О связях бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с некоторыми математическими структурами. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О СВЯЗЯХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОТОРЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ. II

Ф, М. Федоров

Данная статья является продолжением работы [1].

5. Связь бесконечных систем с интегральными уравнениями Фредгольма.

(а) Пусть дано следующее однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

1

у(х) + \ ! К(х, в)у(в) ¿в = 0, (1)

о

ядро которого имеет вид

( (в — 1)х при 0 < х < в,

к(х,в) = {\ \ ; ; ' (2)

[ в(х — 1) при в ^ х ^ 1. Легко видеть, что ядро К(х, в) представляет собой функцию Грина для краевой задачи у"(х) = 0 и у(0) = 0, у(1) = 0, т. е. К(х,в) = Г(х, в). Если возьмем функцию д(х), тождественно равную единице, т. е. д(х) = 1, то получим К(х, в) = Г(х, в) = Г(х, в)д(в).

Из теории краевых задач [2] и интегральных уравнений [3] известно, что решения краевой задачи

Цу) = Нх) — хд{х)у{х ), (3)

где Ь(у) — дифференциальный оператор п-го порядка, при краевых условиях

у(0) = 0, у(1) = 0, (4)

© 2007 Федоров Ф. М.

и неоднородного интегрального уравнения Фредгольма

1

у(х) + Цх) ! Г(ж, в)д(в)у(в) ¿з = Ф(х), (5)

о

1

где при условиях (4) функция Ф(х) имеет вид Ф(х) = §Г(х, в)/(в) ¿в,

о

эквивалентны.

Для уравнения (1) справедливо

1

ф(х) = У Г(х, в)/(в) ¿в = 0.

о

Отсюда заключаем, что /(х) = 0, кроме того, Ь(у) = у"{х).

С учетом всех этих замечаний уравнение (3) будет иметь вид

у" (х) + \у(х) = 0. (6)

Таким образом, решение интегрального уравнения (1) эквивалентно решению краевой задачи (6), (4). Как мы видели в п. 4 из [1], решение данной краевой задачи сводится к решению соответствующей бесконечной системы.

Конечно, общее решение уравнения (6) общеизвестно, но нас интересует связь бесконечных систем уравнений с интегральными уравнениями, поэтому задачу решаем, как и в п. 4 из [1], граничным методом.

Граничному методу [4] решения дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями соответствует метод степенных рядов решения краевых задач теории ОДУ. В соответствии с этим решения уравнения (6) с условиями (4) ищем в виде степенного ряда:

у{х) = ^2а,гхг, (7)

г=0

где аг — искомые коэффициенты.

Непосредственно из (6) с учетом (4) получаем

у"(0) = 0, у"(1) = 0, (8)

а бесконечно дифференцируя (6), что возможно, если имеет место разложение (7) в интервале [0,1], и используя (8), имеем

Л(0) = 0, у^ j(l) = 0, ¿ = 0,1,2,.... (9)

Первое условие в (9) дает, что все a?i = 0 в (7), поэтому решение ищем в виде

y(x) = 5>x2 i+1. (10)

i

Поскольку производные у^2в силу (10) имеют вид

т _ ~ (2j + 2p+l)! 2р+1

У (2р + 1)! '

то, введя обозначение bj+p = xj+p и используя второе условие в (9), придем к бесконечной системе вида (16) [1]:

~ (2j + 2p+l)! _

Z^ (2p+l)l j+p ~ ^ '

ГТТР П - (23+2P+1V-

хде — (2p+l)! '

Нетрудно видеть, что коэффициенты aj,j+p имеют вид (6) [1], т. е.

1 (2k + 3)'

ar= {2p+l)V = + m =(2fc + 2)(2fc + 3).

Применяя теорему 7 [1] и используя уравнение 11 [1], окончательно получаем

у(х) = Asm(kirx). (12)

Необходимо заметить, что, построив уравнение в частных производных, соответствующее уравнению (6), например, такое как

dT(x,t) _ d2T(x,t) dt ~ дх2 '

с теми же граничными условиями (4), но относительно T(x,t) по координате x и решив данную задачу граничным методом, получим тот же результат, что и (12).

Подставляя решение (12) в (1), убеждаемся, что интегральное уравнение удовлетворяется. Таким образом, неизвестные = bi бесконечной системы (11) являются коэффициентами в разложении (10) решения интегрального уравнения (1) в степенной ряд.

