CC BY
137
О связи стадийности процессов пластической деформации с фрактальной структурой, отвечающей смене масштабного уровня деформации
B.C. Иванова, А.А. Оксогоев1
Институт металлургии и материаловедения РАН имени А.А. Байкова, Москва, 119991, Россия 1 Институт высоких технологий, Улан-Удэ, 670031, Россия
На основе анализа данных мультифрактальной параметризации структур металлов и сплавов при пластической деформации показано, что на мезоуровне переход от одной стадии деформации к другой контролируется сменой мезомасштабного уровня деформации и спонтанным изменением фрактальной размерности мезоструктуры.
The relation of plastic deformation stages with the fractal structure corresponding to the change of the deformation scale level
V.S. Ivanova and A.A. Oksogoev1
A.A. Baikov Institute of Metallurgy and Materials Science, Moscow, 119991, Russia 1 Institute of High Technologies, Ulan-Ude, 670031, Russia
Based on multifractal parameterization data analysis for structures of alloys and metals under plastic deformation, it is shown that at the mesolevel the transition from one deformation stage to another is governed by the change of the mesoscale deformation level and by a spontaneous change of the fractal dimension of the mesostructure.
1. Введение
Изучению стадийности процессов пластической деформации и разрушения материалов, проявляемой при различных видах нагружения, посвящено множество обзоров и монографий. Новые перспективы обобщения универсальности этого явления открылись в связи с развитием научных направлений — синергетики [1] и теории фракталов [2, 3]. Г.В. Встовским [4, 5] введены в теорию мультифракталов представления о фрактальной симметрии (Ф-симметрии) и установлено наличие двух спектров обобщенных энтропий Реньи — канонического и псевдоспектра. В связи с этим возникли проблемы поиска критериев корректности спектров и установление физических причин инвертирования канонического спектра с превращением его в псевдоспектр в виде своего зеркального отображения. Ответы на эти вопросы были частично даны в [6]. Дальнейшее развитие указанных представлений требует фрактально-си-
нергетического анализа данных параметризации с учетом высокой информативности точек бифуркаций, отвечающих нарушению Ф-симметрии. Критические значения фрактальной размерности в этих точках отвечают смене масштабного уровня деформации, представление о которых введено В.Е. Паниным [7]. Связи стадийности процессов пластической деформации с фрактальной структурой, отвечающей смене масштабного уровня деформации, посвящена настоящая работа.
2. Синергетический анализ обобщенных энтропий Реньи
Мультифрактальная параметризация микроструктуры включает [6] в себя процедуры покрытия и оцифровывания структур, называемые на фрактальном языке «генерацией меры на множестве». Это позволяет создать компьютерный образ изучаемого множества. Дальнейшие процедуры мультифрактальной параметриза-
© Иванова B.C., Оксогоев А.А., 2006
ции связаны с математическим формализмом извлечения информации из изображения структур. Эта информация позволяет с помощью соответствующего алгоритма получать для данной структуры на основе графических файлов вид двух взаимосвязанных функций обобщенных энтропий Реньи D(q) и спектра сингулярностей f(а) (рис. 1 и 2). На их основе можно рассчитать основные параметры D(q) и f (а), где q и а — соответственно значения управляющего параметра и критического показателя, распределение которого определяет спектр сингулярностей f (а) [6]. Они определяют следующий спектр фрактальных размерностей (при каноническом спектре):
1) В 0 — хаусдорфова размерность, характеризующая однородный фрактал и определяемая по максимальному значению f (а) (рис. 2), что отвечает значению °д = Во при q = 0 (рис. 1);
2) В1 — информационная размерность, характеризующая степень нарушения Ф-симметрии, отвечающей q = 1. Ее определяют по тангенсу угла наклона касательной к кривой f(а) (рис. 2), что соответствует значению при q = 1 (рис. 1);
3) В2 — корреляционная размерность, характеризующая вероятность найти в одной и той же ячейке покрытия две точки множества; она определяется значением Вд при q = 2;
4) Вд и В_д* — пороговые значения Вд, отвечающие максимальной степени разреженности среды (максимальному нарушению Ф-симметрии системы), при достижении которой мультифрактал вырождается в однородный фрактал.
