CC BY
68
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.714.
С. А. Ложкин, В. А. Коноводов
О СЛОЖНОСТИ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В НЕКОТОРЫХ ПОЛНЫХ БАЗИСАХ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ С ПРЯМЫМИ И ИТЕРАТИВНЫМИ ВХОДАМИ1
Аннотация.
Актуальность и цели. В математической кибернетике одной из основных задач является задача синтеза управляющих систем, заключающаяся в построении схемы из заданного класса, реализующая заданную функцию алгебры логики. При решении этой задачи часто требуется учитывать различного рода ограничения на структуру и параметры управляющих систем. Такие ограничения часто более точно описывают реальные вычисления и имеют физическую интерпретацию. Кроме того, исследования сложности реализаций булевых функций в моделях с ограничениями и влияний параметров ограничений на эту сложность представляют большой теоретический интерес. Рассматриваемое в данной работе ограничение относится к способам соединения элементов в схеме. Входы элементов схем делятся на два типа - прямые и итеративные. Итеративные входы служат для присоединения к ним выходов других элементов, а прямые входы являются входами схем. Задача синтеза в этой модели рассматривается для случая формул, т.е. схем без ветвлений выходов элементов. Целью данной работы является получение асимптотики функции Шеннона для сложности формул в классе полных базисов, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций. В таких базисах, как было получено ранее, порядок роста этой функции является «стандартным» для булевых формул, однако константа в асимптотике была неизвестна.
Материалы и методы. В работе, в частности, приводится модификация известного ранее оптимального метода синтеза формул с использованием техники моделирования функций алгебры логики на компонентах специальных разбиений множеств наборов булева куба.
Результаты. Получена асимптотика функции Шеннона для сложности формул алгебры логики в полных базисах с прямыми и итеративными переменными, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций. Указан также способ нахождения константы в этой асимптотике.
Выводы. Установленные результаты позволяют сделать вывод о существовании асимптотики функции Шеннона для формул в отдельных классах базисов с прямыми и итеративными переменными, где порядок этой функции «стандартный» и совпадает с порядком роста соответствующей функции для класса булевых формул в обычных полных базисах.
Ключевые слова: булевы формулы, прямые и итеративные переменные, синтез, сложность, функция Шеннона.
S. A. Lozhkin, V. A. Konovodov
ON LOGIC ALGEBRA FORMULAS’ COMPLEXITY IN SOME COMPLETE BASES CONSISTING OF ELEMENTS WITH BOTH DIRECT AND ITERATIVE INPUTS
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-07474-а.
54
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Abstract.
Background. One of the main problems in mathematical cybernetics is the problem of control systems synthesis, consisting in building of a circuit from a given class that will realize a given Boolean function. At solving of the problem one often needs to take into account various limitations of control systems’ structure and parameters. Such limitations often describe real calculations more precisely and have a physical interpretation. Moreover, the studies of the complexity of realization of Boolean functions in models with limitations and the effects of limitation parameters are of great theoretical interest. In the present work the limitation is associated with methods of gates connection in a circuit. Circuit elements’ inputs are divided into 2 types - direct and iterative. Iterative inputs are used for connection of other elements’ outputs to them, and direct inputs serve as circuits’ inputs. The synthesis problem in this model is considered for a case of formulas, i.e. circuits without elements’ inputs branching. The aim of the work is to obtain asymptotics of the Shannon function for the complexity of the formulas in the class of complete bases, whose iterative closure contains the class of monotonic functions. In such bases, as it has been previously obtained, the order of growth of this function is "standard" for Boolean formulas, however, the constant in the asymptotics hasn’t been revealed.
Matherials and methods. In this work in particular the authors show the modification of the previously known optimal method of formulas synthesis using the technique of logic-algebra functions modeling by variables on components of special partitions of multiple sets of the Boolean cube.
Results. The authors revealed an asymptotic behavior of the Shannon function for the complexity of Boolean formulas in complete bases with direct and iterative variables, whose iterative closure contains the class of all monotonic functions. The method of finding the constant in the asymptotics was also specified.
Conclusions. The established results allow to conclude about the existence of the asymptotic behavior of the Shannon function for formulas in separate classes of bases with direct and iterative variables, where the order of this function is "standard", and coincides with the order of growth of the corresponding functions for a class of Boolean formulas in regular full bases.