(б) Теория Фредгольма решения интегрального уравнения дает несколько иную, чем указано выше, структурную связь между бесконечной системой линейных алгебраических уравнений и данным интегральным уравнением [3].

Пусть вместо (1) дано следующее неоднородное интегральное уравнение в общем виде:

b

y(x) = \J K(x, s)y(s) ds + f(x). (13)

a

Идея Фредгольма, замечательная по своей простоте и плодотворности, заключается в следующем. Задача решения интегрального уравнения (13) рассматривается как аналитический аналог алгебраической проблемы решения системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Именно, интеграл в (13) заменяется интегральной суммой, отвечающей разбиению отрезка [a, b] изменения переменной s на n

r b — a о = -.

n

Необходимо еще раз подчеркнуть, что идея Фредгольма, т. е. метод замены интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений, до сих пор широко используется в практике расчетов различных интегралов на современных компьютерах.

Точное уравнение (13) заменяется приближенным

n

y(x) = \^2 K(x, Sj) yj S + fx, (14)

i

где в качестве Sj можно взять, например, абсциссы середин интервалов разбиения.

Полагая в формуле (14) ж = зх,з,...,зп, получаем линейную алгебраическую систему относительно «неизвестных

п

у(*) = у^) (г = 1,2,...,п). (15)

¿=1

Будем считать, что у(х) и /(ж) сохраняют в г-м интервале постоянные значения, равные соответственно у(з^) и /(з^ а ядро К(х, з) сохраняет в каждом частичном квадрате с индексами г и ] постоянное значение, равное К(з^, з^.

Определитель системы (15)

Пп( А) =

1— АК(в1,91)6 —АК(з1,В2)8 ... -АК(з1,зп) б —АК(з2,31)6 1— АК(з2,з2)б ... —АК(з2,зп) б

—АК^п^^б —АК(зп,з2)6 ... 1— АК(зп,3п) 3

(16)

А

Если А отлично от корня многочлена Пп(А), то система (15) имеет единственное решение при любых правых частях и это решение может быть найдено по известным формулам Крамера. Решая ее, мы найдем все у{зг) и, таким образом, получим приближенное выражение искомой функции у^ж).

Чем больше п, тем точнее функция уп{ж) аппроксимирует искомую функцию. Естественно, речь здесь идет о методе редукции, который необходимо обосновать.

В пределе при п ^ <х линейная система (15) переходит в интегральное уравнение (13), т. е. в континуальный аналог бесконечной си-

уп ж у ж

ния (13), что и доказал позднее Гильберт [5] для случая непрерывного ядра.

(в) Укажем одно сходство с формулой (13) из [1], связанное с инте-

п Кп

уравнения (13) определить условиями [2]

b

К*,.)-КМ, = tMWM)<«

и положить

то предел

b b

Aj = lim " 1 = lim —-= (17)

n — <X> Vn n—ж n Vn

существует и представляет собой квадрат наименьшего собственного значения интегрального уравнения (13).

Для полной ясности приведем формулу (13) из [1] в укороченном виде:

A V

lim sn = lim " = lim " = s, (18)

n—n—An-1 n—Vn — \

An Vn

конечно-разностного уравнения (4) из [1]. Если вспомнить, что величина -j = А является наименьшим собственным числом соответствующей краевой задачи [1, п. 4], то становится очевидной сходность формул (17) и (18).

6. Связь бесконечных систем с пространством Гильберта или с пространством последовательностей. Здесь рассматриваем еще одну связь бесконечных систем с интегральными уравнениями, т. е. с теорией интегральных уравнений Гильберта. Данная теория построена Гильбертом [5,6] на базе созданной им теории линейных и билинейных форм с бесконечным числом переменных.

На первый взгляд, данный пункт можно было включить подпунктом в предыдущий пункт, но имеется существенная причина рассматривать его отдельным пунктом, что будет ясно из нижеизложенного.

(а) Пусть задано интегральное уравнение II рода: ь

у{х) +I К{х,в)у{в)с1в = Пх). (19)

а

Основная формальная идея теории интегральных уравнений Гильберта состоит в следующем. Пусть имеется полная ортонормированная система функций {и)п(х)} та интервале (а, 6), и пусть функции у(х) и /(х) разлагаются то этим функциям на интервале (а,Ь), т. е.

