CC BY
46
В порядке обсуждения
УДК 620.179.16
о возможности построения расчетных моделей для конструирования стандартных образцов неразрушающего контроля
часть 1
общие принципы, условия и приближения построения расчетных моделей для конструирования стандартных образцов неразрушающего контроля
Из-за большого объема материала статья будет представлена в двух частях. В первой части рассмотрены основные принципы, условия и возможности построения расчетных моделей для конструирования стандартных образцов (СО) в неразрушающем контроле (НК). Показано, что при выборе в качестве предмета сходства - процессов взаимодействия физических полей с СО и объектом контроля, удается посредством применения теорий подобия и размерностей отыскать нетривиальные критерии подобия, выполняющие функцию показателей сходства. Приведены алгоритмы отыскания нетривиальных критериев подобия в НК как основы построения расчетных моделей. Во второй части статьи будут рассмотрены вопросы применения развитой в первой части обобщенной теории размерностей для отыскания нетривиальных критериев подобия при конструировании стандартных образцов для ряда методов неразрушающего контроля.
Соболев А.С.
Ключевые слова: физическое моделирование, стандартные образцы, неразрушающий контроль, расчетная модель, теории подобия и размерностей, нетривиальные критерии подобия.
Старший научный сотрудник Института физики металлов УрО РАН, ведущий инженер УНИИМ (по совместительству), канд. физ.-мат. наук, доцент 620026, Россия, г. Екатеринбург, ул. К. Маркса, 60 д. 77 Тел.: +7 (932) 600-87-62 E-mail: anstek-m@mail.ru
Стандартные образцы (СО), именуемые в зарубежных нормативных документах контрольными, калибровочными, эталонными и т.д., нашли широкое применение при настройке, градуировке и калибровке средств неразрушающего контроля (СНК). Вопросам разработки СО в отечественной и мировой практике неразрушающего контроля (НК) уделяется большое внимание, так как их применение является одним из доминирующих направлений по обеспечению эффективности работы СНК [1-4].
Однако создание новых типов СО весьма трудоемко, поскольку отсутствуют надежные расчетно-эксперимен-тальные методики их разработки. В последнее время с развитием компьютерного моделирования предпринимаются даже попытки исключить СО из практики НК, путем решения обратной задачи посредством вос-
создания образа дефекта на основе математического анализа структуры информационного сигнала. Например, путем установления корреляционной связи между параметрами разных моделей дефектов и магнитным полем их рассеивания [5, 6], преобразованием Фурье эхо-сигналов [7], а также их вейвлетным представлением [8]. Однако, несмотря на полученные положительные результаты, корректно решить данную обратную задачу не удается [9].
Более простым и достаточно перспективным направлением является построение расчетной модели конструирования СО и на ее основе разработка и изготовление самих образцов. Это направление получило развитие в ряде статей, включая наши работы [11-20]. В основу расчетной модели СО в НК должны быть положены
надежно установленные физические закономерности, принятые приближения и граничные условия. При этом необходимо выбрать предмет сходства между СО и ОК (объект, процесс или явление).
В данной части работы предпринята попытка обобщить эти наработки путем разработки общих принципов и условий построения расчетной модели для конструирования СО применительно к НК на основе теорий подобия и размерностей [21-23]. Расчетные модели могут быть положены в основу конструирования СО в НК, например, путем применения методов физического моделирования.
физическое моделирование в НК
Физическое моделирование существенно отличается от других основных видов моделирования: технического и математического. Основное отличие состоит в том, что при физическом моделировании априори принимается одинаковость физической природы модели и оригинала (натуры). В то время как при техническом моделировании природа модели и оригинала принципиально разная, например, гидросооружения моделируют электрическими цепями. При использовании математического моделирования природа модели и оригинала вообще не рассматривается, важно чтобы математические уравнения, описывающие модель и оригинал были одинаковыми. Поэтому при выборе вида моделирования применительно к разработке СО в НК предпочтение следует отдать физическому моделированию. Причем в качестве предмета моделирования как системы (объект, процесс, явление) целесообразно выбрать процесс взаимодействия физических полей с ОК и СО, что наиболее корректно отражает сущность НК. Кроме этого, параметры физических полей, взаимодействующие с СО и ОК, целесообразно принять одинаковыми, что существенно упрощает применение методов физического моделирования в НК. Основным математическим аппаратом, используемым при разработке физических моделей, являются теории подобия и размерностей.
теория подобия
Предметом теории подобия является исследование различных систем (объектов, процессов, явлений) путем установления критериев их подобия и изучение с помощью этих критериев свойств самих систем. Физические системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состоя-
ние одной системы, пропорциональны соответствующим величинам другой системы. Ключевым понятием теории подобия являются критерии подобия. В общем случае при анализе подобных систем различают следующие критерии подобия: константы подобия (масштабные коэффициенты), инварианты подобия и нетривиальные критерии подобия. Константы подобия отражают отношения значений одноименных величин для подобных систем, то есть простые (тривиальные) межсистемные связи. Инварианты подобия описывают для подобных систем отношения одноименных величин для разных точек системы, то есть отражают внутрисистемные связи. Безразмерные комбинации (комплексы) из всех или части параметров подобных систем и переменных величин, характеризующих подобные системы, называют, в отличие от тривиальных констант и инвариант подобия, нетривиальными критериями подобия (НКП). Они отражают в наиболее общем виде сложные межсистемные связи для подобных систем. Эти критерии можно преобразовывать, образуя новые критерии путем перемножения или деления критериев, полученных ранее. Используя НКП, можно значительно сократить число величин, подлежащих рассмотрению, и сделать анализ более компактным и наглядным. Существенно, что зависимости, написанные в форме отношения между НКП, справедливы не только для одной какой-либо системы, а для группы подобных систем. Это обстоятельство позволяет одну из систем рассматривать как оригинал (натуру), а подобную ей систему как модель. Зависимости, найденные на модели, с помощью НКП можно перенести на оригинал. Применение теории подобия базируется на трех известных теоремах подобия [21, 22].