Key words: Boolean formulae, direct and iterative variables, synthesis, complexity, Shannon function.
Введение
Рассматривается задача оптимальной по сложности реализации произвольных функций алгебры логики формулами над конечным полным базисом A, элементы которого имеют как прямые, так и итеративные входы. Данная задача синтеза решается в рамках модели [1], которая предполагает, что при построении формулы или схемы над базисом A прямые входы его элементов могут присоединяться только к ее входам или константам 0, 1, а их итеративные входы, кроме того, - к выходам других элементов. При этом изучается сложность самых «сложных» или «типичных» функций алгебры логики (далее - просто функций), исследуется асимптотическое поведение функции Шеннона (n) для сложности формул над A, реализующих
функции от n «прямых» переменных.
Напомним, что согласно [2] для произвольного базиса A рассматриваемого вида аналогичная (n) функция Шеннона для сложности
схем из функциональных элементов асимптотически равна рд • 2n / n , где
Physical and mathematical sciences. Mathematics
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
р a - некоторая константа, определяемая базисом A. В работе [3] было показано, что функция Шеннона /(п), п = 1,2, ... , имеет порядок роста
2п / log п, если итеративное замыкание базиса A, т.е. множество тех функций от итеративных переменных, которые можно реализовать формулами над A, содержит класс монотонных функций. Кроме того, в [3] было установлено, что в любом другом случае всегда найдется базис A с таким же, как и у базиса A, итеративным замыканием, для которого функция Шеннона /а (п)
п
имеет порядок роста 2 .
Основным результатом данной работы является доказательство того, что в случае произвольного базиса A, итеративное замыкание которого содержит класс монотонных функций, функция Шеннона /A (п) асимпто-
2п
тически равна ра------, где ра - константа, определяемая базисом A.
log п
Указан также способ нахождения константы р а по базису A .
1. Основные определения и результаты
Пусть X = {xi,Х2, —} и Y = {yi,у2,■■■} - счетные множества булевых переменных, причем переменные из множества X (из Y) будем называть прямыми (соответственно, итеративными). Для каждого множества переменных Z обозначим через РДZ) множество всех функций, зависящих от переменных из Z. Функции, не имеющие общих существенных переменных, будем называть независимыми.
На множестве РДX u Y) согласно [1] определим следующие операции суперпозиции:
1) переименование (с отождествлением) прямых переменных;
2) подстановка констант 0, 1 вместо переменных;
3) переименование (без отождествления) итеративных переменных;
4) подстановка одной из двух независимых функций вместо итеративной переменной другой функции;
5) замена итеративных переменных прямыми переменными;
6) отождествление итеративных переменных.
Пусть A с РДX u Y) - некоторое конечное множество базисных функций. В соответствии с введенными операциями суперпозиции будем рассматривать одновыходные схемы из функциональных элементов (в дальнейшем - просто схемы) над базисом A, в которых:
• прямые входы любого элемента либо присоединяются к входам схемы, либо являются константными входами (вход называется константным, если вместо него в базисный элемент подставлена константа 0 или 1);
• итеративные входы любого элемента либо присоединяются к выходам других элементов, либо присоединяются к входам схемы, либо являются константными входами;
• неконстантным входам схемы сопоставлены некоторые переменные из множества X .
56
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Под формулами будем понимать те одновыходные схемы, в которых выход любого элемента либо поступает на вход ровно одного (другого) элемента, либо является выходом схемы.
Систему функций A, A с P2(X u Y), будем называть полной, если для любой функции f, f е P2 (X), существует формула над A указанного вида, реализующая функцию f.
Рассмотрим произвольный базис A = {ej,. • .,£b}, A с P2(X uY). Будем считать, что каждый элемент ег-, i = \,..,b, имеет вес Ц и k входов, при этом k' из них прямые, а k" = k — k' - итеративные. Приведенным весом элемента £i, i = 1,.,b , такого, что k > 1, назовем величину
Pi =
Ц
ki — 1
Без ограничения общности будем считать, что k" =0 для всех i = b',...,b , где 1 < b'< b , при этом базис A разбивается на два множества:
A ={^1, ••., ^b'}, A ={^b'+1, •• ',^b },
во втором из которых все входы каждого элемента прямые.
