О сложности обобщенных полиномов k-значных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство. Достаточно среди классов (2), отличных от класса Р|, выбрать максимальные по включению классы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фрейвалд Р. В. Критерий полноты для частичных функций алгебры логики и многозначных логик // ДАН СССР. 1966. 167. № 6. С. 1249-1250.

2. Фрейвалд Р. В. Функциональная полнота для не всюду определенных функций алгебры логики // Дискретный анализ. 1966. № 8. С. 55-68.

3. Алексеев В.Б., Вороненко A.A. О некоторых замкнутых классах в частичной двузначной логике // Дискретная математика. 1994. 6. Вып. 4. С. 58-79.

4. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. С. 5-33.

5. Марченков С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках // Дискретная математика. 1999. 11. Вып. 4. С. 110-126.

6. Марченков С. С. Критерий позитивной полноты в трехзначной логике // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2006. 13. Вып. 3. С. 27-39.

7. Марченков С.С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000.

8. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 17.04.08

УДК 519.7

С.Н. Селезнева, А.Б. Дайняк

О СЛОЖНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЬЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: mk@cs.msu.su)

Рассматривается задание fc-значных функций обобщенными полиномами (при простых fc). Обобщенный полином — это полином по mod fc, в котором каждая переменная может встречаться также с одним или несколькими отрицаниями Поста. Найдены нижняя и верхняя оценки сложности обобщенных полиномов для fc-значных функций.

1. Введение. Одной из канонических форм задания булевых и fc-значных функций являются полиномы. Расширением понятия полинома являются обобщенные полиномы. Обобщенный полином — это полином по mod fc, в котором каждая переменная может встречаться также с одним или несколькими отрицаниями Поста.

К. Д. Кириченко в [1] была исследована сложность обобщенных полиномов булевых функций и была найдена ее верхняя оценка. В [2] была найдена нижняя оценка сложности обобщенных полиномов булевых функций.

В настоящей работе рассматриваются обобщенные полиномы для fc-значных функций (при простых к) и получены аналогичные оценки их сложности.

2. Основные понятия. Пусть к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к — 1}. Назовем fc-значной функцией отображение fn: Е^ Ек, п = 0,1,... . Множество всех fc-значных функций обозначим через /'/,• множество всех fc-значных функций, зависящих от переменных х\,... ,хп, — через

Определим обобщенные полиномы.

Будем рассматривать сложение и умножение по mod к.

Под поляризованной переменной Xi будем понимать выражение вида Xi + d, где d G Е^ \ {0}, т.е. переменную Xi с d отрицаниями Поста.

Произведение вида у™1 •.. • -у™г, где yij есть либо переменная x,ij, либо поляризованная переменная Xij, все переменные попарно различны, j = 1,..., г и 1 ^ тi,..., mr ^ А; — 1, назовем обобщенным

1 Работа поддержана РФФИ, грант 07-01-00444 и частично грант 06-01-00438-а.

мономом. Обобщенный моном, в котором нет поляризованных переменных, есть моном. Будем считать константу 1 вырожденным мономом. I

Сумму вида Y1 сг ' хи гДе сг ^ Ek \ {0} — коэффициенты, Xi — различные обобщенные мономы,

г= 1

г = 1,...,1, назовем обобщенным полиномом. Длиной обобщенного полинома называется число I. Мы будем полагать константу 0 вырожденным обобщенным полиномом с длиной, равной 0.

Обобщенный полином, в котором не встречаются поляризованные переменные, является полиномом по mod к. Если к — простое число, то для каждой fc-значной функции существует однозначный полином по mod к, ее задающий [3]. Для функции f(xn) ее полином по mod к будем обозначать как P(f).

Если рассматривать обобщенные полиномы, то однозначность задания для каждой fc-значной функции теряется. Назовем сложностью функции / в классе обобщенных полиномов величину 1(f), равную минимальной длине обобщенного полинома, задающего функцию /. Пусть Щ'п'(п) = тах/(/), где максимум берется по всем функциям / €

К. Д. Кириченко [1] была исследована сложность обобщенных полиномов для булевых функций и получена оценка

on

(log2n+l).

п

Эта оценка была получена методом построения обобщенного полинома на основе затеняющего множества на /•.'.'/.