Теоремы подобия. Первая теорема подобия утверждает одинаковость численных значений критериев подобия для подобных систем.
Наиболее значимой для практики является вторая теорема подобия (П-теорема): всякое уравнение, описывающее систему и связывающее между собой N ее величин, среди которых п величин обладают независимыми размерностями, может быть преобразовано к уравнению, связывающему N - п независимых безразмерных соотношений, построенных из этих величин, то есть к уравнению, связывающему друг с другом N и п критериев подобия.
Третья теорема подобия формулируется следующим образом: необходимым и достаточным условием подобия двух систем является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условие одно-
значности, и равенство критериев подобия. Условия однозначности - это условия, определяющие индивидуальные особенности подобных систем. К ним относятся следующие факторы и условия:
1) геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;
2) физические параметры среды и тел, образующих систему;
3) начальное состояние системы (начальные условия);
4) условия на границах системы (граничные условия);
5) взаимодействие объекта и внешней среды.
Математически сформулировать условия однозначности в общем виде не удается. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи.
Виды подобия. Различение видов подобия осуществляется по двум признакам: по виду систем и по степени соответствия параметров оригинала (натуры) и модели. По первому признаку различают техническое, математическое и физическое подобие. В сложных случаях подобие может быть химическим, физико-химическим и т.д. По второму признаку выделяют абсолютное и практическое подобие. Абсолютное подобие характеризуется тем, что в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства параметры одной системы находятся в определенном соответствии с параметрами другой системы. Абсолютное подобие, требующее тождества систем, - понятие абстрактное. Оно частично реализуется в геометрических построениях и отдельных видах математического подобия. Более важно понятие практического подобия, которое может быть полным, неполным и приближенным. Полное подобие - это подобие протекания во времени и в пространстве только тех процессов, которые достаточно полно характеризуют изучаемую систему и существенны для конкретной задачи. Если в рассматриваемых физических системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия - это неполное (частичное) подобие. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительным или малосущественным для рассматриваемой системы. Приближенное подобие характеризуется принятием упрощающих допущений, которые приводят к некоторому несоответствию оригинала (натуры) и модели, но которые считаются допустимыми на основании предварительных исследований и эксперт-
ных оценок. В НК основным видом подобия является неполное подобие, а в сложных случаях приближенное подобие. Эти виды подобия являются предметом исследования теории подобия, дающей возможность установить наличие подобия или позволяющей разработать способы его достижения. Соотношения между моделью и оригиналом, выявляемые теорией подобия, могут быть различными, например, в виде простых масштабных соотношений-констант подобия (при геометрическом подобии), а также в виде сложных функциональных зависимостей группы параметров сопоставляемых подобных систем (нетривиальные критерии подобия). Отыскание нетривиальных критериев подобия является одной из основных задач при построении расчетных моделей для конструирования СО в НК на принципах физического моделирования.
Алгоритм отыскания НКП на основе теории подобия.
Введение критериев подобия позволяет в наиболее адекватной форме найти соответствие между «моделью-процессом» для СО и «моделью-натурой» для ОК и на этой основе более эффективно разрабатывать СО. Следует отметить, что применительно к системе единиц СИ критерии подобия могут быть получены в виде безразмерных комбинаций лишь из 7 основных и независимых физических величин. Они формируют в качестве орт 7-мерное физическое фазовое пространство (ФФП), в котором реализуются любые комбинации физических величин. При разработке СО в НК необходимо выбрать характерные (не любые) физические величины, описывающие конкретные процессы взаимодействия физических полей как с СО так и ОК. При этом могут быть использованы не все 7 независимых основных физических величин системы СИ, а лишь их часть, формирующая базис ФФП и достаточная для реализации принципов построения расчетной модели СО в НК.
На основе теорий подобия можно сформулировать следующий алгоритм нахождения НКП в НК.
1. Устанавливается (ищется) физическая модель процесса применительно к конкретному виду НК, описываемому набором N характерных (определяющих) основных и производных физических величин.
2. В этом наборе находится п независимых физических величин (из 7 основных физических величин), определяющих мерность (т. е. базис) ФФП для данного вида НК.
3. Оценивается число условий подобия 5 = N - п, соответствующих числу нетривиальных критериев подобия.
4. На основе физических законов и закономерностей устанавливаются безразмерные комбинации характерных физических величин (т. е. вид нетривиальных критериев подобия) для принятой физической модели рассматриваемых процессов.
