CC BY
50
УДК 519.652 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2
П. Д. Морозов
О СПЛАЙНОВОЙ ОБРАБОТКЕ ЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ
Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Предлагается методика по обработке цифрового звука с целью получения большей (в 2, 3 и 4 раза) частоты дискретизации. Она требует дополнительные сэмплы, которые можно получать с помощью того или иного типа интерполяции. Исследовались локальные сплайны — линейные и кубические S3,2 (дефекта 2). Для построения звеньев последних, помимо сэмплов в граничных узлах текущего звена, использовались разностные производные вместо обычных для эрмитового сплайна S3,i, что дает основание называть предлагаемые кубические сплайны квазиэрмитовыми. Приведен иллюстративный пример построения пары звеньев квазиэрмитового сплайна в сравнении с парой звеньев линейного сплайна. Проведены исследования выпуклости звена сплайна. За счет меньшей скорости изменения производной квазиэрмитовы сплайны дают меньший уровень помех в выходном сигнале. Библиогр. 6 назв. Ил. 5.
Ключевые слова: интерполяция, сплайн, сэмпл, разностная производная, выпуклость.
P. D. Morozov
ABOUT AUDIO STREAMS SPLINE PROCESSING
St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation
A method of processing digital audio to obtain higher (in 2, 3 and 4 times) sampling frequency is suggested. The required additional samples for output file of higher frequency can be produced by one or another type of interpolation. The local splines were explored — linear and cubic S3,2 (defect 2). To construct the links of the last in addition to the samples in the boundary nodes of the current link, difference derivatives were used instead of the usual ones for hermitian splines S3,i. That gives base to name the proposed cubic spline quasihermitian. The illustrative example of the constructing of a pair of quasihermitian spline links compared to a pair of linear spline links is given. Researches of spline link convexity are proceeded. Due to the lower rate of change of the derivative, quasihermitian splines have a lower level of noise in the output signal. Bibligr. 6. Il. 5.
Keywords: interpolation, spline, sample, difference derivative, convexity.
1. Введение. В широком смысле, цифровой звук - это большой комплекс, содержащий акустические системы (микрофоны, динамики), преобразующие звуковое давление в аналоговый электрический сигнал и обратно, устройство оцифровки, передачу или хранение потока чисел, устройство восстановления, преобразующее поток цифр в аналоговый сигнал. В узком смысле - это последовательность чисел, называемых сэмплами, каждое из которых представляет собой усредненное звуковое давление на последовательных интервалах времени фиксированной длины. Оцифровка, т. е. трансформация физического звука в последовательность сэмплов, осуществляется аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Обычно в АЦП имеется аппаратная возможность выбирать интервалы различной длины, по которым происходит усреднение. Количество таких интервалов в секунде называется частотой дискретизации. Производители АЦП обычно придерживаются стандартных частот. Так, АЦП
Морозов Петр Дмитриевич — аспирант; е-mail: pm-morozovpd@yandex.ru Morozov Petr Dmitrievich — post-graduate student; e-mail: pm-morozovpd@yandex.ru
устройства ZET 230 позволяло создавать файлы с частотами дискретизации 11 025, 22 050, 32 000, 44 100, 48 000, 88 200 и 96 000 Гц.
Вообще говоря, чем выше частота дискретизации, тем лучше качество цифрового звука. Однако и объем информации при этом пропорционально увеличивается. Поэтому для каждых конкретных практических задач по оцифровке звука существует некоторая оптимальная частота дискретизации.
Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) устройства ZET 230, естественно, имеет те же частоты дискретизации. Работу ЦАП по восстановлению аналогового сигнала из потока сэмплов можно понимать как аппаратную интерполяцию, а если входной поток сэмплов интерпретировать как ступенчатый сигнал, то работа ЦАП есть аппаратное сглаживание. Ясно, что на весьма распространенной самой низкой стандартной частоте 22 050 Гц паразитные шумы от сглаживания находятся вблизи диапазона слышимости человеческого уха (16 Гц^20 кГц) и возможно появление обертонов, попадающих в этот диапазон, что, естественно, ухудшает в целом связку «запись-воспроизведение». Повышение частоты дискретизации облегчает аппаратное сглаживание, что обеспечивает меньший уровень паразитных шумов от работы ЦАП. Но за это приходится платить большим объемом хранимой и передаваемой информации.
