О связи классического и обобщенного решений задачи Дирихле, содержащей сингулярные операторы по части пространственных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Pchelintsev A.N., Protasov D.N. An algorithm of finding control function parameters in the problem of energy conservative control. In the work there is described a method of numeric computations of control function parameters in the problem of energy conservative control.

Keywords: energy conservative control, matrix exponential, power series, conditioned matrix, inverse matrix method.

Пчелинцев Александр Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры распределенных вычислительных систем, e-mail: pchela9091@rambler.ru

Протасов Дмитрий Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат экономических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики, e-mail: protasov.dn@yandex.ru

УДК 517.958

О СВЯЗИ КЛАССИЧЕСКОГО И ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПО ЧАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

© А.Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева

Ключевые слова: сингулярный В-эллиптический оператор, фундаментальное решение, обобщенное решение.

В работе найдены достаточные условия, при которых классическое решение задачи Дирихле для одного класса сингулярных В-эллиптических операторов в заданной ограниченной области почти всюду совпадает с обобщенным решением этой задачи.

Пусть П£п+т действительное евклидово пространство точек X = (х',у'), где х' = = (Ж1,...,Ж„), у' = (2/1,... ,2/т)»

И*3+т = {хе Мп+т : 7/г > о, г = 1,2,... т) ,

Г2+ — произвольная ограниченная область в Я”+тл, прилегающая к гиперплоскостям У1 = 0, . . . , Ут = 0.

Через Г®, ...,Г^ обозначим часть границы области П+, лежащей на гиперплоскостях

у\ = 0,... ,ут = 0, а через Г+ — замыкание оставшейся части границы. Предполагаем,

что Г+ произвольная поверхность типа Ляпунова.

В работе рассматривается краевая задача вида:

Ру'У = -/, х £ П+, (1)

V 6 я!,+(£2+), (2)

где Ру' — дифференциальный оператор, определенный в области содержащий по т пространственным переменным у*, (г = 1,2, ...т) оператор Бесселя ВУ{ :

71 г\ / л \ ТП

РУ' = Ш ) + ^ Ь^Х')ВУг + С(Ж)’ СМ ^ °’ (3)

_ д2 к{ д

У1 = Щ + т %’ {> °’ г = 1’

771,

(4)

а,ц = а,ц(х), = Ь{(х'), с = с(гс) — заданные функции.

Предполагается, что Ру> — оператор 5-эллиптического типа (см. [1-3]): существует 5 > 0, такое, что для любого а = (ах,..., ап+т), |а| ф 0, имеет место неравенство

^ а^{х)а{аэ + ^ Ь{{х')а2п+{ ^ 6 |а|2 ,

*¿=1 г=1

а^(х) = а^(х).

(5)

(6)

Введем следующие обозначения:

— класс функций, непрерывных в области 17+, удовлетворяющих неравенству Гельдера с показателем д; С+(Г2+ и ) — множество функций 5 раз непрерывно дифференцируемых в области четных по переменным * = 1,2,...,т,

в = 0,1,..., оо; +(Г2+) — замыкание множества С4(п+иг?) по норме

1Н1яг = [ 1^|2 2/11 - • *

*•+ Jn+

+ Е /+ к“

н=» п '

{у\ду\)ах • • • {утдут)атп

А:1+2а1

,^т +2аг

У{-----...у™т‘г*“т<£с ¿у ,

где |а| = ах + ... + ап + ап+т , а = («1,..., ап+т), щ — целые неотрицательные числа, £>х' = (Аси--- ,ВХп), Д^. = ^т, j = 1,2,... ,п; Ь2,к№+) — пространство функций,

квадратично суммируемых по области П+с весом у^у^2 ■ • • У^1 , к = к\ + ... + кт , в котором введена естественная норма.

О

Положим, Н®+(П+) = Ь2,к№+); С+(^+иГ) — подмножество функций, принадлежащих

о о

С+(^+иП, равных нулю вблизи Г; Я^.+(0+) — замыкание подмножества С|(Г2+иГ) по норме пространства Я>.( 0+).

Определение 1. Обобщенным решением краевой задачи (1)-(2) называется такая функция г>о(я), которая доставляет минимум функционалу

./(г,) = /

J(l+

Ц а

г,]=1

ду ду

13 дхг дх

) ^ 1 (ду\2 2 7+§Ч%) ~Уи

У\' • • ■ Ут^

(7)

в пространстве функций V Е Н1+(П+).