Сложностью £(^) формулы 2F в базисе A будем называть сумму
весов всех входящих в нее элементов. Функцией Шеннона Хд(n) для сложности формул в базисе A, как обычно, будем называть максимальное значение Х(f) среди всех функций f , f е Pj({x1,...,xn}), где Xa(f) -минимальная сложность формулы из рассматриваемого класса, реализующей функцию f.
Пусть A с P2(X u Y). Множество тех функций, которые можно получить из функций системы A в результате применения операций суперпозиции 1-6, описанных выше, обозначим через [A]. Множество всех функций множества [A], зависящих только от итеративных переменных, обозначим
S( A) = [ A] n P2(Y)
и будем называть итеративным замыканием базиса A [1, 3]. Введение оператора 5 позволяет классифицировать все системы функций от прямых и итеративных переменных по их итеративным замыканиям. Множество 5(A) представляет собой «обычный» замкнутый класс (см., например, [4]) в P> (Y), содержащий константы, и поэтому совпадает с одним из классов системы
A = {B,I ,O,D,K ,L,M ,P2(Y)},
где B = {0,1}, I = Y u B, O = I u {y: y е Y}, класс D (класс K) содержит константы и дизъюнкции (соответственно конъюнкции) переменных Y, а классы L и M состоят из линейных и монотонных функций от переменных Y соответственно.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
57
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как уже отмечалось, в [3] показано, что для любой системы функций A, A с Р)(X иY), такой, что 5(A) е {M,Pj(Y)}, справедливо соотношение
La (n) = ©
( 2n ' log n t
а для каждого 5, 5е {I,O,D,K,L}, существует базис A такой, что 5(A) = 5, и при этом
La(n) = ©(2n).
Назовем макроблоком в базисе A схему из функциональных элементов в этом базисе, состоящую из одного элемента £j е A, jе {1,...,b'}, такого,
что к''> 1, и т, 0 < т < к''—1, элементов £■ ,...,£■ е A', где
1 т
■l,.,im е {b' +1,.,b}, выходы которых подаются на итеративные входы элемента £ j .
Прямыми входами макроблока будем считать входы элементов £■ ,..., £■ , а также все свободные (т.е. те, на которые не подаются выходы
1 т
других элементов макроблока) входы элемента £j, кроме одного из его
итеративных входов, который будем считать единственным итеративным входом макроблока.
Таким образом, макроблок M имеет сложность Am = Lj + Lt +...
1
... + Li , а число его входов равно км = kt +... + kt + к j — т . Приведенным т l1 т J
весом макроблока M назовем величину
р M
Ам км — 1
Макроблок M указанного вида назовем каноническим, если т = к'' — 1
и /1 = ... = iт или т = 0 во введенных выше обозначениях. Макроблок над базисом A назовем минимальным, если он имеет минимальный приведенный вес среди всех макроблоков в этом базисе.
Определим приведенный вес ра базиса A следующим образом:
1. Если минимальный приведенный вес элементов базиса A
достигается на элементе £j, имеющем хотя бы один итеративный вход, то
положим р а = р j .
2. Если минимальный приведенный вес элементов базиса A
достигается только на элементах, у которых все входы прямые, а M -канонический макроблок в этом базисе с минимальным приведенным весом, то положим р а = рм .
Из работы [1] следует, что базис A, каждый элемент которого имеет не более одного итеративного входа, не является полным.
58
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.
Теорема. Пусть A, A с P2(X u Y), - конечный полный базис функций такой, что 5(A) е {P2(Y),M} . Тогда при n = 1,2,... справедливо соотношение1
^A(n)~ РA
2
П
log n
3. Доказательство нижней оценки теоремы
Лемма 1. Для любого базиса существует канонический макроблок, являющийся в нем минимальным.
Доказательство. Пусть M - произвольный минимальный макроблок в базисе A, который состоит из элементов £j,£ ,...,£ , где jе{1,...,Ъ'},
■> 1 m
m е {0,., kj — 1}, /'i,., im е {Ъ' +1,., Ъ} . Сначала докажем, что найдется такой индекс p, pе {i1,...,im}, что макроблок M', полученный из макроблока M заменой всех элементов £ ,...,£ на элемент еp, имеет
1m
приведенный вес рм' = Рм . Для этого достаточно доказать справедливость неравенства
рм
L j + L, + ... + L,
j i1____________________lm
+... + k, + kj — m — 1
m
>
Lj + mLp kj — 1 + m(kp — 1)
pM'
для некоторого p, pе {lj,.,im}. Предположим противное, пусть для всех p , p е {i1,., im } , выполняется неравенство
рм < рM',
что эквивалентно
Ljm(kp — 1) + (kj — 1 + m(kp — 1)У): < Lpm(kj — 1) + (j + mLp )(k; -1).
t=1
t=1
Просуммировав последнее неравенство для всех p , pе^,...,im}, получим противоречие, что доказывает существование определенного выше макроблока M'.