Таким образом, мультифрактальная параметризация исходной микроструктуры металлов и сплавов или структуры после различных видов внешнего воздействия позволяет выделить две точки бифуркаций, связанных с нарушением Ф-симметрии, а именно: В1 при q = 1 и Вд при д = д*, отвечающих вырождению мультифрак-
q* 012 q* q
тала в монофрактал (при д Достижение порого-
вого значения Вд = Вд означает достижение порога возможной адаптации системы к внешнему воздействию путем формирования мультифрактальных множеств. Поэтому важными характеристиками мультифрак-тальной среды, вырождаемой во фрактальную при Вд = Вд , являются:
- показатель однородности среды ^, изменяющийся в зависимости от степени разреженности среды в интервале Г™ < и < /Г';
- показатель упорядоченности Ад* = В1 _ Вд , характеризующий степень нарушения Ф-симметрии;
- отношения такие, как = Вд/ В1, являющееся
мерой адаптивности системы к нарушению Ф-симмет-рии для канонического спектра, так и = А/Вд^ —
для псевдоспектра [8-10].
Как будет показано далее, корректность спектра при мультифрактальной параметризации определяется критическим значением Вд = 1.89, отвечающим порогу адаптивности системы к деформации по механизму сдвига с сохранением трансляционной Ф-симметрии.
3. Механизмы адаптации структуры к внешнему воздействию, определяющие канонический и псевдоспектры обобщенных энтропий Реньи
Как известно, при деформировании и других видах внешнего воздействия основным элементом структуры, «запоминающим» соответствующие процессы, служат границы зерен, являющиеся стоком дефектов, генерируемых в объеме деформируемого металла и сплава. Это приводит к изрезанности границ зерен (рис. 3), степень которой зависит от плотности дефектов (дислокаций, вакансий и т.д.). Поэтому спектр энтропий Реньи в этом случае отражает процессы пластической деформации, сопровождающейся изменением фрактальной размерности границ зерен. При переходе к разрушению объектом фрактальности становится распределение пор и микротрещин (рис. 4).
В первом случае при мультифрактальной параметризации корректным является канонический спектр, а во втором — псевдоспектр. Поэтому задача заключается
о 1 О 1 И 1 го | ^ 1 I
fq = 1 - D1 > f I \ I 1
X, II I I 1 1 1 1 1
OCq = +00 1 1 1 P -Q II 1 , 8
OCq=-| D1 ОС
Рис. 1. Спектр обобщенных энтропий Реньи
Рис. 2. Спектр сингулярностей f(а)
Рис. 3. Пример объекта фрактальности в виде границы зерна (а) после трансформации исходного зерна в микроструктуре (б) в информационную границу, «запомнившую» прошедшие критические состояния, раскрываемые методом мультифрактальной параметризации (канонический спектр)
в установлении количественного значения Вд , отвечающего смене объекта фрактальности с учетом взаимосвязи критических параметров: Вд ~ Ад* для канонического спектра (рис. 5, а) и f ~ (_Ад *) для псевдоспектра (рис. 5, б).
Тестирование механизма адаптации системы к деформации при контролирующей роли границ зерен требует использования больших масштабов при генерации меры на множестве ^ > 0). В то же время, использование спектра обобщенных энтропий Реньи, получаемого при генерации меры на множестве с использованием малых масштабов ^ < 0), позволяет исследовать: в какой мере процессы адаптации системы на больших масштабах повлияли на процессы адаптации на малых масштабах [6], а также определить условие смены объекта фрактальности. Этому условию отвечает неравновесный фазовый переход, при котором спонтанно изменяется вид зависимостейf(а) и Бд (рис. 6) на зеркально отображаемый так, что при этом переходе Бд = В1 = = В0. Поэтому показатель упорядоченности Ад * становится отрицательным, но, однако, это не влияет на его физический смысл. Анализ показал, что зависимость ^ ~ | Ад * | сохраняется линейной, если учиты-
Рис. 5. Взаимосвязь критических параметров канонического (а) и псевдоспектра (б) в точках бифуркаций (схема)
вать величину Ад * по модулю. Этот результат представлен на рис. 7 для сталей 09Г2С, 16ГС и 16ГМЮ4. Они получены при совместном анализе двух спектров — канонического и псевдоспектра на микроструктурах двухфазных сталей 09Г2С, 16ГС и 16ГМЮ4 в нормализованном состоянии (данные мультифрактальной параметризации приведены в табл. 1) и стали 09Г2С после контролируемой прокатки и термической обработки (данные мультифрактальной параметризации даны в табл. 2).
