CC BY
25
Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/ Том 7, №3 (2015) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol7-3 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/73TVN315.pdf DOI: 10.15862/73TVN315 (http://dx.doi.org/10.15862/73TVN315)
УДК 530.1
Кочетков Андрей Викторович
ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Россия, г. Пермь1 Профессор Доктор технических наук E-mail: soni.81@mail.ru
Федотов Петр Викторович
ООО «Научно-технический центр технического регулирования»
Россия, г. Саратов Инженер E-mail: klk50@mail.ru
О самопроизвольных процессах механических систем
1 410022, г. Саратов, ул. Азина, д. 38 «В», кв. 4
Аннотация. В современной литературе по теоретической механике принято рассматривать только гамильтоновы механические системы тел. В статье, показано, что гамильтоновы механические системы неявно предполагают, что такие системы состоят исключительно из идеальных тел. Реальные тела имеют принципиальное отличие, от идеальных тел состоящее в том, что в реальных телах скорость распространения механических возбуждений конечна. Значит при ударах в течение короткого времени взаимодействия механическое напряжение распространяется не на все тело, а только на его часть. Именно эта часть и реагирует на механический удар, остальная часть тела сохраняет состояние движения, имеющегося у тела до удара. Это в свою очередь, приводит к тому, что при ударе наблюдается не полная передача ударного импульса, а частичная. Описанная ситуация влечет за собой необходимость дополнить теорию удара реальных тел дополнительными уравнениями и введение дополнительного коэффициента передачи при ударе.
Также показано, что система реальных тел при ударах не подчиняется уравнениям Гамильтона, т.е. являются негамильтоновыми механическими системами, не рассматриваемыми в современной научной и учебной литературе. Для негамильтоновых механических систем не распространяется действие теорем Лиувилля и Пуанкаре. Для них имеются состояния устойчивого динамического равновесия, а также самопроизвольное движение системы к состоянию устойчивого равновесия.
Ключевые слова: механический удар; гамильтоновы механические системы; теорема Лиувилля; коэффициент передачи импульса при ударе; коэффициент возвращения; негамильтоновы механические системы; устойчивое равновесие механических систем.
Ссылка для цитирования этой статьи:
Кочетков А.В., Федотов П.В. О самопроизвольных процессах механических систем // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №3 (2015) http://naukovedenie.ru/PDF/73TVN315.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. DOI: 10.15862/73ГУТО15
В механике известен «принцип минимума потенциальной энергии, состоящий в том, что из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям в перемещениях, в действительности реализуются те из них, для которых потенциальная энергия минимальна» [1, с. 622]. Согласно этому принципу, любое тело, находящееся в положении неустойчивого равновесия стремится спуститься вниз в область минимума потенциальной энергии, но не может самопроизвольно подняться вверх. Т.е., для механических систем, обладающих потенциальной энергией, существуют самопроизвольные однонаправленные процессы. Для механических систем, не обладающих потенциальной энергией, а имеющей только кинетическую энергию существование подобного принципа не установлено. Т.е., если механическая система имеет только кинетическую энергию, то для неё не должно существовать самопроизвольных процессов перехода от неустойчивых состояний к устойчивым. Исключение составляют механические системы с диссипацией тепла. В любой механической системе при наличии трения часть механической энергии необратимо переходит в тепло, и в течение достаточного количества времени вся механическая энергия самопроизвольно переходит в тепло, механическое движение системы останавливается. Обратный же процесс (переход тепла в механическую энергию) самопроизвольно не возможен.
Будем в основном рассматривать системы без диссипации (превращения) механической энергии в тепло и покажем, что в реальности, для систем обладающих исключительно кинетической энергией существует принцип, аналогичный принципу минимума потенциальной энергии, и в таких механических системах идут самопроизвольные однонаправленные процессы. Оговоримся, что подобные процессы возможны не во всех механических системах, а только в системах, обладающих определенными свойствами. Такие механические системы в современной механике не рассматриваются, а потому и не существует принципа о самопроизвольных направлениях процессов в таких системах.