Заметим далее, что если рассмотреть функцию
r(m)
Lj + mLp kj — 1 + m(kp — 1) ’
1 Асимптотическое равенство a(n) ~ Ъ(п) означает одновременное выполнение асимптотических неравенств a(n) < b(n) и Ъ (n) < a(n) , где запись a(n) < b(n) означает, что
a(n) < (1 + о(1))Ъ(п) при n . Все логарифмы в настоящей работе рассматриваются по основанию 2.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
59
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
задающую приведенный вес макроблока M' в зависимости от m как функцию действительного аргумента m на отрезке [0, kj — 1], то такая
функция будет непрерывной, ограниченной и монтонной функцией на этом отрезке, а это означает, что ее минимум достигается на одном из концов этого отрезка. При m е {0,kj — 1} соответствующий макроблок M'', который
отличается от M' количеством m элементов с прямыми входами, имеет приведенный вес рм" — Рм' — Рм и при этом является каноническим. Лемма доказана.
Нижнюю оценку в теореме докажем при помощи мощностного метода. Пусть ¥ a (£, n) - число попарно неэквивалентных формул в базисе A, реализующих функции от n прямых переменных и имеющих сложность не более £.
Лемма 2. Пусть A, A с P2(X u Y), - конечный полный базис функций такой, что 5(A) е {P2(Y),M} . Тогда
2n
la(n) > Рa:---.
log n
Доказательство. Рассмотрим произвольную формулу .£ в базисе A, реализующую функцию от n прямых переменных Xn =(xi,..,xn) . Пусть эта формула содержит щ элементов ег- для всех i = 1,..,b . Тогда ранг этой формулы
b
R(f ) = Ypi (ki — 1) +1,
i=1
а ее сложность
b
£{-r ) = TpLi.
i=1
Покажем сначала, что
L(F) >paR(^) — O(1) (1)
при больших значениях R(^). Рассмотрим два случая.
Случай 1. Среди элементов с минимальным приведенным весом есть элементы, имеющие хотя бы один итеративный вход. Пусть Zj - один из
таких элементов, j е{1,..., b}. Тогда
)= Z niLi + njLj =
ie {1,—,b}\{ j}
= Z niLi
ie{1,...,b}\{j}
kJ —1
r(^) — Z n (kt—1)—1
ч ie{1,—,b}\{j} .
• Li =
60
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
= ^ ni(Li-РР-1)) + Р/Р)-Pj - Pj Pf-O(1),
ie{1,...,b}\{ j}
поскольку для всех i = 1,..,b справедливо неравенство (Lt -pj(kt -1)) - 0
в силу минимальности приведенного веса элемента £j .
Заметим, что оценка £(jF) = pj ■ R(f) достигается на формуле,
целиком состоящей из элементов £ j .
Случай 2. Все элементы минимального приведенного веса имеют только прямые входы. Формула 2F представима в виде
f(xn ) = ^ [ xn, Ф j1 (xn ),., Vjp ( xn ) J ,
где f - формула, реализующая функцию из P2(XuY) в базисе A, а j1,..., jp е {b'+1,.,b} . Построим формулу @, представляющую собой цепь
b
из n = ^pi макроблоков M1,...,Mn' и состоящую из тех же самых i=1
элементов, что и формула 2F . Элементы с прямыми входами в таком случае должны быть произвольно подсоединены к свободным итеративным входам такой формулы. Заметим, что ) = £(&) и R(f) = R(&). Рассмотрим
формулу @ как формулу в базисе из макроблоков M1,...,Mn', тогда, аналогично случаю 1, сложность такой формулы не менее, чем pmR(&) - O(1), где M - макроблок из M1,...,Mn' с наименьшим приведенным весом. Таким образом, в силу леммы 1 в этом случае оценка (1) также справедлива и достигается на формуле, целиком состоящей из минимальных канонических для базиса A макроблоков.
