О структуре интегралов систем дискретных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 115-120.

О СТРУКТУРЕ ИНТЕГРАЛОВ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ

М.В. ЯНГУБАЕВА

Аннотация. В работе описывается структура интегралов систем дискретных уравнений. Рассматривается пример дискретной цепочки Тоды, соответствующей алгебре Ли серии A.2.

Ключевые слова: система дискретных уравнений, полный набор интегралов. Mathematics Subject Classification: 35Q53, 37K10

1. Введение

Настоящая статья посвящена описанию структуры интегралов системы уравнений на квадратной решетке общего вида:

Ui,i = f %(n,m, u, ui,0, uo,i), i = 1, 2,... ,N, (1)

где u = u(n,m) вектор-функция двух дискретных аргументов, определенная на CN: u = (u1,u2,... , uN)T. Нижние индексы переменных означают сдвиги аргументов функции: up,q = DpnDmu(n,m) = u(n + p,m + q), где Dm, Dn операторы сдвига. Набор динамических переменных включает в себя переменные u и их сдвиги up,o, u0,q, где p,q Е Z. Полагаем также, что система уравнений (1) разрешима относительно переменных u-1-1, u-11, u1-1.

Определение 1. i) Функция I (n,m, u, u1,0, u2,0,..., uk,0), dT~) = 0 (функция

F (n, m, u, u0,1; u0,2,..., u0,i), = 0) называется m-интегралом (соответ-

ственно n-интегралом) системы уравнений (1), если выполняется равенство DmI = I (или DnF = F).

ii) Интегралы вида I = I(n) (F = F(m)) называются тривиальными.

iii) Система уравнений, допускающая N нетривиальных независимых интегралов в каждом направлении, называется интегрируемой по Дарбу.

iv) Интегралы называются независимыми, если ни один из них не выражается через остальные и их сдвиги.

Вопросы интегрируемости по Дарбу дифференциальных уравнений гиперболического типа и систем таких уравнений активно изучаются в течение многих десятилетий [1], [2]. В работах [3], [4] доказано, что гиперболическая система интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда её характеристическое кольцо Ли имеет конечную размерность (см. также [5]). В работах [6], [7] введено понятие характеристического кольца дискретного уравнения и с помощью этого понятия проведена классификация интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений вида u1,x = f (u,u1,ux). В работе [8], [9] изучается проблема построения полного набора интегралов гиперболической системы.

M.V. Yangubaeva, On structure of integrals for systems of discrete equations. © Янгуваева М.В. 2014.

Работа поддержана РФФИ (гранты 13-01-00070-а, 14-01-97008 р-поволжье-а).

Поступила 25 октября 2013 г.

Структура интегралов дифференциальных уравнений была изучена в [5]. В работах [10], [11] обсуждается связь интегрируемости по Дарбу и обрыванием ряда инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения. Работы [12], [13] посвящены изучению интегрируемых по Дарбу дискретных уравнений в рамках симметрийного подхода.

1.1. Условия полноты набора интегралов систем дискретных уравнений.

Порядком интеграла I = I(п, т, и, и10, и2,о,... , Щ о) системы дискретных уравнений (1)

называется число к. Предполагается, что существуют такие 1,], что дЦ = 0, д/ = 0.

к, 0

Пусть система (1) имеет N независимых т-интегралов I:, 12,... , Iм минимальных порядков к1 ^ к2 ^ ... ^ км, (от/Иг = к). Это значит, что выполнены следующие условия

1. (п, т, и, и10,... , ик,0) = I(п, т, и, и10,... , ик,0), к ^ к1 тогда и только тогда, когда

I =I (п);

2. (п,т, и, и1,0,..., ик,0) = I (п,т, и, и1,0,..., ик,0),к € [к^-1,к^),] € [2; N1 тогда и только тогда, когда I является функцией, зависящей только от п, 11, 12,... , I-7'-1 и их сдвигов по п.