Для начала рассмотрим механические системы, которые присутствуют в современной механике и определим, почему для них невозможны однонаправленные процессы.
В наиболее общем виде отсутствие однонаправленных процессов в механических системах сформулировано в виде следствия теоремы Лиувилля: «В гамильтоновой системе невозможны асимптотически устойчивое положение равновесия и асимптотически устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве» [2, с. 67]. Механизм реализации невозможности предельных циклов гамильтоновой системы показывается в виде «Теоремы о возвращении» доказанной Анри Пуанкаре: «Если оставить в стороне некоторые исключительные траектории, реализация которых маловероятна, можно доказать, что система бесконечное число раз вернется сколь угодно близко к своему начальному положению»[3, с. 639].
Пуанкаре формулировал свою теорему для задач небесной механики, поэтому исключал некоторые траектории из рассмотрения, впоследствии теорему Пуанкаре распространили на общий случай динамических систем, в которых не исключаются все возможные траектории, в современном виде теорема Пункаре формулируется примерно так: «Пусть Т - сохраняющее меру преобразование пространства Лебега (X, и пусть А е X -
измеримое множество. Тогда для любого N еМ имеем е А| \гп (х)}^^ е X \ А})= 0 » [4,
с.152].
Причем действие теоремы Пуанкаре распространяется на любую механическую систему без исключений.
Формулировки и доказательства теоремы Пуанкаре первоначальном виде в работе Пуанкаре «Новые методы небесной механики» [5, с. 139], тем более в современной литературе, хотя и обладают необходимой строгостью, но очень сложны для понимания людям, не имеющим основательной математической подготовкой, а также затемняют сущность происходящих физических процессов. Поэтому рассмотрим процессы, происходящие в механической системе на простых примерах. Покажем, что для выбранных механических систем доказательства будут достаточно строгие без сложных математических манипуляций. Хотя и не имеют доказательств всеобщности, как абстрактные математические доказательства.
Рассмотрим пример простейшей гамильтоновой системы. Два шарика ударяющихся по законам упругого центрального удара. Чтобы процесс был многократным поместим шарики в ящик с абсолютно упругими стенками (рис. 1). Для простоты рассмотрим числовой пример, примем, что шары имеют массы щ = щ. Начальные скорости V = 5 и \2 = -3 .
Рис. 1. Конфигурация системы до первого удара (рис. авторов)
В результате удара шары разлетятся в разные стороны и получат при этом новые значения скоростей (см. рис. 2).
1111 Ш2
Рис. 2. Конфигурация системы после первого удара (рис. авторов)
По известным формулам теории абсолютно упругого удара [6, с. 69], в случае если массы шаров одинаковые, а система недиссипативная:
Щ = V и щ2 = V . (1) Получим скорости шаров после удара щ = у2 = -3 и щ = V = 5 .
При отражении (упругом) от стенок знак векторов скоростей поменяется на противоположный (см. рис. 3). Но величины скоростей останутся прежними, т.е.:
V = —щ = 3, а у'2 = -щ = -5 .
11Ц
1112
>
<
Рис. 3. Конфигурация системы после первого удара и первого отражения (рис. авторов)
После второго удара значения скоростей вновь поменяются. По тем же формулам центрального удара получим и" = V" = -5 и и" = V" = 3 .
После второго отражения от стенок знаки векторов скоростей снова поменяются, и окончательно получим V" = -и" = 5 и V" = -и" = -3 . Легко заметить, что у" = V = 5 и V" = V = -3 . Т.е. система вернулась к первоначальному состоянию, а шары после двух ударов и двух отражений от стенок получили те же самые скорости, которые они имели в начальный момент времени. Этот цикл при отсутствии трения и потерь на тепло (а именно такими свойствами и обладают гамильтоновы системы) будет повторяться вечно, т.е. через некоторое количество актов соударения и отражения от стенок шары будут иметь тоже значение скорости как в начале и проходить через те же самые координаты, в которых они находились в начальный момент времени.