Цель работы: исследовать возможность повышения качества выходного звука ростом частоты дискретизации уже готового файла с оцифрованным звуком низкой частоты дискретизации (не более 22 050 Гц).
Такая переработка исходного низкочастотного файла в выходной высокочастотный должна увеличить во столько раз число сэмплов в файле, во сколько раз становится выше частота. Если она возрастает в К раз, то требуется вставить к = К — 1 дополнительных сэмплов между двумя соседними сэмплами исходного файла. Такое дополнение возможно сделать с помощью интерполяции.
Представляется интересным изучение разных типов интерполяции с точки зрения качества звукового воспроизведения.
Далее будет рассмотрен переход от низких частот дискретизации к частотам, в 4, 3 и 2 раза более высоким, с помощью нестандартных сплайнов типа 52,1 и £3,2 (соответственно порядка 2 дефекта 1 и порядка 3 дефекта 2). Сплайны типа £3,2 могут эффективно сглаживаться до сплайнов типа £31 с помощью алгоритма, изложенного
в [1].
2. Описание задачи. Из аналогового сигнала в^) с помощью АЦП получен оцифрованный сигнал в виде последовательности сэмплов во,- - - , чисел, привязанных к интервалам между равномерно расположенными с шагом дискретизации Н моментами времени ¿о,--- +1 и соответствующих усредненным значениям исходного аналогового сигнала (звукового, электромагнитного) на этих интервалах, либо на более узких подынтервалах: + е] С 1], г = 0, Ж, где е < Н. В том же
случае, когда е ^ Н, говорят, что во, - - - являются отсечками входного сигнала в в моменты соответственно ¿о,-- - . Требуется найти интерполяционный алгоритм, который приближал бы значения входного сигнала в промежуточных моментах времени (дополнительных узлах), в совокупности с исходными узлами образующих тоже равномерную сетку.
Требования к алгоритму:
1. В исходных узлах ^,¿1, - - - должен возвращать значения входного оцифрованного сигнала во,в1,--- -
2. Для получения сэмплов на дополнительных узлах из интервала [ti,ti+l]
используются только значения входного сигнала в узлах, непосредственно примыкающих к и ¿¿+1. Количество таких узлов желательно минимизировать.
3. Аналоговый сигнал после прохождения выходного цифрового сигнала через ЦАП должен иметь наименьшее количество паразитных шумов.
3. Изменение частот дискретизации. Рассмотрим учетверение частоты. При сохранении частотных характеристик входного сигнала на выходе каждому входному сэмплу сопоставляются 4 сэмпла выходного сигнала, т.е. требуется назначить дополнительно 3 сэмпла, в связи с чем и производилась та или иная интерполяция [2]. Были рассмотрены линейная и квазиэрмитовая кубическая интерполяции. Оба варианта порождают локальные сплайны, т. е. не требующие одновременной обработки всего множества узлов.
Линейная интерполяция позволяла обрабатывать неограниченную последовательность входных сэмплов [3]. Результирующая ступенчатая функция при подаче в ЦАП достаточно хорошо сглаживалась аппаратно на добавленных узлах и несколько хуже на исходных, т.е. на каждом четвертом. Иными словами, если построить линейный сплайн по новой совокупности сэмплов, то он имеет разрывы производной на старых узлах, и им соответствует снижение качества аппаратного сглаживания.
