О решении частной задачи управления в случае разной информированности субъектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.862.8

А.В. Жариков, А.В. Максимов О решении частной задачи управления в случае разной информированности субъектов

В данной статье рассматривается задача управления в случае несовпадающей информированности субъектов управления. Актуальность обусловлена развитием экономических систем в условиях конкуренции и сотрудничества, при этом информационные возможности каждого субъекта системы являются различными.

Рассматривается оператор управления состояниями субъекта, который функционирует в динамической случайной среде. Управление проводится с использованием принципа осреднения входных переменных [2]. Предполагается, что управление выбирается из условий максимизации некоторого критерия.

Пусть x = (x1, x2,...,xn) - случайный вектор с функцией распределения Ф = Ф(x1,...,xn), а множество I = {1,2,.,п} - индексы всех компонент вектора x; множество !.Ш - совокупность индексов, определяющих информационную структуру г-й управляющей переменной, г=1,2,...,те. Введем также вектор управления V=(v1,v2,...,vn), где v.=v.(d.), dj=(xj.) ,г=1,2,...,те. Таким образом, задача примет вид:

-]к = м(х,у))] ® тах,к = П (1)

где символ М[•] означает операцию вычисления математического ожидания, а т - количество объектов управления.Формализация условий разной неинформированности приводит к равенству нулю частной производной по соответствующей переменной [3]:

dV (d )

dx,

- 0.

(2)

Специфика данной задачи позволяет свести ее к задаче теории игр и рассматривать концепцию решения, существующую в рамках данной теории. Причем количество игроков соответствует количеству управляемых объектов.

На сегодня данная задача не имеет общего решения, и в основном решение зависит от конкретного вида функционала ґк(х,У) и структуры информационного потока. Тем не менее в некоторых случаях решение можно найти аналитически.

Рассмотрим задачу (1) при п=т=2. Тогда задача примет вид:

M [F1( x, y, u(y), v( x))] ® max, M[F2(x,y,u(y),v(x))] ® max,

— - 0^ _ 0 при условиях dx _ 5 dy ~

(З)

(4)

Упростим задачу, взяв конкретный вид

^ =(л(и, V, X, у),(м,У, х,у), Р2 = (В(и, V, X,у), (и, V, х,у)},

где Л = ЛТ = К-)4Х4. В = ВТ = (Ьу )4Х4, , т.е. Fv Р2 -квадратичные формы с переменными и^,х,у. Пусть информационный вектор (х,у) распределен на квадрате [а,Ь]х[а,Ь](а > 0,Ь > 0) с плотностью Ф(х,у). Тогда (3) примет вид

J1 - I l(a11u2 +2a12uv +2a13ux +... + a44y2)Ф(x,y)dxdy®max,

•* •* ueU

a a b b

J2 - II (b11u2 +2b12uv +2b13ux + ... + 644y2)Ф(x,y)dxdy® max

J J veV

(5)

Задача (3) при условиях (4) по сути является игрой двух лиц, где J1(u,v), J2(u,v) - функции выигрыша, а и, v - стратегии игроков. Множеством допустимых стратегий и, V будет произведение

пространств С '([а, Ь] х [а, Ь]) х С1 ([а, Ь] х [а, Ь]). Шахождение решения игры зависит от понимания рациональности и оптимальности поведения игроков.

Одна из распространенных концепций решения некооперативных игр - ситуация равновесия по Нэшу [5], суть которой заключается в невозможности увеличения выигрыша игрока при его отклонении от данного равновесия. В статье автор показывает, что функции поведения игроков и, v находятся аналитически, когда х и у независимы.

Утверждение 1. Пусть компоненты случайного вектора х и у есть независимые случайные величины, т.е.

Ф( х, у) = ф х)ф2( у). (6)

Тогда равновесие по Нэшу задачи (5) при условиях (4) и ап, Ь22 < 0 достигается на линейных

по своим переменным функциях и *( у) и у*( х),

где а и Ъ22 - элементы матриц А и В соответственно.

a a

55

Доказательство. Ситуация равновесия по Нэшу влечет за собой выполнение следующих условий

Jl(u,V*) < Jl(u,V*),

32(и,V) < J2(и,V*).

В результате получаем вариационную задачу отыскания максимума функционалов J1, J2 по переменным и и v соответственно. Ввиду громоздкости вычислений и преобразований приведем лишь основные этапы решения согласно [1].

1. Выпишем функции Лагранжа Ьр Ь2.

