CC BY
36
УДК 519.63 ББК 22.311
А.Ю. ГИЛЁВ, Н.Д. МОРОЗКИН, В.В. ЧУДИНОВ
О ВЛИЯНИИ СКОРОСТИ ПОДАЧИ НАГРЕТОЙ ВОДЫ НА ПРОЦЕСС РАЗЛОЖЕНИЯ ГИДРАТА МЕТАНА
Ключевые слова: добыча метана, разложение гидрата метана, задача Стефана, расщепление по физическим переменным, метод конечных объёмов.
Исследован процесс разложения гидрата метана потоком нагретой воды. Рассмотрена двумерная осесимметричная задача. Для расчётов использован метод конечных объёмов. Применялась расчётная сетка, состоящая из ячеек Вороного. Получены зависимости эффективности процесса разложения и формы шахты от времени и начальных условий задачи.
A.Yu. GILEV, N.D. MOROZKIN, V.V. CHUDINOV ON AN INFLUENCE OF A VELOCITY OF SUPPLY OF HEATED WATER ON A PROCESS OF A DECOMPSITION OF A METHANE HYDRATE
Key words: methane production, decomposition of methane hydrate, the Stefan problem, the splitting of the physical variables, finite volume method.
The decomposition process of methane hydrate by heated water flow is explored. Two-dimensional axisymmetric problem is considered. The finite volume method is used for calculations. A computational grid consists of the Voronoi cells is used. The dependences of the decomposition process efficiency and the mine shape from time and the initial conditions of the problem are obtained.
Одним из перспективных источников природного газа являются залежи гидрата метана. Подавляющее большинство запасов гидрата метана (до 98%) приходится на мировой океан. Количество газа, содержащееся в них, оценивается величиной 2-1014—1015 м3 [8]. Гидрат метана представляет собой кристаллическое соединение - клатрат, построенный на основе каркаса из молекул воды, в полости которого внедрены в качестве моле-кул-гостей молекулы метана [1]. На разложение гидрата необходимо потратить от 6% до 12% энергии, содержащейся в гидратированном газе [3].
Основная идея одного из методов разложения гидрата и добычи газа состоит в подаче нагретой воды непосредственно к залежам гидрата. Гидрат стабилен только в определённом диапазоне давлений и температур, и при повышении температуры выше критической величины начинает разлагаться на воду и метан.
В работе рассмотрена численная модель такого способа добычи метана.
1. Постановка задачи. В газогидратном слое бурится вертикальная шахта, размеры которой позволяют поместить систему из двух соосных труб. На трубах располагается опоясывающее трубу отверстие. Через внутреннюю трубу подаётся нагретая вода, а через внешнюю - отводятся метан и остывшая вода.
В постановку задачи введены следующие упрощающие предположения: 1) гидрат метана не содержит каких-либо примесей; 2) осадочные породы, находящиеся выше залежей гидрата метана, считаются твёрдыми и неподвижными; 3) метан, образовавшийся при разложении гидрата, на течение и термодинамические характеристики воды не влияет; 4) рассматривается осесимметричный случай (рис. 1); 5) Форма границы раздела «вода-гидрат» описывается некоторой функциональной зависимостью от координаты z: r = |(z).
Расчётная область представлена на рис. 1.
При расчётах задаются следующие геометрические величины: z0 - нижний край входного отверстия sin; hin - ширина входного отверстия sin, hin = zi - z0; H - высота расчётной области; R0 - радиус подающей трубы; R1 - начальный радиус шахты, заполненной водой; Rmax - радиус расчётной области. Края отводящего отверстия sout совпадают с радиусами R0 и R1, ширина этого отверстия hout = R1 - R0.
Для описания течения воды используется модель вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска, а для передачи тепла - уравнение теплопроводности, основанное на законе Фурье:
Dvr
~ді
■ + Vr
Dvr
дг
- + Vz
Dvr
~bz
=-15p+v|v2vr - -V,
Dv
Dv
p дг
l др
—- + vr—— + vz —- =---------+ vV2vz +(l -p/p,
дt
дг Dz p Dz
D(rvr) + d(,vz) = 0,
дг Dz
DT DT дТ X
+ vr — + vz =
Dt дг dz pc
DT _ __ Xh v2T
Dt ~ phch
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
где vr и vz - компоненты вектора скорости воды; p - давление воды; v - кинематическая вязкость воды; Т - температура среды; р, X и с - плотность, коэффициент теплопроводности и удельная теплоёмкость воды, соответственно; р^ Xh и ch - плотность, коэффициент теплопроводности и удельная теплоёмкость гидрата, соответственно; р0 - плотность воды при температуре, заданной на дне океана; g - ускорение свободного падения; р = р(Т) - плотность воды, для её вычисления используется приближённая формула (температура задана в градусах Цельсия):
р(Т) =---------------9957-3- (кг/м3).
