О сходимости многосеточного метода для эллиптических уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 3

Физико-математические пауки

2009

УДК 519.68

О СХОДИМОСТИ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

М.М. Карчевский

Аннотация

Рассматривается задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида. Доказывается сходимость мпогосеточпого итерационного метода решения указанной задачи. Метод, исследованный в работе, основан па использовании конформных конечных элементов и процедуры сглаживания Якоби.

Ключевые слова: линейное эллиптическое уравнение второго порядка, метод конечных элементов, мпогосеточпый итерационный метод, исследование сходимости.

Введение

Многосеточные методы принадлежат в настоящее время к наиболее экономичным способам численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Построению и исследованию различных вариантов многосеточных методов посвящена обширная литература (см.. например. [1 4]). К числу наиболее изученных с этой точки зрения принадлежат эллиптичесие уравнения с самосопряженными положительно определенными операторами второго порядка. Что касается уравнений с иесамомсопряжениыми операторами, то теория миогосеточных методов для этих задач развита значительно слабее. Отметим в этой связи монографию [2]. в которой изучался метод, основанный на симметризации конечноэлемент-ного оператора, а также [4. 5]. где рассматривались специальные варианты уравнения конвекции-диффузии (при доминирующей конвекции). В настоящей работе исследована сходимость двусеточного метода для общего эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида. Для аппроксимации краевой задачи используется конечиоэлементиый метод с произвольными конформными (вообще говоря, криволинейными) элементами. Из полученных в работе результатов стандартным образом выводится сходимость так называемого "\¥-цикла многосеточного метода со скоростью, не зависящей от Н (параметра триангуляции). Применяемая нами методика построения и исследования многосеточного метода наиболее близка к [3]. Отметим также, что что несколько менее общие результаты о сходимости многосеточного метода для эллиптических уравнений с несимметричными операторами другими методами получены в [б]1.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида

— ё1у(АУи + иЬ) + а • У и + а0и = /, х € О,

1К сожалению, эта работа стала нам известна в ходе оформления настоящей статьи.

П С R

n

u(x) =0, x £ Г, ограниченная область, n = 2, 3, Г - граница области 1

(2)

ческом пространстве векторов. Через Ь2(О) обозначаем гильбертово пространство со скалярным произведением

||и|| = (и,и)1/2, Нт(О) - пространство Соболева функций, имеющих обобщенные производные па О из Ь2(О) вплоть до порядка т > 1, Н^О) - подпространство Н ¿(О), получающееся замыканием линейного пространства гладких финитных на О функций в норме Н ¿(О).

Как обычно, под обобщенным решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию и € Нд(О), что

а(и, у) = / (ЛУи ■ V« + иЪ ■ V« + «а ■ Уи + а о и«)(х = (/,«) V V € Н^(О).

Будем предполагать, что матрица Л(х) симметрична при любом х € О и равномерно положительно определена, то есть

Будем предполагать также, что выполнены условия, обеспечивающие положительную определенность и ограниченность билинейной формы а на Н^(О):

ci, С2 = const > 0, ||u||i = |M|tfi(n)-

Оценки (3), (4), например, выполняются, если все коэффициенты a j, а^ hi принадлежат LTO(1), a0(x) > 0, x £ 1, авеличина ||а|^^(о) + 1|Ь||ьте(П) достаточно мала.

Условие (3) выполняется без ограничений на величину ||а|^те(п) + ||Ь||ьте(п)> если ai, h^ £ C q(1) , i = 1,..., n, a0 — div(a + h) > 0 на 1.

Известно (см., например, [7]), что при выполнении условий (3), (4) задача (1), (2) имеет единственное обобщенное решение u при любой правой части f £ ¿2(1), причем ||u||i < c||f||, c = const.

Наряду с задачей (1), (2) будем рассматривать сопряженную задачу, состоящую в отыскании функции u £ Hq(1), удовлетворяющей интегральному тождеству

a(v, u) = / (AVu • Vv + vh • Vu + ua • Vv + a0uv)dx = (f,v) Vv £ #¿(1). (5)

Понятно, что при выполнении условий (3), (4) задача (5) имеет единственное решение при любой правой части / € Ь2(О).