Усложнение конфигурации системы, увеличивая количества шаров, и допуская, не только центральные, но и косые удары приведут только к усложнению расчетов, но согласно доказательствам теоремы о возвращении система всегда будет возвращаться к исходному состоянию, и будет проходить это исходное состояние многократно.
Важно отметить, что система будет проходить многократно не только через исходное состояние, но и через любое другое состояние. В нашем примере состояния системы два: в первом состоянии набор скоростей по модулю составляет пару 4 и 5, во втором состоянии набор скоростей 5,2 и 4,2. Система из двух шаров будет бесконечно переходить из одного состояния в другое, причем ни одно из этих состояний не является предпочтительным.
Об этом и говорит следствие теоремы Лиувилля, приведенное на с. 1: «В гамильтоновой системе невозможны асимптотически устойчивое положение равновесия и асимптотически устойчивый предельный цикл» [2, с. 67].
Для неупругого удара при значении коэффициента восстановления 0 < к < 1, система соударяющихся шаров теряет часть кинетической энергии при каждом ударе. Потери кинетической энергии системы определяется по формуле [7, с. 416]:
Теряя, т.о. при каждом ударе кинетическую энергию, система в конце концов придет к полной остановке. В данном случае наблюдается асимптотическое приближение к состоянию устойчивого равновесия, при котором все скорости частей системы равны нулю, но система соударяющихся шаров по законам неупругого удара не является гамильтоновой системой. Т.к. гамильтонова система - это динамическая система без диссипации энергии. При неупругом ударе часть энергии диссипирует (превращается) в тепло.
Никаких других механических систем современная наука не рассматривает. Однако существует целый класс механических систем, которые хотя и являются консервативными,
(2)
тем не менее имеют асимптотические решения переходов системы к устойчивым состояниям и не только к состоянию неподвижности.
В предыдущей статье [8] авторы приводили доводы в пользу того, что взаимодействие реальных тел при ударах отличается от взаимодействия идеализированных тел, рассматриваемых в современной теоретической механике. В современной физике тела предполагаются абсолютно бесструктурными, причем скорость распространения механических возмущений по умолчанию считается бесконечно большой. Другими словами, неявно предполагается, что механические возмущения распространяются в телах мгновенно. В реальных телах это не так. Скорость распространения механических возмущений равна скорости звука в материале данного тела. Скорость звука в твердых тела порядка нескольких тысяч м/с, поэтому при медленном нагружении ее можно не учитывать, считая, что механические напряжения распространяются мгновенно. При ударе это совсем не так. Время контакта при ударе очень мало, поэтому механические напряжения не успевают распространится на все тело, и в напряжения вызванные силами при ударе воспринимаются не всем объемом тела, а только некоторой областью прилегающей к месту контакта. В этом состоит причина контактных разрушений при ударах. Когда материал разрушается в месте контакта от ударных воздействий намного ниже предела прочности при медленном нагружении.
«Механические характеристики металлов при динамическом нагружении существенно
отличаются от характеристик, полученных при статическом нагружении.....На изменение
механических свойств металла в поверхностных слоях большое влияние оказывает скорость удара» [9, с. 6].
«При очень высоких скоростях начинают проявляться новые явления, практически отсутствующие при меньших скоростях: волновые процессы; инерционное сопротивление; взрыв при высокоскоростном соударении (при запороговых скоростях)» [10, с. 216].
Основной вывод, который должен быть понят, это то, что при ударе, в отличие от статического нагружения, в механическое взаимодействие вступает не весь объем тела, а некоторая часть, прилегающая к месту контакта (см. рис. 4). Эта часть тем меньше, чем меньше площадь контакта, скорость звука (в материале) и время механического воздействия (удара).
Рис. 4. Области механических напряжений при ударе (А1 и А2) (рис. авторов)
Если при ударе механическое воздействие распространяется только на ограниченную область тела, то и импульс передает не все тело массой m, а только его некоторая часть:
щД = кПщ, (3)
где кп - коэффициент передачи импульса при ударе, причем 0 < кп < 1.
