саКа (т) + срКа (т) Яс (т) =-Г

| Ка (т)йт

Сравним интенсивности затрат стратегий Со и Сс. Пусть для всех / > 0

Кр (Г) < Ка (I) ( (/) > Ка (Г)).

(7)

ф(т) = •

1 Кр №

О_

т '

| Ка (Г)Л

т> 0.

(8)

Из (7) следует, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ф(т) > 1, т > 0.

Для разности интенсивностей затрат стратегий Сс и Сс, с учетом (8), имеем

Яо (т) - Яс (т) = Кр (т) + сКа (т) Ка (т) + сКа (т)

| Ка (Г)Л

+ф(т)Ка (т) 1

Кр (т) + сКа (т) Ка (т) + сКа (т)

1 Ка (Г)Л

Кр (т) + Ка (т)

1

1 Ка (Г)й

Кр (т)Ка (т) + сКа (т)Кр (т) - Ка (т) ((а (т) + сКа (т))

саКа (т)

1 Ка (Г)Л

Кр (т) + Ка (т) Кр (т)(1 - с) - Ка (т)(1 - с) ' Кр (т) + Ка (т)

саКа (т)

1 Ка (Г)Л

(1 - с) ( (т) - Ка (т)) ' Кр (т) + Ка (т)

Неравенство (7) означает, что на любом промежутке времени [0, /] вероятность отказа заменяемого элемента после профилактического восстановления не превышает соответствующую вероятность отказа после аварийного восстановления.

Обозначим

Отсюда следует, что если Кр (т) < Га (т) при всех т> 0, то Яо (т) < Яс (т).

Сформулируем полученный результат: если при всех /> 0

Кр (/) < Ка {I),

то следует предпочесть стратегию Со (по сравнению со стратегией Сс).

Пусть в стратегии Со законы распределения наработок на отказ при аварийных и профилактических восстановлениях совпадают, но отличаются параметрами. Получим условия для параметров, входящих в функции распределения Кр (/) и Ка (/), при которых

выполняется неравенство (7), для часто встречающихся в теории надежности законов распределения.

Далее параметры, входящие в функции распределения и относящиеся к аварийным восстановлениям, имеют нижний индекс а, а относящиеся к профилактическим восстановлениям - нижний индекс р. 1. Экспоненциальное распределение:

К (/, а) = 1 - е~а', а > 0, ([) = > 0 при / > 0.

Следовательно, неравенство (7) выполняется при

ар <аа.

2. Распределение Максвелла:

К (/, к) =

\/л

-ке

+ 1 е ^ йх

к > 0, / > 0, Кк'(/, к) = -=■ > 0.

Неравенство (7) выполняется при кр < ка. 3. Распределение Эрланга порядка п:

К (/, а, п) = 1 - е

а > 0,

к=0

(/, а, п) =-— > 0, К(/, а, п +1) < К(/, а, п).

(п -1)!

При па = пр неравенство (7) выполняется при ар <аа, при ар =аа неравенство (7) выполняется

при пр > па .

4. Распределение Релея:

2 -

К(/, ст) = 1 - е 2°2, Г > 0, (/, ст) = -е 2 < 0.

х

ст

Неравенство (7) выполняется при ст > ста. 5. Распределение Вейбулла-Гнеденко:

5 Г

F(t,0, Р) = 1 - е w ,6> 0, р> 0

F'(t,р,a) = -ptр0-(р+1)е Ш <0. При Ра = рp неравенство (7) выполняется при

\ ~ 'а ■

6. Гамма-распределение:

^ а?

F(?, а, В) = -— Г хр-1е~хйХ, а, В > 0, V, А(Р) 0 И

Fа (?, а, Р) = "д(р)(а?)Р-1 е Ш — 0,

ад

А(Р) = Г хр-1е~хй?х - гамма-функция. 0

При Ра = рр неравенство (7) выполняется при

а р а .

7. Логарифмически нормальное распределение:

F(?, ц, а) = О Г , ? > 0.

где

О (t ) =

V2n

í <

2ст2 dt,

(ln t-;)2

f; (t, ;, ст) = --

г V2n

2ст'

.4

< 0.

При а^ = а й неравенство (7) выполняется при Цр — Ца .

Заключение. Полученные результаты по минимизации интенсивности затрат рассматриваемой стратегии с проведением профилактических восстановлений можно использовать для максимизации коэффициента готовности, что очень важно, как указывалось во введении, при эксплуатации особо важных технических и электронно-вычислительных систем.

По времени проведения профилактических восстановлений имеются и другие стратегии восстановления. Например, стратегия восстановления блоками, когда в заранее заданные моменты времени т, 2 т... после начала эксплуатации проводятся профилактические восстановления. Величина т задается в [11]. Заранее определенное время проведения профилактик может приводить к замене дорогостоящего элемента, если перед этим произошло близкое по времени его аварийное восстановление. Таким недостатком рассматриваемая в работе стратегия не обладает. Недостатком этой стратегии является заранее неизвестное время проведения профилактических восстановлений, если для их проведения требуется значительное время или средства. В связи с этим следует исследовать различные стратегии и затем выбрать из них оптимальные.

В работе решена задача о выборе оптимальной стратегии из двух стратегий: стратегии Со, определенной авторами, и стратегии Са только аварийных восстановлений, по критериям минимума интенсивности затрат и коэффициента готовности для законов распределений, часто встречающихся в теории надежности, таких как экспоненциальное, Эрланга порядка n, Вейбулла-Гнеденко и др.

