О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.948

О РЕШЕНИИ ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛ ЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ1

Е.В. Табаринцева2

Рассматривается задача восстановления граничного условия по дополнительной информации о решении параболического уравнения. Приближенное решение поставленной задачи строится методом вспомогательных граничных условий с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева [1] и с использованием одной из схем апостериорного выбора параметра регуляризации. Получена точная по порядку оценка погрешности построенного приближенного решения на одном из классов равномерной регуляризации.

Ключееые слова: обратная задача, метод приближенного решения, оценка погрешности.

Постановка задачи

Рассматривается задача восстановления функции у^) = и(1,0, г(0 е 12[0,^) (граничного условия), где функция и( х, t) удовлетворяет условиям:

ди д2и

=---~— а(х)и (0 < х < 1; t > 0), ....

дt дх (1)

и(x,0) = 0; u(0, t) = 0

и дополнительному условию

и(х0,t) = р^), х0 е (0,1), t > 0. (2)

Здесь а(х)е С2[0,1], а(х) > 0, й0, Н1 - заданные постоянные, и(*, t)е С2(0,1) П С([0,1]);

и( х,-)е W21 (0, ~).

Рассмотрим вспомогательную «прямую» задачу

ди д2и , .

^ = ТТ - а( x)u,

дt дх (3)

и(х, 0) = 0; и(0, t) = 0; и(х0, t) = р^),

где а(х)е С2[0,1], хе (0,х0), t >0, и(*,t)е С2(0,х0)ПС([0,х0]); и(х,*)е W21 (0,»).

Лемма 1. Пусть p(t), р '(t) е /^[0, ~). Тогда задача (3) имеет решение

и(»,t)е С2(0;х0) П С([0;х0]); и(х,*)е W2l (0,<»).

Доказательство. Рассмотрим формальное решение задачи (3), которое может быть найдено методом Фурье:

х *х°

и(х, ^ =-----р(0 +11 0(х,%, t-т) / (д,т)йдйт, (4)

х0 0 0

где

x

f (x,t) =------(p '(t) + a(x)p(t));

x0

2.

G( x,g,T = X e~^xn (g) Xn (x)

n=1

1 Работа поддержана РФФИ, проект 07-01-00063.

2 Табаринцева Елена Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра функционального анализа, механикоматематический факультет, Южно-Уральский государственный университет.

e-mail: eltab@rambler.ru

Табаринцева Е.В. О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения

методом вспомогательных граничных условий

- функция Грина первой краевой задачи; Хп (х) - собственные функции, образующие полную

ортонормированную систему в ^[0; х0] ; —/ - собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим следующие функциональные ряды, сходящиеся равномерно на [0;хо]:

£ (Хп(х))2. £ (X П(х))2

Л

4

п=1 /1п п=1

[6, с. 500]. Для произвольных х,д е [0,1], t > -0 > 0 с учетом неравенства Коши-Буняковского имеем оценки:

£ в~^Хп (д) Хп (х)

п=1

■ ырЛ2е-Лп{ £^

( — /V г „\\2 л1/2 ( — /V , „\\2 Л1/2

/п

( ХпШ /2

(ХпЛ)У

<

0

£ е~Лп-Хп (д) Хп'(х)

п=1

— 2

£ е-^Хп (д) Хп"(х)

п=1

■ яч>/е/ (£ ^

Лг V п=1

£

п=1

(Хп(д))

2

1/2

Л4

< ъ ■ -2’

2- Г ^ ( Хп (х))

2 Л1/2 ( —

£

п=1

(Хп (д))

2

1/2

— / 2 \

£(е^) Х„(д)Х„(х)

п=1 -

2 Л1/2 ( —

£

п=1

/п

(Хп(д))

■ С2 < -2’

2

1/2

л

:п у

■ Сз < -2'

(5)

(6)

(7)

(8)

Из неравенств (5)-(8) следует, что функция G(х,д, -) имеет непрерывные производные

Ох (х,д, -), Охх (х,д, -), 0- (х,д, -) при всех х,де[0,1], - > -0 > 0.