Справедливо утверждение:

Лемма 1. Пусть система уравнений (1) имеет N независимых т-интегралов минимального порядка к. Тогда любой другой т-интеграл является функцией переменных п, интегралов 11, 12,..., Iм и их сдвигов по п.

Доказательство. Пусть выполнено условие дЦд = 0. Если это не так, то добьемся

выполнения этого условия переобозначением переменных. Выразим переменную п\ 0 через остальные переменные и интеграл 11:

и

к,0 = дЧп т и и1,0,..., uk-l,о,ulfl, ...^^Д1). (2)

Затем перейдем от набора переменных п,т, и, и10,... , ик,0 к новому набору переменных п, т, и, и10,... , ик-10, ик 0,... , и^0, 11. В результате все интегралы I5 ,в = 2, 3,... , N перепишутся в виде 15 = I 'в(п,т, и, и1 , 0,..., ик-1 ,0,ик 0,... , и^Д1). Тогда имеем

Ег=2 (= °. Действительно, в противном случае второй из интегралов заданного

набора можно было бы разложить в окрестности точки 11 = г0, где 10 — некоторое комплексное число, в степенной ряд

го

12 = ^ I](п, т, и, и1 , 0,... , ик-1 , о)^1 - *о)7. (3)

7=0

Так как 11Д2 являются т-интегралами, то все коэффициенты ряда (3) также будут т-интегралами порядка не превосходящего к — 1. Действительно, имеем

(ГО

'У^З(п, т, и, и1,0,... , Uk-l,о)(11 — *о)7

7=0

ГО

2 = 5^ (п, т, и, и1,0,..., Uk-l,о)Dm(11 — ¿о)7,

7=0

ГО

12 = ^ (п, т, и, и1,о,..., Uk-l,о)(11 — ¿о)7. (4)

7=0

Сравнивая ряды (3) и (4) и пользуясь единственностью разложения в ряд Тейлора, получаем равенство

Бт](п, т, и, и1,о,..., ик-1,0) = I](п, т, и, и1,о,..., ик-1,0),

и интеграл 12 является функцией от переменных п, I^ что противоречит требованию независимости рассматриваемого набора интегралов.

Аналогично предыдущим рассуждениям можно считать, что дЩ = 0. Тогда перемен-

2 7~1 т2

ную щ о выразим через оставшиеся переменные и интегралы 11,12

0 0/ Ч Л 7 1 О \ / \

%,о = 9 (п, т, и, и1;о,..., ик-1,0, икр,..., пкр, 1,1). (5)

От переменных п,т, и, и1>0,..., ик-1>0, п2к0,... , п^0, 11 перейдем к набору переменных п, т, и, и1)0,..., ик-1>0,пк0,... , п^0,11,12 в интегралах Р, в = 3, 4,... , N.

Продолжая наши рассуждения выше на случай переменной п?к0 и интеграла 13, можно

показать, что ^^13 (дЛ ) = 0. Предполагая ¿¿3— = 0, находим

\ к,0 / к,0

пк,0 = 93(п,т, и, и1,0,..., ик-1,0,пк,0,... ,прк0,11,12,13). (6)

На г-ом шаге получим соотношения

пк,0 = 9г(п, т, и, и1,0,..., ик-1,0, пк+01, ...,п^0,11,...,1г ),г ^ N. (7)

В результате проведенных преобразований приходим к формулам

пк,0 = дг(п,т, и, и1,0,..., ик-1,0,11,... ,1М ),г = 1, 2,... ^. (8)

Применяя оператор сдвига П3п к последним соотношениям, имеем, что

п

к+,-,0 = Фг(п, т, и, и1,0,... , ик-1,0,11,...,1М, 11 П TN п-7' ^1 п-7'

уит , . . . , ППТ

Бп!1,...,^ ^..Б^1,...,^), * = 1, 2,...^, ] = 1,2,.... (9)

Пусть С — произвольный т-интеграл порядка д > к:

С = О(п, т, и, и1,0,... , ид,0).