4. Функция самоподобия фракталов в средах с различной степенью разреженности
До развития теории фрактальных структур количественные методы определения степени разреженности сплошной среды после внешнего воздействия сводились к определению изменения плотности конденсированной среды. Введение концепции фракталов и Ф-сим-метрии позволяет на основе данных мультифрактальной параметризации микроструктуры металлов и сплавов, полученной после различных степеней деформаций, тестировать разреженность среды, обусловленную сдвиговой деформацией на мезоуровне. Эта возможность связана с высокой чувствительностью фрактальной разреженности к нарушению симметрии. Поскольку величина порогового значения Вд = Бд при д ^ ^ отвечает переходу к симметричному фракталу, то его
Рис. 4. Пример объекта фрактальности в виде критического распреде- Рис. 6. Неравновесный фазовый переход от канонического спектра
ления микротрещин (а) на носителе меры (б), выявляемого методом к псевдоспектру со спонтанным изменением вида функций f (а) (а)
псевдомультифрактальной параметризации микроструктуры и Dq (б) [6]
Рис. 7. Линейные связи показателей упорядоченности Дq * и однородности ^* для канонического (а) и псевдоспектра (б) структуры двухфазных сталей 09Г2С, 16ГС и 16ГМЮ4 *
величина отвечает фрактальной размерности однородного фрактала, являющегося симметричным и инвариантным к преобразованию. Это дает основание считать фрактальную размерность однородного фрактала мерой разреженности среды обитания фрактала. Если нарушается симметрия среды, то фрактал превращается в мультифрактал, а среда изменяет свои характеристики разреженности. Поэтому пороговое значение Вд является характеристикой состояния среды при его вырождении в симметричный фрактал. В качестве примера рассмотрим ковер Серпинского (рис. 8, б). Эффекты нарушения Ф-симметрии данного фрактала были изучены Г.В. Встовским [5]. Симметричный фрактал в виде ковра Серпинского имеет размерность = 1.89279...
(рис. 8, а). Как показано в [5], малейшее нарушение его симметрии переводит фрактал в мультифрактал (переход прямой линии в кривую на рис. 8, б). Как известно, при генерировании геометрических фракталов, для получения фрактального множества используют генератор, состоящий из частей N отрезка после его деления на равные части, определяющего коэффициент масштаба г. Логарифм отношения числа N частей генератора к
коэффициенту масштаба г определяет структуру фрактала и его фрактальную размерность самоподобия [3]:
= 1п N11п г. (1)
Б. Мандельброт [2] определил размерность самоподобия, отвечающую условию (1) (размерность Хаусдор-фа-Безиковича) в виде:
X п = 1. (2)
I=1
Было сделано заключение, что, вероятно, существует функция самоподобия F, которая контролирует самоподобное соотношение между г и N для различных типов фракталов с размерностью Хаусдорфа-Безиковича (в том числе и в случае природных фракталов).
Ниже будет показано, что для генерации такой функции самоподобия может быть использован алгоритм с введенным в него кодом обратной связи [11].
Ранее [12], с позиции синергетического подхода к анализу процессов пластической деформации и разрушения с учетом коллективных эффектов этих процессов и самоорганизации диссипативных структур при переходах через точки бифуркаций установленной иерархии
Таблица 1
Данные мультифрактальной параметризации для канонического и псевдоспектров сталей 09Г2С, 16ГС и 16ГМЮ4 в нормализованном состоянии (по данным Пруцкова М.Е.)
Сталь D0 А D 2 /i00 0 о !> 0 О
Граница - 09Г2С 1.989 ± 0.008 1.901 ± 0.27 1.842 ± 0.034 0.248 ± 0.136 1.568 ± 0.008 0.333 ± 0.022
перлит (canon) 16ГС 1.996 ± 0.004 1.939 ± 0.025 1.899 ± 0.036 0.291 ± 0.045 1.654 ± 0.038 0.285 ± 0.013
16ГМЮ4 2.0 ± 0.000 1.970 ± 0.030 1.945 ± 0.052 0.251 ± 0.017 1.738 ± 0.123 0.232 ± 0.093
Граница -перлит (pseudo) 09Г2С 1.618 ± 0.002 1.692 ± 0.005 1.745 ± 0.007 3.269 ± 0.057 1.985 ± 0.001 -0.293 ± 0.005
16ГС 1.668 ± 0.004 1.736 ± 0.006 1.778 ± 0.006 3.142 ± 0.084 1.987 ± 0.001 -0.251 ± 0.005
16ГМЮ4 1.697 ± 0.004 1.765 ± 0.002 1.809 ± 0.002 2.856 ± 0.049 1.991 ± 0.001 -0.226 ± 0.005
Таблица 2
Данные мультифрактальной параметризации для канонического и псевдоспектров стали 09Г2С после контролируемой прокатки и режимов термической обработки (по данным Пруцкова М.Е.)