В связи с этим возникает предположение, что если пожертвовать немного гладкостью на дополнительных узлах, но уменьшить разрывы производной на старых узлах (для заключительного линейного сплайна), то можно ожидать общего улучшения качества воспроизведения. Такое перераспределение скачков производной с исходных узлов на дополнительные возможно при получении дополнительных сэмплов не линейной интерполяции, а такой, которая обеспечивает непрерывность производной сплайна, получаемого «склейкой» звеньев - интерполяционных многочленов между исходными узлами. Среди различных вариантов таких сплайнов выберем наиболее простой.
Эрмитовы и квазиэрмитовы кубические сплайны. Классический эрмитов сплайн состоит из звеньев, являющихся интерполяционными полиномами Эрмита, строящимися по двум значениям и по двум производным на двух узлах, ограничивающих участок интерполяции. «Склейка» таких узлов дает сплайн типа 53,2, т.е. гладкий. В данном случае значения производных в узлах отсутствуют. И имеющаяся теория, и алгоритмы позволяют строить сплайн типа 53,1, т. е. еще более гладкий. Однако такой сплайн уже не относится к категории локальных, и в вычислении четырех параметров каждого звена используется информация по всем узлам. При большом количестве (сотни тысяч) узлов задача становится практически неразрешимой. Поэтому здесь рассматривается сплайн типа 53,2, т.е. менее гладкий, чем 5з,1, но зато локальный.
Для интерполяции гладкими сплайнами потребовался своего рода синтез эрмитовых 5з,1 и кубических 5з,2 сплайнов. Первые применимы к бесконечным входным данным, но требуют знания производных в узлах, вторые не требуют производных, но разработаны только для конечного набора входных данных [4].
Построение квазиэрмитового кубического сплайна. Каждому сэмплу, начиная с третьего и до предпоследнего, сопоставим центральную разностную производную:
«¿+1 - «¿-1 . о .
то,- = -, г = 3,4,....
2/1
Второму сэмплу сопоставим левую разностную производную:
«2 - «1 ГП2 = -;-.
Начальное звено сплайна получим линейной интерполяцией по первому и второму сэмплам. Впрочем, можно было бы интерполировать между первым и вторым узлами как угодно - последствия данного произвола, как будет видно в дальнейшем, закончатся к третьему узлу. Остальные звенья от этого не зависят.
Прочие звенья между моментами ti и ti+i, i ^ 1, получаются в результате решения задачи кратного интерполирования с помощью полинома третьей степени H(t):
Нз(Ь) = Sj, Щ(-tj) = mj, j = i,i + 1. (1)
Поскольку mj не являются значениями производной функции, такой полином назовем квазиэрмитовым кубическим.
Свойства квазиэрмитового кубического сплайна. Решение задачи (1) с вычислительной точки зрения удобнее описать не через глобальную переменную t, а через локальную т следующим образом:
г = t~entle^(t/h)h yt е [entier(t/h)h, entier(t/h)h+h\. (2)
Здесь entier - функция, выдающая наибольшее целое, не превосходящее аргумента. Из (2) видно, что т пробегает значения от 0 до 1, когда t пробегает значения между двумя соседними узлами. Формула (2), очевидно, не позволяет определить t по т, однако при построении интерполяционного сплайна этого не потребуется.
Решение задачи (1) в локальных переменных доставляется известной формулой
Cji+i] (т) = (1 - т)2 (1 + 2т)sj + т2 (3 - 2т)sj+i +
+ т (1 — т )2 hmi — т2(1 — т )hmi+i. (3)
Не умаляя общности, можно положить единицу времени равной шагу дискретизации, т. е. h = 1 и ti = i.
Соберем коэффициенты при одинаковых степенях т в (3):
С[М+1] (т) = о.т + biт2 + Ciт + di,
где
а-г = -(si+2 - 3sj+i + 3sj - Sj-i), bi = ~(-si+2 + 4si+i - 5sj + 2sj_i),
_ Sj+l — Sj-1 J _
c-i 2 > ^
Разные случаи построения звена квазиэрмитового кубического сплайна демонстрируются на рис. 1, 3-5.
