О сходимости в Lp[0, 1), 0 Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.518

О СХОДИМОСТИ В Lp[0,1), 0 < p < 1,

РЯДОВ ФУРЬЕ - ВИЛЕНКИНА

С.С. Волосивец

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

В статье изучается сходимость п.в. и Lp-сходимость (0 < p < 1) рядов Фурье -Виленкина при некоторых тауберовых условиях на коэффициенты Фурье функции. В случае рядов Фурье - Уолша эти результаты были получены Ф. Морицем.

On Convergence of Fourier - Vilenkin Series in Lp [0,1), 0 < p < 1 S.S. Volosivets

In this paper we study convergence a.e. and Lp-convergence (0 < p < 1) of Fourier -Vilenkin series under some tauberian conditions on Fourier coefficients of a function. In the case of Fourier - Walsh series these results are obtained by F. Moricz.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {pn— последовательность натуральных чисел, такая что 2 < pn < N при n Е N. Положим по определению m0 = 1, mn = pi.. .pn при n Е N. Каждое x Е [0,1) имеет разложение

^ ^ xn/mn, xn Е Z5 0 < xn < pn.

(1)

n=1

Представление (1) единственно, если для x = k/mj, 0 < k < mj, k,j Е N, брать разложение с конечным числом xn = 0. Для

x, y Е [0,1) вида (1) положим x 0y = z = ^ zn/mn, zn Е Z П [0,pn),

n=1

zn = xn + yn (mod pn). Аналогично определяется x © y.

Если k Е Z+ записано в виде

те

k = J^ kimi-1, ki Е Z, 0 < ki < pi, (2)

i=1

и x Е [0, 1) имеет разложение (1), то по определению Xk (x) =

те

= exp(2ni xjkj/pj). Система {xk (x)};*=0, называемая системой

j=1

Виленкина, ортонормирована и полна в L[0,1). Кроме того, при фиксированном x Е [0,1) для почти всех y Е [0,1) и всех k Е Z+ имеют место равенства Xk (x 0y) = Xk (x)xk (y), Xk (x ©y) = Xk (x)xk (y). Эти свойства можно найти в [1, § 1.5]. Ряд других свойств будет указан в леммах ниже. Пусть f Е L1 [0,1). Коэффициенты Фурье, частная сумма Фурье и ядро Дирихле по системе {Xk(x)}k=0 задаются фор-

л 1 ----------------- n—1 л

мулами f (n) = /0 f (t)Xn(t) dt, n Е Z+; Sn(f )(x) = E f(k)Xk(x),

k=0

n- 1

n Е N; Dn(x) = Xk(x), n Е N. В работе будут также рассматри-

k=0

x

© С.С. Волосивец, 2008

3

П

ваться средние Фейера и ядро Фейера по системе {%к(ж)}те=с: (/)(ж) = ^ Sk(/)(ж)/п,

к = 1

П

Рп(ж) = ^ Б(ж)/п, п е N. Далее Дак = А1 ак = ак - ак+1, А2ак = ак - 2ак+1 + ак+2 и

к=1

и/у? = ас11/(*)|р ^)1/р ,0 <р < °°-

В настоящей работе для / е Ь1 [0,1) изучается сходимость к нулю (квази)норм Ц/ — Sn(/)ЦР при

0 < р < 1 и некоторых условиях тауберова типа на {/(п)}^=с. Ф. Мориц доказал следующие две теоремы для системы Уолша (частного случая нашей системы при р^ = 2).

Теорема А .[2]. Если / е Ь[0,1) и

[Ап]

Нш Ншвир([Лп] — п + 1)-1 У'' ([Лп] — к + 1)|Дт/(к)| = 0, (3)

А^1+С п^те ,

к=п

где т = 1 или т = 2, то Ііт £п(/)(х) = /(х) п.в. на [0,1) и Ііт ||/ — £п(/)||р = 0 при 0 < р < 1/т.