0,984 + 0,483-10-3 • Т
Величины v, р, X, с, ph, Xh, ch, р0 и g считаются постоянными.
Уравнения (1) и (2) - уравнения Навье-Стокса; (3) - уравнение несжимаемости жидкости; уравнение (4) описывает теплоперенос в воде посредством конвекции и теплопроводности; уравнение (5) описывает теплоперенос в гидрате.
На входных и выходных отверстиях задаётся нормальный к сечению отверстия стационарный поток воды. Градиент давления направлен вдоль потока.
На входном отверстии sin
v0 = const. (6)
Для входного отверстия градиент давления рассчитывается из решения задачи о стационарном и ламинарном течении жидкости между двумя параллельными плоскостями др
— = 24%^R()hinv, (7)
дг
где величина ц = pv - динамическая вязкость жидкости; v - скорость жидкости.
В горловине шахты на выходном отверстии Sout скорость вычисляется из решения задачи о ламинарном течении жидкости между AD - поверхность трубы, подающей горячую воду; двумя соосными трубами. Гради-
^ - кривая, образующая поверхнос1ъ ент давления рассчитывается из
раздепа сред воды и гидрата, условия несжимаемости жидкости
CF - удаленная граница; DF - поверхность грунта; ^
AC - граница осадочных пород, не содержащих гидрата; и зависит от расхода жидкости Q Sin - входное отверстие; Sout - выходное отверстие. через отверстие:
1 \ дР_ 4^Q
v = v(r) =-Р (г 2 + Cl ln г + C2 )
4Mz' ‘ dz л[0,5г2 + C1 (lnг - 0,5) + C2]\R2
R2 -R2 "Rl (8)
Cl ln(JRi/R0)C2 R°2 Clln Ro,
где R0 и R1 - г-координаты краёв отверстия.
На поверхности трубы, грунта, осадочных пород и раздела «вода-гидрат» задаётся условие прилипания жидкости:
v = 0, др = 0. (9)
дп
Границы области с грунтом и осадочными породами считаем теплоизолированными
дТ
— = 0. (10)
дп
На поверхности трубы, на удалённой границе, на грунте, на границе с осадочными породами начальную температуру воды в шахте и гидрата считаем одинаковой и фиксированной:
Т0 = const. (11)
На границе «вода-гидрат» задаётся граничное условие 4-го рода, для случая изменения агрегатного состояния вещества (задача Стефана) имеют место равенство температур воды и гидрата и условие баланса тепловых потоков
дТ дТ
Т* = Ть, X-* - Xh -i = Ph^, (12)
дп дп
где Т* - температура воды; Тh - температура гидрата; v% - скорость смещения границы «вода-гидрат»; ^h - удельная теплота разложения гидрата.
Температура разложения гидрата определяется следующим выражением:
^ = Т0 + ТЛпР,
Р0
где Т0, Т* и р0 - константы; р - давление на глубине залегания гидратов. Для гидрата
метана Т0 = 10° С; Т, = 10° С; р0 = 5.08-106 Па.
Необходимо решить задачу, описываемую уравнениями (1)-(5) и граничными и начальными условиями (6)-(12).
Задача: Исследовать эффективность процесса разложения гидрата и динамику формы шахты при различных скоростях подачи нагретой воды.
2. Решение задачи
2.1. Расчётная схема и сетка. Расчётная схема получена с помощью метода расщепления по физическим переменным и метода контрольного объёма [6, 9].
Была использована неоднородная расчётная сетка, состоящая из ячеек Вороного. Сетка получена из соответствующей триангуляции Делоне [7]. Шаг сетки уменьшается вблизи границ области, раздела сред и на входных и выходных отверстиях.
Граница раздела сред может изменяться достаточно быстро. Для предотвращения многократного и трудоёмкого построения сетки заново расчёт организован следующим образом [4]: 1) граница раздела всегда проходит через узлы сетки и перемещается скачкообразно по неизменной сетке; 2) сетка перестраивается не на каждом шаге, а только после значительного перемещения границы раздела. Величина критического перемещения границы может быть задана и обычно составляет несколько длин стороны ячеек вблизи границы раздела; 3) после перестройки сетки все физические величины пересчитываются со старой сетки на новую с использованием линейной интерполяции по ячейкам.
2.2. Аппроксимация задачи Стефана. Течение воды в рассматриваемой задаче характеризуется большими числами Рейнольдса (Re ~ 106). Поэтому вблизи границы шахты могут существовать большие градиенты компонент скорости и, следовательно, температуры. Для аппроксимации условий (12) на границе вода-гидрат стандартным способом [5] необходима очень частая сетка.