5. В случае отсутствия аналитических зависимостей, например из-за сложности изучаемого явления (процесса) вид критериев подобия и форма связи между выбранными характерными параметрами устанавливается на основе теории размерностей (см. ниже).
Несмотря на относительно простой вид критериев подобия, они имеют глубокое физическое содержание, отражающее, как правило, отношение сил разной природы, импульсов этих сил и энергий. Ниже приведены примеры отыскания (установления) нетривиальных критериев подобия для ряда физических процессов, применяемых в НК (механические явления, упругие волны, электродинамика).
примеры отыскания нкп
Механическое движение
Механическое движение можно описать следующими параметрами: т [кг] - масса тела, I [м] - характерное расстояние перемещения тела, 1 [с] - время перемещения, Fm, Ff [Н] = [кгмс-2] - действующая на тело движущая сила и сила трения соответственно. На рис. 1(а, б) приведены схемы механического движения тел.
Общее число параметров N = 4, число независимых параметров (базис ФФП) п = 3 и число нетривиальных критериев составит 5 = N - п = 4 - 3 = 1. Для нахождения критерия Ньютона N. используем отношение
а)
т
т
б)
т
V;
с т
Гт —
ь
т - масса тела, Fm - движущая сила, F1 - сила трения,
и 12 - время начала и окончания движения, v1 и 11 - скорость и длина пути (схема а)
V и I/ - время начала и окончания движения, v2 и 12 - скорость и длина пути (схема б)
Рис. 1. Схема механического движения тела: а - без трения, б - с трением
двух сил: движущей Fm и силы инерции. Fj = т (V2 / I) (V - скорость [мс-1]).
N. = Ю / ^ = Ю / т (V2 / I) = 12) / (т I). (1)
Полученный критерий Ньютона может быть использован при физическом моделировании процессов механического движения.
УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Распространение упругих волн в твердом теле (образце) в приближении сплошной среды описывается следующими определяющими параметрами: I [м] -характерное расстояние перемещения волны (длина образца), в [м2] - площадь поперечного сечения образца, Fg [Н] = [кгмс-2] - сила тяжести, Еи [Нм-2] = [кгм-1с-2] -модуль Юнга. Общее число параметров N = 4, число независимых параметров (базис ФФП) п = 3, и число нетривиальных критериев составит 5 = N - п = 4 - 3 = 1. Для нахождения критерия используем отношение двух сил: силы тяжести Fg и силы упругости Fr.
К№= Fд / Fr =(тд)/ (зЕ„)= (рвд)/ (зЕ„)= Ш/ (Е) (2)
Полученный критерий может быть использован при физическом моделировании ультразвуковых процессов.
Электродинамические явления
Электродинамические явления могут быть охарактеризованы следующими определяющими параметрами [2, 24, 25]:
- переменным магнитным полем линейной частоты f [Гц], воздействующим на массивный электропроводящий объект;
- параметрами массивного электропроводящего объекта (электропроводностью ст[А2 с3/кг м3] и безразмерными магнитной ц, идиэлектрической е прони-цаемостями);
- глубиной сформированного в массивном объекте скин-слоя 8с[м];
- напряженностью вихревого электрического поля в массивном объекте Е[кг м/А с3], формируемой воздействующим переменным магнитным полем и обуславливающей возникновение вихревых токов с плотностью
[А/м2-],
- плотностью у'й[А/м2"] токов смещения, возникающих в неэлектропроводящих включениях массивного объекта.
На рис. 2 приведена схема взаимодействия внешнего переменного магнитного поля с электропроводящим объектом.
ВМП - внешнее переменное магнитное поле; ИМП - излучаемое переменное магнитное поле; ЭПО - электропроводящий объект; ДВ - диэлектрические включения; о, в, ц - электропроводность, диэлектрическая и магнитная проницаемость ЭПО; Е„ - напряженность вихревого электрического поля; и jd - плотность вихревых токов и токов смещения; 5 - глубина скин слоя; Н - высота ЭПО
Рис. 2. Схема взаимодействия внешнего переменного магнитного поля с электропроводящим объектом
В результате данное электродинамическое явление характеризуется общим числом определяющих размерных параметров N = 6, из которых независимых (основных) имеется п = 4, то есть число нетривиальных критериев подобия составит 5 = N - п = 6 - 4 = 2.
Первый критерий подобия следует из известного выражения для глубины скин-слоя:
КДО^цо/),
(3)
где ц0 = 4п 10-7[ кгм/А2с2] - магнитная постоянная.
Второй критерий подобия можно получить из соотношения плотности вихревых токов ¡т и токов смещения
К = ¡к / ¡ё = (о Е) / ( dD/dt) = (о Е) / (боб Е
= О / (боб /),
(4)
где в0 = 8,85 10-12[А2с4/кгм3] - электрическая постоянная.
Полученные нетривиальные критерии подобия могут быть использованы при физическом моделировании электродинамических явлений.
Таким образом, изложенный выше алгоритм позволяет на основе теории подобия получить для представленных физических явлений нетривиальные критерии подобия, которые могут быть использованы при физическом моделировании этих явлений.
ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
В тех случаях, когда аналитические уравнения, описывающие систему, заранее не известны или их трудно установить, критерии подобия могут быть найдены посредством теории размерностей на основании известной второй теоремы (П-теоремы). При этом исходят из качественного описания системы, указывающего, какие величины ее характеризуют и влияют на ее поведение. Чем полней и достоверней знание величин, существенных для системы, тем меньше вероятность ошибки при описании системы. Если хотя бы одна из величин, оказывающих существенное влияние на систему, не будет учтена, это может привести к некорректному описанию системы. Поэтому теория размерностей не всегда дает уверенность в правильности получаемых с ее помощью результатов. Несмотря на это теория размерностей является наиболее эффективным и часто единственным способом отыскания НКП в условиях, когда неизвестны физические закономерности для исследуемых систем, что особенно характерно для методов НК. Следует отметить, что в последнее время достигнут существенный прогресс в разработке теории размерностей.
Классическая теория размерностей
Традиционный алгоритм применения классической теории размерностей состоит в следующем. Составляется уравнение связи, содержащее характерные величины (параметры), описывающие исследуемую систему:
иа = С (ах Ьу С ./),
(5)
где и - искомая величина известной размерности а, С - неизвестная постоянная безразмерная величина, ах Ьу С ..1 - произведение известных характерных (основных и производных) величин а Ь с .1 с известными размерностями, но неизвестными показателями х, у, I... к. Применительно к системе СИ максимальное число основных независимых (базисных) величин составляет 7, через которые выражаются любые производные величины.
Из условия равенства размерностей слева и справа в (1) составляется система уравнений для показателей х, у, I... к, которые определяются при решении системы.
Ниже рассмотрен пример отыскания критерия Ньютона на основе применения классической теории размерностей.
На рис. 1а приведена схема перемещения тела массой т на расстояние I за время t под действием движущей силы Fm (без трения).
Основное уравнение связи можно записать в виде: Fm = С{тх I Р}, (6)
где С - безразмерная постоянная, х, у, I - безразмерные показатели.
Запишем (7) через размерности величин в системе СИ.
МиГ-2 =С {Мх Цу Т1}. (7)
Из равенства размерностей слева и справа получим систему
М 1 = х
•1\ = у . (8)
1-1 = 2
После постановки полученных значений х , у, I в (7) получим:
Fт = С{т1 I1 Г2}. (9)
Тогда (9) можно записать, например, в виде:
^ Р2) / (т I) = С = N6, (10)
где N6 - известный критерий Ньютона.
Таким образом, классическая теория размерностей позволяет также получить известный критерий Ньютона.
Однако при практическом применении такой классической теории размерностей возникает ряд сложностей. Одной из них является трудность решения часто получаемой на практике незамкнутой (неполной) системы уравнений для степенных показателей, то есть когда число искомых показателей больше числа уравнений. Это принципиальное затруднение пытаются обойти добавлением других основных величин, что сложно обосновать и может даже приводить к ошибочным результатам.
Обобщенная теория размерностей
Частичное решение проблемы решения незамкнутых систем уравнений было предложено в оригинальной работе [23], вышедшей в 2008 г. Основой предлагаемого в этой работе решения является применение принципа экстремальности для нахождения экстремалей, что является одной из основных задач вариационного исчисления. Применительно к уравнению функциональной связи, формируемому согласно теории размерностей, экстремаль является специальной функцией, обеспечивающей экстремум этого уравнения. В [23] предлагается следующий алгоритм отыскания экстремалей. На основе схемы классической теории размерностей составляется для степенных показателей незамкнутая система уравнений.
Путем комбинаций все показатели сводятся, как правило, к одному или двум показателям и затем в уравнении связи все величины справа записываются с этими показателями. Полученное уравнение связи логарифмируется, находятся частные производные по установленным показателям (например, двум показателям) и производные приравниваются к нулю. Получаются алгебраические суммы логарифмов, равные нулю. Затем производится свертка логарифмов, и из условия ее равенства нулю, получаем равные 1 безразмерные комбинации величин, которые и являются экстремалями и могут выполнять функции нетривиальных критериев подобия. Применение принципа экстремальности значительно расширяет возможности теории размерностей, в том числе в НК. Наиболее значимым результатом применения принципа экстремальности в НК, по нашему мнению, является нахождение нетривиальных критериев подобия, в условиях получения незамкнутой системы уравнений для степенных показателей.
Однако предложенный в [23] вариант модифицирования теории размерностей применительно к неразруша-ющему контролю обладает следующими ограничениями. Во-первых, при записи уравнения связи в форме (5) в экстремаль и, следовательно, в критерий подобия не может войти искомый параметр согласно предлагаемому алгоритму. Во-вторых, на что указывает и автор работы [23], при составлении (1) необходимо соблюдать принцип иерархии (соподчиненности) величин, что затруднительно выполнить применительно к НК из-за сложности процессов.
Для устранения этих принципиальных ограничений нами предлагается ввести единичную безразмерную функцию у и составлять уравнения связи из (5), например, в виде:
¥ = С{иа ах ЬуС Р), (11)
где иа, а, Ь, с, f - характерные параметры (основные и производные безотносительно к их иерархии), используемые при составлении основного уравнения связи.
