О тепловой устойчивости многослойных плоских стенок при нагреве внутренними источниками, зависящими от температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:[536.2+539.219.3]

О ТЕПЛОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛОСКИХ СТЕНОК ПРИ НАГРЕВЕ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Б. В. Аверин

Сызранский филиал Самарского государственного технического университета,

446001, Самарская обл., Сызрань, ул. Советская, 45.

E-mail: totig@yandex.ru

Приводится последовательность получения аналитического решения стационарной нелинейной задачи теплопроводности для многослойной плоской стенки с зависящими от температуры внутренними источниками теплоты. На основе анализа полученного решения применительно к двухслойной стенке получены кривые, позволяющие при конкретных исходных данных определить мощность источников теплоты, при которых происходит неограниченное возрастание температуры (тепловой взрыв).

Ключевые слова: аналитические решения, нелинейные задачи, многослойные конструкции, внутренние источники теплоты, тепловой взрыв.

Задачи, связанные с нелинейным нагревом многослойных конструкций от действия внутренних источников теплоты, имеют важный научный и практический интерес [1—6]. При решении этих задач важнейшей проблемой является определение предельной мощности источников, при которых количество получаемой от них теплоты не может быть полностью отведено от конструкции при заданных граничных условиях теплообмена. Такие режимы нагрева приводят к неограниченному возрастанию температуры в конструкции и в конечном итоге — к её тепловому разрушению. Для определения мощности таких источников теплоты необходимо иметь аналитическое решение соответствующей краевой задачи.

Эффективным методом решения задач теплопроводности для многослойных конструкций является метод, основанный на применении обобщенных функций. При этом многослойная система заменяется однослойной, но с переменными (разрывными) физическими свойствами среды, которые описываются с помощью единичных характеристических (асимметричных) функций. Простота такого метода в том, что в данном случае нет необходимости специального выполнения условий сопряжения. Благодаря особым свойствам асимметричной функции, условиям идеального термомеханического контакта между слоями удается удовлетворить непосредственно в уравнении.

Рассмотрим многослойную плоскую стенку, у которой на поверхности x = x0 = 0 задана температура окружающей среды ti, а на поверхности x = xn — температура t2. Предположим, что в пределах каждого слоя удельные мощности тепловых источников аппроксимируются линейными функциями температуры

Qvi = ai + biT, (1)

где ai = w0i, bi = w0iei; woi — удельная мощность постоянно действующего

Борис Викторович Аверин (к.т.н.), доцент, каф. общетеоретических дисциплин.

внутреннего источника теплоты в г-том слое стенки при Т = 0 °Сж вг — экспериментальная постоянная для г-того слоя стенки.

Представим коэффициент теплопроводности и удельную мощность внутреннего источника теплоты для многослойной стенки как единые целые в виде

п— 1

А(х) = А1 + ^^(Аг+1 - \г)Н(X — хг); (2)

г=1

^ (х, Т) = а(х) + Ь(х)Т, (3)

п— 1

(х) = 0,1 + ^ (аг+1 - аг)Н(х - Хг),

г=1 п— 1

Ь(х) = Ь1 + ^ (Ьг+1 - Ьг)Н(х - хг),

где

п— 1

а(х) = а1 +

г=1 п— 1

(Ьг+1 - Ьг)Н(х - х.

г=1

тт, ч Г 0, если х < хг, ,

Н (х - хг) = < . — асимметричная единичная функция.

I х, если х ^ хг

Дифференциальное уравнение теплопроводности для определения стационарного температурного поля в многослойной конструкции с нелинейными внутренними источниками теплоты с учётом (1)—(3) в этом случае будет иметь вид

й

dx

А(^)(£Г(ж) + а(ж) = 0. (4)

Перейдём в (4) от переменной x к новой независимой переменной z по формуле

— [Ь , ( I bi+l \ (Z.\

А1 Аг+1 Аг

г=1 V

Тогда уравнение (4) в новой переменной (5) преобразуется к неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными и сингулярными коэффициентами вида

(6)

где S(z — zi) — дельта-функция Дирака.