Чтобы избежать этого, был выбран следующий подход. На начальный момент каждого шага полагается, что температура на границе раздела вода-гидрат в направлении нормали к границе меняется скачкообразно (Тк Ф Т^).
В течение одного шага по времени т происходит теплообмен, и скачок «сглаживается». Поскольку величина т достаточно мала, теплообмен, обусловленный градиентом температуры на границе, затронет только соседние с границей ячейки. Таким образом, данную задачу сводим к одномерной задаче о теплообмене в системе двух полуограниченных и равномерно нагретых тел [2]. Откуда вычисляется поток тепла /(/) сквозь единицу площади границы, в момент времени /
Тч> ~ТЬ
Ж ) =--------гТ~ ■-
8 + 8й V К/
где е = Л/рАг и ей = л/Рй^йсй . Далее полагается, что за тот же шаг по времени вода в приграничных ячейках перемешивается, т.е. температура усредняется, и на начало следующего шага снова имеется скачёк температуры.
3. Численный эксперимент. Во всех экспериментах Я0 = 10 см, Ятях = 9 м, Я1 = 20 см, г0 = 0, V = 1,0-Ю"6 м2/с, I = 0,58 Вт/(м-К), с = 4200 Дж/(кг-К), рй = 900 кг/м3, 1к = 2,11 Вт/(м-К), ск = 2500 Дж/(кг-К), я = 9,81 м/с2, Н = 5 м.
Расход воды постоянен и равен 3,142-10-3 м3/с. При этом варьируются скорость входящего потока у,„ и ширина входного отверстия И,„, (таблица).
Скорость входного потока во всех экспериментах достаточно малая. Поэтому основным фактором, влияющим на движение воды, оказывается неуравновешенная сила Архимеда, действующая на нагретую воду.
Вода, только что поступившая в шахту, поднимается вверх, и скорость этого конвекционного потока, как показывает эксперимент, увеличивается на расстоянии порядка метра до максимальной величины.
Часть разогнанного потока воды, близкая к подающей трубе, выходит через выходное отверстие, а оставшаяся часть продолжает движение к верхней границе области (границе с осадочными породами) и стенкам шахты. Нагретая вода оказывается в непосредственной близости от границы гидрата. Большой перепад температуры приводит к интенсивному нагреву и последующему разложению гидрата. Остывающая вода опускается ко дну шахты и вливается в нагретый восходящий поток. Поскольку к нижней части стенок шахты приходит более холодная вода, теплообмен происходит медленнее и шахта приобретает форму воронки.
Для оценки формы шахты вычислялась величина е = ги/г^, где ги и г^ - средние радиусы, соответственно, в верхней и нижней части шахты.
Рис. 2 показывает, что при увеличении скорости входного потока величина е уменьшается, т.е. расширение верхней части шахты, по сравнению с нижней, происходит медленнее.
На начальном этапе запуска процесса, когда нагретая вода ещё не успела подняться, а шахта достаточно узкая, разложение гидрата происходит преимущественно в нижней части шахты. И только через некоторое время нагретая вода уходит на самый верх, а шахта принимает форму воронки. Такая ситуация соответствует периоду времени, в течение которого функция е(/) < 1 (рис. 2).
В качестве эффективности процесса разложения гидрата п(/) использовалось отношение тепла, переданного гидрату, к поступившему с потоком нагретой воды за период времени / от начала процесса.
На начальном этапе процесса эффективность низкая, это объясняется тем, что поступившая вода ещё не успела передать тепло гидрату.
Через несколько часов после начала процесса достигается максимум эффективности (рис. 3). В дальнейшем она падает со скоростью около 0,10-0,12% в час. Такое падение объясняется тем, что для продолжения процесса разложения гидрата необ-
№ к,, см г1т м/с
1 50 0,01
2 40 0,0125
3 33,3 0,015
4 28,57 0,0175
5 25 0,02
6 20 0,025
7 16,67 0,03
8 14,29 0,035
9 12,5 0,04
10 10 0,05
ходимо поддерживать температуру воды в шахте, объём которой постоянно увеличивается, выше температуры разложения гидрата. То есть всё возрастающая часть энергии уходит на прогрев воды в шахте.
Рис. 3. Эффективность нагрева гидрата, эксперименты № 1-7
Рис. 4. Эффективность нагрева гидрата, эксперименты № 1-10, при / = 1, 3, 5 и 7 ч
рассмотренного диапазона скоростей при
Рис. 2. Функция е(/), эксперименты № 1, № 6 и № 10
Оказалось, что эффективность процесса разложения гидрата падает, пока скорость подачи нагретой воды не достигнет величины - 0,025 м/с.