Объединение принципа экстремальности с обобщенным уравнением связи вида (11) открывает возможность построения более общей теории размерностей (ОТР). Она может найти эффективное применение, особенно в части отыскания нетривиальных критериев подобия при разработке расчетной модели ОИ в НК. Ключевым вопросом при построении расчетной модели ОИ является выбор характерных параметров и нахождение нетривиальных критериев подобия, обеспечивающих сходство систем - модели и натуры. Применительно к НК в качестве предмета сходства целесообразно
выбрать процесс (явление) взаимодействия физических полей с ОИ и ОК, как это имеет место при осуществлении контроля. Критериями сходства между «моделью-процессом» и «натурой-процессом» в этом случае могут быть нетривиальные критерии подобия для указанных процессов.
Ниже приведен алгоритм применения ОТР для отыскания нетривиальных критериев подобия в НК.
Алгоритм применения ОТР для отыскания НКП
1. Составляется уравнение функциональной связи меду выбранными характерными параметрами, которое применительно к НК целесообразно представить в виде:
у = С (р1х • Р2у • Рз1 • р/...- рЛ РЛ
(12)
где у - функция с размерностью 0, р5 - параметр, связанный с процессом формирования информационного сигнала, рр- основной (первопричинный) рабочий параметр элемента модели СО, р^ • р2 • р3 • ...• рп -дополнительные параметры (основные и производные), описывающие процесс взаимодействия ФП с СО.
2. Все величины в (12) выражаются через размерности основных единиц системы СИ. Например, если рр есть площадь отражателя, то его размерность имеет вид [Рр] = [^2]. Затем приравниванием размерностей составляется система, как правило, избыточных (незамкнутых) уравнений. Комбинацией показателей удается их свести к одному или нескольким имеющимся показателям, например: к, Л и к.
3. Записывается выражение (12) для величин справа через полученные показатели Л и к и все величины переводятся в безразмерную форму путем их деления на одноименные единичные величины. Например, Рр / Рр0 = Рр* (Рр0 = 1М2). Перевод величин в безразмерную форму необходим для возможности применения к ним математических операций.
4. Для полученного в безразмерной форме выражения у находят экстремали следующим способом. Выражение для у логарифмируется, затем берутся частные производные от найденных логарифмов по показателям Л и к, и эти производные приравниваются к нулю. Путем свертки логарифмов находим в виде безразмерных экстремалей комбинацию безразмерных величин, равную 1. После возвращения в экстремалях к размерным величинам получаем безразмерную комбинацию размерных величин, которая может выполнять функцию нетривиальных критериев подобия.
Найденные нетривиальные критерии подобия на основе ОТР могут быть использованы для построения расчетной модели для конструирования СО в НК.
Ограниченность классической теории размерностей
Усложним задачу, добавив в схему движения (рис. 1б) силу трения Ff.
Тогда вместо (7) имеем:
С{тх Iу tI Ffk}.
(13)
Запишем (13) через размерности величин в системе СИ:
MLT-2 = С {Мх V Т (1УО"2)к}. (14)
Из равенства размерностей слева и справа для (14) получим систему:
М 1 = х+к
• М = у+к . (15)
Т-2 = г-2к
Полученная новая система (15) избыточная (незамкнутая): число неизвестных - 4, больше числа уравнений - 3. Найти корректное решение этой системы затруднительно, и это становится принципиальным ограничением классической теории размерностей. Применение в этом случае метода экстремалей требует приравнивания к нулю частной производной / дк, что приводит к потере величины Fm в формуле для силы трения Ff. Поэтому для решения задачи по нахождению нетривиальных критериев подобия (НКП) воспользуемся приведенной выше общей теорией размерностей. В результате имеем:
¥ = С{тх У ¥ Fm ^ Л}. (16)
После замены ¥ безразмерной 1 и выражения всех величин через основные единицы СИ получим:
1 = С {Мх Ц/ Т1 (MLT-2 )k(MLT-2)Л}.
(17)
Приравнивая в (17) показатели для одинаковых величин слева и справа, получаем незамкнутую систему из 3 уравнений с 5 неизвестными, то есть существует два НКП: 5 = 5 - 3 = 2.
М=0=х + /г + /? ¿ = 0=у + /г + /7 . 7" = 0 = 7-2/г-2Л
(18)
После подстановки найденных из (18) значений х, у, I в (16) получим:
¥ = С{т-<к + Л> |-<к + Л> ^<к + Л) Fmk Ffh}.
(19)
Для осуществления математических операций переведем все величины в (19) в безразмерную форму:
¥ = С{(т*)-(к * Л> (1*)-<к + Л> (Г)2<к + Л> ^т*)к(^*) Л}. (20)
Затем для решения задачи воспользуемся методом экстремалей.