ж

у{х) = Т.у^Р (х), № = ^ (20)

р=0 р=0

где

ь ь

ур = I у(г^р(г) А, ¡р = у ¡(г)юр(г)А. (21)

Подставляя разложение (20) в (19), затем умножая обе части уравнения на wq (х) и интегрируя от а до Ь с учетом ортонормированности системы функций ^п(х)}, получаем

^ ь ь

уЧ + ^ / I K(x,в)wq( х^р( в)йхв,вур = fq, 0,1,2,....

р=1 а а

Введя обозначение

ь ь

apq —

аа

ЛКх,вК( хК( ^^

последнюю систему уравнении запишем в виде

ж

у^^^З ^ ур = fq, q = ®,l,'2^,..., (22)

р

т. е. решение интегрального уравнения (19) свелось к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (22).

Обратно, подставляя вместо уч и их представления (21) в (22), перенося правую часть (22) в левую и учитывая свойство конечных интегралов и 'Шд X ф 0, имеем

у(х) + ^2 к(х, ^Ур'АЮ ^ - Нх) =

Р=1 а

Отсюда, используя разложение (20), приходим к интегральному уравнению (19).

Таким образом, решение интегрального уравнения (19) эквивалентно решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (22). При этом имеются в виду только те решения этой системы, для которых

52у1 <+

р=1

т. е. система рассматривается в гильбертовом пространстве. Эти огра-

ух

и /(х) в ряд то функциям {шп(x)}•

Исследование системы (22) в гильбертовом пространстве позволяет изучить свойства уравнения (19), и наоборот.

Дальнейшие исследования других авторов [7-10] показали, что полезными в плане изучения бесконечных систем оказались не только гильбертовы пространства, но и другие пространства последовательностей, в частности пространства растущих последовательностей [7,10].

(б) Например, Ф. Д. Беркович в работах [7,10] и др. исследует бесконечную систему вида

оо

^ап-к Ъп+к1к = Сп (п=0, 1,...). (23)

й=0 к=0

Можно указать, что континуальными аналогами системы (23) являются интегральные уравнения типа свертки.

В случае, когда {ап}™^ € Ь, {Ьп}(( 6 ¡ь € к, а решение

{1п}( ищется в ¡2, т. е. в гильбертовом пространстве, система (23)

изучалась Ф. Д. Берковичем в его ранних работах. В рассматриваемых работах [7,10] система (23) изучается уже в других пространствах последовательностей, в частности в пространствах растущих последовательностей [7].

Рассматривается пространство / 8 последовательностей комплексных чисел а = {ап}жж, абсолютно сходящихся с весом ап, с нормой

ж

\\а\\к=) = I] |ап|ап, где ап = (1 + |п|)8 (п = 0, ±1,...), а в — фик-

п= — ж

сированное натуральное число. Легко показывается, что /а8 — нормированное кольцо. Кольцо /8 последовательностей {ап} изоморфно

ж

кольцу рядов Фурье А{в) = ^ апвтв, абсолютно сходящихся с

п= — ж

весом ап. Изоморфизм осуществляется соответствием

ж

а= {ап}жж ^ А(0)= ]Г апеп,

п= — ж

при этом \\А(в)\\шм = \\а\\1(^ .

В силу выбора веса ап функции А{в) го кольца будут 2п-периодическими и в раз непрерывно дифференцируемыми, причем ряд Фурье в-й производной А8 (в) абсолютно сходится.

Наряду с ¿(8 рассматривается банахово пространство Ш8 растущих последовательностей / = {/п}жж таких, что ¡п = о((1 + |п|)я) (п = 0, ±1,...), и вводится норма

||/|им = -ж8<Т<ж{(1ТЩу}-

Указывается, что пространство Ш8 является сопряженным кольцу /(т. е. (/(8)* = Ш8. Для дальнейшего изложения приведем некоторые определения. Операторы А и В соответственно определяются следующим образом:

Ар = < ак—п^Л (п = 0,1,...), В^^ Ъи+п^к \ (п = ОД,...); 1к=0 ) 1к=0 ) число а(Ы) является размерностью подпространства решений уравнения Ыр = 0.

Основную теорему, полученную Ф. Д. Берковичем в работах [7,10], можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Для разрешимости системы (23) в классе т(^ необходимо и достаточно выполнение условий

ж

0, .7 = 1,2,..., а(А + В,

п=0

где {дП] } — совокупность линейно независимых решений из /(^ однородной системы

ж ж

+ Ък+п дк = 0 (п = 0,1,...), к=0 к=0

для которой система (23) является сопряженной.