Иллюстрация поведения i-го звена сплайна тесно связана с параллелограммом звена, который образуется касательной к звену в узле i и параллельной ему прямой, содержащей отрезок Xi_iXi+i, совместно с касательной к звену в узле i +1 и параллельной ему прямой, содержащей отрезок XiXi+2, где Xj = (j, Sj). Если упомянутые отрезки не параллельны, то параллелограмм звена, очевидно, существует. Поскольку у параллелограмма звена нет вертикальных сторон, он всегда будет иметь две боковые вершины (левую и правую). Оставшиеся две вершины можно именовать верхней и нижней.
На рис. 1 содержащие отрезки Xi_iXi+i и XiXi+2 прямые скрещиваются слева, а касательные к сплайну в узлах i и i + 1, которые параллельны соответствующим отрезкам, - справа. На рис. 4 и 5 первая пара прямых скрещивается снизу, а пара касательных - сверху, на рис. 3 пара этих прямых совпадает с парой касательных.
я
/ — 1 I I + 1 / + 2
Рис. 1. Образование звена параллелограмма касательными Боковая вершина - правая.
4. Сравнение разных способов получения дополнительных сэмплов.
Какие изменения можно ожидать в уровне паразитных шумов при разных типах интерполяции? ЦАПом с идеальной выходной характеристикой считается такой, который выдает ступенчатый сигнал-напряжение прямоугольной формы, величина которого строго равна сэмплу, а длительность - интервалу дискретизации, при этом величина напряжения строго пропорциональна сэмплу. В действительности сигнал имеет не совсем прямоугольную форму, связанную с тем, что существует некоторое время установления, которое «размазывает» строго вертикальное начало ступеньки и добавляет еще некоторые затухающие колебания. Причем, к сожалению, эти отклонения от строгой ступенчатости нелинейно связаны с перепадом напряжения от ступеньки к ступеньке. Простейший способ уменьшить время восстановления и нелинейности есть передискретизация с кратным увеличением частоты и линейной интерполяцией. Она позволяет уменьшить перепады напряжения между ступеньками и тем самым снизить эффект нелинейности. Более того, уменьшение перепадов напряжения приводит к понижению амплитуд шумов, сопровождающих ступенчатый сигнал, с частотами выше частот дискретизации. Это облегчает дальнейшую работу фильтра низких частот (ФНЧ), сглаживающих ступенчатый сигнал. Таким образом, даже линейная интерполяция существенно уменьшает требования к ФНЧ по сравнению со стандартным способом кратной передискретизации [5], в котором при повышении частоты дискретизации в К раз предлагается вставка к дополнительных нулевых сэмплов между двумя соседними сэмплами входного сигнала до поступления в ЦАП. Можно пойти еще дальше. Если есть возможность производить предварительную логическую обработку цифрового сигнала до ЦАПа, то следует изменить входной поток сэмплов так, чтобы после прохождения ЦАПа предельно облегчить работу ФНЧ, чтобы аналоговый сигнал на выходе из ЦАПа оказался бы наиболее удобным для фильтрации низких частот. Это позволяет либо снизить стоимость ФНЧ, либо при фиксированном качестве ФНЧ улучшить качество выходного звука.
Рассмотрим разные типы интерполяции с точки зрения порождаемых ими шумов. Что происходит на стыках звеньев интерполяции?
Пусть {si}N - сэмплы входного сигнала, sii,...,siK - добавочные сэмплы, Sj = Si + Sj, j = 1, ...,к, где S - шаг новой дискретизации, S = h/Kh_i= 1/K.
Помимо левых разностных производных, полезны будут правые разностные
I tl \ Si+1 _ Si , Лг
производные s^h) := ---, г < iv, и центральные разностные производные
„,hs s№-*i-i(h) о h
второго порядка s([h) := -—-. Здесь h - шаг исходной дискретизации,
2h
а нижний индекс свидетельствует не только о начале промежутка, к которому относится объект, но и о том, что этот объект (с одним или двумя штрихами) является разностной производной первого и второго порядка (соответственно).