1дТ = 1дС - (к + Ь1)1дт* - (к + И)1дГ + 2(к + Л)1дГ + + к1дГт* + hlgFf*
Находим частные производные и их приравниваем к нулю, получим:
[д(1дТ)] дк = 0 = -1дт* - 1д1* + 21дГ*
Отсюда находим 1-ю экстремаль:
Е = [^Л (Г*)2]/ [(т*) (I*)] = 1, а после возвращения к размерной форме - 1-й НКП:
К *) (Г)2] / [(т ) (I)] = 1^ет) (21) [д(д¥)] дh = 0 = -1дт* - 1д1* + 21дГ* + 1д^*
Отсюда находим 2-ю экстремаль:
Е2 = [^*(Г*)2]/ [(т*) (I*)] = 1, а после возвращения к размерной форме - 2-й НКП:
К = Ш (Г)2] / [(т ) (I)] = 1. (22)
Путем объединения критериев найдем общий НКП:
К = К1 К = » (Г)2[(^) (Г)2]} / [(т ) (I)]2 = 1. (23)
Из (23) после преобразований можно получить формулу для силы трения:
^ = I/2 [т2 / Г2)]. (24)
Из анализа (24) следует важный вывод, что сила Ff прямо пропорциональна квадрату скорости и массы движущегося тела и обратно пропорциональна движущей силе Fm и квадрату времени движения. Зависимость Ff от квадрата скорости подтверждена экспериментально. В целом формула (24) не противоречит физике механического движения тел в условиях трения, но необходимы эксперименты по ее проверке.
РАЗРАБОТКА РАСчЕТНОй МОДЕЛИ
для конструирования со
На рис. 3 приведена общая схема применения СО в НК, которая может быть положена в основу построения расчетных моделей при конструировании СО. Под расчетной моделью в НК понимается совокупность общих принципов, условий и приближений, описывающих процессы НК на основе известных физических законов и закономерностей.
При построении расчетных моделей СО применительно к НК целесообразно использовать следующие основные общие условия и приближения:
ПП
СО - стандартный образец; ФП - физическое поле; ПП - первичный преобразователь; ИС - информационный сигнал; ЭБ - электронный блок; МД - модель дефекта
Рис. 3. Общая схема применения стандартного образца в неразрушающем контроле
- одинаковость по природе и параметрам физических полей (ФП), воздействующих на ОК и СО;
- установление набора характерных параметров (основных и производных физических величин), описывающих взаимодействие ФП с СО;
- необходимость выбора и установления основного элемента СО и его первопричинного рабочего параметра как доминанты формирования информационного сигнала СНК;
- необходимость выбора и установления предмета сходства (подобия) СО и ОК и нахождение критериев подобия, например, на основе теорий подобия и размерностей;
- установление условий формирования информационного сигнала при минимизации влияния негативных факторов (взаимное влияние элементов СО, краевые эффекты и др.);
- приближение монотонности характера зависимости информационного сигнала от размера первопричинного параметра или их отношений;
- идентичность (по возможности) по физическим свойствам материала СО и ОК.
Ключевым вопросом при построении расчетной модели СО является установление характерных параметров и нахождение нетривиальных критериев подобия. Применительно к НК в качестве предмета сходства (объект, явление, процесс) целесообразно выбрать системы в виде процесса взаимодействия физических полей с СО и ОК, как это имеет место при осуществлении контроля. Показателями сходства между «моделью-процессом» (далее - модель) и «натурой-процессом» (далее - натура) в этом случае могут быть нетривиальные критерии подобия для указанных процессов.
Установление условий и приближений построения расчетных моделей в НК
При построении расчетных моделей необходимо опираться на известные физические законы и закономерности применительно к конкретным методам НК. Однако из-за сложности процессов взаимодействия физических полей с ОИ приходится вводить определенные условия и приближения для построения расчетных моделей. При этом необходимо обеспечить решение комплекса задач, связанных с выбором материала ОИ и его физических свойств, формированием в материале моделей дефектов, соответствующих реальным и опасным дефектам ОК.
Ниже представлены основные общие принципы, условия и приближения построения расчетных моделей ОИ в НК.
Выбор материала и формирование модели дефекта. Материал ОИ должен быть по возможности подобен материалу ОК, особенно по тем физическим свойствам, на которых основаны методы НК. В случае если конкретный метод НК применяется для широкой гаммы материалов, то целесообразно выбрать в качестве материала СО наиболее широко распространенный на практике и с типовыми физическими параметрами. Так, например, при ультразвуковом контроле материал ОИ должен обладать сходными с ОК акустическими свойствами (сходным акустическим затуханием, отсутствием локальных неоднородностей, формирующих ложный сигнал и т.д). Для вихретокового метода контроля материал СО следует выбирать исходя из схожести с материалом ОК по электромагнитным свойствам (электропроводности, магнитной проницаемости и т.д.). При использовании метода магнитного контроля материал СО должен обладать схожими магнитными свойствами (магнитной проницаемостью, коэрцитивной силой и т.д.). Иногда приходится создавать специальный материал, обеспечивающий конструирование СО, приемлемых для практического использования.
В последующем необходимо сконструировать модель дефекта, отвечающую следующим основным требованиям. Она должна соответствовать типовым и особенно опасным реальным дефектам по физическим свойствам для конкретного метода НК, а также по геометрии и местоположению. Параметры реальных подлежащих контролю дефектов известны лишь приблизительно, например на основе накопленного опыта, а сами дефекты могут иметь сложную геометрию. В этих условиях приходится создавать модель дефекта упрощенного вида, но содержащую приемлемую имитацию основного параметра контроля, например размеров площади отра-
жения (ультразвуковой контроль), электропроводности (вихретоковый контроль), магнитной проницаемости (магнитный контроль).