Рассмотрим произвольное число - > 0 и зафиксируем -0 , 0 < -0 < -. Очевидно, при 0 < т < -0 функции G(х, д, - — т), (х, д, - — т), Gxx (х, д, - — т), Gt (х, д,- — т) непрерывны. Рассмотрим ряд

— 2

Р(х,д,т) = £е~Хп(-—т) I Хп(д)II Х„(х)I

п=1

и ряд, полученный почленным интегрированием (9):

£ | е~/п (-т)йт1 Хп (д) II Хп (х)1= £

— 1 — е~/п(-—-0)

п=1

Л

2

-I Хп (д)П Хп (x)l.

(9)

(10)

Из оценки, аналогичной (5), следует сходимость ряда (10) при всех х, де [0,1]. По следствию из теоремы Б. Леви [7] ряд (9) сходится почти всюду на отрезке 0<т<- и функция Р(х,д,т) (а, следовательно, G(х, д, - — т)) суммируема на отрезке 0 ■ т ■ -.

Используя свойство абсолютной непрерывности интеграла, по заданному числу £> 0 выберем -0 > 0 такое, что

| G( х,#, - — т) / (д,т)йт

<£ .

Тогда

| G( х£, - — т) / (д,т)ёт

*0

| G( х,£, - — т)/(д,т)йт

+ £< С

+ £ ■ Стах I §(х,-0 I.

хе[0,1]

Рассмотрим функцию

х0 -0

§ (х, -) = Л (G( х,#,-—т)(а(д)др(т))]ётёд.

0 0

Так как G(x,д,-)е 12[0, —);р(-)е 12[0, —), то §(х,-)е 12[0, —) при всех хе [0,х0]. Действительно, так как G(x,д,-)е 12[0,Г);р(-)е Ь2[0,Т), то §(х,-)е 12[0,Г] при любом Т > 0 в силу не-

-

оо

2

-

п=1 -

0

-

<

0

0

0

Т{ -

равенства

венство

— ( -

V т -

V 0

| |G(х,#,- — т)р(т)(т Ж ■ ЦG2(х,#,- — т)(т(-|р2(т)(т. Далее

выполняется нера-

00

Л

2

| |G(х,#,- — т)р(т)(т (к■ 21 | G2(x,#,- — т)(т(-|р2(т)(т + 2| | G2(x,#,- — т)р2(т)(т(- .

Т V 0 у Т 0 0 Т-—1

Оценим интегралы в право части последнего неравенства:

э -—1

5 -—1

| | G2(х,#,- — т)(т(-■ | |----------2■ 1П

Т 0

Т 0

(-—т)

Т — 1

Т-—1

где функция

11 G2(x,#,- — т)р2(т)(т(- = ЦФ2(х,#,- — т)р2(т)(т(-,

Т0

G(x,#,s), ле (0,1],

Ф( х,#, л) =

0, л £ (0,1]

интегрируема на [0, да).

Из (5) следует оценка

Рассмотрим ряд

I и(х, -) К С тах I §(х, -) I.

хе[0,1]

—2 5 (х, - ,т) = £/2 /п (-)е~Лп (-—т) Хп (х),

(11)

где /п(-) = | /(#,-)Х„(#)(#= У'(-) р'(-) | #Х„(#)(#

х0 1—х0 х0

п=1

1

+

р'(-) — х0У'(-) 1 — хп

| Хп(#)(# - коэффициенты

х0

Фурье функции /(х,-). Воспользуемся следующим утверждением [10, с. 414]:

Утверждение 1. Существует такая постоянная С, что для каждого пив каждой точке хе [х0,1]

1 — хг

^хп/х

<С

Из утверждения 1 следует, что

1 Хп (#)(#

х0

<

(1 — х0) Лп

I #Хп (#)(#

х0

<

2

(1 — х0)

I #81п/#(#

х0

С

+—

1

I #(#</ + С2.