(в) Много исследований бесконечных систем в пространствах последовательностей провел Ю. II. Грибанов. В частности, в своих работах [8,9] он изучал сходимость метода редукции к решению системы бесконечных уравнений по норме пространства последовательностей.

Пусть в — пространство всех бесконечных числовых последовательностей, т. е. векторов X = {хп} с бесконечным числом координат хп• н — пространство всех векторов с конечным числом, отличных от нуля координат; Е — бесконечная единичная диагональная матрица. Будем называть / с в пространством последовательностей, если

/

трем дополнительным требованиям:

1) Н С /;

2) ух|| = 0 лишь для X = {0};

3) IXу = 8ир 1РпХу,

1 ^п<ж

Рп

рица п-го порядка единичная, а все другие элементы матрицы равны нулю.

Примером пространства последовательностей, не являющегося координатным пространством, может служить пространство

а = < X е в : вир I

к=1

Хк

< оо

с нормой ^Х У = вир

1<п<то

Е Хк к

. Пространство

а ф [а] = <^X е а : ряд ^ хк сходится ^ .

к

Пусть в рамках пространства последовательностей / рассматривается бесконечная система линейных уравнений:

X = АХ + Н :

хт — ^ ^ атк хк ""Ь

к

(т = 1,2,...). (24)

Это значит, что матричный оператор А отображает пространство / в себя, Н е / и рассматриваются только решения системы уравнений

X е /.

Основным результатом, полученным Ю. И. Грибановым в работах [8,9], заключается в следующем.

Теорема 2. Пусть ||А|| < 1. Для того чтобы метод редукции сходился по норме пространства последовательностей к решению системы уравнений (24), необходимо и достаточно, чтобы X е [/].

(г) В работе [9] сделано весьма полезное для изучения бесконечных систем вида (16) [1], т. е. для систем, заданных в гауссовой форме.

Используя нижеописанный способ, можно получить любое число различных конкретных пространств последовательностей. Пусть

А

/аи ООО

®21 а22 О О

а31 а32 а33 О

\ ...

причем ann ф 0 (n = 1,2,...). Тогда, как нетрудно убедиться, про-

n Л

ankxk < <х > с нормой

k=i J

странство l(A) = \ X е s : sup

1 ^п<ж

WX || = sup

1<П<ж

^ ^ankxk k=l

является пространством последовательностей в описанном выше смысле.

Отметим, что пространства m и а получаются описанным способом при соответствующем выборе матрицы A. Например, m = l(E). Указано, что

Г п }

< X е l(A) : существует конечный ankXk f

k

lA

сходимости любого метода суммирования, порожденного бесконечной

ann

щей нормировке банаховым пространством последовательностей.

7. Связь бесконечных систем с краевыми задачами теории аналитических функций. В ряде работ [7,10-12] показана тесная связь бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с краевыми задачами теории аналитических функций типа Римана, Гильберта и Карлемана.

(а) Например, в работе [11] В. С. Рогожин исследует бесконечные системы с неизвестными x^.

ж

xn = an-k xk + bn (n = 0,1,2,...). (25)

k

bn

ж

Предполагается, что A(z) = anzn регулярна для r < \z\ < R.

n= — ж

Коротко, это соответствие обозначается символом an ^ A(z). Ищется решение lim \/|жп| = Rq > г. Из элементарных свойств разложений

n—>ж

Лорана вытекают следующие теоремы.

Теорема 3. Если ап ^ А(г), Ьп ^ В (г) и существует кольцо, где А(г) и В (г) — одновременно регулярные функции, то

Эта теорема аналогична формуле свертки в теории преобразований Фурье.

Теорема 4. Пусть А(г) регулярна в кольце га < \г\ < Еа, В (г) регулярна в кольце гь < \г\ < Еь (гь > Еа) н для всех п= - -- — 1 , 0,1... выполняются равенства

При этих условиях A(z) и B(z) аналитически продолжаются в кольце ra < \z\ < Еъ п в этом кольце A(z) = B(z).

Эта теорема аналогична «общей теореме», применяемой в теории преобразований Фурье для перехода от интегральных уравнений типа свертки к задачам теории функций комплексного переменного.

С учетом теорем 3 и 4 по аналогии с методикой В. А. Фока и Хопфа и Винера решение системы (25) приводится к следующей задаче.