Общее решение уравнения (6) с помощью метода вариации произвольных постоянных можно представить в виде

T(z) = C1 sin z + C2 cos z + D1(z) sin z — D2(z) cos z, (7)

где

z z

D1(z) = У f (z)cos zdz, D2(z) = J f (z) sin zdz; о о

X

п— 1

/(г) = - £

г=1

Аг+1&г+1

Аг°г

~Х)Тх

а(г)

Щ'

После вычисления соответствующих интегралов общее решение (7) запишется так:

П— 1 ґ

Т(г) = Сі віпг + Сгсовг - ^ [1 - сов(г - ^)] +

Ь1 Л У ' Ог+1 °1'

г=1 4 1

+

Аг+1&г+1 Л (1Т

АіЬі ) (Іг

вш(г - г») >И(г - г*). (8)

Неизвестные производные ^\г_г. в (8) представим в виде

дТ_

= од - од - пз,

(9)

где ^1, ^2, определяются из следующих рекуррентных соотношений:

п-?

^2

АЇ ОЇ

АЇ+1°Ї+1

АЇ ОЇ

АЇ+1°Ї+1

Ї—1

£

І=1

Ї—1

йіп гЇ- ^

І=1

Аг+1 Ог+1

Аг Ог

— 1 ІП1 сов(гЇ — гг)

Аг+1Ог+1

Аг°г

— 1 ІП2 сов(гЇ — гг)

(10)

(11)

2=2

2 = 2

ПЇ

п3

АЇ ОЇ

АЇ+1ОЇ+1

1-Ї—1

£

4=1

аг+1 аг \ • / \

_____ )5Ш,

Ї—1

£

г=1

Аг+1Ог+1

Аг°г

- 1 ) п3 сой(гЇ' - гі)

(12)

где ] = 1, 2,..., п - 1.

После подстановки (9) в (8), получим

Т (г) =

п— 1

бш г -

+

сов г

а1 Ъ\

Е

г=1 п— 1

+ £

г=1

п— 1 п1

Аг+1Ог+1

Аг°г

- 1 ) П1 віп(г - гг)И(г - гг)

С1+

Аг+1 Ог+1

- 1 ) П2 віп(г - гг)И(г - гг)

С2-

г=1

“ Т ) Iі “ СО!3^ “ гг)]Н(г - гі) +

Ог+1 Ог

+

г=1

АгО

г^г

- 1 П3 8т(г - гг)И(г - гг). (13)

Постоянные интегрирования 6*1 и С2 находим из граничных условий

T = ^, при г = 0; Т = £2, при г = гп, (14)

где _____

— _1_ ^ ( I ^+1 \

~ V АТ ^\У VI _ V V

Л, — толщина п-слойной стенки.

Подставляя (13) в (14), получаем

С1 = 1’ С2 = ^ + ^; (15)

где

' 1 / \

А =t2 + ^ + Е -1) I1 - cos(^ - *)Ь i=1

“ ^ f \f~^\b+1 ~ sin(zra - Zi)H(z — Zi) —

i=1 \ j j /

- COS Zn + E ( Д1.^^ ~ -1) siD(^n - + ’ ^16)

n—1

Д = sinzra - ^ [\JXt+xl'+1 ~ 1 j-°1 (17)

После подстановки (15) в (13) с учётом (16) и (17) получим

Т(2.) = ^1+Ыг)1 (18)

где

<Р! (z) = SinZ - E(V~ 1)jD1 ~~ Zi)H(Z ~ Zi)>

i=1

¥>2(*) = tCl + T1

, ( I^i+ih+i 1

C0S‘ + ^(lV_wr_

i=1 4

D2 sin(z — zj)H(z — zj) —

П—1 / \

ai E (§^ -1) к1 - cos(z - *)№ - *)+

+ \/~^aV+1 ~~ sin(^ _ Zi)H{z - Zi).

b1 ^ V bi+1 b

j=1

Рассмотрим знаменатель Я в формуле (18). Например, для двухслойной стенки, с учётом обозначений, принятых в (1), его можно представить следующим образом:

Е = 8ш г2 -

АіЬі А2&2

- 1 ) сов г1 віп(г2 - г1)

(19)

или в таком виде:

Е = віп г2 -

А2Сс>о2/32

- 1 ) сов г1 8ш(г2 - г1),

(20)

где = Вфг, г2 = Вф1 + В2Ь2, ^

первого и второго слоев.

Запишем (20) следующим образом:

"аГ“ ■

£ =

А2

Л-1) Л-2 — толщина

Е = 8Ш [(г2 - г1) N2] - (1 - К£1) сов [(22 - 2т) N1] віп [(^ - N3], (21)

где

г2 - г1

г2 - г1

N3 =

*2^1, г2 - г1;

г2 - г1 = £2^-2.

Обозначим

£2^2 = ^1.

Соотношение (21) с учётом (22) примет вид

(22)

Е = 8Ш ^N2 - (1 - К£1) сов віп ^.