п—П—

[Лп] л

Теорема В. [3]. Пусть / є £[0,1) и Н(Л) = Іітвир ^ кр-11А/(к)|р конечно для некоторых Л > 1

п—о к=п

и р > 1. Тогда условия

Ііт ||/ — Бп(/)уі =0 (4)

п—о

и

Ііт /(п) /* |^п(і)| ^ = 0 (5)

п—О 70

эквивалентны.

В данной работе доказываются аналоги теорем А и В для произвольных мультипликативных систем ограниченного типа. Приведем необходимые леммы.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Лемма 1. [4, глава 4, § 4]. 1) Пусть п е N. к е Ъ+. Тогда для ж е [т—^т-1) справедливо

неравенство |Бп(ж)| < тк+1 < Жж-1.

2) При п е Ъ+ имеет место равенство Бтп (ж) = тпХ[С>1/ТОта) (ж), где ХЕ — индикатор множества Е.

3) Пусть к е N записано в виде (2). Тогда

(те к; \

(^ ’ * е [0, 1)-г=1 1=1 )

Лемма 2. [1, § 1.5]. При 0 < к < тп функции хк (*) постоянны на промежутках

/п = [в/тп, (5 + 1)/тп), 5 = 0,..., тп — 1.

[Ап]

Лемма 3. Пусть / е Ь1 [0,1), Л > 1 и тп,А(/)(ж) = ([Лп] — п + 1)-1 ^ Sk(/)(ж), п е N. Тогда

к=п

Нш Ц/ — Тп,а(/)Ц1 =0 и Нш Тп,а(/)(ж) = /(ж) п.в. на [0,1).

п^те п^те

Доказательство. Из результатов работы [5] или [4, гл.4, § 10] следует, что Нш Ц/ — ап(/)Ц1 = 0.

п^те

Но Тп,А(/) = ([Лп] — п + 1)-1 ([Лп]ст[Ап](/) — (п — 1)стп-1(/)). Поэтому

Цтп,А(/) — /Ц1 < ([Лп] — п + 1)-1([Лп] Цст[Ап] (/) — /Ц1 + (п — 1)Ц^п-1(/) — /Ц1) <

< 2(Л — 1) 1 Л(1к[Ап](/) — /Ц1 + 1К-1(/) — /Ц1) = о(1).

С другой стороны, известно, что стп(/)(ж) сходится к /(ж) п.в. на [0,1) (см., напр. [5]). Аналогично доказательству выше показывается, что во всех точках, в которых Нш стп(/)(ж) = /(ж), верно также

п^те

Нш тп А(/)(ж) = /(ж). Лемма доказана.

п^те ’

Лемма 4. Для п е N и ж е (0,1) верно неравенство |пРп(ж)| < Сж-2.

Доказательство. В работе [5] для п е [тв-1 ,т8) установлена оценка

в-1 в-1 / р^+1-1 ''

|пРп (ж) | < т^Е Бт, (ж) + ^ Бт. (ж 0 1/т^+1)

V=0 г=^ \ 1=0 /

Если ж е [т.?-_|_1, т^- ), то при г, V > 7 имеем Бт. (ж 0 1/т^+1) = 0 при всех I = 0, ...,р^1_ — 1. Поэтому

з з

ту

V=0 г=^

|п^п (х)| < Сі ^ т^У^(Ж + 1)ті < Сі (Ж + 1) | ^ тЛ < С2т2 < С2х 2

,г=0

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть 1 < р < 2, 1/р + 1/д = 1, {ак}£= С С. Тогда для любого 7 е (0,1) справедливо неравенство

„ 1 п-1

/ ^ акБк+1 (ж)

к=0

/п — 1 \ 1/р

* < С(р)7—1Аг ]Т |а* |р

\к=0 /

Доказательство. Начнем со случая 7 = 1/тГ, г є N. Обозначая [т8+1 ,т8 1) через В, оценим

Iі

' 1 /шг

т,- + 1 —1

к=ш,

г —1

* = § /в

ш, + 1— 1

к=ш,

г —1

в=0

Если г > 7 + 1, то в силу неравенства Гельдера и леммы 2

г —1 „

Дз :=

ш, + 1 —1

к=ш,

ш,+1—1

г —1 ш, + 1 —1

^т—1 ^ |ак|(к + 1) <

в=3 к=ш,'