Найти функции X+(z) и X—(z), первая из которых регулярна для \z\ < Е, за исключением нулей функции A(z) — 1, где она может иметь полюсы порядка не выше, чем порядок соответствующего пуля функции A(z) — 1, а вторая регулярна для \z\ > r н обращается в нуль па бесконечности, если в кольце D : r < z < Е выполняется соотношение

Такую задачу, следуя Ф. Д. Гахову и Ю. II. Черскому, В. С. Рогожин предлагает называть площадной задачей.

Указано, что совокупность решений этой задачи совпадает с решениями краевой задачи Римана Х+(1)[А(1) — 1] = X-(¿), условие которой задано на окружности \г\ = г — е, где е столь мало, что в кольце

X+(z)[A(z) — 1] = X— (z).

г < \г\ < г + £ нет нулей функции А(г) — 1. Также не представляет труда и непосредственное решение площадной задачи методом, почти буквально совпадающим с методом решения задачи Римана. Оказывается, что совокупность решений площадной задачи действительно содержит такие функции Х+(г), которые имеют полюсы в пулях разности А(г) — 1.

В. С. Рогожин в работе [11] сделал замечательное уточнение. Система (25), несколько иначе записанная, как пишет В. С. Рогожин, рассматривалась в работе Я. И. Фельда [12], речь о которой пойдет ниже. Однако полное решение в этой работе не было получено. Выше уже упоминалось, что площадная задача, соответствующая системе (25), эквивалентна задаче Римана при подходящем выборе контура. Если же за контур взять окружность, лежащую в кольце г < \г\ < Е и содержащую внутри себя нули функции А(г) — 1 (С(г) в обозначениях Я. И. Фельда), то часть решений площадной задачи, а следовательно, часть решений системы (25) будут потеряны. А именно, будут потеряны решения системы (25), отвечающие решениям Х+(г), имеющим полюсы в пулях функции А(г) — 1, принадлежащих внутренности окружности, несущей краевое условие.

(б) Сохраняя обозначения Я. И. Фельда [12], систему (25) перепишем в виде

У^ AnZm-n = Бт, т > О, (26)

п=0

где Zm и Бт — заданные, Ат — неизвестные последовательности.

Для решения системы (26) Я. И. Фельд [12] прежде всего строит функции

^ ^ ^ /(т) = ^Ап-шп\ д{ю) = ^Бп^п, G(w) = YJZnWn. (27)

п=0 п=0 п=0

При этом на коэффициенты Zn и Бп он налагает такие условия, чтобы функция была голоморфна в круге < го, а С(-ы) — в кольце Г2 < М < Г1 Г = г-1 >1, го > Г2). Предполагается также, что

искомая функция /(ад) голоморфна в круге |т| < г, где г — наименьшее из чисел го и Г1, что и на самом деде выполняется. Тогда величины Лп, являющиеся коэффициентами разложения /(ги) в ряд Тейлора, можно выразить при помощи формул Коши

= <{ 4тт ¿т, п > 0, (28)

С

где с — произвольный контур (в круге |т| < г), охватывающий начало координат, который удобно выбрать лежащим в кольце Г2 < М < г. Далее, при условии выполнения равенств

дли = 0 при то < 0 (29)

С

из заданной системы (26) с учетом (27) Я. Н. Фельд получает уравнения вида

//(т)О(т) — а(т) ,

м ; Кт'+1 УК ' Зли = 0 при то > 0. (30)

С

Поэтому решение системы (26) сводится к нахождению функции /{т), удовлетворяющей уравнениям (29) и (30). Последнюю задачу, в свою очередь, легко привести к неоднородной задаче Римана (Я. П. Фельд эту задачу называет задачей Гильберта, однако это название исторически не оправдано). Применительно к рассматриваемому случаю задачу Римана удобно сформулировать следующим образом. Необходимо найти кусочно-голоморфную функцию

, ч Г Ф+(т) при т € , ч

фМ = с -' (31)

[ Ф (т) при т € в ,

где Ф+ (т) голоморфна в области внешней по отношению к контуру с, стремится к нулю при |г<;| ^ го, а Ф-( ю) голоморфна в области в-,

с

Ф+(£) = Ф-(г)С(г) - на контуре с. (32)

Здесь О(1) и д{р) — заданные на с функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, причем О(Ь) ф 0 на с; Ф+(£) и Ф-(£) — граничные значения Ф(л) на с при стремлении л к точке £ контура с из областей и в-

соответственно. Поскольку определенные формулами (27) функции О д

Римана (31), (32), тем самым находим функцию /(л), полагая /(л) = Ф-(л).