Определим конечную разность первого порядка классическим образом: Д(г) = si+i — si (т. е. правая конечная разность), а конечную разность второго порядка будем использовать как левую:
Д2 (г) = Д(г) — Д(г — 1) = sm — 2si + s-i.
Согласно теореме о среднем Лагранжа, если функция s непрерывна на [ti,ti+h] и дифференцируема на (ti,ti+h), то
Легко проверяется истинность родственного результата для вторых производных. Теорема 1. Пусть вещественная гладкая функция s имеет кусочно-непрерывную вторую производную на сегменте [ti-1 ,ti+1], тогда
| д2 (г) |
(3t G (и,и + h)) |s"(t)| > \8'f(h)\ = г = 0, 1,... .
4-1- Линейная интерполяция. При кратном увеличении частоты дискретизации разностные производные si остаются неизменными. Действительно, si(h/K) =
К—-, а числитель последней дроби в К раз меньше величины Sj+i — Sj, i < N. h
Но центральные разностные производные второго порядка увеличиваются в K раз. Для г ^ 1 было и стало соответственно
{h) ■=-2h-' (<5) :=-25-= K-2h-•
Числители двух последних дробей при линейной интерполяции равны. Следовательно, si'(h/K) = Ksi'(h). Отметим, что в новой дискретизации разностные производные второго порядка в дополнительных узлах обнуляются: sj =0, j = 1,...,к, г = 1,...,N — 1. Такая ситуация со вторыми разностными производными соответствует появлению шумов в сигнале с периодами, близкими к 4S [6], т. е. четырехкратно превосходящими периоды шумов от нового шага дискретизации. Необходимость отсеивания низкочастотных шумов предъявляет дополнительные требования к ФНЧ.
Все конечные разности первого порядка на одном звене уменьшаются в K раз относительно исходной конечной разности, соответствующей этому звену, потому новые конечные разности второго порядка в исходном узле
AL = A2(*)S
тоже уменьшаются в К раз, а в дополнительных узлах равны нулю,что соответствует исходной конечной разности, увеличенной в К раз.
Теорема 2. Передискретизация с увеличением частоты дискретизации в К раз с помощью линейной интерполяции уменьшает в К раз в исходных узлах конечные разности второго порядка, в дополнительных узлах они равны нулю, а вторые производные восстанавливаемого сигнала увеличиваются в К раз.
Действительно, первое утверждение теоремы следует из предшествующих выкладок, а второе утверждение - из теоремы 1.
4.2. Сглаживание дополнительных сэмплов, сгенерированных кубическими квазиэрмитовыми сплайнами. Для того чтобы понизить упомянутые низкочастотные шумы от линейной интерполяции, можно попытаться как бы более равномерно распределить разностные производные второго порядка по дополнительным узлам. Для этих целей рассмотрим квазиэрмитовы кубические сплайны дефекта 1.
Поскольку они имеют непрерывную производную в исходном узле, при получении конечных разностей второго порядка в окрестности исходного узла линейные части прилегающих звеньев взаимно уничтожаются, и достаточно найти отклонения этих двух звеньев от касательной в ближайшем справа дополнительном узле. Отклонение прилегающего правого звена В^(6) в узле г\ = г + 6 можно получить решением задачи Коши следующего вида:
В''
С''
3вг+2 - + - 3в_1,
В''(+0) = С['(+0) = -^+2 + 4^+1 - 5si + 2в_1, В' (0) = В^(0)=0.