/ ш, + 1 — 1

< 2Ж ^ |ак|< 2Жт1+1/р > ^ Іа ір

к=ш, \ к=ш,

1/р

Ё к Iі

(6)

При в < 7 на В в силу части 2) леммы 1 имеем Бт^.+1 (*) = 0, Бт;-1 (*) = т^-1 при г < в + 1 и Бт; (*) = 0 при г > в + 2. По части 3) леммы 1 получаем при в < 7

ш, + 1 —1 в кі

^2 ак—1Хк (і)^ тг—1^ Х—“_1 (і)

к=ш, +1

+

і=1 кй + 1

а=1

ш,+1—1

^ «к—1 хк (от ^ х—а (і)

к=ш, + 1

а=1

ей =: ^ч(1) + ^(2).

(7)

Поскольку хт;-1 (£) = 1 на В при г < в, по неравенству Гельдера и теореме Ф.Рисса - Хаусдорфа -Юнга (1/р + 1/# = 1) находим, что

^(1) =

ш,+1—1 / в \

^ I ак—1^2, к ті—1) Хк (і)

к=ш, + 1 \

і=1

ей < |В |1/р

ш,+1—1 / в \

^ I ак—1^2, кі ті—1) Хк (і)

к=ш, +1 \

ш, + і —2

1/р

'ш, + 1 —1

і=1

1/р

<

< т—:Чр\ £ |«к |ртР < ™.1—1/^^ Е І“к Iі

(8)

к=ш,

к=ш,

Наконец, %Шз (*) равна 7^+1 на /^+1, где 1 = 1,... ,рв+1 — 1 и 7в+1 = е2пг/Рз+1 (см. определение %Т лемму 2). Поэтому

Рз + 1 —1 „ 1/

^(2) = Е

г=1

ш3 + 1

ш, + 1—1 кэ + 1

^ «к—1т в ^ 7 Г+1 Хк(1/т в+1 )Хк(і)

к=ш, + 1 а=1

=:

2

7

В

В

в

У

и

Рз + 1-1 /.1/ш3 + 1

'И-

тЗ + 1 -1

Е ак,в,1 Хк (*)

к=Шо- +1

Й*.

Поскольку |ак>в>1| < рв+1 тв|ак-11 = тв+1|ак-11, снова применяя неравенство Гельдера и теорему Ф.Рисса - Хаусдорфа - Юнга, получаем

Рз + 1-1

в ^ Е т-1/? 1=1

Р(2) <

('в+1

тЗ+1-1

к=Шо- +1

<

<

Рэ + 1 -1 £ 1=1

'т,- + 1 -1

1/?

'т,- + 1 -1

1/?

т

1-1/Р

в+1

^ |ак Г < С1т1 1/Р ^ |акР

к=т,-

к=т,-

Из оценок (6)-(9) выводим, что при г > 7 + 1

г

' 1 /тг

т,- + 1 -1

ак Бк + 1 (*)

к=т,'

3-1 /тз + 1-1

Й* = Д + £ Р < C2m_1-^/p

в=0 \ к=т

1/?

£ |ак И <

т,- + 1 -1

1/?

< С^^ МТ |ак!’

к=ш,'

При г < 7 аналогично из (7)-(9) следует, что

' 1 / тг

тз+1-1

к=т,'

г-1

тз+1-1

1/?

<й = Е Р < Сзт;-17?

£ |ак |>

в=0

к=т,'

Пусть теперь п е [тк,тк+1). Полагая а, =0 при г > п, имеем в силу (10) и (10')

Г

1 / т г

п-1

У^а, (*)

г=0

Р 1 к /» 1

Й* < |ас| / |Б1 (*)| Й* + ^2

./0 3=0 71/т г

т,- + 1 -1

^ а, А+1 (*)

к /тз + 1-1

< |ас | + С4^ т^-1^ [ ^ |ак |? | < С5т^-1^ ( ^ |ак |

к=т,-

1/?

