О связи показателей надёжности и устойчивости функционирования комплекса объектов электроэнергетики Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 629.7.017.1

В. Ф. Воскобоев, Ю.Н. Рейхов

О СВЯЗИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА ОБЪЕКТОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Рассмотрена задача определения требований к характеристикам безотказности и ремонтопригодности систем электроэнергетики из условия обеспечения требуемого значения показателя устойчивости функционирования.

Ключевые слова: устойчивость, надёжность, интенсивность отказов, объекты энергетики.

V. Voskoboev, JU. Reikhov ON CONNECTION OF RELIABILITY AND STABILITY INDICATORS IN ELECTRIC POWER INDUSRTY SYSTEM FUNCTIONING

The article suggests the solution of the problem concerning reliability and repairability requirement characteristics of the systems of electric power industry on condition of required stability functioning indicator value.

Keywords: stability, reliability, rejections intensity, power objects.

Введение

Обеспечение устойчивости функционирования системы электроснабжения является одной из основных задач, стоящих как перед специалистами электроэнергетики, так и МЧС России. В настоящее время один из путей её решения сводится к использованию в качестве источника электроэнергии газотурбинных двигателей, на базе которых создаются газотурбинные станции (ГТС-Д) [4]. Технически такие источники могут эксплуатироваться как в стационарном, так и мобильном вариантах. Принцип использования этих источников состоит в следующем. Как правило, для обеспечения электроэнергией применяют стационарные электростанции, функционирующие на различных принципах - гидро, тепло, атомные и т. д. Однако в ряде случаев мощности таких базовых источников оказывается недостаточно (тепловые потери, сезонные и дневные колебания и др.). Кроме того, при нарушении штатного режима функционирования базовой электростанции (БЭС) возникает ситуация, при которой суммарная мощность, отдаваемая потребителю, снижается. Потеря генерируемой мощности может привести (и в ряде случаев приводит) к системной аварии, автоматическому отключению элементов энергосистемы с последующими эффектами типа «домино». Во всех этих случаях эффективным способом поддержания устойчивого снабжения электроэнергией может служить включение в общую систему вспомогательных источников на базе ГТС-Д.

Рассмотрение данной системы (БЭС - ГТС-Д) электроснабжения требует ответов на ряд вопросов. К ним, в частности, относятся требования к собственным показателям безотказности и ремонтопригодности как базовой, так и вспомогательной станции.

Постановка задачи

Рассмотрим систему, состоящую из двух элементов. Один из этих элементов соответствует базовой электростанции и имеет интенсивности отказов ^ и восстановления Другой элемент представляет вспомогательный источник электроэнергии с соответствующими параметрами и ц2. В общем случае следует считать, что собственные показатели безотказности этих элементов должны обеспечивать достаточно редкое их возникновение на каждом объекте. Будем также предполагать, что отказы являются взаимно независимыми. Для восстановления работоспособного состояния каждого объекта предусмотрены ремонтные структуры, которые действуют независимо с интенсивностью восстановления ц1 и ц2. Сделанные предположения приводят к тому, что потоки отказов и восстановления следует считать простейшими, а функции распределения времени безотказной работы и восстановления экспоненциальными.

Пространство состояний каждого объекта содержит только 2 состояния - либо работоспособное, либо неработоспособное. Предполагается, что восстановление начинает осуществляться немедленно, т. е. простои в неработоспособном состоянии отсутствуют.

Введенная система может находиться в 4-х состояниях.

Состояние I соответствует случаю, когда оба объекта являются работоспособными. В состояниях II и III неработоспособным является один из объектов - либо базовая станция (II), либо вспомогательная (III). Состояние IV соответствует ситуации, когда оба объекта являются неработоспособными. Переходы из состояний с меньшим номером в состояние с большим номером осуществляются с интенсивностью и Х2. Наличие ремонтных структур означает возможность обратных переходов с интенсивностями, зависящими от ц1 и ц2. При сделанных предположениях состояния рассматриваемой системы образуют один эргодический класс, а её поведение описывается системой однородных дифференциальных уравнений Колмогорова.

Будем понимать под устойчивым функционированием рассматриваемой системы ситуацию, при которой в произвольный момент времени обеспечивается подача потребителю электроэнергии требуемого объёма при условии, что качественные характеристики соответствуют установленным для них параметрам. Если обозначить требуемый объём электроэнергии W0(t), а объёмы, обеспечиваемые базовой и вспомогательной станциями, W1(t) и W2(t), то условие устойчивого функционирования имеет вид:

Ж1 (г) + Ж2 (г) > Ж0 (г) для всех г. (1)

Сопоставление этого условия с процессом функционирования системы БЭС - ГТС-Д показывает, что в полной мере условию (1) удовлетворяет только состояние I. В состояниях II и III может иметь место частичная устойчивость, а в состоянии IV подача электроэнергии не обеспечивается вообще. Поэтому можно сказать, что в состояниях II - IV система БЭС - ГТС-Д функционирует в режиме чрезвычайной ситуации (ЧС).