Оно элементарно:
6 г
Вг(6)
См+1](*) &
С["г+1] (Т) ¿Т ^
0 0
/ / (/ См+1]^ + С[м+1](0)] ¿т dt
0 0 0 6 г
= // (С[М+1]Т + С[м+1](0^ ¿Т =
t
00 2
63
62
С[М+1] 7 + С[м+1] (0)*) М = с\ъ+11 - + (0)- =
[¿,¿+1] б ' ^[¿,¿+4 ^ 2
. 63 . , 62
= («¿+2 - Звг+1 + Звг - «¿-1) у + (-«¿+2 + 4вг+1 - Бв» + 25^—1) — ■
Последнее выражение будет удобно представить с помощью конечных разностей: Вг{5) = (Д2(г + 1) - А2(г)) у + (-Д2(* + 1) + 2Д2(*)) у.
6
6
Для того чтобы получить аналогичным образом отклонение влево Б, (-б), вычислим значение второй производной левого прилегающего звена в г-м узле:
1
В'(-0) = Д-1(+0) + | Б-1 & =
о
= -2в1+1 + Бя, - + я— + (3в4+1 - + 9в—1 -
= - + Бя_1 - 3_2-
Отсюда, решая аналогичную задачу Коши с другими третьей и второй производными на обратном времени, получаем
б2
А (-3) = (-вг+1 + ЗSi - + «¿-2) У + (2вг+1 - бе» + - «¿-2) У •
Следовательно, конечная разность второго порядка в г-м узле такова:
¿3
Д2 (г) = А(<5) + Щ-5) = («¿+2 - 4вт + - 48<_1 + «¿-г)у + + (-«¿+2 + 6вг+1 - Юв* + - «¿-2)у =
= (Д2(г + 1) - 2Д2(г) + Д2(г - 1)) у + (-Д2(г + 1) + 4Д2(г) - Д2(г - 1)) у.
Допустим теперь, что пополненному потоку сэмплов соответствует имеющая непрерывную вторую производную функция ], тогда, как известно, на интервале [г - 1 + кб, ¿1] = [г - б, г + б] должен найтись момент т такой, что
№) = ^ = (Д2(г + 1) - 2Д2(г) + Д2(* - 1)) +
1
б2 V V ' / V , к >> 2
+ (—Д2(г + 1) + 4Д2(г) — Д2(г — 1)) ^ =
2
Г 1
= Д3(г - 1) - + ("Д2(г + 1) + 4Д2(г) - А2(г - 1)) -.
Аналогичным образом поступаем в дополнительных узлах. Так же, как и на стыке звеньев, получим уклонения от касательной за время б при прямом и обратном направлениях. Поскольку теперь имеется только один полином третьей степени, то вклады в уклонения его члена третьей степени взаимно уничтожаются, а уклонения от члена второй степени равны друг другу и в сумме составляют
г г
Д2Н (г. ) = 2^ J(6aijб + 26,) & = (6а^б + 2Ъ,)б2 =
оо
= 3(я,+2 - 3я,+1 + - si_l)jб3 + (-я,+2 + - Бя, + 2я_1)б2 =
= 3 (Д2(г +1) - Д2(г)) jб3 + (-Д2(г +1) + 2Д2(г)) б2.
Таким образом, доказана
Теорема 3. При передискретизации с увеличением частоты дискретизации в К раз с помощью интерполяции квазиэрмитовыми кубическими сплайнами конечные разности второго порядка в исходных узлах с точностью до величин второго порядка .малости относительно нового шага дискретизации 6 равны
6 2
(—А2(г + 1) + 4А2(г) — А2(г — 1)) —, т.е. уменьшаются приблизительно в К2 раз,
а (см.. теорему 1) вторая производная восстанавливаемого сигнала остается практически неизменной. В дополнительных узлах конечные разности с точностью до второго порядка малости относительно 6 равны (-А2 (г + 1) + 2А2 (г)) 62. Перепад конечных разностей равен (2А2 (г) - А2 (г - 1)) 62.
