О среднем числа решений бинарной проблемы Гольдбаха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

О СРЕДНЕМ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ БИНАРНОЙ ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА

С.А. Гриценко, Н.Н. Мотькина

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: Gritsenko@bsu.edu.ru

Аннотация. В работе доказан теорема, которая является вариантом теоремы Чудакова относительно бинарной задачи Гольдбаха с простыми числами специального вида.

Ключевые слова: аддитивные задачи, бинарная проблема Гольдбаха, теорема Чудакова, простые числа специального вида.

1. Введение. В 1742 г. в письме к Л. Эйлеру Х. Гольдбах высказал гипотезу, что каждое нечетное число, большее семи, может быть представлено в виде суммы трех нечетных простых чисел. В ответном письме Л. Эйлер предположил, что всякое четное число, большее четырех, есть сумма двух нечетных простых чисел. Эти задачи получили названия соответственно тернарная и бинарная проблемы Гольдбаха.

В 1937 г. И.М. Виноградов полностью решил тернарную проблему Гольдбаха. Утверждение бинарной проблемы Гольдбаха остается до сих пор недоказанным. В 1938 г. Н.Г. Чудаков [1] доказал следующую теорему, решив тем самым бинарную проблему Гольдбаха «в среднем».

Теорема 1. Пусть K(X) равно числу тех четных чисел между 6 и X, которые не

могут быть представлены как сумма двух нечетных простых. Тогда

X

К(Х) ^ CD ' , 6 ^ X < оо , V ; log X

где D - произвольное фиксированное положительное число, CD — положительная константа, зависящая только от D.

В этой работе изучается вопрос о среднем числа решений бинарной проблемы Гольдбаха в простых числах специального вида

a < [nPi] < b , i =1, 2 ,

где n - произвольное иррациональное алгебраическое число степени n, a и b - произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0,1]. Настоящая публикация является продолжением исследований авторов аддитивных задач с простыми числами специального вида, начатого в [2-4]. Отличие состоит в том, что в работах [2-4] n -квадратичная иррациональность. В данной статье представлено краткое изложение доказательства следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть K(X) - число тех четных чисел между 6 и X, которые не могут быть представлены как сумма двух нечетных простых специального вида a < {npi} < b,i = 1, 2,b — a > 1/2. Тогда при любом фиксированном D > 0

K(X) = O(X log-D X).

2. Схема доказательства Теоремы 2. 1. Пусть Vj = 2j, где j = 1, 2,..., N, X/2 < Vj ^ X. Определим множество

K = {vj |Vj = pi + p2, a < {npi} <b, i =1, 2}

Рассмотрим интеграл

I = / S20(y)T(y)dy, J 0

где

So(y)= e2myp, T(y)=J2 e-2niyvj ■

p^X j^N

a<{np}<b Vj eK

Введем характеристическую функцию ф°(х) интервала (a,b) и продолжим ее с периодом 1 на всю числовую ось. Тогда

So(y) = £ M4P)e2myp.

В формулировке леммы о «стаканчиках» И.М. Виноградова (см.[5], с. 22) выберем r = [log N], А = log-1,5C N, C > 0 и, кроме того, выберем a = a + А/2 и в = b — А/2 и переобозначим числа a и в и функцию ф из формулировки этой леммы, соответственно, как a1, в1 и ф1. Далее, положив в формулировке той же леммы a = a—А/2 и в = b+A/2, переобозначим, как и в предыдущем случае, a, в и ф на a2, в2 и ф2. Определим

Jk = Г ( фк(vp)e2niyp) T(y)dy , k = 1, 2.

Из свойств ф\(х) и ф2(х) следует, что . ^ I ^ .2. Для . и .2 выведем приближенные формулы, главные члены в которых одинаковы. Разложив предварительно «сглаженную» функцию фк(х) в ряд Фурье, перейдем к суммам

Л-1 0

J] ck(m1) £ ck(m2) I S(y + mm)S(y + m2n)T(y)dy + O(X3/2-lognN1/2)

|mi|<rA-1 |m2|<rA-1

где

S(y) =

p< X

e2niyp

2

2. При т 1 = т2 = т рассмотрим сумму

»1

11 = ^ С1 е2жгтп^ X / е2жгу(р1+р2-у,Чу.