3=0

п-1 \ 1/?

1-1/? / N ' |а.I?

г

к=0

При 7 = 1/тГ, г е N, найдем г е , такое что 7 е [тг_11 ,тг 1). Тогда

'7

п-1

У^а, А+1 (*)

г=0

1/т

+1

п-1

У^а, Бг+1 (*)

г=0

Лемма доказана.

(9)

(10)

(10')

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть / е Ь1[0,1) и выполнено условие (3) при т = 1. Тогда 1пп £п(/)(ж) = /(ж)

п^те

п.в. на [0,1) и Нш |^п(/) — /Ц? = 0 при всех 0 < р < 1.

п^те

Доказательство. По определению

[Ап] 3-1

,А (/)(ж) — Sn (/)(ж) = ([Лп] — п +1) 1 ^ £/(к)Хк (ж).

3=п+1к=п

(11)

1

1

1

п

Благодаря преобразованию Абеля находим, что

3- 1 3- 2

^ /(к)Хк(ж) = ^ Д/(к)Бк+1 + /О' — 1)Бз(ж) — /(п)Бп(ж). (12)

к=п к=п

Меняя порядок суммирования и применяя лемму 1, получаем

[Ап]

|тп,А (/)(ж) — Sn(/)(ж)| < С1ж-1 (([Лп — п + 1])-1 ^ (|/(7 — 1)1 + |/(п)|) +

3=п+1

[Ап]-1 [Ап]

+([Лп — п+1])-1 ^2 ^ |Д/Л(к)|) = С1ж-1 (/1(п)+/2(п)). (13)

к=п 3=к+1

Ясно, что /1(п) ^ 0 при п ^ ° согласно аналогу теоремы Римана - Лебега (см., напр. [4, глава 4, теорема 4.2]). В свою очередь,

[Ап]-1

/2(п) < ([Лп — п + 1])-1 ^2 ([Лп] — к)|Д/(к)|

к=п

и из условия (3) следует, что при некотором Л > 1 и достаточно больших п имеем /2(п) < е. Учитывая доказательство леммы 3, получаем, что во всех точках ж = 0, в которых Нш стп(/)(ж) = /(ж),

п^те

верно равенство Нш Sn(/)(ж) = /(ж). Также из леммы 3 следует, что при каждом Л > 1 справед-

п^те

ливо равенство Нш ||тп А(/) — /||? = 0, 0 < р < 1, а из (13) при некотором Л > 1 получаем, что

п^те ’

Цтп,А(/)(ж) — Sn(/)(ж)Цр < е для всех п > п0(е). Из этих соотношений следует второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть / е Ь1[0,1) и выполнено условие (3) при т = 2. Тогда Нш Sn (/)(ж) = /(ж)

п^те

п.в. на [0,1) и Нш |^п(/) — /Ц? = 0 при всех 0 < р < 1/2.

п^те

Доказательство. Снова имеем равенство (11). Применяя дважды преобразование Абеля, находим,

что

3-1 3-з

^ / (к)Хк (ж) = ^ Д2/(к)(к + 1)Рк+1(ж) + Д/Ъ' — 2)(7 — 1)Р3-1(ж) —

к=п к=п

— Д/(п)пРп (ж) + /(7 — 1)^3 (ж) — /(п)Вп(ж).

Используя леммы 1 и 4, получаем (см. (12) и (13))

[Ап]

|Тп,А(/)(ж) — Sn (/)(ж)| < С1 ж-1/1(п) + С2ж-2(([Лп] — п + 1)-1 ^ (|Д/Ъ' — 2)| + | Д/(п)|) +

3=п+1

[Ап]-2 [Ап]

+([Лп] — п + 1)-1 ^ Е |Д2/(к)|) =: С1ж-1 /1(п) + С2ж-2(/4(п) + /5(п)). (14)

