О решении проблемы адекватности моделирования в нечеткой логике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.832.34, 004.052.44 ББК 32.973

О РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ В НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ

© С.М. Жиряков, К.А. Майков

Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана E-mail: maikov@mx.bmstu.ru, zs.mailbox@gmail.com

Рассматриваются методические аспекты практического применения нечеткой логики при моделировании слабоструктурированных задач в условиях повышенных требований к точности решения. Предлагается модификация алгоритма нечеткого вывода решения Суджено, позволяющая в окрестностях контрольного набора точек осуществлять коррекцию ошибки, возникающей из-за неадекватности построенной модели задачи.

Ключевые слова: нечеткая логика, алгоритм Суджено, коррекция решения, адекватность модели, точность решения.

ABOUT PROBLEM SOLVING OF MODELING ADEQUACY IN FUZZY LOGIC

© S.M. Zhiryakov, K.A. Maykov

Russia, Moscow, Moscow state technical university named by N.E. Bauman E-mail: maikov@mx.bmstu.ru, zs.mailbox@gmail.com

The article views one of the problem solving variant of practical applying fuzzy logic in weakly formalized tasks modeling in conditions of close tolerance requirements. It is viewed a modification of Su-geno fuzzy inference which make it possible to eliminate a mistake in test points neighborhood when inadequate model is developed.

Key words: fuzzy logic, Sugeno inference, solving correction, model adequate, solving accuracy.

Одним из ограничений практического применения нечеткой логики при решении слабоструктурированных задач является проблема точности получаемого решения. При использовании нечеткой логики эксперт предметной области, создавая модель слабоструктурированной задачи, неизбежно искажает существующие зависимости между параметрами задачи, когда указывает продукционные правила и определяет лингвистические переменные и их термы. Созданная таким образом модель может приводить к практически неприемлемым результатам в некоторых областях пространства входных переменных (критических областях).

В связи с этим возникает необходимость коррекции построенной модели. Для эксперта задача модификации созданной им модели, требующая изменения решения в найденных критических областях, является нетривиальной задачей. Использование существующих алгоритмов модификации нечеткой модели [2,3], применение гибридного подхода с использованием нейронных сетей при модификации характеристических функций термов [4] приводят к потере семантики термов и переменных, вводимых экспертом. Также осуществляющиеся изменения носят глобальный характер, что обусловливает появление новых критических областей.

Рассмотрим модификацию алгоритма нечеткого вывода решения Суджено [4], позволяющую осуществлять локальную коррекцию решения в заданном наборе контрольных точек пространства входных данных на примере задачи автоматического управления скоростным колесным роботом.

Задача управления заключается в выборе максимальной скорости прохождения поворота траектории движения, не приводящей к заносу. Упрощая физические условия прохождения виража роботом, будем рассматривать корпус робота как материальную точку и пола-

гать, что при прохождении поворота радиусом Я в горизонтальной плоскости на него действуют сила тяги двигателя Рдвиж, обеспечивающая линейную скорость движения V, центробежная сила Рцб и сила трения Ртр, удерживающая робота от заноса. Тогда для безопасного прохождения виража скорость движения должна удовлетворять соотношению

V (см. Рис.1). Это соотношение будем использовать для оценки адекватности мо-

делирования задачи с использованием нечеткой логики.

Безопасное прохождение поворота Р б < Р

ц.б. тр.

mV2

Рб =-------- Ртр.= т

ц.б.

я

V

Рис. 1. Условие безопасного прохождения поворота

Рассмотрим основное содержание модифицированного алгоритма нечеткого вывода. Основная задача модификации - добиться линейной аппроксимации искомой закономерности между входными параметрами задачи в окрестностях контрольных точек, где значение выходного параметра задано. На Рис. 2 изображена плоскость ЛМЫ, построенная по контрольным точкам Л, В, С и являющаяся линейной аппроксимацией поверхности отклика для выводимой переменной Z, зависящей от переменных X и У. Множество решений х, определяемых в окрестности точек Л, В, С, таких, что х = а-а + @-Ь, а,р& Я, задает Зону решений ¥ .