A(x)t • t > c0|t|2 Vt £ Rn, x £ 1, c0 = const > 0.

a(u,u) > cQ||u||2 Vu £ H01(1), |a(u,v)| < c2|u|i ||v|i Vu, v £ Я0(1),

(3)

(4)

n

В дальнейшем дополнительно к (3). (4) будем предполагать, что выполнены так называемые условия регулярности, то есть a,i, bi, aij, i,j = 1,... ,n, принадлежат C1^), Г - поверхность класса C2. Тогда (см., например, [7]) обобщенное решение задачи (1), (2) принадлежит пространству H2(Q), справедлива оценка

Mb < 4Jу,

где c = const. То же справедливо и для сопряженной задачи (5). Здесь и далее |Н|2 = |M|tf2(Q).

2. Метод конечных элементов. Свойства конечномерных операторов

Пусть Тн - правильная регулярная триангуляция области О, удовлетворяющая так называемому обратному предположению (см., например, [8, 9]). Пусть далее Ун С Н (О) - конечноэлементное пространство такое, что для любой функции и € Н2(О) существует функция ин € Ун такая, что2

||и — ик\\ 1 < еН\\и\\2- (6)

Предполагается также выполненным обратное неравенство

ИЬ < сН-1М VV € Ун. (7)

Лемма 1 (Обэн —Ннтше). Пусть выполнены условия регулярности задачи (1), (2), и € Н(О), V € Ун

а(и — v,w) = 0 Vт € Ун-

Тогда

\и — V! < сН\\и — V! 1. Доказательство леммы 1 можно найтн, например, в [8].

Ун

базис. Через Vй будем обозначать вектор координат функции V € Ун в выбранном базисе. Для регулярной триангуляции справедливы неравенства

с-1Нг^н • Vй < I у2д,х < cНnvн • Vй. (8)

п

Ун

ющих условиям (6) (8) можно посмотреть, например, в [8, 9].

Под приближенным решением задачи (1), (2) будем понимать функцию у € Ун такую, что

а(у, V) = (/, V) V V € Ун - (9)

Если условие (3) выполнено, то задача (9), очевидно, имеет единственное решение при любой правой части / € Ь2(О).

При исследовании многосеточного итерационного метода решения задачи (9) нам потребуются следующие вспомогательные результаты.

Лемма 2. Пусть у € Ун. Положим

п п а(У^ и и* а(Р,у) ,1Пч

Ы\2,н = вир , \ \ У \ 2 ,н = виР || || - (10)

уЕУн, У=0 ^У УЕУН, У=0

Нс ЦуЦ2,н < сЦуЦ2,н Vy € Ун- (И)

2Далее через с, сх,... обозначаются постоянные, не зависящие от параметра триангуляции Н.

Доказательство. По определению

а(у, V) — а(«, у) = У (а • Уу« — а • + Ь • — Ь • Уу«) ¿ж,

откуда, применяя формулу интегрирования по частям, а затем неравенство Коши Буняковского, получим

|а(у,«) — а(«,у)| < с||Уу|||М|, (12)

следовательно, ||у||* н < с(||у||2,н + ||Уу||)> причем вследствие условия (3) и неравенства Фридрихса для у = 0 имеем

е^гаы1 < с< с 8ир = сУу„2Л.

ИуМ ИУМ уеУн,

□

Введем в рассмотрение взаимносопряженные операторы Л, Л* : Ун ^ Ун, определяемые соотношениями

(Лу, «) = («, Л*у) = а(у,«) Vу,« е Ун. (13)

Положим Ло = (Л + А*)/2, Л1 = (Л —Л*)/2.

Лемма 3. Справедливы, неравенства

71 (у, у) < (Лоу, у) <72 (у, у) Vу е Ун, (14)

1|Л1| <7э, (15)

где 71= сь 72= с2Л,-2, 7з= сз^,-1.

Доказательство. Неравенства (14) непосредственно вытекают из очевидного тождества

(Л1у,у) = 0 Vy е Ун,

оценок (3), (4) и обратного неравенства (7). Неравенство (15) получается последовательным применением (12), (7). □

Введем в рассмотрение оператор 1н : Ун ^ Ун при помощи тождества (1ну,«) = ^ун • Vй Vу,« е Ун.

Ун

скую норму оператора 1н:

1|у|?ь = (1ну,у) Vу е Ун.