Число попарно неэквивалентных формул ранга R в базисе A,
R
реализующих функции от n прямых переменных, не превосходит (cn) , поэтому в силу (1)
Ч A A, n) < (cn)Р A
-£
1
Так как
Ч A (Aa (n), n) - 22n ,
то при достаточно больших n справедливо утверждение леммы.
2. Доказательство верхней оценки теоремы
Формулу 2F , в записи которой переменная z, z е X u Y , встречается только один раз, будем называть бесповторной по переменной z.
Из работы [5] и леммы о немонотонной функции (см, например, [4]) следует, что для любого базиса A, A с P2(X u Y), такого, что
Physical and mathematical sciences. Mathematics
61
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
5(A) е {p2(Y),M}, существуют бесповторные по своим существенным переменным формулы JF& , ^V, JF—, реализующие функции у • y^, y\ v у^, Х соответственно.
Обозначим через ци мультиплексорную функцию порядка n , n > 1, определяемую равенством
Vn(Xl,-,xn,Уo,•••,У2п_J = V -ХПпУА( о )
21 ^ ^ I 1’"’’ n/
01,..,0n еВ
где v(Oi,—,on) - число, двоичная запись которого совпадает с набором (Oi,..., on), для всех i, i = 0,-,2n _ 1, а хо = xov Хо, ое B . Переменные У0,..., y2n 1 этой функции будем называть информационными.
Лемма 3 [5]. Существует бесповторная по информационным переменным формула Хь в базисе {У1 • У2, У1 v У2, Х1}, реализующая
мультиплексорную функцию порядка n со сложностью O(2n).
Пусть ф(Z1,—, zn ) - функция, существенно зависящая от всех своих переменных из множества {Z1,..., zn } £ X и Y . Множество функций G , G с P2(Z), где Z £ P2(X и Y), | Z |= m , называется [5] ф -универсальным множеством порядка m , если любая функция g , g е р (Z), может быть представлена в виде g = ф(g1,...,gN), где gi е G для всех i, i = 1,..,N .
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 4 [5]. Для любых натуральных чисел s, m, N, удовлетворяющим условию
s • N > 2m ,
и для любой функции ф(Z1,...,zn) существует ф-универсальное множество G порядка m такое, что
| G |< N • 2s .
Множество наборов 5, б£ Bq, будем называть m -регулярным множеством наборов куба Bq, если m < q, | 51= 2m, и все префиксы длины m наборов из 5 различны. Пусть А = (51,..^q_m ) - разбиение куба Bq на
m -регулярные подмножества. Будем говорить, что разбиение А моделирует функции из множества G , G £ р(Z), где Z £ р(X и Y), | Z |= m , с помощью булевых переменных или их отрицаний тогда и только тогда, когда для любой функции g , g е G, и для каждого i, i = 1,.,2q_m , существует переменная Xj, где 1 < j < q, и константа о, ое B, такие, что
g = Ху на компоненте 5г-. При этом компонента 5г- считается «хорошей» компонентой, если для каждой такой функции g указанное свойство
62
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
выполняется при а = 1. В противном случае соответствующую компоненту будем называть «плохой».
Лемма 5 [6]. Для любого множества G, G с Р?(Z), где
Z с P)(X и Y), | Z |= т , и для любого q , q > m + 3 | G |, существует
разбиение А = (81,..,5^_т) куба Bq на m -регулярные подмножества,
моделирующее все функции из G с помощью булевых переменных или их отрицаний, и такое, что доля «плохих» компонент в нем не превосходит
(^l)q т, где ^1 - абсолютная константа, ^1 <1.
Лемма 6. Пусть A, A с P2(X и Y), - конечный полный базис функций такой, что 5(A) е {P2(Y), M}. Тогда для любой функции f,
f е P2({x1,...,xn}), существует формула jFf в этом базисе, реализующая эту функцию, и такая, что
)< РA
2
n
log n
Доказательство. Пусть M - минимальный канонический макроблок в базисе A. В случае, когда минимальный приведенный вес элементов базиса достигается на некотором элементе £j , jе {1,.,b} , имеющем хотя бы один
итеративный вход, положим M = £j .
Пусть, далее, натуральные параметры т , q , 5 , N и p таковы, что
1 < т < q < n, 5 • N > 2т, p ■ (км _ 1) +1 = N, где км - число входов M , и пусть x =(X1,..,Xq), x" = (Xq+1,.,Xn ).