Пример. Построим два последовательных звена квазиэрмитовых кубических сплайнов. Пусть Н = 1, Б_1 = 1.67, Бг = 0.9, вг+1 = 1.13, Бг+2 = 0.36 и Бг+3 = 0.5. Тогда на участке [г, г + 1] разностные производные равны шг = шг+1 = -0.27, а сплайн получится С\ц+1] (т) = -т3 + 1.5т2 - 0.27т + 0.9. На участке [г + 1, г + 2] имеем шг+2 = -0.315 и С[г+м+2] (т) = 0.955т3 - 1.455т2 - 0.27т + 1.13.
На рис. 2 представлены два последовательных звена, полученных линейной и квазиэрмитовой кубической интерполяциями на отрезке [г, г + 2].
/ 1 + 0.25 ¿ + 0.5 г + 0.75 1 + 1 г +1.25 ¿+1.5 /+1.75 1 + 2
Рис. 2. Линейная (1) и квазиэрмитова кубическая (2) интерполяции
Теоремы 2 и 3 хорошо показывают, что интерполяция квазиэрмитовыми кубическими сплайнами существенно выгоднее линейной интерполяции, поскольку предъявляет меньшие требования к аппаратному сглаживанию на ФНЧ. Это же видно и на рис. 2. Доставляемые квазиэрмитовым кубическим сплайном значения выходного сигнала, в сравнении с линейным сплайном, на дополнительных узлах дадут
меньшие конечные разности второго порядка и, следовательно, меньшие разностные производные второго порядка.
5. Исследование выпуклости и вогнутости квазиэрмитовых кубических сплайнов. Возможно ли изменение выпуклости на вогнутость и наоборот в г-м звене? Ясно, что такому изменению соответствует точка перегиба
___bj_ _ 1 - 4s¿+i + - 2sj-\
p 3ai 3 ¿><¿_|_2 - 3s¿+i + 3s¿ - Si-1
Отсюда получаем необходимые условия смены выпуклости и вогнутости в г-м звене:
либо
0 < - 45^+1 + 5si - 2s—i < 3(Si+2 - 3si+i + 3si - Si-1)
0 < -Si+2 + 4si+i - 5si + 2si-i < -3(si+2 - 3si+i + 3si - Si-i),
что эквивалентно
либо
0 < si+2 - 4si+i + 5si - 2si-i, 0 < 2sí+2 - 5si+i + 4si - si-i
0 > si+2 - 4si+i + 5si - 2si-i, 0 > 2SÍ+2 - 5si+i + 4si - si-i.
Объединяя системы (1) и (2), получаем
(si+2 - 4si+i + 5si - 2si-i)(2si+2 - 5si+i + 4si - si-i) > 0.
(4)
(5)
(6)
Рис. 3. Ожидаемая центральная симметрия в точке перегиба звена сплайна в вырожденном случае
1. Вырожденный случай mi = mi+i ^^ si+2 - si = si+i - si-i (рис. 3). Тогда
_ 1 si+2 - 1 + 5Si - 2sj-i _ 1 Sj+2 -Sj~ + 6sj - 2s¿_i _ v 3 ¿><¿_|_2 - 35^+1 + 3Si - Si-1 3 ¿><¿_|_2 - Si - 35^+1 + 4s¿ - Si-1
_ 1 -ЗЗг+1 + - ЗЗг-1 _ 1 3 -25^+1 + 4^ - 25^-1 2 '
2. Невырожденный случай и выполняется условие (6). Это означает, что тр Е (0,1) \ {1/2} и параллелограмм звена существует. Звено сплайна одной частью проходит внутри него, другой - снаружи. Боковому скрещиванию касательных соответствует рис. 1, верхнему скрещиванию - рис. 4 (на нем, чтобы избежать загромождения, не отмечен сэмпл г + 2). Рисунку 1 соответствуют еще случай, когда скрещивание касательных происходит в левой боковой вершине, и 2 симметричных случая - зеркальные отражения первых двух относительно горизонтальной прямой; рис. 4 - еще 3 симметричных случая: точка перегиба может быть правее скрещивания касательных и касательные могут скрещиваться в нижней вершине параллелограмма звена.