Нами обобщен этот метод на случай fc-значных функций (при простых к) и получена оценка

кп

1°кп-(п) < 2— Inп при п ^ оо.

При построении затеняющего множества на мы воспользовались градиентным алгоритмом (см. [4]), в отличие от работы [1], где затеняющее множество на /•.'.'/ было получено при помощи разбиения на сферы.

В [2] для булевых функций была найдена нижняя мощностная оценка

о п

1Г-(п) 2

п log2 3

Для fc-значных функций нами получена нижняя мощностная оценка

кп

nlogfc(A;(A;-l) + l)'

3. О сложности обобщенных полиномов /,-значных функций. Определим на наборах из множества Ек частичный порядок:

а = («1,... ,ап) < ¡3 = (/01,... ,[Зп), если щ < Д, 7, = 1,...,п.

п

Весом набора а = («1,..., ап) € Ек назовем число |а| = ^ щ.

г=1

Назовем тенью набора а € Ек множество

5(а) = 0 € Е% : [3 < а и ¡3 = |а| - 1}.

Если Е С Ек, то Б(Е) = у Б (а).

а£Е

Множество Г. Г С . назовем затеняющим на . если Б(Т) = \ к — 1, где А; — 1 = (А; — 1,... ... , А; — 1) — наибольший набор из ЕЦ.

п

Для набора а = (а\,..., ап) € Ек определим соответствующий ему моном К& = Л ж"4.

Теорема 1. Пусть к, к ^ 3, — простое число, Т, Т С Ек, — затеняющее множество на Ек. Тогда для каждой функции /(хп) € Р'£ можно построить обобщенный полином с длиной не большей |Т| + 1.

Доказательство. Пусть à\,..., ó; — такое упорядочение всех наборов из затеняющего множества Т, что âi У àj или щ не сравним с à:j при всех 1 ^ г < j ^ I. Положим fo(xn) = P(f) ^Kál^...^KálmPQ = P(fQ). Для всех i, i = 1,... ,1, повторим следующие рассуждения.

fi

•Г. -

г i

1. Рассматриваем a¿, и пусть K¿i = П ж

з=i

ri

Пусть для каждого s, s = 1,..., r¿, моном Ks = x™'s~l • x™'1, ms ^ 1, входит в полином P¿-i

зфэ

с коэффициентом с8.

2. Положим К'&. = П {хъ3 + Сз)т*.

3 = 1

Пусть /¿(жп) = /', \+К,\: +К'а-и есть обобщенный полином, полученный приведением подобных слагаемых в выражении для функции /¿(жп).

Обратим внимание на то, что обобщенные полиномы К'&. и Р(К'&_) равны как функции. Поэтому

3. Заметим, что полином Р{К'&_) содержит слагаемое Кщ с коэффицентом 1 и все слагаемые К8 с коэффициентами с8, в = 1,..., г*. По построению все они сокращаются в обобщенном полиноме /'. Все другие слагаемые полинома Р(К'й_) имеют вес не больше — 2. Поэтому в обобщенный полином /', не могут входить мономы, соответствующие наборам из

Рассмотрев все наборы из затеняющего множества Т, получим обобщенный полином Р; = = с • х\-1 •... • ж^"1 + К'&1 + ... + К'& , где г ^ /•-'/,. Он задает функцию f{xn) (см. п. 2 рассуждений), и его длина не больше |Т| + 1. Теорема 1 доказана.

Теперь оценим мощность затеняющего множества на ЕЦ.

Назовем г-м слоем множества множество Щ = {ос € : |а| = г}, г = 0,1,..., (А; — 1 )п. Пусть Т, Т С . — затеняющее множество на Е%. Разобьем его на слои "Г, Г П />>,. }

(к — 1)п (к — 1)п

= 0,1 — 1 )п. Тогда Т = у % и |Т| = ^ так как слои % не пересекаются.

г=0 г=0

Для нахождения Т^ применим градиентный алгоритм.

Шаг 1. Полагаем Т^ = а, где аёй; — произвольный набор.

Шаг я. Пусть результатом предыдущего шага является множество Т^

Если в нет набора, который не затеняется множеством то полагаем Т.\ = и

алгоритм завершается.