Сталь 09Г2С Контролирующая прокатка Термообработка по режиму 1 Термообработка по режиму 2
Мультифрактальные характеристики Canon Pseudo Canon Pseudo Canon Pseudo
Do 1.99 ± 0.01 1.37 ± 0.02 1.99 ± 0.01 1.28 ± 0.01 1.99 ± 0.01 1.28 ± 0.03
Di 1.96 ± 0.05 1.47 ± 0.02 1.96 ± 0.03 1.37 ± 0.02 1.96 ± 0.03 1.38 ± 0.03
D 2 1.94 ± 0.06 1.53 ± 0.02 1.95 ± 0.04 1.42 ± 0.02 1.95 ± 0.04 1.43 ± 0.03
D100 1.8 ± 0.01 1.95 ± 0.01 1.80 ± 0.01 1.91 ± 0.02 1.8 ± 0.01 1.91 ± 0.02
D-100 2.9 ± 0.08 0.029 ± 0.002 2.5 ± 0.04 0.030 ± 0.005 2.4 ± 0.02 0.026 ± 0.001
f100 0.1 ± 0.01 5.2 ± 0.05 0.16 ± 0.04 6.9 ± 0.03 0.22 ± 0.02 7.1 ± 0.04
Д100 0.16 ± 0.01 -0.48 ± 0.01 0.16 ± 0.06 -0.54 ± 0.05 0.16 ± 0.04 -0.53 ± 0.01
D-100 - D1 0.94 ± 0.09 -1.44 ± 0.01 0.54 ± 0.04 -1.34 ± 0.01 0.44 ± 0.02 -1.354 ± 0.02
структурных (масштабных) уровней деформации был установлен периодический характер процессов.
Эта периодичность была представлена в виде функции самоподобия
F = ДУда, (3)
где ДI — мера динамической устойчивости системы, контролирующая ее переход в диссипативное состояние в точках бифуркации; т — код обратной связи, обеспечивающей информационную связь между точками бифуркаций (т = 1 — линейная, т > 2 — нелинейная обратная связь).
В дальнейших исследованиях показаны универсальность этой функции для системы живой и неживой природы и возможность описания эволюции системы
при переходах от одного диссипативного состояния к другому с использованием этой функции. Базовый алгоритм эволюции системы при переходах от одного критического состояния в предыдущей точке бифуркации к другой был представлен в виде:
F = Х*/Л+1 =Д^, (4)
Л* Л *
• и Л {+1 — критические значения управляющего параметра соответственно в предыдущей и последующей точках бифуркаций.
Теперь раскрыта и тайна универсальности функции F. Оказалось, что функцией самоподобного повторения одной и той же структуры на различных масштабных уровнях является алгоритм обобщенной золотой про-
Рис. 8. Вырожденные (симметричные) мультифрактальные спектры (а) ковров Серпинского (б), рассчитанные с помощью программы MFRDrom с использованием шкал 100% охвата изображения [5]
О 2 4 6 8 р
Рис. 9. Связь кода обратной связи т в алгоритме (3) с параметромр в уравнении обобщенной золотой пропорции (5)
порции с введенным в него двоичным кодом обратной связи т = 2р-1 (рис. 9), где р = 2, 3, 4, 5, ... — оператор действия в уравнении обобщенной золотой пропорции:
Хр+1 - Хр -1 = 0. (5)
В этом случае т = 2, 4, 8, 16, 32, а мера динамичес-
кой устойчивости А{ системы равна одному из чисел в спектре обобщенной золотой пропорции: 0.465, 0.380,
0.324, 0.285, 0.255, 0.232, 0.213, ... (обратные величины) с учетом того, что функция самоподобия F определяется только инвариантными числами и она была затабулиро-вана (табл. 3).
Объединение двух основных законов, контролирующих эволюцию природных систем — обобщенной золотой пропорции и обратной связи в единый базовый алгоритм открывает большие возможности прогнозирования адаптивности различных систем к внешним воздействиям. Эта возможность связана с тем, что исполь-
зование алгоритма обобщенной золотой пропорции в виде табулированной функции самоподобия позволяет устанавливать меру динамической устойчивости А • и код т обратной связи независимо от типа изучаемой системы в момент потери устойчивости ее симметрии (переход в диссипативное состояние). Таким образом, функцию самоподобия F, отвечающую алгоритму обобщенной золотой пропорции с введенным в него двоичным кодом т обратной связи, можно представить в виде:
F = А{т = А1/2 Р-.‘ (6)
Использование базового алгоритма применительно к геометрическим фракталам, обладающим свойством самоподобия, привело к ошеломляющему результату: оказалось, что конструкция геометрических фракталов, определяемая отношением г/Ы, контролируется базовым алгоритмом (6) обобщенной золотой пропорции (табл. 4, рис. 10).
Как показано Б. Мандельбротом [2], проявление фрактальности характерно для всех природных структур от атома до галактики как инвариантность и степенные зависимости между фрактальными размерностями. Установленная роль деления целого на части в соответствии с золотой пропорцией при формировании искусственных (геометрических) фракталов позволяет применить анализ контролирующей роли закона обобщенной золотой пропорции к естественным фракталам и глубже понять постулат Б. Мандельброта [2] о фрактальной геометрии природы.