Рассмотрим произвольную формулу Z1 , состоящую из p блоков M. Как обычно, выходы любого блока могут подсоединяться только к итеративным входам других блоков. Считая все входы этой формулы прямыми, обозначим реализуемую формулой ^ функцию как ф. Заметим, что
А^1) = РA • N.
Рассмотрим функцию d(У1,...,yN) = У1 v••• vyN, эта функция, как было указано выше, реализуема бесповторной по всем своим переменным формулой ^V(N) в базисе A сложности O (N). Построим по лемме 4 ф -универсальное множество G1 порядка т и d -универсальное множество G2 порядка т так, что функции из этих множеств зависят от одних и тех же переменных (x1,., xm), и при этом
|G1 и G2|< 2 • N • 25 .
Положим q = т + 3 | G |, где G = G1 и G2 , и построим по лемме 5 разбиение А = (81,..,52q_m) куба Bq на т -регулярные компоненты,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
63
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в котором доля «плохих» компонент не превосходит eq m, <1, и которое
моделирует все функции из множества G с помощью переменных или их отрицаний.
Заметим, что при любом i, i е {1,...,2q m }, любая функция g е P2( х') совпадает на множестве 5г- в силу его m -регулярности с одной из функций от переменных (xi,...,xm), и поэтому, с одной стороны, в силу ф-универсальности множества Gi функция g совпадает на 5г- с суперпозицией вида ф(gi(1),...,giN)), внутренние функции которой принадлежат Gi, а с другой стороны, в силу d -универсальности множества G2, функция g на 5г- может быть представлена в виде дизъюнкции g2^ v... v ) функций из G2 .
Из свойств разбиения А следует, что на «хороших» компонентах 5г- указанная функция g совпадает с формулой ф(х, ,..., Xj^ ), где каждая переменная
х, моделирует на 5,- функцию giv) при всех v , v е{1,..., N}. Кроме того,
Jv 1
на «плохих» компонентах 5г- функция g представима в виде хО1 v . v х
О n
N :
где каждая функция g2v) моделируется на 5г- при помощи х^у при всех v, v е{1,..., N}.
Таким образом, на «хороших» компонентах разбиения А указанная функция g е P2(х') реализуется формулой
О
Л (х
j1
.., х
jN
(2)
а на «плохих» компонентах этого разбиения она допускает реализацию формулой
Л
-'v
(N) \ хО1
, х.
N
(3)
которая имеет сложность O (N) в силу линейной сложности формулы Л( N) в базисе A и возможности реализовать прямое отрицание в этом базисе.
Рассмотрим следующее дизъюнктивное разложение функции f (х', х'') по переменным группы х'' и его последующую модификацию на основе разбиения А:
2#—m
f (х', х'')= v Ко''(х'')f (х', о'') = v Xi (х') v Ко''(х'')f (х',о''),
о''еВп—q i=1 о''еВп—q
где o'' = (Oq+1,..,on), КО''(х'') = хq++1...х°п , а Xi(х ) - характеристическая
функция компоненты 5г-, iе {1,...,2q m}, т.е. функция, равная 1 только на наборах множества 5г-.
64
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Согласно этому разложению построим формулу
2# —т
Ff' = V Ai (x) '^\Ln—
i=1
n—q
, ф0>( /),...,ф 2П— q—1( А
,(i)
где для каждого i, i e{1,...,2q т}, формула A'(x') - совершенная дизъюнктивная нормальная форма, реализующая функцию %г- (x'), а формула
Фу)(x'), jе {0,...,2n—q — 1}, реализует функцию f (x',а") при v(o'') = j и имеет вид (2) в случае, когда компонента 5г- «хорошая» и (3) иначе.
Искомая формула Ff получается из формулы F'f заменой элементов У1 ■ y2, yi v y2, xi соответствующими им бесповторными формулами F& , FV, F—. Заметим, что при этом итеративное отрицание не потребуется, так как в формуле F'f все отрицания стоят над переменными.