(23)

Рассмотрим условия, при которых знаменатель формулы (18) обращается в ноль и, следовательно, температура принимает бесконечное значение:

8Ш - (1 - К£1) сов віп ^ = 0.

(24)

Выполнив преобразования в (24) с учётом (22), получим

8Ш

- (1 - К£1) сов

«I

віп ^1 = 0. (25)

Таким образом, задача о критических тепловых режимах, приводящих к тепловому взрыву, в двухслойной стенке свелась к решению трансцендентного уравнения (25), т. е. к отысканию первого корня ^1 при различных значениях

безразмерных параметров КЄ1 и г) = Из (22) найдём, что ио2 тах =

Если удельная мощность постоянно действующего внутреннего источника теплоты во втором слое при известном внутреннем источнике теплоты в

первом слое превысит ^о2 тах, то тепловой поток с поверхностей двухслойной стенки при заданных ti и нельзя отвести, и произойдёт разрушение материалов конструкции.

На рис. 1 представлены графики зависимости ^1 = f (n, K£1), отделяющие область, в которой стационарное распределение температуры возможно, от области неограниченного возрастания температуры. Проиллюстрируем их применение при следующих исходных данных: Ai=0,065 Вт/м-K, Л2 = = 0,32 Вт/м-K, w0l = 11,68 кВт/м3, w02 = 161,7 кВт/м3, в = 0,01 К-1, в2 = 0,1 К-1, hi = 30 ■ 10-3 м, h2 = 7,5 ■ 10-3 м.

Определим параметры n и K£l:

A2 h1 0,32 30 ■ 10-3

г] = = —-------------т и 19,6923.

' Ai h2 0,065 7,5 • 10-3 ’

Так как n изменяется в пределах 0 ^ n ^ п, то представим 19,6923 как 6п + + 0,268п. Отбрасывая количество периодов 6п, окончательно получаем, что n ~ 0,268п w 0,843 и

wq2в2Л2 V 0,1 ■ 0,32 V 161,7

Используя найденные п и К£1, из графика находим ^1 ~ 2,1. Тогда критическая мощность внутреннего источника теплоты, действующего во втором слое, определяется выражением

М?Л2 ^ 4,41 • 0,32 • 106 , з

со0 =--------- %---------------% 250 кВт/м .

2’тах (32к22 0,1-56,25 '

Рис. 1. Критические кривые, при которых знаменатель К в формуле (18) принимает нулевые значения (выполняются условия теплового взрыва); цифры: 1 — К = 0,001, 2 — К = 0,3, 3 — К = 0,5, 4 — К = 0,8, 5 — К£ = 1,

6 — К£ = 2, 7 — К£ = 3, 8 — К£ = 6, 9 — К£ = 10

Критическую мощность внутреннего источника теплоты, действующего в первом слое, найдём из соотношения

^01,тах = 0,072Шо2,тах и 18 кВт/м3.

Приравняем к нулю выражение (19):

+ {уШ~1)сжгі!,[ф2~гі)=0'

Преобразуем его к виду

откуда

Учитывая, что

tg 22

22 = arctg

Аібі _ -і А262

Мі

Л262

+ П.

(26)

(27)

(28)

/Ш0! ^1 ,

21= Лід/—-------, 22 = Лі

А1 ’ 2 ^ А1

выражению (27) можно придать такой вид:

tgЛl^/

^02/^2

Л2

1§ Л2

/ш0і/?і

Аі

ШО2^2 ^2

' ЛіСс>о1/?2 Лгс^оз/Зг

(29)

Откуда получаем расчётную формулу для определения критической толщины первого слоя стенки, если известна толщина второго слоя:

и наоборот

Л-1кр ----

^2кр =

Лі

^0^1

І Л2 Сс>о/Зі

arctg

arctg

-К£1 tg Й2

-К£1 tg ^1

^02/^2

Л2

+ п

^0і/3і

Лі

+ п

(30)

(31)

Для трёхслойной стенки формула (17) будет иметь вид

Е — 8ІП 23 +

ІиО1Л1/З1 ^02 Л2/З2

— 1 ) С08 21 8Іп(23 — 21) +

+

I Шо2 Л2/З2 ^о3Лз/Зз

—1

С08 22 +

/ сс>0і Лі/?і ^02 Л2/З2

— 1 X

X С08 21 С08(22 — 21)

8Іп(2з — 22) — 0, (32)

^о3 /Зз Аз *

где гз = Вфг + Б2Л-2 + -В3Л.3, Л-з — толщина третьего слоя, В3 = ^

Рассмотрим частный случай, когда трёхслойная стенка представляет собой симметричную конструкцию. Разделив и умножив аргументы у тригонометрических функций в (32) на (22 — 21) = В2Л2, после несложных преобразований приходим к следующему характеристическому уравнению:

81П

1 + К£1 п +

1

К

— (1 — К£1 )сов(^1К£1 п)в1п ^1 ( 1 +

— (1 — К£2 )|с°8[^1(1 + К£1 п)] —

— (1 — К£1) сов(^1К£1 п) со8 81П ( ^1

1

К

К

0,

^02 А2/З2

^03 Азвз '

где К£2 =

Таким образом, задача о критических тепловых режимах в трёхслойной стенке свелась к отысканию методом последовательных приближений корня ^1 в зависимости от безразмерных параметров К£1, К£2 и п.

На рис. 2 предоставлены графики зависимости ^1 = /(п, К£1, К£2). Как и для двухслойной стенки, если удельная мощность постоянного действующего внутреннего источника теплоты во втором слое превысит ш£2, тах, то произойдет разрушение материалов стенки.

Таким образом, графики, представленные на рис. 1 и 2, позволяют уже на стадии проектной разработки прогнозировать критические тепловые режимы и задавать такие значения внутренних источников и геометрические размеры конструкций, которые обеспечивают их тепловую устойчивость.

Аналогично решается задача и для п-слойных плоских стенок.

Рис. 2. Критические кривые, отделяющие довзрывную область от области теплового взрыва для трёхслойного РПУ. Кривые 1-4 соответствуют следующим значениям параметров К£1 и К£2: 1 — 0,001 ^ К£1 ^ 0,1, 10 ^ К£2 ^ 1000; 2 — 0,01 ^ К£1 ^ 1, К£2 = 1; 3 — 0,01 ^ К£1 ^ 10, К£2 = 0,1; 4— 1 ^ К£1 ^ 100, К£2 = 0,01

п

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аверин Б. В. Математическое моделирование внутренних источников теплоты, температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. дисс. ... канд. техн. наук, Моск. госуд. акад. тонкой хим. технол. / М., 1999. — 20 с.

2. Аверин Б. В., Колотилкин Д. И., Мелехина Н.М. К вопросу о законе распределения тепловых источников в многослойных РПУ при зависимости электрофизических свойств от температуры // Вопросы специальной радиоэлектроники. Сер. ТТА, 1990. — №2(47). — С. 46-61.

3. Аверин Б. В., Колотилкин Д. И. Исследование тепловой устойчивости многослойных диэлектриков при их нагреве мощным электромагнитным СВЧ-полем / В сб.: Автоматизация технологических процессов и производств. Точность, качество и надёжность конструкций и технических систем: Тез. докл. межвуз. научно-практ. семин.-выставки. — Сызрань, 1997. — С. 47-48.

4. Гулабянц Л. А. Теплофизические основы проектирования ограждающих конструкций радиотехнических комплексов с высоким уровнем излучаемой мощности: Автореф. дисс. ... докт. тех. наук, НИИСФ / М., 1984. — 45 с.

5. Брыков С. И., Килькеев Р.Ш., Ругинец Р. Г. Эффект нелинейного разогрева диэлектрика в СВЧ электромагнитном поле. — Минск: Ред. ИФЖ, 1987. — Деп. В ВИНИТИ 06.04.87. — Рег. № 2727-В.

6. Стефанюк Е.В., Кудинов В. А. Аналитические решения задач теплопроводности при переменных во времени коэффициентах теплоотдачи // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. — №2(17). — С. 171-184.

Поступила в редакцию 08/У11/2009; в окончательном варианте — 21/Х/2009.

MSC: 80A20, 35A09

ON THERMAL STABILITY OF MULTI LAYER PLANE WALLS WHEN HEATING BY TEMPERATURE-DEPENDENT INTERNAL HEAT SOURCES

B. V. Averin

Syzran’ Branch of Samara State Technical University,

45, Sovetskaya str., Syzran’, Samara region, 446001.

E-mail: totig@yandex.ru

Sequence of obtaining of analytical solution for a stationary non-linear problem of thermal conductivity for a multi layer plane wall with temperature-dependent internal heat source is presented. Curves are plotted that allow to separated the region of stationary temperature distribution from region of unrestricted growth of temperature (thermal explosion region) are plotting.

Key words: analytical solution, non-linear problem, multi layer design, internal heat source, thermal explosion.

Original article submitted 08/VII/2009; revision submitted 21/X/2009.

Boris V. Averin (Ph. D. (Techn.)), Associate Professor, Dept. of General Theoretical Discipline.