Можно дать другое определение обобщенного решения краевой задачи (1)-(2). Определение 2. Обобщенным решением краевой задачи (1)-(2) называется такая

О О

функция, что г>о Е Н1+(£1+), которая для любой функции т/> Е +(П+) удовлетворяет интегральному тождеству

/

п+

(8)

Лемма. Определение 1 и определение 2 эквивалентны.

Теорема 1. Пусть коэффициенты а^(х), Ь{(х'), с(х) оператора Ру> принадлежат

следующим классам:

ац(х) £СМ{Щ, Ь(х') е С<°'">(Г2+), 4(1)еС<«(!р),

удовлетворяют условиям В-эллиптичности (5) — (6) и условию с{х) ^ 0 . Пусть /(х) 6 <ЕС(°^)(Ю+).

Для того чтобы функция у(х) была обобщенным решением задачи Дирихле (1) — (2), необходимо и достаточно, чтобы функция и{х) — и(х) — ср(х) была обобщенным решением краевой задачи:

Ру>и = 0, х е Г&+, (10)

{и + ч>)е Н1к +{П+), (11)

где <р(х) определяется формулой

(р(х) = [ в(х, £)/ {х)у^1 ... у^1 (1х, (12)

в которой (7(:е,£) является главным фундаментальным решением оператора Ру>.

Существование и единственность главного фундаментального решения оператора Ру> установлены в работе [4].

Теорема 2. Пусть коэффициенты оператора Ру> удовлетворяют требованиям теоремы 1. Пусть /(я) Е . Тогда классическое решение задачи Дирихле

г^1г+ — 0,

Ру>и = -/(ж), х Е Г2+, (13)

ди

= 0, г = 1,... ,т

г?

%

почти всюду в области совпадает с обобщенным решением этой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприяпов И. А. Преобразования Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов. Труды МИАН СССР, т.89, 1967. С. 130-213.

2. Киприяпов И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. ДАН СССР, т.158, §2, 1964. С. 275-278.

3. Киприяпов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., Наука, 1997.

4. Сазонов А. Ю., Фомичева Ю. Г. О главном фундаментальном решении для одного класса В-эллиптических операторов // Вестник Тамбовского университета, т.15, вып. 6, 2010, с. 1688 -1689.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект № 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты Ж№ П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11).

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Sazonov A.Yu., Fomicheva Yu. G. On connection of the classical and generalized solutions to the Dirichlet problem containing singular operators in some space variables. In the work there is considered the Dirichlet problem for one class of singular В-elliptic operators. Sufficient conditions under which the classical and generalized solutions to such a problem coincide almost everywhere in a given bounded area are derived.

Keywords: singular В-elliptic operator; fundamental solution; generalized solution.

Сазонов Анатолий Юрьевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: sazonov.anatol@yandex.ru

Фомичева Юлия Геннадьевна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: fomichevajulia@mail.ru

УДК 519.853

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА

(с) М. И. Сумин

Ключевые слова: выпуклое программирование, принцип Лагранжа, теорема Куна-Таккера в недифференциальной форме, параметрическая задача, минимизирующая последовательность, двойственность, регуляризация, метод возмущений.

Работа посвящена формулировке и доказательству на основе метода двойственной регуляризации так называемой регуляризованной теоремы Куна-Таккера в недифференциальной форме для параметрической задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве в случае сильно выпуклого функционала цели. Эта теорема представляет собой утверждение в терминах минимизирующих последовательностей о возможности аппроксимации решения задачи выпуклого программирования точками минимума ее регулярной (с равным единице множителем Лагранжа при функционале цели) функции Лагранжа без каких-либо предположений регулярности самой оптимизационной задачи. При этом аппроксимирующие решение точки конструктивно указываются. Устанавливается связь этого утверждения с дифференциальными свойствами функции значений ( 5 -функции). В качестве частного случая теорема содержит классический вариант теоремы Куна-Таккера в недифференциальной форме. Рассматривается вариант регуляризованной теоремы Куна-Таккера в случае выпуклого функционала цели.

Введение

Как известно (см., например, [1] - [4]), классическая теорема Куна-Таккера представляет собой принцип Лагранжа в недифференциальной форме в задаче выпуклого программирования. Чаще всего она формулируется как критерий оптимальности, выражаемый в разных вариантах, но в каждом из этих критериев присутствует условие регулярности задачи [1]

- [4]. Например, в [2] условие регулярности формулируется в виде условия существования вектора Куна-Таккера, а в [3] — в форме конкретных условий регулярности Слейтера и