п -1 Лп п

х0 п

(12)

(1з)

Так как существует такая константа с, что при каждом п

< С

2 2 .2 П п / — -

(1 — *0Г

[10, с. 414], то из оценок (12) и (13) следует существование такой постоянной В, что

В

| Хп(#)(#

х0

1

I #Хп(#)(#

х0

<

В

(14)

(15)

0

0

— -

оо

п

п

при всех п. С учетом (14) и (15) из неравенства (12) следует

15 (х, - ,т) К В1

IV '(-) I +1 р'(-) I

1 — х0

£Л,

п=1

Хп (х)

< тах Л е

Л

3/2 —Л2(-—т)

£

Хп ( х)

. (16)

Так как в силу утверждения 1 ряд в право части (16) сходится при каждом хе [х0;1] , то оценка (16) принимает вид

г (х)

15 (х,-,т) к

47-

(17)

Следовательно, функция 5(х,-,т) суммируема на отрезке те [0,-] при каждом х.

Далее, используя неравенство (5)

I их (х, -) К С11 р(-) I;

I ихх (х, -) К С2 I р(-)!;

I и1 (х,-) К С3 (I р(-) I +1 р'(-) I).

Из полученных оценок следует, что ихх(х, -), и{(х, -) е 12(0, —) при любом х е [0, х0].

Таким образом, функция и(х, -) является решением задачи (3).

Решая задачу (3), определим функцию q(t) = их (х0, -). Из оценки (17) следует неравенство

1к(-)1112[0,—) < С1|| р(-)1112[0,—).

Следовательно, исходная задача сведется к задаче восстановления функции v(t) = и(1, -), где и (х, -) удовлетворяет условиям:

ди д2и . . — = —у — а( х)и, д- дх2

(18)

и(х,0) = 0; и(х0,-) = р(-); их(х0,-) = ^(-),

хе (х0,1), - > 0.

Замечание. Так как задачу (18) можно разбить на две задачи с однородными начальными условиями

ди д2и

— = —у — а( х)и,

д- дх2

и(х,0) = 0; и(х0,-) = р(-); их(х0,-) = 0

(19)

ди д2и

— = —у — а( х)и,

д- дх2

и(х,0) = 0; и(х0, -) = 0; их (х0, -) = q(t), то далее для определенности рассматривается задача (20).

(20)

Сведение задачи (20) к задаче вычисления значений неограниченного оператора

Пусть функции q(t), q'(-) в задаче (20) принадлежат 12(0,—). Рассмотрим вспомогательную прямую задачу

ди д2и

— = —7 — а( х)и,

д- дх2

(21)

и(х,0) = 0; и(х0, -) = 0; и(1, -) = v(t),

хе (х0,1), - > 0.

Как и при исследовании вспомогательной задачи (3), убедимся, что задача (21) имеет решение

и (х, -): и(*, -) е С2(х0;1) П С ([ х0;1]); и(х,*)е W21 (0,—). Из оценки 15 (х,-,т)!<-г(х^ следует

\Д — т

что функция

также,

е

П

т

- х0

ихх(x, -) = 11 Gxx (х^-—т) / (g,т)(g(т,

00

интегрируема на любом отрезке -е[0,Т], а из принадлежности функций Gxx(х,д,-) и /(х,-) пространству 12(0, —) при всех х,#е[ х0;1] следует, что ихх (х, -) суммируема на [0, —) при всех

—

х е [х0;1]. Следовательно, интеграл | ихх (х, -)е~Лй- сходится равномерно по х е [х0;1], Ле [0, —).

0

Таким образом, к задаче (20) применимо преобразование Фурье на полупрямой - е (0, —).

Применяя к задаче (20) преобразование Фурье, имеем следующую задачу для лине ного обыкновенного уравнения второго порядка:

Vхх (х, Л) = ¿Ли (х, Л) — а( х)и (х, Л);

V(х0 ,Л) = 0; их (х0 ,Л) = й(Л). (22)

—

I» ¿Л-

Здесь V(х, Л) = ¥и = I е~1 и(х, -)(- - образ Фурье функции и(х,-).

0

Обозначим через р( х, -) решение уравнения (22), удовлетворяющее условиям

р(х0,-) = 0; Рх(*0,-) = 1.

Теорема 1. Существуют постоянные С1, С2, С3, С4,т такие, что

С, *Ъ'ГЛЛл — '10) ^ р(х,Л) Ы С2 - х0) ;

С3сЪу[Л( х — х0) <! рх (х,Л) К С4еИ-\/Л( х — х0)

при Л>т.