Таким образом, решение бесконечной системы (26) сведено к задаче Римана.

(в) Выше в п. 6 указано, что Ф. Д. Беркович в своих работах [7,10] исследовал бесконечную систему (23) в пространствах последовательностей Iя и тя. Кроме этих пространств он также рассматривал пространство (л^) линейных функционалов Р(в) — обобщенных функций (о.ф.), заданных на пространстве основных функций Каждому элементу / = {/п} пространства тя ставится в соответствие о.ф. Р(в), для которой числа {/п} являются коэффициентами Фурье, при этом доказывается, что каждую о.ф. можно представить единственным образом: слабо сходящимся рядом Фурье Р{&)= £ /,

пе

п

гпв

Для дальнейшего исследования системы (23) предполагается, что {ап}, {Ьп} € /я, а свободный член с равен {сп} € тя. Решение /п ищется в тя. Доказывается, что система (23) в этих предположениях эквивалентна краевой задаче типа Карлемана в классе обобщенных функций (л^).

Действительно, введя обозначения

/+= Г /п, П > 0, ,- = Г 0, п > 0,

10, п < 0, /п \ /п, п < 0,

и пользуясь единственностью представления о.ф. Р(в) рядом Фурье, равенством Парсеваля, а также легко проверяемыми с его помощью

соотношениями

ж

{¥{6),е—ывЛ(6)) = 2п ]Т ап-кк

к= — ж

ж

-6),е—ывЛ{6)) = {¥{6),еывЛ(-6)) = 2п £ аи+кIк,

к= — ж

систему (23) можно переписать следующим образом:

±.(1?+(0)А(0), е-™9) + ±(1Г+(-0)В(0), е-™6)

= ±-(С(в) + Я-(в), е-™в) (п = 0, ±1,.. .)•

Последние соотношения можно рассматривать как равенства коэффициентов Фурье двух о.ф. Р+(6)Л(6) + Р+ (-6)В(6) и С(6) + Г— (6). Таким образом, приходим к задаче типа Карлемана: найти функцию (г), аналитическую внутри единичного круга , и функцию Я— (г), аналитическую во внешности единичного круга Б— н исчезающую на бесконечности, по краевому условию

Л(6)Г+(6) +В(6)Г+ (-6) = С(6) + Г— (6) (0< 6 < 2п), (33)

где Л(0), В(6) п С(6) — заданные функции, причем Л(6) п В(6) € С(6) € (и^) н предельные значения Я± (6) функций Я± (г) суть некоторые о.ф. из (ю^). При этом

Я±(6) = Я±(е'в) = Ит Я±(г)= Нт Я±(те'10),

где предел понимается в смысле сходимости в (ю^).

Исходя из краевого условия (33) и повторяя предыдущие рассуждения в обратном порядке, придем к системе (23). Таким образом, эквивалентность системы (23) и задачи Карлемана (33) доказана. При этом каждому решению задачи Карлемана (33) соответствует по формуле /„ = е~тв) (п = 0,1,...) определенное решение системы (23).

Методы решения задач типа Римана, Гильберта и Карлемана подробно изложены в фундаментальном труде Ф. Д. Гахова [13].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. О связях бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с некоторыми математическими структурами. I // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 66-79.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

3. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975.

4. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Leipzig; Berlin: Verl. von Teubner, 1924.

6. Математическая энциклопедия. M.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1. С.974-975.

7. Беркович Ф. Д. О решении одной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений в классе растущих последовательностей // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 3. С. 495-498. "

8. Грибанов Ю. И. О методе редукции для бесконечных систем линейных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1962. № 1. С. 28-40.

9. Грибанов Ю. И. К теории метода редукции для бесконечных систем линейных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1964. № 5. С. 12-16.

10. Беркович Ф. Д. О решении одной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений в классе растущих последовательностей // Уч. зап. Кабар.-Балкар. гос. ун-та. 1961. № 16. С. 83-88.

11. Гогожин В. С. Один класс бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. № 3. С. 486-489.

12. Фельд Я. Н. О бесконечных системах линейных алгебраических уравнений, связанных с задачами о полубесконечных периодических структурах // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 2." С. 257-260.

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

г. Якутск

4 декабря 2006 г.