Инвариантность базового алгоритма (6) самоорганизации самоподобных структур к типу изучаемой системы обусловлена тем, что в живой и неживой природе функция самоподобия F контролирует формирование мультифрактальных множеств, содержащих подмножества фракталов, фрактальные размерности которых взаимосвязаны между собой степенной зависимостью.
Таблица 3
Значения функции самоподобия Г = А^/т, связывающей меру динамической устойчивости А1 системы с двоичным кодом т обратной связи, отвечающей базовому алгоритму обобщенной золотой пропорции с введенным в него кодом т обратной связи
F = = A*/ A*+i = А У/m
p А i m = 2p 1
2 4 8 16 32 64 128
2 0.465 0.68 - - - - - -
3 0.380 0.62 0.79 - - - - -
4 0.324 0.57 0.75 0.87 - - - -
5 0.285 0.53 0.73 0.87 0.92 - -
6 0.255 0.50 0.71 0.84 0.92 0.96 - -
7 0.232 0.48 0.69 0.83 0.91 0.95 0.98 -
8 0.213 0.46 0.68 0.82 0.91 0.95 0.98 0.99
Таблица 4
Самоподобие геометрических фракталов, контролируемое функцией самоподобия F в соответствии с алгоритмом закона обобщенной золотой пропорции г/Ы = F = А1/т
№ Тип фрактала Характеристики фрактала Характеристика самоподобия
r N Размерность подобия r/N F А / m
1 Триадная кривая Коха 3 4 1.26 0.75 0.75 0.324 4
2 Квадратная кривая Коха 3 5 1.46 0.6 0.62 0.380 2
3 Квадратная кривая Коха 4 8 1.50 0.5 0.5 0.255 2
4 Салфетка Серпинского 2 3 1.58 0.67 0.68 0.465 2
5 Ковер Серпинского 3 8 1.89 0.375 0.380 0.380 1
6 Квадратный остров Коха 8 32 1.665 0.25 0.225 0.255 1
Именно эти фракталы и являются информаторами достижения порога адаптивности системы к сохранению симметрии системы и необходимости дальнейшей перестройки ее структуры.
5. Стадийность пластической деформации в свете теории фракталов и мезомасштабных уровней деформации
Как известно, традиционный подход в материаловедении к анализу стадийности пластической деформации
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r/N
Рис. 10. Соответствие алгоритму золотой пропорции Г = А1/т параметров структуры самоподобных геометрических фракталов (табл. 3) на отрезке: а — деление отрезка на три части (г = 3); б — генератор фрактала, содержащий четыре фрагмента (ДО); в — элемент сгенерированного фрактала с фрактальной размерностью Ds = 1п4/1п3 = 1.26 (Гтах = 0.75)
не учитывает масштабные уровни деформации и вклада поворотной моды деформации. В.Е. Панин с сотрудниками [7] ввели представления о структурных мезомасш-табных уровнях деформации и рассмотрели стадийность пластической деформации с учетом двух самосогласованных механизмов деформаций «сдвиг + поворот».
В дальнейшем [13] при анализе стадийности деформации был использован системный подход, принятый в биологии, связанный с выделением детерминантных систем с заданным гомеостазом. В биологии гомеостаз связывают со свойством системы поддерживать свои параметры и функции в определенном диапазоне с обеспечением устойчивого состояния внутренней среды при внешнем воздействии. В физике гомеостаз связывают со стремлением динамической системы вернуться в равновесное состояние. Причем, в традиционных подходах переход «устойчивость - неустойчивость - устойчивость» системы не рассматривается.
В биологии к детерминантным системам относят системы, в которых конечный результат детерминирован, т.е. прогнозируется. Это возможно только в случае обеспечения взаимодействия элементов памяти системы с внешними сигналами. В биологической системе объект нормально функционирует, пока окружающая среда не нарушает состояние его природного гомеостаза. Так что сохранение природного гомеостаза в физических системах, каковой является твердое деформируемое тело, требует обеспечения информацией о периодической потере устойчивости системы в процессе ее эволюции и ее восстановления. В случае конденсированных сред информационное обеспечение реализуется только в точках бифуркаций, отвечающих переходу системы в диссипативное состояние. Именно в этих точках при потере динамической устойчивости
гомеостаза для упругой и квазиупругой стадий. Эти две стадии связаны с микроскопическими концентраторами напряжений. Переход от стадии II к стадии III является точкой бифуркации на мезоуровне. К началу этой стадии образуется ячеистая структура, знаменующая переход к новому масштабному уровню пластического течения (мезоуровень I). Локализация пластического течения (стадия IV) приводит к появлению нового мезоскопического масштаба (мезоуровень II) и новой точки бифуркации на кривой растяжения. Переходу от одной точки бифуркации к другой отвечает достижение критической разреженности среды (вследствие роста с деформацией плотности дефектов), которую можно оценить фрактальной размерностью кластеров при достижении порога адаптивности системы к сохранению динамической устойчивости системы. Так что каждому масштабному уровню деформации отвечает свой порог адаптивности системы к росту дефектов, а значит, и своя пороговая фрактальная размерность кластеров, дефектов, ответственных за сохранение динамической устойчивости (гомеостаза) разреженной среды. Ранее [14] был выделен следующий спектр пороговых фрактальных размерностей DS, отвечающих различным механизмам адаптации системы на пороге достижения критической степени разреженности среды:
D£y = 1.3, DSyп = 1.5, DSI = 1.67, DS[p = 1.89.