Установление основного (первопричинного) рабочего параметра модели дефекта. Основное назначение модели дефекта - это сформировать информационный сигнал, сходный по основным параметрам с сигналом от реальных дефектов. В модели дефекта следует создать такой параметр, который в основном формирует информационный сигнал. Этот параметр можно назвать основным (первопричинным) рабочим параметром, и он непосредственно должен быть связан с параметрами реальных контролируемых дефектов. Вид рабочего параметра модели дефекта зависит как от структуры дефектов, так и от применяемого метода контроля. Так, например, в ультразвуковом контроле эхо-методом таким параметром может быть размер отражающей площади модели дефекта. Для вихретокового контроля поперечных трещин в ОК рабочим параметром модели является, например, размер раскрытия поперечного пропила. При магнитном контроле поверхностных трещин рабочими параметрами модели становятся раскрытие и глубина - искусственно созданного имитатора трещины. При использовании магнитного метода для контроля геометрических параметров ОК рабочим параметром модели может быть, например, толщина или площадь поперечного сечения имитатора.
Принцип многоэлементности конструкции СО и ранжирования элементов по основному рабочему параметру модели дефекта. Реальные подлежащие контролю дефекты характеризуются, как правило, широким изменением их параметров (по физическим свойствам, геометрии, местоположению и т.д.), что приводит к формированию информационных сигналов также в широком диапазоне изменения их параметров. Это обстоятельство необходимо учитывать при конструировании СО. Если принять одну модель дефекта в качестве элемента СО, то многоэлементность становится необходимым принципом, обеспечивающим имитацию разнообразных реальных дефектов и информационных сигналов от них в конструируемых СО. Причем принцип многоэлементности можно реализовать как в одном отдельном экземпляре СО, так и их набором. Другим важным принципом конструирования СО является принцип ранжирования (упорядочения) элементов СО по их основному рабочему параметру. Его реализация позволяет проследить процесс упорядоченного изменения информационного сигнала при сканировании средством НК многоэлементного СО. Это дает возможность обнаружения нарушения закономерности формирования
информационного сигнала, обусловленного, как правило, нелинейностью приборного тракта, что позволяет принять меры по устранению этой причины еще до практического применения средства НК.
Условия построения формы аттестат-графика для СО. Построение формы аттестат-графика является заключительным этапом разработки расчетных моделей ОИ в НК. Аттестат-график как удобный и наглядный способ установления зависимостей между величинами используется в нормативных документах (см., например, ГОСТ 14782 [4]). В данной работе аттестат-график целесообразно построить в виде взаимосвязанной системы координат: ось абсцисс - условная шкала с отметками п, отношений основных первопричинных параметров либо логарифмов этих отношений, а ось ординат - условная шкала с отметками Ы, отношений информационных сигналов либо отношений их логарифмов. В случае прямопропорциональной зависимости информационного сигнала от значения первопричин-ного параметра линейное преобразование от п, к Ы, происходит с коэффициентом, равным 1. Однако из-за влияющих факторов линейность условной шкалы п, нарушается и происходит отклонение коэффициента преобразования от 1, что обуславливает формирование зоны неопределенности. В общем случае переход от п, к Ы, будет характеризоваться некоторой матрицей преобразования. Ее можно приближенно заменить набором из разных коэффициентов преобразования, которые для любой пары п, - Ы, можно свести к одинаковому номинальному коэффициенту преобразования Кпрн = 1 и конкретному допустимому значению ДКпр - зоны неопределенности. Ее допустимое значение целесообразно связать со значением поля допуска ДР, нормируемого документами в неразрушающем контроле. Согласно метрологическим нормам, для исключения влияния ДКпр на результаты настройки СНК с применением СО можно принять ДКпр = 1/3 ДР. Созданную систему связанных между собой условных шкал с отметками
п, и Ы,с нормированной зоной неопределенности ДКпр можно использовать для единообразного контроля в пределах ДР нелинейности приборного тракта СНК путем построения зависимости от п, его показаний Ыд при сканировании элементов СО. Поэтому для оценивания зоны ДКпр становится необходимым выявление источников погрешностей ее формирования.
Пример реализации этих принципов, условий и приближений представлен в нашей работе [20], посвященной построению расчетной модели СО в виде многоэлементных отражателей для ультразвуковой аппаратуры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе анализа литературных данных и наших исследований можно сформулировать следующие общие принципы, условия и приближения построения расчетных моделей при конструировании СО в НК:
1. Применение принципов физического моделирования при конструировании СО на основе использования теорий подобия и размерностей.
2. Выбор предмета (системы) подобия в НК в виде процессов взаимодействия физических полей с СО и ОК.
3. Выбор и оценивание основных параметров (с выделением информационного сигнала и первопричинного параметра) при построении расчетной модели.
4. Принцип многоэлементности при конструировании СО и ранжированности отношений первопричинного параметра при построении расчетной модели в многоэлементной конструкции СО.
5. Реализация условий пренебрежения краевыми эффектами, процессами межэлементных взаимодействий и исключения ложных сигналов при конструировании СО.
6. Обеспечение условий линейного приближения для связи информационного сигнала с основным (перво-причинным) рабочим параметром модели.
7. Принципы и условия построения формы расчетно-экспериментальных аттестат-графиков для СО.
Э ЛИТЕРАТУРА
1. Неразрушающие методы контроля. Спецификатор различий в национальных стандартах различных стран / под. ред. В.Я. Киршенбаума. М.: Центр «Наука и техника», 1992. Т. 1, 2; 1995. Т. 3.