Для эргодического процесса, описываемого системой уравнений Колмогорова, существуют стационарные вероятности пребывания в каждом его состоянии. Отсюда, в качестве показателя устойчивости функционирования можно выбрать вероятность п - стационарную вероятность нахождения системы БЭС - ГТС-Д в состоянии I. Остальные вероятности лп...пгу будут характеризовать соответствующие режимы ЧС. Эти вероятности зависят только от характеристик безопасности и ремонтопригодности элементов систем БЭС - ГТС-Д, при этом предполагается, что условие удовлетворения электроэнергии качественным показателем выполняется.

Решение

Получение значений вероятностей п7(г); 7—1...IV связано с решением дифференциальных уравнений Колмогорова следующего вида [1]:

(г)_ л Т

ёг

_ЛТ -ж(г), (2)

где Л - транспонированная матрица интенсивностей переходов в системе БЭС - ГТС-Д;

п(^) - столбец линейной матрицы безусловных вероятностей пребывания в состояниях рассматриваемого процесса.

Множество начальных условий л(^) = [п 1 (о), ..., лгу(о)].

Определим элементы матрицы Л. Известно [2], что для элементов матрицы интенсивности переходов Лц выполняются условия:

IV

1Лц _ 0. (3)

ц _1

Использование этого условия позволяет вычислить значения Лц . Так, для состояния I интенсивность переходов в состояние II равна интенсивности отказа БЭС то есть Л^ ц _ Л\. Соот-

ветственно Л1 щ = Л2, а ^ = Л + Л2. Использование условия (3) позволяет определить интенсивность I = -2(Дх +Д2 ) •

Наличие возможностей по восстановлению приводит к тому, что интенсивность Лц I = Ц\,

Л11 .IV = Л2 ' Л11,111 = Л2 + а ЛП,П = -2(Л2 + М1) •

Рассуждая по аналогии, получим для системы БЭС - ГТС-Д следующую матрицу интенсив-ностей переходов Л:

Л =

-2 (Л+Л) Л 4 Л+Л

М -2 (Л2 + М) Л + М Л

М2 Л+М -2 (Л+М) Л

М +М2 М М -2 (м+М2)

(4)

Для матрицы интенсивности переходов (4) система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

г

П ^) = -2 (Л + Л ) • П (t) + М • П (t) + М2 • ПШ (t) + (м + М2 ) • П (t)

П

П

(t ) = )-2 (Л2 + М)Пп(t ) + (Л+М2 ) • П111 (t ) + МП (t)

() = Л • П (t) + (Л2 + М ) • П ^) - 2 (Л + М2 ) • ПШ (t) + М2 • П (t)

Г

^) = (Л+Л, )+Л2 Пп(t) + Лпш^)- 2 •(М+М )П (t)

(5)

с учётом условия нормировки ^ П (t) = 1.

г=1

При отсутствии ЧС начальные условия задаются как

п(0)= [1,0,0,0]. (6)

При необходимости оценки влияния варианта ЧС на величины вероятности П^ (), 1 = I, IV начальные условия изменяются:

П( 0) = [0,1,0,0] или п(0) = [0,0,1,0] п( 0 ) = [ 0,0,0,1].

(7)

Учёт таких начальных условий даёт возможность оценить интервалы времени до восстановления нормального функционирования, степень влияния варианта ЧС на показатели устойчивости функционирования и ряд других элементов деятельности обслуживающего персонала по обеспечению устойчивого снабжения потребителей электроэнергией.

Стандартный путь нахождения вероятности П1 (t), 1 = I, ..., IVсвязан с использованием преобразования Лапласа.

Для столбца

П

(t), 1 = I, ..., IV

после проведения преобразования Лапласа получим

[zПI ^)-1, zПII ^), zПIII ^), ZПIV (z)]Т с учётом начальных условий (6), где п (z) - результат преобразования Лапласа для соответствующих вероятностей п (t), 1 = I, ..., IV .