Иначе, полагаем Т^ = где а € Щ и а затеняет наибольшее число наборов из множества

Н; П).

Известна [4] оценка для мощности множества, построенного градиентным алгоритмом. Сформулируем ее применительно к рассматриваемому случаю.

Лемма 1 [4]. Пусть \Щ\ = |Дг-1| = т и р — оценка снизу для числа наборов веса г, затеняющих фиксированный набор веса (г — 1). Тогда если множество % построено градиентным алгоритмом, то

р \ г Г где е = 2,71828... .

Доказательство. Пусть 53 — доля наборов из Щ-1, остающихся незатененными после 5-го шага алгоритма. Будем считать по определению, что 8о = 1. Положим 7 = Среднее число наборов

из \ затеняемых (I — в) наборами из Щ \ оценивается снизу как

тр

5s

t

Градиентный алгоритм на (в + 1)-м шаге выбирает набор, затеняющий максимальное, а значит, не

меньшее, чем число наборов из i?j-i \s(T/s)). Поэтому

mSs - mSs+1 Js Ss -— t — s

Откуда

4+1 <^(1-7)-

По индукции получаем, что 83 ^ (1—7)®. Поскольку на каждом шаге алгоритма в множество, полученное на предыдущем шаге, добавляется ровно один набор, то общее число шагов не превосходит величину (в + т63), причем это верно для любого в. В результате получаем, что

\Тг\ < 5 + т8в < 5 + т( 1 ^ 7)я ^ 5 + те"7*.

Здесь мы воспользовались тем, что 1 — х ^ е~х для любого действительного числа х.

Полагая s =

i ln(7m) , получаем |Т,| < 1 + i ln(^).

Лемма 1 доказана.

Теорема 2. Пусть к ^ 3 — натуральное число. Можно построить такое затеняющее мно-

жество Т на Е%, что

кп

|Т| < 2—In п при п ^ оо.

Доказательство. Пусть 7, | < 7 < 1, - действительная константа. Разобьем множество Е'к

Ь(к-1)п\

на две части Е' и Е", где Е' = |J Щ ж Е" = Е%\Е'.

г=О

1. Для каждого слоя Щ множества Е' построим затеняющее множество Т[ градиентным алгорит-L7(fc-i)nJ

мом. Тогда Т' = |J Т[ — затеняющее множество на Е'.

г=О

Применим лемму 1 для оценки мощности построенного затеняющего множества. В каждом наборе

веса г не более fc_1 Получаем оценку

компонент равны А; — 1. Значит, для слоя Щ можно положить р = п

к-1

\Т< / 1 + ' '. 1п --^ > 1+ ' 1п ев^

и \ п^ \яг\ )) £ V п( 1-7) V Ш

Оценим отношение ^¡[^ с учетом ограничения % ^ 7?г(А; — 1), подсчитав число дуг между слоями Щ и в диаграмме Хассе решетки В каждую вершину слоя В4-1 входит не менее р = (1 — 7)п дуг, значит, между слоями Щ и В4-1 не менее (1 — 7)п • |Дг-1| дуг. С другой стороны, из каждой вершины слоя Щ исходит не более п дуг, поэтому общее число дуг не больше п\Щ\. Отсюда следует, что

(1 - 7)п \Ri-l] < п\Щ И <

Ri 1-7

Получаем

L7«(fc-i)J / / I\ \ L7«(fc-i)J / idi \ /

\Ki\ 1„ / „„ \Ki-l\ \ \ / V^ /1 , \Ki\ \ i„ / en

im E + < £ ^ÄM^'*

i= 1 4 4 4 I 'I / / i=1

1 , / en \ /J , „ , „ 1 к

€

L7n(fc-l)J 1 un

(1-7)" V1 — 7/ ¿i ~1^7П

2. Для множества Е" затеняющее его множество Т" построим, выбрав для каждого набора из Е" по одному затеняющему его набору. Тогда

(к — 1)п

\Т"\ 5$ \Е"\ «С 2 \Ri\-

г= Гт (/с — 1)п]

Оценим число наборов в слоях Щ при 1 ^ [7(А; — 1 )п~|.