Вследствие (8) справедливы оценки

71(у,у)/ь < (1-1Лоу,у)/ь < 72(у,у)/ь Vу е yн, 11^11к < 73,

где 71 = С1, 72 = с2Л.-2, 73 = с3^-1, постоянные С очевидным образам определяются по с^ и с из оценок (8).

Лемма 4 [10, с. 290]. Пусть т0 = т0(1 — кр0), где

2 73 _1 — С т 1 — к 71

то = —;-' к = /9 = > Ро = —> С = ^---•

71 + 72 у 73 + 7172 1 + С 1 + к 72

Тогда ||Е — то/-1ЛУ < Р0 < 1, г<?е Е - единичный оператор. Лемма 5. Если ||Е — тА|| < 1, в е [0,1], то ||Е — втА|| < 1. Доказательство немедленно вытекает из представления

Е — втА = (1 — в)Е + в(Е — тА). Лемма 6. Пусть т 1 = т0/2. Тогда для любого целого V > 1

||1-1А(Е — т^А)"||д < 1/т1 (16)

Доказательство. Положим В = Е — 2т 11—1А = Е — т01—1А. Тогда 1-1А = (2т 1)-1(Е — В), Е — Г1/-1А = 2-1(Е + В),

/-1А(Е — т 1/-1А)" = т-12-("+1)(Е — В)(Е + В)",

причем ||В||/ь < 1. Покажем, что ||(Е — В)(Е + В)^< В соответствии

с теоремой Неймана (см.. например. [11, с. 461] ) для этого достаточно установить,

что

max |(1 - z)(1 + z)v| <

|z| = 1

Полагая z = |(1 - z)(1 + z)v|2 = 2V+1(1 - cosy>)(1 + cosДалее

нетрудно убедиться, что

2^+1

max (1 - t)(1 + t)v = —-——+7 < 2v+1/ev.

Замечание 1. Доказательство леммы 6 совпадает в основном с доказательством леммы Реускена (см. [3, 4, 6]), однако использование техники гильбертовых пространств позволило нам несколько улучшить оценку нормы оператора I— 1A(E - т 1I— 1A)V. Как известно (см., например, [3, 4, 6]), существенное улучшение оценок типа (16) достигается в случае, когда A = A*, то есть при 7з = 0. Действительно, в рассматриваемой нами ситуации это приводит к тому, что B = B* в энергетическом пространстве оператора Ih, и поскольку ||B||1h < 1, то sp(B) С (-1,1), следовательно,

||(E - B)(E + B)v||ih = max (1 - t)(1 + t)v < 2v+1/ev.

tesp(B)

Таким образом, при A = A*

||I-1A(E - т 1I--1A)Vhh < 2/Toev.

3. Многосеточный метод. Исследование сходимости

Опишем и исследуем сначала так называемый двусеточный метод решения задачи (9). Введем в рассмотрение триангуляцию Тн1 облает и О такую, ч то Ун1 С Ун.

Тн

ангуляции Тн1 ■ В дальнейшем будем полагать, что

Н1 < сН. (17)

у0 € Ун

строим последовательность приближений у1, у2,... € Ун по следующему правилу.

1. Если ук уже найдено, положим ук'0 = ук и вычислим ук'\ V > 1 (используя итерационный метод Якоби) при помощи соотношений

ук,з+1 = ук,1 — от 11-1(Лук'1 — /н), 3 =0,1,...^ — 1. (18)

Здесь 0 € (0,1], /н € Ун и определяется при помощи тождества

(/н^) = (/^) VV € Ун.

2. Найдем т € Ун1, решив уравнение

а(ук'" + т^) = (/^) V V € . (19)

3. Положим ук'0 = ук+ т и вычислим ук'^, ^ > 0 при помощи соотношений

Ук,,+1 = ук,1 — 0т01-1(Лук'1 — /н), 3 =0,1,...,и — 1. (20)

4. Положим ук+1 = ук'^.

Замечание 2. Матрица оператора 1н диагональна в выбранном выше базисе пространства Ун, поэтому ук,\ ук'^ находятся по явным формулам. Предполагается, что система уравнений (19) относительно координат функции т в некотором

Ун1

Замечание 3. При организации многосеточного метода уравнение (19), в свою очередь, решается при помощи описанного итерационного метода с переходом на более крупную сетку (подробнее см., например, [1 6]).