При ударе импульсами обмениваются только части соударяющихся тел, а импульс остальных частей тел остается прежним. После удара оказывается, что часть действующих масс тела получает новый импульс (и скорость) в результате удара, а остальная часть имеет
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №3 (май - июнь 2015)
http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru
прежний импульс, так, как будто, никакого удара не было вовсе. Это приводит и к волновым процессам возбуждений, и к тому, что общий импульс тела становится алгебраической суммой импульсов:
ту = шдун + (ш - тд У . (4)
Здесь т - масса тела;
шд - частичная масса тела, принимающая участие в процессе удара;
(ш - шд ) - масса тела не принимающая участие в процессе удара;
ун - скорость, полученная в результате обмена импульсов;
ус - скорость тела до удара.
Подставляя (3) в (4) и сокращая общие члены, получим:
у = кпун + (1 - кп)ус . (5)
В случае частичного реагирования тел на удар, с применением коэффициента передачи импульса при ударе или просто коэффициента передачи к , скорости тел после удара будут определяться не по уравнениям (1), принятым в современной литературе, а по уравнениям:
и1 = кПу2 ±(1 - кП )у1 (6)
Щ2 = кПУ1 ±(1 - кП К
Знак плюс означает, что удар попутный: вектора скоростей направлены в одну сторону, более быстрое тело нагоняет медленное. Знак минус означает, что удар встречный - вектора скоростей направлены навстречу друг другу.
Первое, что необходимо отметить, что закон сохранения импульса выполняется строго, так складывая скорости после удара получим:
Щ1 + Щ2 = кП У2 +(1 - кП )У1 + кП У1 +(1 - кП )У2 = У1 + У2 .
Второе, в системе подчиняющейся уравнениям (6) нет диссипации (потерь) энергии, т.е. система консервативна.
Посмотрим, что дает замена уравнений (1) на уравнения (6).
Возьмем тот же пример с двумя шарами в закрытом ящике. Т.к., имеем случай встречных ударов, то необходимо взять уравнения (6) со знаком минус.
В начальный момент времени у = 5 и у2 = -3. Значение коэффициента передачи примем кп = 0,8 .
После первого удара получим:
щ = кпу2 - (1 - кя)у = 0,8 • (- 3) - 0,2 • 5 = -3,4, щ = к у-(1 - кя )у2 = 0,8 • 5 - 0,2 •(- 3)= 4,6.
После отражения знаки векторов скоростей поменяются на обратные, получим:
у' = -щ = 3,4 и у'2 = -щ = -4,6 . Подставляя в (6), получим значения скоростей после второго удара:
и" = кпк2 -(1 - кя X = 0,8 •(- 4,6)- 0,2 • 3,4 = -4,36, и" = кп^ - (1 - кя V = 0,8 • 3,4 - 0,2 • (- 4,б) = 3,64.
После очередного отражения получим v12= 4,36 и V" = -3,64 .
Сравнивая с первоначальными значениями скоростей видим, что при каждом ударе модуль большей скорости уменьшается, в конкретном случае, принимая значения 5; 4,6; 4,36 и т.д. Модуль меньшей скорости увеличивается, в конкретном случае принимая значения 3; 3,4; 3,64 и т.д. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока модули скоростей не сравняются. Когда модули скоростей будут равны среднему значению Уср, а знаки при этом будут разными, то по формулам (6) будем иметь:
и1 =-кПVср -(1 - кп Кр =-и2 = кП Кср +(1 - кП Уср = V
ср
(7)
Здесь и[ и и'2 - скорости 1-го и 2-го тел, после /-го удара.
При ударах будут меняться только направления движения тел, но не модули скоростей. Состояние системы, когда модули скоростей станут равны среднему от первоначальных скоростей по модулю это состояние устойчивого равновесия системы. Причем к состоянию этого равновесия система приходит самопроизвольно, а выйти из этого состояния она может только под внешним воздействием и никогда самопроизвольно.