Рис. 2. Линейная оболочка корректирующих данных для точек Л, В, С

Можно заметить, что значение 1въш выводимой переменной Z, принадлежащее ¥, при

попадании входных данных X(х*, у*) в область определения Зоны ¥ может быть получено из выражения

= г0 + (£па±+ 82 А )х* + (^12а±+ Е22Ъ± )У \ (1)

(ап„ Ь., ^ 1

где 8. - коэффициенты матрицы G

*0X ^0X

Критерий попадания точки X (x*, y *) в область определения Зоны Y задается соотношением (a+b) е [0, 1] и а, /3> 0, а коэффициенты а,Ь удовлетворяют соотношению

а- а + b-b = x.

Значение суммы коэффициентов разложения а и b определяется из выражения

a + b = (gil + g 21 ) x* + (gl2 + g 22 ) У*. (2)

Модифицируем этап логического вывода Суджено [4] при поиске решения соответствующего продукционному правилу, которое затем будет участвовать на этапе композиции. Для получения результата этапа логического вывода, применяемого к каждому продукционному правилу, в консеквенте которого указана переменная Z, установим соотношение

z = Z0 +axux®z +ayuy® , (3)

где ax = X1(x*),ay = Y1(y*') - значения степеней истинности для каждого терма левой

/ * * \

части правила при некоторых входных данных (x , y ), V

коэффициенты

влияния переменных X и У на переменную Ъ соответственно.

При составлении нечеткой модели эксперт принимает устанавливает переменные Ьх, иу

равными 0. Таким образом, нечеткий вывод решения осуществляется по упрощенной схеме [4]. Для обеспечения коррекции решения при появлении контрольных точек формируются Зоны решения, построенные на и-симплексах пространства входных данных.

При формировании новой Зоны решения необходимо дополнить набор продукционных правил следующими двумя правилами вида

ЕСЛИ(ОбластьХ = ОбластьХ _¥) И (ОбластьУ = ОбластьУ _ ¥)

ТО (Зона = Зона _ ¥);

ЕСЛИ (Зона = ¥) И (Поправках = Поправках _ ¥) И (ПоправкаУ = ПоправкаУ _ ¥) ТО (2 = Корректировках _ ¥).

Правило (4) предназначено для определения факта попадания точки с исходными данными X(х*, у*) в область определения зоны ¥ . Характеристические функции для термов ОбластьХ _ ¥, ОбластьУ _ ¥, Зона _ ¥ определяются как показано на рис. 3.

(4)

(51)

ОбластьХ Y

ОбластьУ Y

Зона Y

i L 1 k 1

► ►

Base (Y) х

Base (Y)

v

x®3ohüY

= (gil + g 21 )(Гх - BaSe(Y) x ) V

y

y®3oHaY

(gl2 + g 22)(ry - BaSe(Y ) y )

Зона Y

Поправках _ Y

Base (Y) x

r„

v

3ohü®Z

Base (Y)

vx®z = (giiai + g2ibl)(rx -Base(Y)x)

Vy®z = (g 12aL + g22 bL )(ry - Base(Y)y )

y

Рис. 3. Определение дополнительных термов поправки выводимой переменной и их коэффициентов влияния

ПоправкаУ _ Y

1

0

1

r

r

x

1

1

1

0

1

r

Base(Y')х и Base(Y')у - координаты х и у основания зоны. тх и гу определяют максимальную х и у координату точки корректировочных данных, с помощью которых построена Зона ¥, при условии, что она не совпадает с координатой основания зоны. Согласно (2) при указанном определении коэффициентов влияния Ух®Зона¥ и

уу®зонаУ каждая точка входных данных X(х*, у*), попадая в область определения Зоны у, устанавливает переменную «Зона» в значение «Зона_у», обеспечивая участие правила вида (5) при вычислении поправки выводимой переменной 2.

Правило вида (5) используется непосредственно для вычисления значения выводимой переменной. Вычисление величины поправки по формуле (3) обеспечивает получение решения, принадлежащего Зоне ¥, при определении коэффициентов влияния ПЗона®2,

Пх, ПУ, указанном на рис. 3.