к=п 3=к+2

По аналогу теоремы Римана - Лебега /1(п) ^ 0 и /4(п) ^ 0 при п ^ °. Поскольку

[Ап]

/5(п) < Сз([Лп] — п + 1)-1 Е([Лп] — к)|Д2/(к)|,

к=п

из условия (3) следует, что Нш (тп А(/)(ж) — Sn(/)(ж)) =0 на (0,1). Вместе с леммой 3 это доказывает

п^те ’

первое утверждение теоремы. При 0 < р < 1/2 из (14) следует, что

I |тп,А(/)(ж) — Sn(/)(ж)|?Йж < С1/1(п)(1 — р)-1 + С2(/4(п) + /5(п))(1 — 2р)-1.

0

Последнее выражение стремится к нулю, откуда аналогично доказательству теоремы 1 получаем Нш |^п(/) — /Ц? = 0. Теорема доказана.

п—те

1 [Ап] т

Следствие 1. Если / е Ь1 [0,1) и Нш Ншэир ^ |Дт/(к)| = 0 при т = 1 или т = 2, то

А—1+0 п—те к=п

Нш Sn(/)(ж) = /(ж) п.в. на [0,1) и Нш |^п(/) — /||? = 0 при всех 0 < р < 1/т.

п—те п—те

2п

Следствие 2. Если / е Ь1[0,1) и Нш (п + 1)-1 ^ (2п — к + 1)|Дт/(к)| = 0 при т =1 или т = 2,

п—те

то верны оба заключения следствия 1.

к=п [Ап]

Теорема 3. Если / е Ь1 [0,1) и Н(Л,р) = Ншэир ^ к? 11Д/(к)|? конечно для некоторых Л > 1

п—те к=п

и р > 1, то условия (4) и (5) равносильны.

Доказательство. Сразу сделаем замечание: если Н(Л, г) конечно и г > р > 1, то Н(Л,р) тоже конечно. Это легко следует из неравенства Гельдера. Поэтому далее считаем, что 1 < р < 2 и пользуемся леммой 5. Пусть справедливо (5). Докажем, что

Нш Ишэир ||тп,А(/)(ж) — Sn(/)(ж)11 = 0.

А——1+0 п—►те

(15)

Тогда из леммы 3 будет следовать (4). Пусть Йп = ([Лп] — п + 1) 1. Из равенства (11) легко получается оценка

,ап [Ап] л [Ап]

^0(п) = |Тп,А(/)(ж) — ^(/)(ж)| Йж < Йп ^ ([Лп] — к + 1)|/Л(к)|< Йп ^ (16)

к=п+1

к=п+1

где последнее выражение есть о(1) в силу аналога теоремы Римана - Лебега. С другой стороны, согласно (12) имеем

Г1 Г1 Г1 [Ап]

/ |тп,А(/)(ж) — Sn(/)(ж)| Йж < / |/(п)Бп(ж)| Йж + / Йп| ^ /(7 — 1)Б(ж)| Йж+

3=п+1

+Йп

[Ап] 3-2

X! 5^Д/Л (к)Бк + 1 (ж)

3=п+1 к=п

Йж = 71 (п) + 72 (п) + 7з(п).

1/?

В силу (5) Нш 71 (п) = 0. Далее по лемме 5 (1/р + 1/# = 1)

п—те

/ [Ап] \ I [Ап]

•Ы») < МТ |/(7 — 1)|Ч = С Е |/ (7 — 1)|>

3=п+1 3=п+1

Отсюда в силу Нш / (п) = 0 получаем Нш 72(п) = 0. Наконец, меняя порядок суммирования, с

п—те п—те

помощью леммы 5 находим, что

7з (п) = Йп

[Ап]-2 [Ап]

X! Д/ (к)Бк+1(ж)

к=п 3=к+2

Йж =

1/?

[Ап]-2

^ ([Лп] — к — 1)Д/(к)Бк+1(ж)

к=п

1/?

Йж <

[Ап] [Ап]

< С1 ^п-1/ч | Е([Лп] — к — 1)?|Д/(к')|? I < С ((Л — 1)п)1/ч ПТ |Д/(к)Г I <

к=п к=п

[Ап]

1/?

