О самодуальных булевых бент-функциях Текст научной статьи по специальности «Математика»

34

Прикладная дискретная математика. Приложение

Следствие 2. Графы GB2, GB4 и GBg являются связными.

Отметим, что в общем случае граф GB2k не является связным, поскольку он может содержать изолированные вершины. В частности, это справедливо при 2k ^ 14.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser.A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Tokareva N. N. Bent Functions: Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.

3. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.

4. КоломеецН.А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2k от произвольной бент-функции от 2k переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С.28-39.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X78/13

О САМОДУАЛЬНЫХ БУЛЕВЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЯХ1

А. В. Куценко

Получен критерий самодуальности (анти-самодуальности) булевой бент-функции, а именно доказано, что булева бент-функция / от чётного числа переменных является самодуальной (анти-самодуальной) тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном у е КП для булевой функции ¿у(х) = /(х) ® /(у) ® х ■ у справедливо ^(¿у) = 2п-1 - 2п/2-1 (соответственно wt(Fy) = 2п-1 + 2п/2-1).

Ключевые слова: булева функция, бент-функция, самодуальная бент-функция.

Булевой функцией f называется любое отображение f : Fn ^ F2. Скалярным произведением x • y двух векторов x = (x\,x2,... ,xn) G Fn, y = (yi, y2,..., yn) G Fn

n

называется x • y = ф x^. Преобразованием Уолша — Адамара булевой функции f

i=1

от n переменных называется целочисленная функция Wf : Fn ^ Z, заданная равенством Wf (y) = (—1)f(x)+x^. Булева функция f от чётного числа переменных n

называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y G Fn. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (x) = (—1)f(x)2n/2 для каждого x G Fn. Бент-функция f называется самодуальной (анти-самодуальной), если f = f (соответственно f = f ф 1). Носителем булевой функции f от n переменных называется множество supp(f ) = {x G Fn : f (x) = 1}. Весом вектора x = (x1,x2,... ,xn) G Fn

n

называется число wt(x) = xi. Весом Хэмминга булевой функции f называется вес

i= i

её вектора значений wt(f) = |supp(f)|. Сложной задачей является полная характе-ризация и описание класса самодуальных бент-функций. Этому вопросу посвящены несколько работ за рубежом (C. Carlet, L. E. Danielson, M. G. Parker, P. Solé, X. Hou и др.). В частности, в работе [1] перечислены все самодуальные бент-функции от 2, 4 и 6 переменных и все квадратичные самодуальные бент-функции от 8 переменных; в [2] приведена классификация всех квадратичных самодуальных бент-функций.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект №15-31-20635).

Дискретные функции

35

Теорема 1. Булева бент-функция f от чётного числа переменных n является самодуальной (анти-самодуальной) тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном y G Fn для булевой функции Fy (x) = f (x) ф f (y) ф x • y справедливо wt(Fy) = 2n-1 - 2n/2-1 (соответственно 2n-1 + 2n/2-1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Carlet C., Danielson L. E., Parker M. G., Solé P. Self dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. No. 1. P. 384-399.

2. Hou X. Classification of self dual quadratic bent functions // Des. Codes Cryptogr. 2012. V. 63. Iss.2. P. 183-198.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/8/14

ОБ ОБРАТИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

И. А. Панкратова

Рассматривается класс Fn,m,k обратимых векторных булевых функций из Fn в F^, координатные функции которых существенно зависят от заданного числа k переменных. Доказано: 1) таких функций не существует при любом n = m и k = 2; 2) функции класса Fn,n,n-1 могут (не могут) быть построены из аффинных координатных функций при чётном (нечётном) n; 3) если Fn,m,k = 0, то и

Fn+1 = 0.

Ключевые слова: векторная булева функция, обратимые функции.

Задача построения обратимых векторных булевых функций возникает при создании многих криптосистем; в частности, такие функции используются в многораундо-вых симметричных блочных шифрах класса SIBCipher [1]. Для того чтобы значения функции можно было эффективно вычислять, часто вводится ограничение на количество существенных переменных у каждой координатной функции векторной функции.

Для n,m,k G Z обозначим через Fn,m,k класс функций F : Fn ^ Fm, где F = = (f1... fm), таких, что координатные функции fi : Fn ^ F2, i = 1,... , m, существенно зависят ровно от k переменных и функция F — инъекция (т.е. обратима).

В случае n = m (практически важном для построения многораундовых шифров) будем обозначать Fn,k = Fn,n,k.

Непосредственно проверяются следующие свойства:

1) если Fn,m,k = 0, то m ^ n;

2) если F G Tn,k, то F есть подстановка на Fn и все её координатные функции уравновешены;

3) если F = (f ... fm) G Fn,m,k, то и F' = (f ...fi... fm) G Fn,m,k, i G {1,..., m};

4) если Fn,m,k = 0, то Fn,t,k = 0 для любого t > m;

5) если Fk,k = 0, то Fks,k = 0 для любого s > 1.

Последнее свойство используется при построении шифров SIBCiphers семейства Люцифер [1]: ks переменных разбиваются на блоки по k переменных в каждом и «большая» раундовая функция набирается из s «маленьких» функций — подстановок на Fk.

Пример 1. Функция F : F^ ^ F2 с вектором значений (0 6 7 2 4 3 1 5) принадлежит множеству F3,3; её координатные функции f1 = x1 ф x2 ф x3, f2 = x1x2 ф

Ф x2x3 ф x2 ф x3, f3 = x1x3 ф x2x3 ф x2.