Н^А"1 з<И р1^Хр24Х 0

С2 (т) у ^ е2пгтци^ \ л \ л I е2пгу(р1+р2-у, у, ек

Для этой суммы получим представление

11 = £ с2 (т)£ е^пгт-п'ю^ /2Д(Х,^.)

у, ек

где /2>1(Х,^) - число решений уравнения р1 + р2 = г^ в простых числах р1,р2. Поскольку при т = 0 ([6], с. 16)

е-2жгтвк _ е-2пгта^ / ^гтА/т _ ^-ягтА/т

ск(т) = /'-

2 пт \ 2 пгтА/т

то для 0 < |т| < А-1/2

С2(т) = е-2^+Ь)81п27Г?^Ь2-а) (1 + 0(Д1/2))

Тогда

/1 = £ адх^Игз,а,Ь) + 0(А1/2)),

где

п2т2

,27ггт(??у,-(а+Ь)) Кт{Ъ — а)

' / у — ✓

|т|<те

Известно [6, с. 224], что

г(ьЗ,а,Ь) = X] '

|т|<те

к+т=у, к т " V (Р - Ч V Р - 1 / '»Г Х '

Ранее, нами изучено поведение ряда , а, Ь) [7] и для него получено равенство а(уз,а, Ь) = (Ь — а)2 + {п^ — а — Ь}2 — {пьз — а — Ь} —

-0, 5({пуз — 2а}2 — {пуз — 2а} + {пьз — 2Ь}2 — {пьз — 2Ь}).

При фиксированной разности Ь — а построим графики (рис. 1,2), где £ = ПЬ — а — Ь. Если Ь — а > 1/2, то сумма ряда , а, Ь) > 0.

у,- ек

Рис. 1. 0 < b - a < 1/2.

Рис. 2. 1/2 < b - a < 1.

3. Если т1 = т2, то положим, для определенности, что т1 < т2. Сделаем замену £ = у + Ш\П. Поскольку подынтегральная функция является периодичной по £ с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [— 1/т; 1 — 1/т), где т = X log-Б X, В > 2С + 8. Промежуток интегрирования по £ разобьем на два непересекающихся множества: Е1 - «большие» дуги (множество точек находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями 1 ^ д ^ logA X, А > 2С + 8) и Е2 - «малые» дуги. На «малых» дугах известна оценка для |£(£)|. На «больших» дугах получаем оценку для |£(£ + тп)|. Пользуясь неравенством Коши, находим

(/ + / )|ЗД||£(г +(Ш2 — Ш1)п)||Т(£ — т^г <

и Е1 ¿Е2

< y/n{X)n{N){max \S{t + mrj)| + max \S{t)|) < X2 log"c X .

t&E i t€E 2

4. При выборе A = D + 12, B = 2D + 14, C = D + 2 получаем требуемую асимптотическую формулу.

Литература

1. Чудаков Н.Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как сумма двух нечетных простых // Изв. АН СССР, Серия математич. - 1938. - №1. - C.25-40.

2. Мотькина Н.Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // Доклады АН Республики Таджикистан. - 2009. - 52;6. - C.413-417.

3. Мотькина Н.Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида // Доклады АН Республики Таджикистан. - 2009. - 52;7. - C.497-500.

4. Мотькина Н.Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010. - № 5(76);18. - C.83-87.

5. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм / М.: Наука, 1983.

6. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983.

7. Мотькина Н.Н. О некоторых особых рядах / Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 окт. 2011 г.) / Белгород: ИПК НИУ БелГУ. - 2011. - С.44-45.

ABOUT AVERAGE NUMBER OF SOLUTIONS OF BINARY GOLDBACH's PROBLEM

S.A. Gritsenko, N.N. Mot'kina

Abstract. The Tchudakoff's type theorem concerned the Goldbach binary problem with given primes is proved.

Keywords: additive problems, binary problem of Goldbach, Tchudakoff's theorem, primes of special type.