Теорема 1. Существует такое V > 1, что

\\ук+1 — у\\< ч\\ук — у1 (21)

где у - решение задачи (9), ц € (0,1) - постоянная, не зависящая от Н.

Ун1 С Ун

а(ук>" + т — у, V) = 0 V V € Унп. (22)

Вследствие (3)

\\ук'и + т — у\\2 < са(ук,и + т — у, ук,и + т — у). Используя (22), получим, что

а(ук,и + т — у, ук,и + т — у) = а(ук,и + т — у, ук,и — у)

и потому (см. (10))

||yfc'v + w - y||2 < c||yfc'v + w - y||||yfc'v - .

Вследствие леммы 1

||yfc'v + w - y|| < ch||yfc'v + w - y|1,

поэтому

||yfc'v + w - y||1 < ch1|yfc'v - , откуда, вновь применяя лемму 1. а затем (11). (17), получим что

||yfc'v + w - y|| < ch2||yfc'v - y||2,h. (23)

Применяя последовательно (10), (13), (18), (8), (16), находим, что

||/'v - y||2,h < ||A(E - 07 1I-1A)V(yk - y)|| <

< c|I-1A(E - 071I--1A)V|ih- У|| < (c/TTVeV)|yfc - y||. (24) Из (20), очевидно, вытекает, что

yk+1 - y = (E - 07oI-1A)M(yfc'v + w - y).

Используя леммы 4, 5, отсюда получаем неравенство

|yk+1 - y|k <|yfc'v + w - y|ih

п. следовательно.

|yk+1 - y||< c||yfc'v + w - y||. (25)

Таким образом, на основании (23) (25) получаем

|yk+1 - y|| < (ch2/TTVeV)|yfc - y||.

Для завершения доказательства теоремы осталось заметить, что

h2 2h2 2h2 h2(71 + 72) C1h2 + C2

— = ---- < ---- = - = --: < const .

т 1 7o(1 - кро) 7o(1 - к) 1 - к 1 - сз/^сЗ + с1с2

Построение и обоснование сходимости так называемого W-цикла многосеточного метода решения задачи (9) может быть проведено далее на основе теоремы 1 стандартным образом (см., например, [3, 4, 6]).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 09-01-00814, 09-01-97015).

Summary

М.М. Karchevsky. Он Convergence of Mult.igrid Method for Elliptic Equations of Second Order.

The Diriclilet. problem for the general elliptic equation of second order in divergence form is considered. Convergence of the mult.igrid method for solving this problem is proved. The method investigated in the article is based 011 the application of conform finite elements and Jacobi smoother procedure.

Key words: linear elliptic equation of second order, finite element method, mult.igrid method, convergence research.

Литература

1. Hackbusch W. Multi-Grid Methods and Applications. Berlin: Springer. 1985. 377 p.

2. Шайдуроа B.B. Мпогосеточпые методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. 288 с.

3. Bracss D. Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. Berlin: Springer, 2003. 342 S.

4. Ольшанский M.А. Лекции и упражнения по мпогосеточпым методам. М.: Физмат-лит, 2005. 176 с.

5. Ольшанский М.А. Анализ мпогосеточпого метода для уравнения конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Жури, вычисл. матем. и матем физ. 2004. Т. 44, .V' 8. С. 1462 1491.

6. Reusken A. Introduction to multigrid methods for elliptic boundary value problems // Multiscale Simulation Methods in Molecular Sciences. NIC Series / Eds. J. Grotendorst, N. At.tig, S. Bliigel, D. Marx. Jfiulicli: Institute for Advanced Simulation, Forschungszentrum Jiiulich, 2009. V. 42. P. 467 506. URL: http://www.fz-juelich.de/uic-series/volume42/reusken.pdf, свободный.

7. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408 с.

8. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

9. Даутоо Р.З., Карчеоский М.М. Ведение в теорию метода конечных элементов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2004. 239 с.

10. Самарский ^4.^4., Николаса E.G. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука,

1978. 592 с.

11. Рисс Ф., Сёксфалыт-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир,

1979. 588 с.

Поступила в редакцию 09.06.09

Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики Казанского государственного у пиверситета.

E-mail: Mikhail.KarchevskyQksu.ru