Рассмотрим решение поставленной задачи автоматического управления скоростью робота при прохождении виража траектории движения. Сформируем следующие правила вывода:

ЕСЛИ (ТРЕНИЕ= “Малое”) И (ПОВОРОТ= “Крутой”), ТО (СКОРОСТЬ = 7)

ЕСЛИ (ТРЕНИЕ= “Высокое ”) И (ПОВОРОТ= “Плавный”), ТО (СКОРОСТЬ = 20). Определение термов введенных переменных показано на Рис.4.

ТРЕНИЕ

ПОВОРОТ

«Крутой» «Плавный»

10

60

м

СКОРОСТЬ

^м/с

20 31

(25км/ч) (72 км/ч) (110 км/ч)

Рис. 4. Термы лингвистических переменных задачи

1

Для проверки адекватности составленной модели рассмотрим область пространства входных данных 0 = к XЯ = [0.4; 0.7]X[10; 60], изображенную в виде прямоугольной области на рис. 5.

Применение упрощенного подхода при нечетком выводе показывает, что в точках А,С и 2 решение превосходит максимально допустимое значение скорости, рассчитанное по аналитической формуле. Это означает, что в окрестностях этих точек составленная модель не адекватна и получаемые решения практически не приемлемы, так как приводят к заносу робота.

Для коррекции решения в окрестностях точек А, С и 2 построим Зону решений на основе контрольных точек А, В и С. Определения поправочных термов и значения коэффициентов влияния УЗона®у, Пк®у, УК®у входных переменных на выводимую переменную «Скорость» даны на рис. 5.

Можно заметить, что решение в окрестностях проблемных точек стало практически приемлемым, поскольку скорость не превышает максимально допустимых значений, приводящих к заносу.

Зона ABC

Поправкак _ ABC ПоправкаЯ _ ABC

0

Уз

= 11

Точка k R Vmax =4gkR Упрощенный нечеткий вывод Модификация нечеткого вывода

A 0,41 11,0 6,65 7,26 6,57

B 0,69 59,0 19,97 19,74 19,97

C 0,69 11,0 8,62 11,88 8,45

1 0,5 25,0 11,07 11,03 10,54

2 0,6 25,0 12,12 13,16 11,21

4 0,6 45,0 16,27 15,98 16,0

5 0,55 35,0 13,73 13,50 13,27

0,4

0,7

к

Рис. 5. Сводная таблица результатов моделирования для зоны в окрестности ЛВС

60 R ►

1

Таким образом, рассмотренная модификация нечеткого вывода позволяет снизить влияние субъективного фактора, ухудшающего качество решения из-за неточностей, вносимых экспертом при описании некоторой системы. На практике в задачах управления и распознавания в областях исходных данных, где существует неполная осведомленность о закономерностях работы системы, альтернативные механизмы нечеткого вывода приводят к ошибочным решениям, превышающим заданный порог точности решения. Рассмотренный подход позволяет получить желаемое решение в требуемой области пространства исходных данных, включая те области, где знания эксперта, выраженные в нечетком описании системы, оказываются неточными или ошибочными, что достигается с помощью набора корректировочных данных, задающих требуемые значения решения. При этом корректировочные данные приводят не к модификации созданных экспертом правил или определений характеристических функций, а к дополнению существующего описания, что позволяет сохранить объяснительную возможность нечеткого вывода решения в терминах, введенных экспертом.

Литература

1. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identificaton of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics. - 1985. - Vol. 15. - No. 1. - P. 116 - 132.

2. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers. - 1994. - Vol. 43. - No. 11. - P. 1329-1333.

3. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. - Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

4. Круглов В.В., Дли М.И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. - М.: Физматлит, 2001. - 224 с.

References

1. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identificaton of systems and its applications to modeling and control. // IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics. - 1985. - Vol. 15, No. 1. - P. 116 - 132.

2. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers. - 1994. - Vol. 43, No. 11. - P. 1329-1333.

3. Altunin A.E., Semuhin M.V. Models and algorithms of decision making in fuzzy conditions. - Tyumen: Izdatelstvo Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta, 2000. - 352 p.

4. Kruglov V.V., Dli M.I. Fuzzy logic and artificial neural networks. - Moscow: Fizmatlit, 2001. - 224 p.