Значения DS определялись двумя способами: расчетным и по данным моделирования геометрических фракталов (табл. 5). При расчетах DS для квазиупругих сред использовали соотношение А.С. Баланкина [15], связывающее фрактальную размерность с коэффициентом Пуассона V.
Для плоских кластеров имеем:
Dsкy = Ds = 1 + V= 1.3. (7)
Таблица 5
Инвариантные параметры детерминантной подсистемы в системе в виде твердого деформируемого тела, контролирующие механизмы адаптации структуры в точках бифуркаций, отвечающих смене стадий
Номер стадии (рис. 11) I, II III IV V
Механизм адаптации Локальный сдвиг Сдвиг + поворот на мезоуровне Сдвиг + поворот на мезоуровне II Мезотрещина
Объект фрактальности Границы зерен Границы зерен Распределение пор Распределение трещин
Инвариантные для подсистемы значения фрактальной размерности Ds при переходах От I к II (точка 1) D^y = 1.3 От II к III (точка 2) ЩП = 1.5 От III к IV (точка 3) £8п = 1.67 От IV к V (точка 4) ДПР = 1.89 (порог перколяции)
Расчетные формулы Dsкy = 1 + V °Г = 1 + у эфф D II р II К і 5 II < О 1 5 1 ) 1 1 1 —
Аналоги — геометрические фракталы Триадная кривая Коха Ds = 1.26 Квадратная кривая Коха = 1.5 Квадратный остров Коха DS = 1.665 Фрактал Мандель-брота-Гивена = 1.89
Инвариантная мера устойчивости детерминантной подсистемы 0.324 0.324 0.324 0.324
Гз 4\
^2
1 + 11/ III Ж і IV V
s 1
1 микро 1 мезо 1 мезо II макро
8, %
Рис. 11. Схема стадий кривой «напряжение - деформация» при растяжении металлического поликристалла с ГЦК-решеткой с выделенными точками (1, 2, 3, 4) бифуркаций, отвечающих критической степени разреженности среды, определяемой инвариантной фрактальной размерностью Ds при переходах: от упругой к квазиупругой среде (точка 1, Ds = DKУ = 1.3); от квазиупругой к упругопластической (точка 2, Ds = D,yп = 1.5); от упругопластической к пластической (точка 3, Ds = Dп = 1.67); от пластической к разрушению (точка 4, Ds = 1.89)
системы реализуется память о предыдущем диссипативном состоянии в соответствии с кодом т обратной связи.
Далее покажем, что этот вывод согласуется с системным анализом [13] о стадийности пластической деформации. Выделенные в работе [13] точки бифуркаций 1,
2, 3 и 4 (рис. 11) отвечают смене механизма адаптации системы к внешнему воздействию и переходу в диссипативное состояние. В этом состоянии в процессе обмена энергией и веществом с окружающей средой самоорганизуется новая, более устойчивая к нарушению симметрии структура. В связи с этим, рассмотрим стадии деформации при деформировании металла, выделенные в работе [13] (рис. 11). Стадии I и II связаны со сдвигом в кристаллической решетке с сохранением исходного
Рис. 12. Зависимость фрактальной размерности Dу от относительной поперечной деформации у в зоне предельной деформации для стали разного уровня прочности на стадиях вязкого (2), квазихрупкого (3) и хрупкого (1) разрушения [16]
В упругопластической области пороговое значение DSУn определяли с учетом образования аморфных кластеров:
DSyn = ^ = 1 + эфф , (8)
где V эфф — коэффициент Пуассона для аморфной сре-
ды, принятый равным 0.485.
В пластической области фрактальная размерность кластеров обуславливается степенью предельной поперечной деформации на мезоуровне и определяется соотношением [16, 17]:
' (9)
ьа=dv
= [1.5у (1 -у )]-1 -1.
При у = 0.5 реализуется структурный вязкохрупкий переход (рис. 12), отвечающий смене механизма адаптации системы к внешнему воздействию — переходу от
сдвига к перколяции. Порогу перколяции отвечает переход перемен зависимости плотности фрактала р от масштаба I (рис. 13).