Выберем значения параметров, удовлетворяющие всем введенным ограничениям, и оценим сложность построенной формулы Ff. Положим
т = r2loglog n 1, 5 = Г log n — 3loglog n 1,
и пусть N - минимальное натуральное число, удовлетворяющее введенным ограничениям. Заметим, что при этом
q = т + 3 | G |< т + 6N ■ 25 = O
(
n
ч log2n
Л
)
Сложность реализации всех дизъюнктивных нормальных форм A' (x') не превосходит
O(2q ■ q) = O
log2n
так как каждая функция %г- (x') обращается в единицу на 2т наборах.
Сложность реализации формулы F не превосходит согласно лемме 3
^n—q
O(2n—q ) = O
' 2n ^ v log2n )
Основная сложность формулы Ff - сложность реализации всех подформул вида Фу)(x') на «хороших» компонентах разбиения А, она не превосходит величины
2n
рA ■ N■ 2q—т ■ 2n—q ~ рA ■—.
log n
Physical and mathematical sciences. Mathematics
65
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сложность всех аналогичных подформул для «плохих» компонент не больше, чем
O(N) • 2n~т • (el)q~m
' 2п '
ч log2n ,
2п
Таким образом, £(^f) ~ рa------, что доказывает лемму.
J log п
Теорема следует из лемм 2 и 5.
Список литературы
1. Ложкин, С. А. О полноте и замкнутых классах функций алгебры логики с прямыми и итеративными переменными / С. А. Ложкин // Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 1999. - № 3. -С. 35-41.
2. Ложкин, С. А. О сложности реализации функций алгебры логики схемами и формулами, построенными из функциональных элементов с прямыми и итеративными входами / С. А. Ложкин // Дискретные модели в теории управляющих систем : тр. III Междунар. конф. (Красновидово, 22-28 июня 1998 г.). - М. : Диалог-МГУ, 1998. - С. 72-73.
3. Коноводов, В. А. Некоторые особенности задачи синтеза булевых формул в полных базисах с прямыми и итеративными входами / В. А. Коноводов // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки. -2014. - Т. 156, № 3. - С. 76-83.
4. Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. - М. : Наука, 1986. - 384 с.
5. Ложкин, С. А. Лекции по основам кибернетики. - М. : МАКС Пресс, 2004. -256 с.
6. Ложкин, С. А. О синтезе формул, сложность и глубина которых не превосходят асимптотически наилучших оценок высокой степени точности / С. А. Ложкин // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика и механика. - 2007. -№ 3. - С. 19-25.
References
1. Lozhkin S. A. VestnikMoskovskogo universiteta. Ser. 15: Vychislitel’naya matematika i kibernetika [Bulletin of Moscow State University. Series 15: Calculus mathematics and cybernetics]. 1999, no. 3, pp. 35-41.
2. Lozhkin S. A. Diskretnye modeli v teorii upravlyayushchikh sistem: tr. III Mezhdunar. konf (Krasnovidovo, 22-28 iyunya 1998 g.) [Discrete models in the theory of control systems: proceedings of III International conference. (Krasnovidovo, 22-28 June 1998)]. Moscow: Dialog-MGU, 1998, pp. 72-73.
3. Konovodov V. A. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki [Proceedings of Kazan University. Sereis: Physical and mathematical sciences]. 2014, vol. 156, no. 3, pp. 76-83.
4. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction into discrete mathematics]. Moscow: Nauka, 1986, 384 p.
5. Lozhkin S. A. Lektsiipo osnovam kibernetiki [Lectures on basic cybernetics]. Moscow: MAKS Press, 2004, 256 p.
6. Lozhkin S. A. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1: Matematika i mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1: Mathematics and mechanics]. 2007, no. 3, pp. 19-25.
66
University proceedings. Volga region
№ 1 (33), 2015
Физико-математические науки. Математика
Ложкин Сергей Андреевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: lozhkin@cs.msu.ru
Коноводов Владимир Александрович аспирант, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: vkonovodov@gmail.com
Lozhkin Sergey Andreevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematical cybernetics, Moscow State University named after M. V. Lomonosov (1 Leninskie gory street, Moscow, Russia)
Konovodov Vladimir Aleksandrovich Postgraduate student, Moscow State University named after M. V. Lomonosov (1 Leninskie gory street, Moscow, Russia)
УДК 519-714.
Ложкин, С. А.
О сложности формул алгебры логики в некоторых полных базисах, состоящих из элементов с прямыми и итеративными входами / С. А. Ложкин, В. А. Коноводов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 1 (33). - С. 54-67.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
67