Рис. 4. Звено содержит точку перегиба
А - 1 ^Ч 1 х 1
1-1 1 \ч/+1 \ / + 2
Рис. 5. Нахождение сплайна целиком внутри параллелограмма звена
3. Условие (6) не выполняется. Это влечет невырожденность. Следовательно, параллелограмм звена существует. Поскольку также верно тр Е (0,1), то звено сплайна либо строго выпукло, либо строго вогнуто для т Е [0,1], что возможно, только когда сплайн полностью находится внутри параллелограмма звена. На рис. 5
изображен этот случай при верхнем скрещивании касательных. Зеркально симметрично относительно горизонтальной оси выглядит данный случай при нижнем скрещивании касательных.
Отметим, что экстремум на рис. 1, 3-5 появился лишь из-за удобств рисования и для наглядности изображений. Практически же экстремум на звене - редкое явление, а иллюстрации к рассмотренным случаям без образования экстремума легко мысленно представить, произведя наклон графиков относительно координатных осей на этих рисунках.
6. Заключение. «Родные» частоты АЦП-ЦАП ZET 230 давали следующие возможности умножения частот: двух- и четырехкратное от 22 050 к 44 100 и 88 200 Гц и трехкратное с 32 000 к 96 000 Гц. Во всех трех случаях дополнительные сэмплы (1, 3, 2 соответственно) вставлялись в выходной файл с помощью интерполяции двух видов: линейной и квазиэрмитовой кубической. По сравнению с линейной интерполяцией при интерполяции квазиэрмитовыми кубическими сплайнами получался более чистый звук, т. е. в нем были снижены дребезжание и прочие шумы, что позволяло распознавать на слух выходной сигнал с субъективно меньшими напряжением и концентрацией внимания. Это и ожидалось, поскольку квазиэрмитовы кубические сплайны в сравнении с линейными подготавливают выходной сигнал, лучше подходящий для дальнейшего аппаратного сглаживания в ЦАП.
Литература
1. Михеев С. Е. Об одном парадоксе в теоремах о методе Ньютона // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 22—36.
2. Михеев С. Е. Нелинейные методы в оптимизации. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 276 с.
3. Михеев С. Е. Многомерная аппроксимация и интерполяция. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 60 с.
4. .Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
5. Lyons R. Understanding Digital Signal Processing, 2nd edition. New York, USA: Prentice Hall PTR Upper Saddle River, 2004. 688 р.
6. Камачкин А. М., Михеев С. Е., Евстафьева В. В. Модели колебаний в нелинейных системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 194 с.
References
1. Miheev S. E. Ob odnom paradokse v teoremah o metode N'utona (On a paradox in the theorems of Newton's method). Vestnik S.-Peterb. un-ta, ser. 10: Prikladnaya matematika, informatika, processy upravleniya, 2013, issue 1, pp. 22—36.
2. Miheev S. E. Nelinejnye metody v optimizatsii (Non-linear methods in optimization). St.-Pe-tersburg: Izd-vo S-Petersburg. un-ta, 2001, 276 p.
3. Miheev S. E. Mnogomernaya approksimatsiya i interpolyatsiya (Multivariate approximation and interpolation). St.-Petersburg: Izd-vo S-Petersburg. un-ta, 2012, 60 p.
4. Zav'yalov U. S., Kvasov B. I., Miroshnichenko V. L. Metody splajn-funktsij (Methods of spline functions). Мoscow: Nauka, 1980, 352 p.
5. Lyons R. Understanding Digital Signal Processing, 2nd edition. New York, USA: Prentice Hall PTR Upper Saddle River, 2004, 688 р.
6. Kamachkin A. M., Miheev S. E., Evstaf'eva V. V. Modeli kolebanij v nelinejnyh sistemah (Oscillation models in non-linear systems). St.-Petersburg: Izd-vo S-Petersburg. un-ta, 2004, 194 p.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.