От переменных п, т, и, и1,0,... , ид,0 перейдем к переменным п, т, и, и1,0,..., ик-1,0, 11,... , Iм, 1, ... , м, ... , Б‘П~к11, ... , Бдп~кIм и в окрестности точки

(С(1) £(1) С(1) С(2) С(2) £(2) £(М) £(М) £(М) А

К ,¿1,0 , . . . ,Сд-к,0,С ,¿1,0 , . . . ,£д-к,0, . . . ,£ ,¿1,0 , . . . , ¿д-к,0, I

функцию С разложим в степенной ряд:

ГО ГО ГО

С = Е Е ... Е

а[1,0]+а[1,1]---а[1,д—к]=0 а[2,0]+а[2,1]--\-а[2,д-к]=0 а[М,0]+а[М,1]---а[М,д—к]=0

п ( \ (т1 ¿(1)\а[1,0] (п г1 ¿(1) )а[1,1]

Са1а2 ...ам (п, т, и, и1,о,..., ик—1,0) (I — £()) .[0^ — £1 ) ...

(бптч 1 — 4—к )“11Л—к1. (I2 — £<2>Гм. {DJ 2 — £!2))“|2Д1...

{Б1-Ч2 — )к)“[2,5—4 . (IN — £(м. . . (К-кIN — 4—к.)а'М,,—4 ,

где а7 = (а[к, 0], а], 1], а], 2],..., а], д — к]), ] = 1, 2,..., N. Так как функции С, 11,...,

Iм, 1,... , м,... , БП-к11,... , Б(П—кIм являются т-интегралами, то все коэффициен-

ты этого ряда должны быть также т-интегралами порядка, не превосходящего к — 1. Так как число к является минимальным порядком интеграла, то Са1а2 . ам является функцией от переменной п.

В результате получаем, что произвольный т-интеграл С выражается через интегралы заданного набора и их сдвиги по п

С = С(п, I ^...Дм, БпТ1,..., Бп Iм,..., Б1~к 11,..., Б1~к Iм).

Лемма доказана.

Далее докажем теорему о структуре интегралов системы (1) в общем случае.

Теорема 1. Пусть система уравнений (1) имеет р независимых т-интегралов I3,

І = 1, 2,... , N минимальных порядков к1 ^ к2 ^ ... ^ км. Тогда любой другой т-интеграл является функцией от переменных п, интегралов 11,... ,1м и их сдвигов по п.

Доказательство. Обзначим К = км. Приведем интегралы Р,І = 1, 2,... ^ заданного набора к одному порядку К, подействовав на них оператором сдвига ПК к] и прибавив 13, получим

П.К-к 13 + 13 = 13 (п, т, и, иь ..., ик-к,- ,0, ик-к,-+1,0,..., ик,0), І = 1, 2,...^ - 1. (10)

Таким образом, мы имеем N интегралов I1, I2,..., Iм-1, Iм одного порядка К. Отметим, что построенные интегралы являются независимыми. Далее, проводя аналогичные рассуждения, как и в доказательстве леммы 1, получаем, что переменные пгК0, г = 1, 2,..., N можно выразить через динамические переменные и, и10,... , ик-1,0 и набор интегралов ї ї їм-1 ^

пгК0 = дг(п, т, и, и1,0,..., ик-1, ї1 ,ї2,..., Iм-1, Iм), г = 1, 2,..., N

или, учитывая (10),

пгК0 = 9г(п,т, и, и1,0,..., ик-1,11,..., Iм-1, Iм, ПК-кі 11,..., ПК-км-11м-1), г = 1, 2,...^.

Применим оператор сдвига БП к последним соотношениям, получим формулу иК+г,о = Ф>, т, и, и1,о,..., ик-1,0, БК-к111,БПК1,..., КК—к1+гI

БК-к212 DK-k2+lI2 -к2+гI2 Б^-к^-1 ^—1 Б^-к^_l + lIM— 1

{П ^ гп ^ ^ гп ^ ^ гп ^ гп ^ ^

БК-км-1-г Iм м ,БпТм ,...,Бгт Iм), г = 1, 2,...,^ к = 1, 2,....