Доказательство теоремы аналогично проведенному в [2].

Решение задачи (22) имеет вид

У (Л) = б(Л)р(1,Л).

Рассмотрим следующие линейные нормированные пространства: Х = ¿2(0,—) - пространство функций, суммируемых с квадратом, определенных при - е [0, —) (принимающих действительные значения), Ф - пространство функций, допускающих аналитическое продолжение в полуплоскость 1т г < 0 и таких, что

+—

11 ^ (л + ¿а) I2 (л < С

-—

при всех а < 0. Выполняется следующая теорема (см., напр., [9])

Теорема 2. Класс функци Ф совпадает с классом функци , представимых в виде

—

^ (Л) = | е~Л/(-)(-,

0

—

где интеграл сходится в среднем и 11 / (-) !2(- < — .

0

Рассмотрим равенство Парсеваля (см. [8]):

— +—

11 / (-) !2(- = 2п 11 ^(Л) !2(Л.

0 ——

Так как, очевидно, для функции / (-) с де ствительными значениями выполняется равенство F (—Л) = F (Л), то из равенства Парсеваля следует

— +—

11 / (-) !2(- = 4п 11F(Л^йЛ.

00

Следовательно, линейный оператор : ^[О,!] ^ Ф , действующий по правилу

1 “

(Ц) =—Г | в~ш/ (г )йг,

¥'"'''~24П0

является изометрией. Следовательно, пространства Х и У также изометричны.

Таким образом, задача (20) сводится к задаче вычисления элемента У (Л) е Ф такого, что

У (Л) = р(1, Л)й(Л) = Ай(Л), (23)

где А :Ф ^Ф - неограниченный линейный оператор.

Метод вспомогательных граничных условий

Пусть вместо точного начального условия q(t) в задаче (20) известны 8 -приближение q§(t)

и уровень погрешности 8 > 0 такие, что — q8| < 8. Пусть известно также, что при точно заданном начальном условии q(t) задача (20) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации

Мг = {Vе Х; V'е Х, IV!2Х + ^'||2Х <г2}.

Используя метрическую эквивалентность задач (20) и (23), построим предварительно приближенное решение задачи (23). Известно, что при заданном условии Q задача (23) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации:

Мг = ^е У; ЛGе У, ||ЛG||У < г}.

Требуется построить усто чивое приближенное решение задачи (23) и оценить его уклонение от точного решения.

Вместо некорректно поставленно задачи (20) рассмотрим вспомогательную задачу с малым параметром £ > 0:

ди д2и

^ = ТГ — а( х)и (24)

д- дх2 (24)

и(х,0) = 0; и(х0, -) = 0; их (х0,-) + £и(1, -) = q8(t),

В качестве приближенного решения задачи (20) будем рассматривать элемент

V8(t) = и£ (1, -), (25)

где и£(х, -) - решение задачи (24). Применяя к задаче (24) преобразование Фурье, находим, что в

качестве приближенного решения задачи (23) рассматривается элемент

У£ = -РЛ., (26)

1 + £р(1,Л)

Оценка погрешности метода вспомогательных граничных условий

Рассмотрим приближенное решение (26) задачи (23). В качестве характеристики точности приближенного решения (26) рассмотрим величину

\У£ — У

А(є,5) = єир{||у/ - VI: V є Мг; ¡V - V 61| < 5}.

Воспользуемся очевидной оценкой

А(є,5) < А1(є) + А2(є,5),

где

Аі(є) = 8ир{

у є - у

: V є Мг},

Vє = иє(1,Ц), где иє(х,г) - решение задачи (24) с точно заданным условием ^(г);

у/

А2(є, 5) = 8ир{ у/-Vє :Є - < 5}.

Оценим величины Аі(є) , А2(є, 5).

Для величины А2(є, 5) имеем очевидную оценку

Л ( X p(1,X)l |z| 8

А2(£,8) < 8sup,—-----------т-г < 8 sup ' ' . < —.

Х>о |1 + £р(1,Х)| Reг>о|1 + £z\ £

Далее,

£р(1,Х)|

Л^£) < rsup- --------- .