Следует отметить, что суммы модулей скоростей остается постоянной за все время существования системы. Если первоначально сумма + |к2| = 5 + 3 = 8, после первого удара
К| + V"| = 3,4 + 4,6 = 8, после второго - К" + | = 4,36 + 3,64 = 8 и т.д. Закон сохранения импульса выполняется строго, а потерь (диссипации) энергии нет. Рассмотрим другой пример. Двойной маятник (см. Рис. 5).
Рис. 5. Двойной маятник (рис. авторов) Оттянем левый шар на угол а и отпустим (см. рис. 6).
Рис. 6. Начальное движение двойного маятника (рис. авторов)
Этот опыт часто показывают для демонстрации закона передачи импульса. Причем согласно современной теории удара, импульс первого тела полностью передается второму телу, и соответственно, если массы шаров равны, то после удара первый шар остановится, а второй начнет двигаться в ту же сторону и с той же скоростью (см. рис. 7).
Рис. 7. Движение двойного маятника после удара (согласно современной теории)
(рис. авторов)
Согласно предложениям авторов данной статьи, импульс от первого тела ко второму передается не полностью, а частично. Скорости тел после удара определяются не по уравнениям (1), а по уравнениям (6). Для конкретного расчета примем начальную скорость первого тела у = 5, скорость второго тела, естественно у = 0. Значение коэффициента передачи кп = 0,8 . Скорости шаров после удара будут следующие:
щ = кПУг + (1 - кя )у = 0,2 • 5 = 1,
Щ = ку + (1 - кя У = 0,8 • 5 = 4.
Импульс первого тела не полностью передается второму телу, поэтому второе тело движется со скоростью меньшей, чем двигалось первое тело до удара. Во-вторых, первое тело не останавливается, а продолжает движение в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Это происходит потому, что некоторая часть тела (1 - кп ) не участвовала в передаче импульса и у этой части тела импульс сохранился прежний. Конфигурация системы двойного маятника после удара будет не согласно рис. 7, а согласно рис. 8.
Рис. 8. Движение двойного маятника после удара (согласно предлагаемой теории)
(рис. авторов)
Рассмотрим колебания двойного маятника при условии, что все колебания малые.
Для малых колебаний маятника известно явление изохронности колебаний, состоящее в том, что период колебаний не зависит от амплитуды. В этом случае оба шара (маятника) одновременно достигнут крайней точки и одновременно начнут обратное движение к средним точкам. Векторы скоростей поменяют свои знаки.
При этом они одновременно достигнут положение равновесия, и скорости их будут такими же как и при первом ударе, но с обратным знаком. Векторы скоростей будут одного знака, удар будет попутным, а не встречным, то в системе уравнений (6) необходимо ставить знак плюс. Учитывая, что знаки скоростей поменяются на противоположные, то:
К = -щ = -1, К2 = -и2 = -4.
Подставляя полученные значения получим после второго удара:
1 = кПК2 + (1 - кя V = -0,8 • 4 - 0,2 • 1 = -3,4, " = кК + (1 - кя V =-0,8-1 - 0,2 • 4 = -1,6.
Аналогично, после третьего
" = кпКг + (1 - К К = 0,8 • 1,6 + 0,2 • 3,4 = 1,96, "" = кя< + (1 - кя = 0,8 • 3,4 + 0,2 • 1,6 = 3,04.
Заметим, что суммы модулей скоростей системы остается постоянной
+ |к| = 5 + 0 = 5 ;
К | + V" | = 1 + 4 = 5; К| + К | = 3,4 +1,6 = 5; \v22\ + |v22 = 1,96 + 3,04 = 5 . А закон сохранения импульса продолжает действовать:
щ + щ = V + ^ = 5 + 0 = 1 + 4,
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №3 (май - июнь 2015)
http://naukovedenie.ru publishing@naukovedenie.ru
u" + u" = vi + v" = -1 - 4 = -3,4 -1,6, u" + u"2 = vi + v"2 = 3,4 +1,6 = 1,96 + 3,04 .