Пусть С — произвольный т-интеграл порядка в > К:

С = С(п, т, и, и1,о, и2,о,..., и8,о).

Далее, как и выше, от переменных п,т, и, и1,0, и2,0,..., и5,0 перейдем к переменным п,т, и, и1,о, и2,о,..., ик-1,0, БК—к111, БК^1-^1, ...,БК—к1+Ч1, БК—к212, БК-k2+1I2,..., БК—к2+гт2 БК-км-11м —1 БК-км-1+11м —1 БК-км-1+ТIм —1 Iм б Iм бг Iм в

окрестности точки (£(1) £(1) С(1) С(2) С(2) С(2) £(м-1)

окрестности !очки (£К-к1,0,£К—к1+1,0, ... , ¿г—к1,0, ¿К—к2,0, ¿К—к2+1,0, . . . ,Сг—к2,0, . . . , ¿К—км-1,0,

С^м-fei>-1+l,0,..., -1- 1,о,£(м), Йо\ .. .,£(з—)к,о) последнюю функцию С представим в виде

степенного ряда

го го го

С = £ ... £ £

а[1,К—к1]---а[1,в—к1]=0 а[м—1,К—к^—1]---а[м—1,з—кн—1]=0 а[м,0]+а[м,1]---а[м,в—К]=0

(/..ч \ а[1,к-кі]

пк-кі 11 - €к-ъ)

„,,11 (1) Ч«[1,к-к1 + 1] ( (1) Ч«[1,«-к1]

п,K-kl+111 - $-к!+,) . . . (К 111 - ¿V

(пк-кМ-1 Tм-1 _ А.м-1’ \а[м-1,к-кМ-1] / к-к^-1 + 1 Tм-1 _ е(м-1’ \а[м-1

уПи T ек-км-г) уПи T ^к-км-1+1}

(пи-к,-11м- _ е-«1 )а|м--км. (Iм _ {(м’^а[м'0]. (Пиїм - Йм’)

^-1 ¿-Х1- Р "1 .(Iм - Є(м ’)Щ '.{Пи!м -

пи-к-чм - ¿-к-1]. (Пи-кIм - е(мкр"*.

Здесь а3 = (а[к,К - кз ],аЦ,К - кз + 1],..., аЦ, в - к^ ]), І = 1, 2,...^ - 1,

ам = (а[N, 0], а[^ 1],..., а[N, в - К]). Так как О и все функции Пк-к111, Пк-kl+111, ... ,

Б3—к111 БК—к2 ^ БК—к2+1^ Б3—к2 ^ БК—км-11м —1 БК—км-1+^м —1

ГП У ГП У ГП У У ГП У ^ 'п ^ ^п У У

Б'П км-11м — 1, Iм, DnIм,... , БП—КIм являются т-интегралами, то все коэффициенты этого ряда должны быть также т-интегралами порядка не превосходящего К — 1. Из определения интегралов минимальных порядков вытекает, что Са1а2 ...ам является функцией от переменных п, 11, 12,... , Iм—1, Iм и их сдвигов по п.

Таким образом, произвольный т-интеграл С имеет вид

С = С(п, I \..., Iм, БД1,... , ,..., БП~к111,..., БП~км Iм),

и, следовательно, интегралы 11, 12,... , Iм образуют полный базис.

Теорема доказана.

1.2. Пример системы дискретных уравнений, имеющий полные наборы интегралов.