Л>0 -у/1 + Л2 |1 + £р(1,Л)|

Рассмотрим значение Л£, выбранное из условия £р(1,Л£)| = 1. С учетом теоремы 1 имеем следующее неравенство:

£р(1, Л)| £е'^2Л С

sup -------=--------1------< sup ---------<

F I о I I _ F I 7 ~ n \2 '

0<Х<Х^ 1 + Х2 |1 + £p(1,X) 0<X<X^ 1+ Х2 (ln£)

Далее, очевидно,

Sup ,----------- < < 2.

х>Х£УІ 1 + Х2 |1 + £p(1, А) І Л£ (ln £)

£p(1,X)| 1 C

<---<

C

Следовательно, А1(£) < r

(ln £)2

Выбирая зависимость £ = £( 8) из условия

Cr

£ (ln£)2

(квазиоптимальный выбор параметра регуляризации, [4]), получаем, что оценка погрешности приближенного решения (26) на множестве Mr имеет вид

с

Л(£(8), 8) <-С^. (27)

ln2 8

В силу изометричности преобразования Фурье из оценки (27) следует

Теорема 3. При сформулированных выше условиях существуют постоянные 80;Сб такие, что для любого 8 е (0,8о) справедливы оценки погрешности метода вспомогательных граничных услови на множестве Л r

С

Л(£(8), 8) <-^.

ln2 8

Замечание. Из оценки (27) и оценки погрешности оптимального метода решения задачи (20) (см., напр., [2]) следует, что метод вспомогательных граничных условий является оптимальным по порядку.

Апостериорный выбор параметра регуляризации

Для выбора параметра регуляризации на практике может быть использована следующая схема, не использующая явно априорную информацию о точном решении поставленной обратно задачи (ср. [7]).

Пусть параметр регуляризации выбирается из конечного множества

Л N = {£ : 0 <£о <£1 <... <£n }.

Обозначим через v£ = R£. Q8 соответствующие приближенные решения. Пусть V - точное решение задачи (17), V е Mr. Обозначим через £opt квазиоптимальное значение параметра регуляризации, полученное по схеме М.М. Лаврентьева. Обозначим через £ * оптимальное значение параметра регуляризации, выбираемое из множества ЛN, т.е.

£* = max £ : £ е M (AN)},

где

М(ЛN) = к е Л^ :-С-<-!

Пусть М (Лм) Ф 0 ; AN \ М (ЛN) Ф 0 . Наряду с М (ЛN), рассмотрим множество

М+(ЛN) = е еЛN :

V 3 - у 3

Л емма 2. М(ЛN) с М+(ЛN)

Доказательство. Рассмотрим значения параметра регуляризации е1, е7 е ЛN ; е1 е М (ЛN), 7 < г. Имеем неравенство

<

V 3-V

Уе; ''

+

+

V- - у-.

е ее

<

сг

3 сг 3^3

2 -+------1---2Т—I------< 4—.

1п2 е1 ег 1п2 -7 -7 -7

Следовательно, ег е М (ЛN).

Обоснование одного из правил апостериорного выбора параметра регуляризации дает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть параметр регуляризации выбран из условия

е+ = тах{е : е е М+(Л)} .

Тогда

А(е+ ( 3), 3) = 8ир{|V -^1: О е Мг; ||б - й51| < 3} <

6С5 1п2 3

Доказательство. Из определения е* = е1 следует, что для е1+1 выполняется неравенство

гег+1 > 3 = ге°р‘ 1 > 3 1

2е;,

2е

ор?

гх

Следовательно, в силу монотонности функции ^(х) =—р на промежутке х е (0,»),

,2х

е1+1 > еор1 и

1 1

3е 2е>'+1 < 3е 2еор‘ .

В силу леммы 2, так как М (Л N) с М+(Л N) ,

е* = е1 = тах{ег: ег е М (ЛN)} < е+ = тах{ег: ег е М+(ЛN)} .

Из определения М+(Л ) следует

А(е‘

( 3), 3) = 8ир{

ое - О

:Ое Мг; \\г-1|< 3}<

< 8ир

/-»е /-»е*

О3 - О3

: Z е М„

\\г - z51|< 3}+

< 3} + 8Ир {

Ое -О

:Ое Мг; I|Z-Z51|< 3}<

|< 3}<

< 4 3е 2е‘ + 3е 2е* + ге* < 6А(е ? ( 3), 3) <

6Сс

1п(1/ 3)

Теорема доказана.