Таким образом, переходу от стадии мезо-! к перколяции (стадии мезо-П) отвечает DS = Dу = 1.67.
Расчетные значения инвариантных фрактальных размерностей кластеров, контролирующих смену механизмов адаптации на различных масштабных уровнях, были сопоставлены с данными фрактальных размерностей геометрических фракталов (рис. 14). Результаты этого сопоставления приведены в табл. 5. Можно видеть хорошее согласие. Более того, как установлено в [3], фрактал Мандельброта-Гивена с размерностью Ds = = 1.89 становится бесконечным перколяционным кластером, т.е. характеризует порог перколяции. Анализ
Рис. 13. Зависимость плотности р фрактала от масштаба I перколя- Рис.14. Фрактальные модели перколяционного кластера с = ционного кластера: 1 — фрактальное поведение, 2 — однородное = 1.84 (а) и геометрического фрактала Мандельброта-Гивена (б) с поведение фрактальной размерностью = 1.89
Рис. 15. Адаптация системы к сдвигу путем периодического изменения плоскостей сдвига (110)-(220), установленного при растяжении стали Fe - 0.3 % С. Заштрихованная область отвечает расчетным инвариантным мерам динамической устойчивости системы, а точки (•) - экспериментальным данным [18]
полученных фрактальных размерностей кластеров, инвариантных к внешним условиям и зависящих только от свойств среды их обитания, показал, что отношение предыдущего порогового значения DS в спектре к последующему отвечает функции самоподобия F *:
F* = ( DS) J (Ds*)<+1 = A[m, (10)
т.к. 1.3/1.5 = 1.5/1.67 = 1.67/L89 = 0.88 = 0.3241/8.
Поэтому среди множества фрактальных кластеров, самоорганизующихся в процессе деформации металлов и сплавов, можно выделить подмножество, содержащее фракталы, фрактальные размерности которых связаны между собой степенной зависимостью, т.е. оно является мультифракталом в соответствии с определением мультифрактала, данным Б. Мандельбротом.
Таким образом, фрактально-синергетический подход к анализу стадийности деформации показал, что после перехода через точки бифуркаций система восстанавливает исходную симметрию в результате информационной связи о потере устойчивости системы в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 11). Фрактальные размерности кластеров, равные DS = 1.3, 1.5, 1.67, 1.89, являются инвариантами детерминантной подсистемы, контролирующей гомеостаз твердого деформируемого тела на микро- и мезоскопическом уровнях. Анализ литературных данных [18] показывает, что при росте деформации на микроуровне происходит периодическая смена плоскостей скольжения (110) - (220) (рис. 15). С ростом деформации 8 отношение показателей уширения в рентгенов-
Рис. 16. Зависимость критических значений функции самоподобия F * отвечающих порогу адаптивности системы сохранять меру динамической устойчивости А1 системы на постоянном уровне от АI, определяющая наличие двух классов детерминантных систем: А — системы с внутренней структурой, обладающей высокой адаптивностью к изменению внешней среды; Б — системы с устойчивой внутренней структурой и низкой адаптивностью к изменению внешней среды
ских линий для указанных плоскостей стали Fe - 0.3 % С периодически изменяется с сохранением границ изменения в определенном коридоре величины в = Р110/в220. Этот результат демонстрируется на рис. 15.
Из приведенного анализа следует, что система в виде твердого деформируемого тела сохраняет свой гомеостаз (устойчивость) к сдвигу вплоть до точки 4, периодически восстанавливая нарушенные симметрии в точках
1, 2 и 3 (рис. 11).
Полученное значение меры динамической устойчивости А{ системы при сдвиге, равное 0.324, отвечает инвариантной мере относительной прочности кристаллической решетки на сдвиг для ОЦК-металлов, характеризующихся V = 0.3 (табл. 6).
Критическое значение тс /ас для различных металлов определяли с использованием комплекса термодинамических и упругих констант:
А* =Т с/ О с =
Ln G
h TS E ’
(11)
где Ьш — скрытая теплота плавления; НТ8 — энтальпия; G, Е — соответственно модули упругости при сдвиге и растяжении.
Таблица 6
Расчетные значения тс/ос для ОЦК-металлов [17]
Металл Fe Марка стали
20 X13 3X13 Х18Н9Т Х18Н9 30Х 30Н3 40 30Г2 30ХН3 Г13 Н28 50С2Г У8 У12
0.32 0.33
Таблица 7
Инвариантные к химическому составу значения тс/= Д* для ОЦК-, ГЦК- и ГП-металлов
Тип решетки ОЦК ГЦК ГП
Д* 0.324 0.465 0.380
Расчеты значений тс/ас для металлов и сплавов с различной кристаллографической структурой позволили определить другие инвариантные к химическому составу значения А* (табл. 7), отвечающие базовому алгоритму обобщенной золотой пропорции.