Применив аналогичный подход к остальным элементам системы (5), получим систему алгебраических уравнений:

- 13

Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2010'2

т

'г я (г)-1 = - 2{Хх + ¿2 (г) + / -жп (г) + / • яш (г) + + /2(г)

г я (г) = ¿1 я (г) - 2(^2 + / )жп (г) + + / ) - яш (г) + / • яж (г) , (8)

г - яШ (г) = ¿2 • я1(г) + ¿1 + /1) - яII(г) - 2(^1 + / ) - яш (г) + / - як (г)

г •яIV (г)= ¿1 + ¿2 )-я1 (г) + ^2 -я11 (г)+^1 -я111(г)-2(/1 + /2 )•яIV (г)

которая может быть решена, например, по правилу Крамера.

Однако в нашем случае этот путь неудобен в связи с тем, что необходимо разрешать характеристическое уравнение 4-й степени.

Другой путь связан с использованием численных методов и последующим применением теории планирования экспериментов для получения зависимости вида

Я (*) = А (¿р^/Ь/*). (9)

Подобный подход обеспечивает возможность оценки влияния каждого из аргументов (¿1, ¿2, /1, /2, *) на значение показателя устойчивого функционирования, а также выбора допустимой области изменения характеристик безотказности и ремонтопригодности из условия обеспечения требуемого уровня показателя устойчивого функционирования л:^).

На рис. 1 представлено решение системы (5) при начальных условиях я(о)= [1,0,0,0] и значениях ^1=0,011/ч, ^2=0,011/ч; Ц1=0,0051/ч, ц2=0,011/ч. Вид зависимости вероятности Я (*), 1 = I, ..., IVот времени показывает, что в рассматриваемом случае стационарный режим в системе БЭС - ГТС-Д наступает достаточно быстро.

Рис. 1. Вероятность нахождения системы в состоянии Ж1 (*), 1 = I, ..., IV

Использование методов теории планирования экспериментов [з] позволило получить зависимость показателя я^ (*) от параметров безотказности и ремонтопригодности элементов системы

БЭС - ГТС-Д (для стационарного случая).

Результаты расчётов значений вероятностей п в зависимости от характеристик безотказности ¿2 приведены в табл. 1.

Таблица 1

Зависимость вероятности i = 1,4 от характеристик безотказности Л2 при ^1=10-2, ц1=510-3, ц2=10-2, t=200 ч

Л2=10-2 Л2=10-3 Л2=10-4 Л2=10"5

П1 0,499 0,675 0,696 0,698

ГСП 0,139 0,157 0,0159 0,16

Гсш 0,132 0,031 0,019 0,018

Лгу 0,231 0,137 0,126 0,125

Примеры получающихся поверхностей 2-го порядка при вариации в пределах двух порядков при фиксированном значении Я1= 0,01% показаны на рис. 2.

Подобное представление позволяет наглядно оценить степень влияния характеристик безотказности вспомогательной системы на показатель устойчивости функционирования при различных сочетаниях характеристик ремонтопригодности. Кроме того, имеется возможность предъявить обоснованные требования к показателям ремонтопригодности элементов, входящих в систему БЭС -ГТС-Д, из условия обеспечения заданного значения показателя устойчивости Ж1 зад . Это сводится к определению таких наборов (ць ц2), при которых

Ж (ЛЛ, )"Ж зад. (10)

0

Рис. 2. Характер влияния характеристик безотказности Л

Геометрически эти наборы решений лежат в отсекаемой плоскостью ж/ (•) = ж/ зад (см. рис. 2) области, проекция которой на плоскость (//) и определяет допустимые комбинации значений (/1/2) (рис. 3).

Рис. 3. Допустимая область значений (/1/2) при Ж1 = 0,6, \= 0,01

Так, видно, что при улучшении показателя безотказности (^1=сопб^ площадь области допустимых значений (/1 /) возрастает. Кроме того, имеется возможность предъявлять менее жесткие требования к ремонтопригодности базовой системы.

В целом, полученные зависимости позволяют получить приближенную оценку допустимых изменений характеристик безотказности и ремонтопригодности систем вида БЭС - ГТС-Д из условия обеспечения требуемого уровня устойчивого функционирования таких систем. Приближение обусловлено тем, что решение получено при ограничениях на вид функций распределения показателей безотказности и ремонтопригодности. Более точные оценки могут быть получены на основе обработки результатов статистического моделирования процесса функционирования систем вида БЭС - ГТС-Д при учёте реальных функций распределения времени безотказной работы и восстановления.

Литература

1. Феллер В. Введение в теорию вероятности и её приложения. Т.1. - М.: Мир, 1954. - 498 с.

2. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

3. Зедгенидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем - М.: Наука, 1976. - 390 с.

4. Ольховский Г.Г. Разработки перспективных энергетических ГТУ. - Теплоэнергетика, № 4, 1996. -С. 66 - 75.