Но при всем этом значения скоростей сближаются по величине, т.е. максимальное начальное значение уменьшается, проходя ряд значений 5; 4; 3,4; 3,04; и т.д. Минимальное значение скорости увеличивается, проходя значения: 0; 1; 1,6; 1,96 и т.д. Легко догадаться, что в конце концов скорости сравняются по величин и станут равными v . При этом
изменение значения скоростей прекратиться, т.к. согласно системе уравнений (6):
U1 = кП vcp + (1 - кП Уср = vcp (кП + 1 - кП )= vcp U2 = кП Vcp + (1 - кП )vcp = Vcp (кП + 1 - кП )= Vcp .
Т.е., система достигнет динамического равновесия, из которого самопроизвольно, без внешнего воздействия она уже не выйдет.
В положении динамического равновесия системы двойного маятника, шары будут качаться синхронно, с одинаковыми скоростями и амплитудами (см. рис. 9), причем никаких ударов при этом не будет.
Рис. 9. Двойной маятник в двух крайних положениям, при динамическом равновесии системы
(рис. авторов)
Приведенные рассуждения для двойного маятника легко проверяется на опыте. Экспериментальная проверка полностью подтверждает утверждение, о том, что реальные тела при ударе не полностью передают свой импульс, а только частично. Для любого маятника, имеющего два или больше шара на нитях, шары, прежде чем полностью остановится, долго качаются синхронно.
В реальных телах при ударе наблюдается не только перераспределение импульса, но также и процессы диссипации энергии, путем перехода в тепло части начальной механической энергии.
Указываемый в справочниках «коэффициент возвращения» тел при ударе, на самом деле состоит из двух коэффициентов: из коэффициента передачи импульса (перераспределения скоростей) и коэффициента диссипации энергии:
к — кц ^ ^д .
Указанный в научной и учебной литературе коэффициент возвращения необходимо дополнить.
Выводы:
1. В теоретической механике до сих пор рассматриваются только идеальные твердые тела. В которых, по умолчанию не учитывается конечная скорость распространения механических напряжений.
2. В реальных твердых телах скорость распространения механических напряжений конечна и равна скорости звука в материале твердого тела.
3. Конечность скорости распространения механических напряжений имеет решающее значение при ударных (импульсных) механических воздействиях. Т.к. за короткое время удара механическое возбуждение не успевает охватить все тело, а распространяется только на часть его.
4. В связи с вышеизложенным, в процессе передачи импульса при ударе участвует не все тело, а только его часть, на которую распространилось механическое возбуждение. Остальная часть тела сохраняет свое состояние движения, так как будто никакого воздействия не было.
5. Математически такая ситуация может быть описана введением дополнительного коэффициента перераспределения (передачи) скоростей при ударе, или просто коэффициентом передачи.
6. Коэффициент передачи зависит не только от размеров и материала тела (скорости звука в материале), но и от длительности механического воздействия (скорости удара).
7. Приводимый в учебной и научной литературе коэффициент возвращения при ударе, определяемый экспериментально, зависит не только от диссипации энергии (перехода в тепло), но и от коэффициента передачи. Коэффициент возвращения является суммой коэффициента передачи и коэффициента диссипации.
8. Система реальных тел при ударных воздействиях внутри системы не подчиняется уравнениям Гамильтона, т.е. являются не гамильтоновыми. Т.к. кроме потенциальной и кинетической энергии, учитываемых в уравнениях Гамильтона, при взаимодействии реальных тел проявляется еще и внутренняя механическая энергия тел. Эта энергия проявляет себя в виде механической деформации тел, внутренних колебаний и т.д.
9. Т.к. система реальных тел при ударных взаимодействиях не является гамильтоновой, то для них не выполняются условия существования теорем Лиувилля и теоремы о возвращения Пуанкаре.
10. В отличие от систем идеальных тел (гамильтоновых) в системах реальных тел наблюдается спонтанное (самопроизвольное) движение системы к состоянию устойчивого равновесия. Причем по достижении устойчивого состояния система не может самопроизвольно выйти из этого состояния.
ЛИТЕРАТУРА
1. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости: Учебное пособие. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1981. - 688 с.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - 3-е изд. - М.: Наука, 1989. - 472 с.