Из приведенного анализа следует, что металлы и сплавы являются детерминантной системой в виде стабилизированного комплекса атомов, устойчивость которого контролируется инвариантной к составу константой самоподобия А*.
Анализ зависимости критических значений функции самоподобия F *, отвечающих порогу адаптивности системы к сохранению меры динамической устойчивости системы в условиях самоподобия, позволил выделить для металлов и сплавов два класса детерминантных систем: с высокой (класс А: А* = 0.465, 0.380, 0.324 и низкой (класс Б: А* = 0.285, 0.255, 0.232, 0.213) мерой динамической устойчивости системы. Переход от одного типа системы к другой сопровождается переломом линейной зависимости F ~ Аг- (рис. 16).
6. Заключение
При деформации поликристаллических металлов и
сплавов контролирующим механизмом адаптации внутренней структуры к внешним условиям, обеспечиваю-
щим динамическую устойчивость системы, является устойчивость системы к сдвигу на микро- и мезо-1 уровнях.
Информационное поле между точками бифуркаций
обеспечивается инвариантными к внешнему воздей-
ствию фрактальными структурами, чувствительными
к флуктуациям в критических точках перехода систе-
мы в диссипативное состояние:
D¡ = 1.3, 1.5, 1.67, 1.89.
Они связаны между собой степенной зависимостью:
0^/ (Ds*)г.+1 =АУт = 0.32418. *
Пороговое значение фрактальных размерностей DS определяет переход системы в виде деформируемого твердого тела в диссипативное состояние, отвечающее смене масштабного уровня деформации (микро, мезо-1
и мезо-II) при достижении порога адаптивности к сдвигу Am = А*тД!т' = 0.32418.
Установленное значение меры устойчивости симметрии Дг- = 0.324 отвечает для ОЦК-металлов и сплавов критическому сопротивлению.
Литература
1. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы
природы. - Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. - 215 с.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт
компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
3. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1993. - 260 с.
4. Vstovsky G.V. Transform information: A symmetry breaking measure // Found. Phys. - 1997. - V. 27. - No. 10. - P. 1413-1444.
5. Встовский Г.В. Элементы информационной физики. - М.: РИЦ МГИУ, 2002. - 260 с.
6. ВстовскийГ.В., КолмаковА.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрак-
тальную параметризацию структур материалов. - Москва-Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 115 с.
7. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. -1982. - Т. 25. - № 6. - С. 5-27.
8. Иванова В.С., Оксогоев A.A. Нелинейная динамика деформационных фрактальных сред и адаптационные свойства структур материалов // Моделирование процессов в синергетических системах. - Томск: Изд-во ТГУ, 2002. - С. 68-78.
9. Оксогоев A.A. Мультифрактальный анализ нелинейной динамики адаптивности структуры материалов к внешним воздействиям // Прикладная синергетика - Ч. II. - Уфа: Издательство УГНТУ,
2004. - С. 7-14.
10. Оксогоев A.A. Стадийность пластической деформации металлических материалов с позиции фрактальной геометрии // Вестник Томского университета. Бюллетень оперативной научной информации. - Томск: Изд-во ТГУ, 2005. - № 5. - С. 16-22.
11. Иванова В.С. Перспективы использования синергетического подхода в решении проблем наноматериаловедения // МиТОМ. -
2005.- № 7. - С. 55-81.
12. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов. - М.: Наука, 1992. - 160 с.
13. Панин В.Е., Панин Л.Е. Масштабные уровни гомеостаза в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2004. - T. 7. -№ 4.- С. 5-23.
14. Иванова В.С., Встовский Г.В., Колмаков AT., Пименов В.Н. Муль-тифрактальный метод тестирования устойчивости структур в материалах: Учебно-методическое пособие. - М.: Интерконтакт Наука, 2000. - 54 с.
15. БаланкинA.C. Фрактальная динамика деформируемого твердого тела // Изв. АН СССР. Металлы. - 1991. - № 2. - С. 41-51.
16. Иванова В.С., Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. - М.: Наука, 1994. -383 с.
17. Иванова В.С., Кузеев И.З., Закирничная М.М. Синергетика и фракталы. Универсальность механического поведения материалов. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 1998. - 365 с.
18. Иванова В.С., Оксогоев A.A., Рыбакова Л.М. Оптимизация структуры металлических материалов с использованием критерия адаптивности структуры к внешнему воздействию // Проблемы машиностроения и автоматизации. - 2005. - № 2. - С. 65-70.