Библиографические ссылки

1. Smith W. L. Renewal theory and its ramifications // J. Roy. Statist. Soc. Ser. 1958. B 20. Р. 243-302.

2. Vainshtein I. I., Mikhal'chenko G. E., Vainshtein V. I. Optimizing the replacement order to minimize the mean number of system faults // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2012. Vol. 41, iss. 5. P. 417-421.

3. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход : пер. с нем. М. : Радио и связь, 1988. 392 с.

4. Барзилович Е. Ю., Каштанов В. А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М. : Сов. радио, 1971. 272 с.

5. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности : пер. с англ. М. : Сов. радио, 1969. 488 с.

6. Вайнштейн В. И. Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации электронно-вычислительных систем : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2006. 22 с.

7. Герцбах И. Теория надежности (с приложениями к профилактическому обслуживанию). М. : Нефть и газ, 2003. 263 с.

8. Голодников А. Н., Стойкова Л. С. Определение оптимального периода предупредительной замены на основе информации о математическом ожидании и дисперсии времени безотказной работы системы // Кибернетика. 1978. № 3. С. 110-118.

9. Каштанов В. А., Медведев А. И. Теория надежности сложных систем. М. : Физматлит, 2010. 606 с.

10. Надежность технических систем: справочник / Р. Барлоу [и др.] ; под ред. И. А. Ушакова. М. : Радио и связь, 1985. 606 с.

11. Оптимизация стратегий эксплуатации технических систем с проведением аварийных и профилактических восстановлений / И. И. Вайнштейн [и др.] // Вестник СибГАУ. 2014. № 2 (54). С. 20-25.

12. Окладникова Е. Н., Сугак Е. В. Планирование системы технического обслуживания // Вестник СибГАУ. 2006. № 6. С. 66-70.

13. Посеренин С. П. Теоретические основы стратегий технического обслуживания машин и технологического оборудования : автореф. дис. . докт. техн. наук. М., 2005. 39 с.

14. Северцев Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и обработке. М. : Высш. шк., 1989. 432 c.

15. Сугак Е. В. Надежность технических систем : учеб. пособие для техн. специальностей вузов / под общ. ред. Е. В. Сугака и Н. В. Василенко. Красноярск : НИИ СУВПТ ; МГП «Раско», 2001. 608 с.

2

1

1

References

1. Smith W. L. Renewal theory and its ramifications. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 20, 1958, P. 243-302.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Vainshtein I. I., Mikhal'chenko G. E., Vainshtein V. I. Optimizing the replacement order to minimize the mean number of system faults. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, September 2012, Vol. 41, Iss. 5, P. 417-421.

3. Bayhelt F., Franken P. Nadezhnost' i tekhnicheskoe obsluzhivanie. Matematicheskiy podkhod. [Reliability and Maintenance. Mathematical approach]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1988, 392 p.

4. Barzilovich E. U., Kashtanov V. A. Nekotorye matematicheskie voprosy teorii obsluzhivaniya slozhnykh system. [Some mathematical questions of the theory of complex systems maintenance]. Moscow, Sov. radio Publ., 1971, 372 p.

5. Barlow R., Proschan F. Mathematical theory of reliability. New York: J. Wiley & Sons, 1965, 488 p.

6. Vainshtein V. I. Matematicheskoe i programmnoe obespechenie optimizatsii provedeniya profilakticheskikh vosstanovleniy pri ekspluatatsii elektronno-vychislitel'nykh system. Diss. kand. fiz.-mat. nauk. [Mathematical and software support of optimization of preventive recovery during the electronic computing systems operation. Dr. phys. and math. sci. diss.]. Krasnoyarsk, 2006, 22 p.

7. Gercbah I. Teoriya nadezhnosti (s prilozheniyami k profilakticheskomu obsluzhivaniyu). [Theory of reliability (with applications to preventive maintenance)]. Moscow, Neft' i gaz Publ., 2003, 263 p.

8. Golodnikov A. N., Stoykova L. S. [Determination of the optimal warning replacement period based on in-

formation about the mathematical expectation and variance system uptime]. Kibernetika, 1978, Vol. 3, P. 110— 118.

9. Kashtanov V. A., Medvedev A. I. Teoriya nadezhnosti slozhnykh system. [The reliability theory of complex systems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2010, 606 p.

10. Barlow R. et al. Nadezhnost' tekhnicheskikh system. [Reliability of Technical Systems: Directory]. Radio i svyaz' Publ., 1985, 606 p.

11. Vainshtein I. I., Mihalchenko G. E., Vainshtein J. V., Safronov K. V. [Operation of technical systems strategies optimization with the emergency and preventive recovery]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 2 (54), P. 20-25 (In Russ.).

12. Okladnikova E. N., Sugak E. V. [Planning of maintenance system]. Vestnik SibGAU. 2006, No. 6 (13), P. 66-70 (In Russ.).

13. Poserenin S. P. Teoreticheskie osnovy strategiy tekhnicheskogo obsluzhivaniya mashin i tekhnologiches-kogo oborudovaniya. Diss. dokt. tekhn. nauk. [Theoretical Foundations strategies maintenance of machinery and technological equipment. Dr. Technical sci. diss.]. Moscow, 2005, 39 p.

14. Severcev N. A. Nadezhnost' slozhnykh sistem v ek-spluatatsii i obrabotke. [Reliability of complex systems in operation and processing]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1989, 432 p.

15. Sugak E. V. Nadezhnost' tekhnicheskikh sistem. [Reliability of Technical Systems]. Ed. E. V. Sugak and N. V. Vasilenko. Krasnoyarsk, NII SUVPT, MGP "Rasko" Publ., 2001, 608 p.

© Вайнштейн И. И., Михальченко Г. Е., Вайнштейн Ю. В.. Сафонов К. В., 2015

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.