Для этого рассмотрим независимые случайные величины Zl,..., Zn, где случайная величина Z^

п

может принимать каждое из значений 0,1,..., (А; — 1) с вероятностью р Пусть Z = V /¡. Тогда для каждого г, г = 1,..., п, верно

¿=0

и

к 1 / -1 \ 2 к 1/ ) / 1 \ 2

г= 1

V ^ , к к г

г=О х 7 г=0 \

Отсюда

5Я =

(к-1)п

12

По неравенству Чебышева получаем, что доля 81 тех исходов Z, для которых ^ — Z\ ^ не превосходит

Пусть £ = е(к — 1)п, где е > 0 — действительная константа.

Тогда в наших терминах доля ^ — это доля наборов в слоях И, при таких значениях г, что

О < г < ^ - (А; - 1)п или ^ + г^ (А; - 1)п < % < (А; - 1)п. По неравенству Чебышева

Ш (к2^1)п (к + 1)

St £

12е2(к — 1)2п2 12е2(к^1)п' Или, другими словами,

(fc-i)n L(i-®)Cfc-i)«J

Е №1+ Е

¿=[(|+e)(fc-l)n]

Положим 7 = | + £. Тогда

m < Е i*I<i^V".

¿=|"(±+e)(fc-l)n]

т. е. \T"\ = ö Inn) при n ^ oo.

Следовательно, |T| = |T'| + |T"| < ^^lnn.

Если e > 0 — действительная константа и 7 = | + е, то |Т| < Inn. Поскольку неравенство

верно для любой константы е > 0, получаем |Т| < 2^— Inn при п ^ оо.

Теорема 2 доказана.

Замечание. При к = 2 с помощью градиентного алгоритма можно построить такое затеняющее множество Г па /•.'.'/. что

1п

|Т| ïC — (Ып+ 1). п

Доказательство проводится применением градиентного алгоритма для каждого слоя i?¿ и оценки леммы 1, так как в случае к = 2 можно найти точное значение р = п — i + 1.

Теорема 3. ^ nlogk(k%_1)+1y

Доказательство. Подсчитаем число возможных обобщенных полиномов от переменных х\,... ... , хп длины не больше I.

Число различных обобщенных мономов над переменными х\,..., хп равно к(к — 1) + 1)п, так как каждая переменная может быть в одной из степеней 0,1, — 1) и, если ее степень не 0, может

быть поляризована одной из констант 0,1, — 1).

Следовательно, полиномов длины не больше I не больше ((к(к — 1) + 1)п)г. Если ((к(к — 1) + 1)п)г < < кк , то 1%-п'(п) ^ I, так как обобщенных полиномов длины I хватит для задания всех fc-значных функций от переменных xi,...,xn. Отсюда ^ ra,logfc(fcfc(nfc_1)+1).

Теорема 3 доказана.

Авторы благодарят проф. В. Б. Алексеева за ценные советы, которые улучшили текст работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко К.Д. Верхняя оценка сложности полиномиальных нормальных форм булевых функций // Дискретная математика. 2005. 17. Вып. 3. С. 80-88.

2. Even S., К о ha vi I., Paz A. On minimal modulo 2 sums of products for switching functions // IEEE Trans. Elect. Comput. 1967. P. 671-674.

3. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. M.: Наука, 2001.

4. Сапоженко A.A. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2005.

Поступила в редакцию 17.09.07

УДК 519.71

Е.А. Попов

О СЛОЖНОСТИ И СТРУКТУРЕ КОНТАКТНЫХ СХЕМ, БЛИЗКИХ К МИНИМАЛЬНЫМ, ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: evgeny.a.popov@gmail.com)

В настоящей работе рассматривается задача синтеза контактных схем для элементарных симметрических функций. Установлена структура минимальных контактных схем, реализующих элементарные симметрические функции, а также найдены точные до аддитивной константы оценки сложности полученных схем. Доказано, что при достаточно больших п сложность элементарной симметрической функции п переменных с рабочим числом w удовлетворяет соотношению L(s%) = (2w + 1 )п — Bw, где Bw — некоторая неотрицательная константа.

Введение. Класс симметрических функций очень важен в теории синтеза. Схемы для линейных, пороговых, элементарных симметрических функций широко используются в различных теоретических и прикладных задачах синтеза СБИС, таких, как построение самокорректирующих схем,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00745).