3. Пуанкаре А. Избранные труды, том 3. - М.: Наука, 1974. - 771 с.
4. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. - М.: Из-во «Факториал». 1999. - 768 с.
5. Пуанкаре А. Избранные труды, том 2. - М.: Наука, 1972. - 999 с.
6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1977. - 944 с.
7. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1986. - 416 с.
8. Кочетков А.В., Федотов П.В. Некоторые вопросы теории удара // Интернет-журнал «Науковедение», 2013. №5(18) [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://naukovedenie.ru/PDF/110tvn513.pdf, свободный.
9. Виноградов В.Н., Сорокин Г.М., Албагачиев А.Ю. Изнашивание при ударе. - М.: Машиностроение. 1982. - 192 с.
10. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В двух частях. Часть первая. Деформация и разрушение. - М.: Машиностроение, 1974. - 472 с.
Рецензент: Кокодеева Наталия Евсегнеевна, доктор технических наук, профессор, ФГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».
Kochetkov Andrey Viktorovich
Perm national research polytechnical university
Russia, Perm E-mail: soni.81@mail.ru
Fedotov Petr Viktorovich
JSC Research Center of Technical Regulation
Russia, Saratov E-mail: klk50@mail.ru
Modern representations and interpretations of a magnetogravitational field
Abstract. In modern literature on theoretical mechanics is usually considered only Hamiltonian mechanical system of bodies. In article it is shown that mechanical Hamiltonian system implicitly assume that such systems are made up exclusively of ideal bodies. Real bodies have a fundamental difference from ideal body consisting in the fact that the real bodies the propagation velocity of the mechanical excitation is finite. So when striking, in a short time interaction strain does not extend to the entire body, but only a part of it. It is this part and responds to mechanical shock, the rest of the body maintains a state of movement, available to the body before impact. This in turn leads to the fact that when there is not a complete stroke of shock pulse transmission and partial. This situation entails a need to supplement the theory of impact of real bodies additional equations and the introduction of additional gain on impact.
It is also shown that system of real bodies in collisions are not subject to the Hamilton equations, ie, non-Hamiltonian mechanical systems are not considered in modern scientific and educational literature. For non-Hamiltonian mechanical systems not covered by theorems of Liouville and Poincare. For them, there is a state of stable dynamic equilibrium and spontaneous motion of system to a state of stable equilibrium.
Keywords: mechanical shock; mechanical Hamiltonian system; Liouville's theorem; ratio of momentum transfer at impact; return rate; non-Hamiltonian mechanical system; a stable equilibrium of mechanical systems.
REFERENCES
1. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of mathematical theory of elasticity: Textbook. - M.: Nauka. Home edition of Physical and mathematical literature. 1981. - 688 p.
2. Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics. - 3rd ed. - M.: Nauka, 1989. - 472 p.
3. Poincare A. Selected Works, Vol 3. - M.: Nauka, 1974. - 771 p.
4. Katok A.B., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems / Per. from English. A. Kononenko, Mr.S. Ferleger. - M.: Because of "factorial". 1999. - 768 p.
5. Poincare A. Selected Works, Volume 2. - M.: Nauka, 1972. - 999 p.
6. Jaworski B.M. Detlaf A.A. Handbook of physics. - M.: Nauka, 1977. - 944 p.
7. Targ S.M. Brief course of theoretical mechanics. - M.: Higher. wk., 1986. - 416 p.
8. Kochetkov A.V, Fedotov P.V. Some questions of the theory of impact // Internet magazine "Naukovedenie" 2013. №5(18) [electronic resource]. - Access: http://naukovedenie.ru/PDF/110tvn513.pdf, free.
9. Vinogradov V.N. Sorokin G.M., Albagachiev A.Y. Wear impact. - M.: Mechanical engineering. 1982. - 192 p.
10. Friedman Y.B. Mechanical properties of metals. In two parts. Part one. The deformation and fracture. - M.: Engineering, 1974. - 472 pp.