Литература

1. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // М.М. Лаврентьев. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1962. - 92 с.

2. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения / В.П. Танана // Докл. РАН. - 2006. - Т. 407, 6 3. - С. 316-318.

е

*

1

3. Ильин, A.M. Уравнения математической физики / А.М. Ильин. - Челябинск, Издательский центр ЧелГУ, 2005. - 171 с.

4. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. - М.: Наука, 1995. - 176 с.

5. Танана, В.П. Об одном подходе к приближению разрывного решения некорректно поставленной задачи / В.П. Танана, Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т. 8, 6 1(21). - С. 129-142.

6. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1971. - 512 с.

7. Pereverzev, S. On the adaptive selection of the parameter in regularization of ill-posed problems / S. Pereverzev, E. Schock // SIAM J. Numer. Anal. - 2005. - V. 43, 6 5. - P. 2060-2076.

8. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1989. - 623 с.

9. Виленкин, Н.9. Специальные функции и теория представлений групп / Н.9. Виленкин. -М.: Наука, 1965. - 588 с.

10. Дьедонне, Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. - М.: Мир, 1964. - 430 с.

Поступила в редакцию 15 февраля 2011 г.

ABOUT SOLUTION OF THE BOUNDARY INVERSE PROBLEM FOR A PARABOLIC EQUATION BY MEANS OF SUBSIDIARY BOUNDARY CONDITIONS METHOD

E.V. Tabarintseva1

The author analyses the problem of recovery of boundary condition using additional information about parabolic equation solution. An approximate solution of the posed problem is done by the subsidiary boundary conditions method with choice of the regularization parameter by the Lavrentiev scheme [1] and one of the schemes of posteriori choice regularization parameter. The author obtains an order precise error evaluation of the built approximate solution at one of the uniform regularization classes.

Keywords: inverse problem, approximate method, error evaluation.

References

1. Lavrent'ev M.M. O nekotoryh nekorrektnyh zadachah matematicheskoj fiziki (About some ill-defined problems of mathematical physics). Novosibirsk, Sibirskoe otdelenie AN SSSR, 1962. 92 p.

2. Tanana V.P. Dokl. RAN. 2006. Vol. 407, no. 3. pp. 316-318. (in Russ.).

3. Il'in A.M. Uravnenija matematicheskoj fiziki (The equations of mathematical physics). Chelyabinsk, Izdatel'skij centr ChelGU, 2005. 171 p. (in Russ.).

4. Ivanov V.K., Mel'nikova I.V., Filinkov A.I. Differencial'no-operatornye uravnenija i nekor-rektnye zadachi (Differential-operator equations and ill-defined problems). Moscow, Nauka, 1995. 176 p. (in Russ.).

5. Tanana V.P., Tabarintseva E.V. Sibirskij zhurnal industrial'noj matematiki. 2005. Vol. 8, no 1(21). pp. 129-142. (in Russ.).

6. Vladimirov V.S. Uravnenija matematicheskoj fiziki (The equations of mathematical physics) Moscow, Nauka, 1971. 512 p. (in Russ.).

7. Pereverzev S., Schock E. On the adaptive selection of the parameter in regularization of ill-posed problems. SIAM J.Numer. Anal. 2005. Vol. 43, no 5. pp. 2060-2076.

8. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza (Elements of Function Theory and Functional Analysis). Moscow, Nauka, 1989. 623 p. (in Russ.).

9. Vilenkin N.Ja. Special'nye funkcii i teorija predstavlenij grupp (Special functions and group representation theory). Moscow, Nauka, 1965. 588 p. (in Russ.).

10. Dieudonne J. Osnovy sovremennogo analiza (Foundations of Modern Analysis) Moscow, Mir, 1964. 430 p. (in Russ.). [Dieudonne J. Foundations of Modern Analysis. Academic Press, New York, 1960. 361 p.].

1 Tabarintseva Elena Vladimirovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Functional Analysis Department, South Ural