Рассмотрим дискретную цепочку Тоды, соответствующую простой алгебре Ли серии А2

а0,0а1,1 — а1,0а0,1 = Ь1^ (11) Ьо,оЬ1,1 — Ь1,оЬо,1 = ао,ъ

здесь а = а(п, т), Ь = Ь(п, т) — неизвестные функции двух дискретных переменных п, т. В работе [14] было построено характеристическое кольцо Ли Ьт, имеющее базис

X! « Х2 = 9

dao-i дЬо-1

Y = d-1 д рт = — + (aio - bl,°bo-1 | 1 ^ —+

m dao,i дао,о yao,o ao,obo,oao,-i ao,-ibooy dai,o

+ /a-i,o + bo,-i \ д + + 1 д / a-i,o + 1 \ д +

V ao,o ao,oao,-i J дa-l,o bo,-i дbl,o \ao,obo,-i ao,oao,-i J дb-l,o ’

Y = d-i д D = д +(— - ao,o ^ д +(b-i,o + a-i,o ^ д +

m д^,1 дbo,o V bo,o bo,obo,-i J дbl,o \ bo,o bo,obo,-i J дb-l,o ’

Pl = [Xl,Yl], P2 = [X2,Yl], P3 = [X2,Y2]. В каждом из операторов отбросим слагаемые, содержащие переменные с отрицательными сдвигами, и решим систему уравнений

Xi(F) = 0, X2(F) = 0, Yi(F) = 0, Y>(F) = 0,

Pi(F) = 0, P2(F) = 0, Ps(F) = 0. (12)

Для решения системы (12) достаточно считать, что F зависит от bo,o, ao,o, bl,o, al,o, b2,o, a2,o или от ao,o, bi,o, al,o, b2,o, a2,o, b3,o. Если предположить, что F зависит от меньшего числа переменных, то получим только тривиальные интегралы. В результате получаются две системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Решая эти системы, мы получим два независимых m-интеграла данной системы

11 = bo,o + ao,ob2,o + a2,o J2 = ao,o + a2,obl,o + b3,o

bi,o ai,obi,o ai,o ai,o ai,ob2,o b2,o

Таким образом, найден полный набор m-интегралов минимальных порядков. Условие тео-

ремы 1 выполнено, поэтому любой другой m-интеграл является функцией, зависящей от п, 11,12 и их сдвигов.

Автор благодарит И.Т. Хабибуллина за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Darboux Lecons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Gauthier-Villars. Paris. 1896. V. 1-4.

2. E. Goursat Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre // Annales de la faculté des Sciences de l’Université de Toulouse 2e série. V. 1. № 1. 1899. P. 31-78.

3. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. Т. 51, № 1. 1982. С. 10--21.

4. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт. Башкирский филиал АН СССР. Уфа. 1981. 22 с.

5. Жибер А.В., Муртазина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелиейные интегрируемые уравнения. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2012. 376 с.

6. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan On the classification of Darboux integrable equations // Journal of Mathematical Physics. V. 49, № 102702. 2008.

7. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan Complete list of Darboux integrable chains of the form ti,x = tx + d(t, ti) // Journal of Mathematical Physics. 2009. Т. 50, № 1.

8. Жибер А.В., Гурьева О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. Уфа. Т.6, № 2 (13). 2005. С. 26-34.

9. Жибер А.В., Костригина О.С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2010. Т. 3, № 2. С. 173--184.

10. Адлер В.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. Т. 121, № 2. С. 271--284.

11. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. Т. 56, № 1 (337). С. 63--106.

12. R.N. Garifullin, R.I. Yamilov Examples of Darboux Integrable Discrete Equations Possessing First Integrals of an Arbitrarily High Minimal Order // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, № 3. С. 177-183.

13. R.N. Garifullin, R.I. Yamilov Generalized symmetry classification of discrete equations of a class

depending on twelve parameters // J. Phys. A: Math. Theor. 2012. V. 45, № 345205.

14. R.N. Garifullin, I.T. Habibullin, M.V. Yangubaeva Affine and Finite Lie Algebras and Integrable

Toda Field Equations on Discrete Space-Time // SIGMA. V. 8. 2012. 33 p.

Марина Валерьевна Янгубаева,

Уфимский государственный университет экономики и сервиса, ул. Чернышевского, 145,

450078, г. Уфа, Россия

E-mail: marina .yangubaeva@mail. ru