2. Козлов В.В. Поверка средств неразрушающего контроля. М: Издательство стандартов, 1989.
3. Ермолов И.Н., Ланге Ю.В. Неразрушающий контроль. Справочник: в 7 т. Т. 3. Ультразвуковой контроль. М.: Машиностроение, 2004. 864 с.: ил.
4. ГОСТ 14782-84 Контроль неразрушающий. Соединения сварные. Методы ультразвуковые.
5. Печенков А.Н, Щербинин В.Е. Обратная задача магнитостатической дефектоскопии // ДАН. 2006. Т. 408. Вып. 6. С. 758-762.
6. Пашагин А.И., Бенклевская Н.П. Зависимость магнитного поля дефекта от расстояния до поверхности контролируемого изделия // Дефектоскопия. 2008. № 11. С. 82.
7. Щербинский В.Г., Алешин Н.П. Ультразвуковой контроль сварных соединений. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000.
8. Перов Д.В., Ринкевич А.Б. Применение дискретного вейвлетного преобразования для выделения сигналов из шумов различного спектрального состава // Акустический журнал. 2005. Т. 51. № 4. С. 520-526.
9. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974.
10. Нульман А.А, Уткин В.И. Калибровочные образцы для измерений индукционного магнитного момента // Измерительная техника. 2000. № 1. С. 52-54.
11. Соболев А.С, Пудов В.И. Разработка стандартных образцов для определения чувствительности вихретоковых устройств к содержанию металлических включений в парамагнитном материале // Дефектоскопия. 2003. № 1. С. 22.
12. Пудов В.И, Соболев А.С. Модель стандартных образцов магнитной восприимчивости дисперсных материалов для каппа-метрической аппаратуры. Ч. I. Расчет калибровочного образца с нормированной магнитной восприимчивостью дисперсного материала // Дефектоскопия. 2005. № 11. С. 39.
13. Pudov V.I. and Sobolev A.S. A Model of the Calibration Blocks of the Magnetic Susceptibility of Disperse Materials for Devices Intended for Magnetic Susceptibility Measurements. II. Experimetal Estimates for the Parameters of Calibration Blocks // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2005. Vol. 41. № 11. С. 736.
14. Пудов В.И, Соболев А.С. Модель стандартных образцов магнитной восприимчивости дисперсных материалов для каппа-метрической аппаратуры. Ч. III. Метрологическая оценка стандартных образцов // Дефектоскопия. 2005. № 11. С. 51.
15. Пудов В.И,. Соболев А.С. Модель стандартных образцов магнитной восприимчивости дисперсных материалов // Дефектоскопия. 2005. № 11. С. 45.
16. Пудов В.И, Соболев А.С, Бланин В.А. Устройство для настройки ультразвуковых преобразователей - дефектоскопов: патент 2310838 Рос. Федерация. 2007. Бюл. № 32, II ч. 9.
17. Пудов В.И., Соболев А.С. Измерение физических свойств слабомагнитных дисперсных образцов для оценки их стабильности // Измерительная техника. 2008. № 9. С. 59.
18. Пудов В.И,. Соболев А.С. Устройство для калибровки магнитных дефектоскопов: пат. 96979 Рос. Федерация. 2010.
19. Пудов В.И., Соболев А.С, Воронина С.В. Измерение физических параметров образцов-имитаторов // Измерительная техника. 2010. № 5. С. 54.
20. Соболев А.С., Пудов В.И. Модель построения многоэлементных отражателей для ультразвуковой аппаратуры // Измерительная техника. 2011. № 7. С. 53.
21. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 9-е изд. М.: Наука, 1976. 440 с.
22. Веников ВА. Теория подобия и моделирование (применительно к задачам электроэнергетики). 2-е изд. М: Высшая школа, 1976.
23. Смольяков Э.Р. Принцип экстремальности в теории размерностей и новые фундаментальные физические постоянные // Динамика неоднородных систем. 2008. С. 78.
24. Прохоров А.М. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1984. 944 с.
25. Таблицы физических величин: Справочник / под ред. акад. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.
on the possibility of building calculation models for the development of certified reference materials of non-destructive control
Part 1
GENERAL PRINCIPLES, CONDITIONS AND APPROXIMATIONS OF BUILDING CALCULATION MODELS FOR THE DEVELOPMENT OF CERTIFIED REFERENCE MATERIALS OF NON-DESTRUCTIVE CONTROL
A.S. Sobolev
Due to the amount of material, the article will be presented in two parts. The first part considers the main principles, conditions and possibilities to build calculation models for the development of certified reference materials (CRMs) in non-destructive control (NDC). It is shown, that when selecting the processes of physical field interaction with CRM and with a test item as a similarity object, it is possible, by the use of the theories of similarity and dimensions, to find nontrivial similarity criteria which perform the function of similarity indicators. The algorithms of searching nontrivial similarity criteria in NDC as a basis of building calculation models are provided. The second part of the article will focus on the issues of the use of the generalized theory of dimensions, developed in the first part of the article, for the search of nontrivial similarity criteria in the development of certified reference materials for a number of methods of nondestructive control.
Key words: physical model, certified reference materials, nondestructive control, calculation model, theories of similarity and dimensions, nontrivial similarity criteria.