< С1(Л — 1)1/ч РТ к?-11Д/(к)|

(17)

к=п

Из условия следует, что при Л, близких к 1, правая часть меньше е при всех п. Объединяя (16) и оценки для 71 (п), 72(п), 73(п), получаем (15).

1

а

1

1

а

а

Пусть теперь верно (4). Тогда по лемме 3 lim ||Sn(f) — тп л(f)У1 = 0. Используя обозначения,

n—те ’

введенные выше, имеем ||Sn(f) — Tn , л(f)|1 > J1(n) — J0(n) — J2(n) — J3(n) или

J1(n) < ||Sn(f) — Tn , л(f)||1 + Jo(n) + J2(n) + J3(n). (18)

Но при фиксированном Л первые три слагаемых в (18) стремятся к нулю при n ^ го, а последнее стремится к нулю при Л ^ 1 + 0 в силу (17). Таким образом, при некотором Л > 1 и достаточно больших n имеем J1(n) = fjn |f(n)Dn(x)| dx < e/2. С другой стороны J0dn |f(n)Dn(x)| dx < ndn|f(n)| ^ 0 при заданном Л > 1 и n ^ го, откуда /0 |f(n)Dn(x)| dx < e при n > n0(e), что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть f Е L1 [0,1), p > 1, и

[лп]

lim lim sup ^ kp-1|A/(k)|p = 0. (19)

л——1+0 n—— те ,

k=n

Тогда условия (4) и (5) равносильны.

Доказательство. Очевидно, из условия (19) следует условие теоремы 3.

Следствие 4. Пусть f Е L1[0,1), p > 1, и

n

lim n-1Vkp|a/(k)|p (20)

n—те /

k=1

существует и конечен. Тогда условия (4) и (5) равносильны.

2n

Доказательство. Из условия вытекает ограниченность (2n)-1 ^ kp |Af (k)|p и тем более

k = 1

2n

kp-11Af (k)|p. По теореме 3 получаем заключение следствия.

k=n

те

Следствие 5. Пусть f Е L1 [0,1) и для некоторого p > 1 ряд kp-11Af (k)|p сходится. Тогда

k = 1

условия (4) и (5) равносильны.

Замечание 1. Для pi = 2 следствие 3 доказано в [6].

Замечание 2. Тригонометрические аналоги теорем 1 и 2 можно найти в работе [7].

Замечание 3. Аналог следствия 5 для рядов по косинусам см. в [8], аналог следствия 3 для комплексных рядов с асимптотически четными коэффициентами можно найти в [9].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

Библиографический список

1. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и of derivative // Acta Math. Hung. 1977. V.29, № 1-2.

преобразования Уолша. М.: Наука, 1987. P. 155-164.

2. Moricz F. Walsh - Fourier series with coefficients of 6 Moricz F On L -convergence of Walsh - F°urier

generalized bounded variation // J. Austral. Math. Soc. series- I- // Rend- Qrc. Mat. Palerma Ser. 2. 1989. V.38,

Ser. A. 1989. V. 47, № 3. P. 458-465.

№ 3. P.411-418.

n r „ 7. Chen C.P. Pointwise convergence of trigonometric

3. Moricz F. On L -convergence of Walsh - Fourier . ,, T 0 0 „

series // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1987. V.43, № 2.

series. II. // Acta Math. Hung. 1991. V. 58, № 1-2.

P 203-210 . 9

8. Stanojevic C.V. Classes of L1-convergence of Fourier

4. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли ГМ., Рубин- and Fourier - Stieltjes series // Proc. Amer. Math. Soc.

штейн А.И. Мультипликативные системы функций и 1981 V 82 № 2 P 209-215

гармонический анализ на нуль>-мерных группах. Баку: 9. Stanojevic C.V. Tauberian conditions for L1 -conver-

3^ 1981. gence of Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1982.

5. Pal J., Simon P. On a generalization of the concept V.271, № 1. P. 237-244.