Далее с увеличением скорости наблюдается увеличение эффективности (рис. 4).
Выводы. Таким образом, проведённые исследования показали, что при большей скорости входного потока шахта приобретает форму воронки медленнее.
Зависимость эффективности разложения гидрата от скорости входного потока п(уш) имеет минимум внутри у/п - 0,025 м/с.
Литература
1. Динамические, термодинамические и механические свойства газовых гидратов структуры I и II / Т.М. Инербаев, О.С. Субботин, В.Р. Белослудов и др. // Российский химический журнал. 2003. Т. ХЬУ11, № 3. С. 19-27.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.
3. Макогон Ю.Ф. Природные газовые гидраты: распространение, модели образования, ресурсы // Российский химический журнал. 2003. Т. ХЬУН, № 3. С. 70-79.
4. Морозкин Г.Д., Гилёв А.Ю. Построении адаптивных сеток на основе триангуляции Делоне для метода конечных элементов // Вестник БашГУ. 2005. № 2. С. 7-11.
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М: Едиториал УРСС, 2003. 785 с.
6. Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: Изд-во МЭИ, 2003. 312 с.
7. Скворцов А.В. С 42 Триангуляция Делоне и её применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. 128 с.
8. Соловьёв В.А. Природные газовые гидраты как потенциальное полезное ископаемое // Российский химический журнал. 2003. Т. ХЬУП, № 3. С. 59-69.
9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. 1. 504 с.
ГИЛЁВ АНТОН ЮРЬЕВИЧ - ассистент кафедры информатики и информационных технологий в образовании, Бирский филиал Башкирского государственного университета, Россия, Бирск (gilevay@gmail.com).
GILEV ANTON YURYEVICH - assistant of Chair of Computer Science and Information Technologies in Education, Birsk Branch of Bashkir State University, Russia, Birsk
МОРОЗКИН НИКОЛАИ ДАНИЛОВИЧ - доктор физико-математических наук, ректор, Башкирский государственный университет, Россия, Уфа (morozkin@bashedu.ru).
MOROZKIN NIKOLAY DANILOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, rertor, Bashkir State University, Russia, Ufa.
ЧУДИНОВ ВАЛЕРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и прикладной математики, Бирский филиал Башкирского государственного университета, Россия, Бирск (chudinovvv@rambler.ru).
CHUDINOV VALERIY VALENTINOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor of Mathematical Analysis and Applied Mathematics Chair, Birsk Branch of Bashkir State University, Russia, Birsk.
УДК 517.95 ББК 22.161.6
А.О. КАЗАКОВА
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ К РЕШЕНИЮ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Ключевые слова: оператор Лапласа, полигармоническое уравнение, краевая задача, односвязная область, конформное отображение, ряд Тейлора, метод коллокации, система линейных алгебраических уравнений.
Решена основная краевая задача для полигармонического уравнения в односвязной области. Для аналитического решения используется конформное отображение внутренности области на единичный круг. Искомая n-гармоническая функция представляется через n аналитических функций комплексного переменного, каждая из которых отыскивается в единичном круге в виде ряда Тейлора. Для вычисления коэффициентов ряда предложен численный метод коллокации. Рассмотрены примеры, дано сравнение результатов численного расчёта и аналитических данных.
A.O. KAZAKOVA
THE APPLICATION OF THE COLLOCATION METHOD TO A SOLUTION OF THE BASIC BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE POLYHARMONIC EQUATION
Key words: Laplacian, polyharmonic equation, boundary value problem, simply connected domain, conformal map, Taylor series, collocation method, system of linear algebraic equations.
The basic boundary value problem for the polyharmonic equation in a simply connected domain has been solved. The conformal map of the domain’s interior to the unit disk is used to the analytic solution. The required n-harmonic function is represented by n analytic functions of complex variable every of which is found as Taylor series in the unit disk. The numerical collocation method for the calculation of series coefficients has been suggested. The examples have been considered and the numerical results and analytic data have been compared.
Наиболее подробно эллиптические уравнения высших порядков рассмотрены И.Н. Векуа с использованием аппарата теории аналитических функций. Применение теории функций комплексного переменного к решению бигармонических уравнений в двумерных задачах теории упругости рассмотрено ранее Г.В. Колосовым, Н.И. Мусхелишвили и др. Решение бигармонического уравнения с применением метода коллокации рассмотрено в работах А.Г. Терентьева (например, [5]) при исследовании движения цилиндра в ограниченной жидкости. Нами предлагается компьютерное моделирование численного решения полигармонического уравнения, полученного с использованием интегральной формулы Грина сведением к системе интегральных уравнений [3].
В настоящей работе основная краевая задача для полигармонической функции сведена к системе линейных алгебраических уравнений на границе области. Решение
