О сохранении равенства единице Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643.2+512.558

В.Б. Поплавский

О СОХРАНЕНИИ РАВЕНСТВА ЕДИНИЦЕ ПОЛУПЕРМАНЕНТОВ БУЛЕВЫХ {0,1}-МАТРИЦ

Задача сохранения матричных свойств при преобразовании матриц с элементами из некоторого полукольца является одной из самых широко представленных работ по этой теме в современной математической литературе (см., напр., обзор [1]). В этой статье изучаются свойства множества квадратных матриц М над булев ой {0,1}-алгеброй с полу перманентами, равными 1, которые для матрицы А = (а^) определяются формулами

V А = У П^, V А = У ПиаХкк

(АЬ..,А п)ер (АЬ..,АП )ер

+ -

Здесь р и Р обозначают множества всех четных и нечетных п - подстановок (п > 2). Доказывается утверждение, что произвольный мат-

М

{0, 1}

даем примеры нелинейных преобразований, сохраняющих линейные инварианты бинарных отношений на конечном множестве, каковыми являются полуперманенты {0,1}-матриц, соответствующих этим бинарным отношениям на конечном множестве. В качестве следствий получаем, что М

{0, 1}

Теорема. Произвольный матричный многочлен

Г гз гк

/ (А, В, С,...) = УУУ ...(Хгзк... П Ат Вп СРк...) %=03=0к=0

с аргументами из множества М булевых квадратных {0,1}-матриц одинаковых размеров с полуперманентами, равными 1, и коэффициентами Xijk... {0, 1}

если не все коэффициенты А^к... равны нулю, то и V /(А, В,С,...) =

= V /(А, В, С,...) = 1.

Доказательство. Следует показать, во-первых, что произведение А П В матриц А, В с полуперманентами, равными 1, есть матрица с полуперманентами, равными 1. Во-вторых, объединение А и В матриц А, В ММ

Для доказательства первого воспользуемся известными формулами для полуперманентов (см., напр., [2, 3] или [4, §19]):

и

(V АЛ V В) и (V АЛ V В) су (А П В)

(V АЛ V В) и (V АЛ V В) су (А П В).

± ± ±

Следовательно, из V А =V В = 1 получаем V (А П В) = 1.

АиВ

11

образом, если учитывать неравенства

+ . + + , , V Аи V В ^ (А и В)

и

V Аи V В с^ (А и В),

которые несложно проверить.

То, что пересечение Л П А матрицы А с равными полуперманентами с булевым коэффициентом Л есть матрица с равными полуперманентами, является совершенно очевидным.

Таким образом, произвольный матричный многочлен с аргументами из М и коэффициентами из булевой {0,1}-алгебры сохраняет равенство полуперманентов. □

Пример. Нетрудно увидеть, что множество матриц размера 2 х 2 с равными 1 полуперманентами состоит из одной матрицы вида А =

11

. Матрицами размера 3 х 3 из М являются матрицы вида

'1 1 0 А = (110 0 0 1

В=

100 0 1 1 0 1 1

С =

101 0 1 0 101

А В С

Следствие 1. Множество М и {О} булевых квадратных {0,1} - мат-

1

Ои

мультипликативной операцией произведения булевых матриц.

Доказательство. Достаточно проверить выполнение законов дистрибутивности:

(A U B) • C = A • C U B • C, A • (B U C) = A • B U A • C.

Действительно, для элемента ((AUB) • C) j, стоящего в строчке i и столбце j матрицы (A U B) • C, получаем

((AUB >C)j = U((Ak UBk )nCj) = U(Ak nCj )u(J(Bk nCj) = (A-C UB •C )j.

k k k

Вторая формула доказывается аналогично. □

Следствие 2. Множество MU{O} булевых квадратных {0,1}-матриц одинаковых размеров с полуперманентами, равными 1, пополненное нулевой матрицей O, является полумодулем с аддитивной операцией объединения матриц над полукольцом скаляров, которым является булева {0, 1}

Доказательство. То, что любая линейная комбинация матриц из M U {O} является матрицей из M U {O}, очевидно, является следствием доказанной выше теоремы. Таким образом, MU{O} образует полумодуль, то есть непустое множество с двумя операциями, объединением матриц A U B = (aj U bj) e B mxn (заменяющим сложение) и пересечением матрицы с элементом из булевой алгебры ЛП A = (Л Пaj) e Bmxn (заменяющим умножение на скаляр), которые удовлетворяют для любых матриц и булевых скаляров следующим аксиомам:

1) (A U B) U C = A U (B U C);

2) A U B = B U A;

3) A U O = A; 1 n A = A;

5) (а П в) П A = a n (в П A);

6) (a U в) П A = (a n A) U (в П A);

7) a П (A U B) = (a n A) U (a n B). □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гутерман Л. 9.. Михалев A.B. Общая алгебра и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9, №1. С. 83-101.

2. Поплавский В. Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц //Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 111-114.

3. Golan J.S. Semirings and their Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

4. Reutenauer C., Straubing H. Inversion of matrices over a commutative semiring // J. of Algebra. 1984.Vol. 88. P. 350-360.