т ( ди д р Л

Ч‘',У дх-д?Р"х'у Г

= ff ^0 (( A(u, v, x, y),(u, v, x, y))j Ф(х, y)) + pi —— Idxdy

L|u-v- — ■—• x-y '=

ff^2 ((B(u>vx, y),(u=v x yy)) + P21 — ldxdy

—y

где (Я|,,Р1) , (1,Р2) - множители Лагранжа.

Для удобства можно положить 10 и 1 рав

ными единицы.

2. Необходимые условия экстремума:

др__ 1 д(( А(и, v,х, у),(и, v,х, у))ф( х, у))

дх 0 ди ’

дР2 2 д((В(и’V х у),(и=V х у))ф(х, у))

----_ 10---------------------------------

[ ду 0 дv

Pi

P2

a b] = 0 = 2f (aiiu + a22v + a13 x + a14 y)0(x, y)dx,

a,b] = 0 = 2f (bi— + b22v + b13x + bi4y^O , y)dy

A =

aii Ai

Г , 3 и

an Ai a.

*11

f yj2( y)dy=B2, при ь22 * 0 Bi

b, =-

b22 B1

b22

22 1

Рассмотрим случаи:

а) а11 Ф 0 , Ь22 Ф 0. Тогда система интегральных уравнений (8) примет вид

b

auA— + a12 f v p, (x)dx + a13 A2 + a14 yA, = 0,

a

b

b22 B,v + b12 f up2 (y)dy + b23 xB, + b24 B2 = 0,

a

b

u + A, f vp, (x)dx + A2 + A3 y = 0,

a b

v + B, f up2 (y)dy + B2 + B3 x = 0.

Т еперь

( b

выразив,

u = -

A, f vp, (x)dx + A2 + A3 y

например,

и подставив во

второе равенство, получим неоднородное уравнение Фредгольма второго рода

v -

b

A,B, • B, f vp, (x)dx - A2B2 • B, - A3B, • B,

(7)

- А3 В1 • В2 + В2 + +В3 х _ 0.

Согласно теории решения такого рода уравнений [6], единственность решения будет достигаться при выполнении условия

А1 ^ А1 ф 1 о ^ ^ ф 1 Ь22 а11 Ь22

а само решение имеет вид

a11ufp1(x)dx+ a, 2 f vpt (x)dx+ a, 3 f vpl(x)dx+ a,4 yf vp, (x)dx = 0,

b b b b (O)

b22vf P2(y)dy+ b12 f uP2(y)dy+ b23xf P2(y)dy+ b24 f ^2^^ = 0

3. Нахождение допустимых экстремалей и и v. Для удобства введем следующие обозначения:

Ь Ь

| ф (х)йх _ А', | хф (х)А _ А2 , при а11 ф 0,

v =- B3 x +

b23A2A1b12 + b24B2 A3b12B2 A2b12 ^

b2

^ a b l

“12 . u12 - 1

ai1 b22 0 Аналогично получаем формулу и для и:

u = A3 y +

a14B^ • B,a12 + a13A^ B3a12A^ B2a12

v “11

a,,A,, a,,A,,

,, 0

ai2 • b12 - i V ai1 b22 0

b

,2

a a

b b

a a

56

Ь) при Ь22 _ 0, а11 ф 0; Ь22 ф 0, а11 _ 0 и Ь22 _ 0,

» _ — Ь24у » _— а13х

а11 _ 0, и и v имеют вид а ’ '

а12 а12

соответственно.

Таким образом, мы показали, что функции и и v имеют линейный характер.

4. Покажем, что найденные и и v являются точкой равновесия по Нэшу. Для этого рассмотрим разность для функционала J1:

31(и* +Н,,V*) — 31(и*,V*) _

Ь Ь

_ И (а11^12 + (2а11и* +2а12v* +а13х + а14 у)й1 )ф(х, y)dxdy

а а

где Ь е С ([а, Ь]х[а, Ь]).

Учитывая (7), имеем

^ Ж Ж Ж

31(и + И1, V ) -31(и , V ) _

ЬЬ

Ца11А12Ф( х, у) dxdy.

а а

Аналогично, рассматривая приращение функционала J2, получаем

Я* Ж Ж

3 2 (и ,v +Л2) - 3 2 (и ,v ) _

ЬЬ

Ць 22 Ф( х, y)dxdy,

а а

где И2 е С ([а, Ь] х [а, Ь]) . Таким образом, для того чтобы пара и и ^ являлась точкой равновесия по Нэшу, необходимо и достаточно потребовать неположительности коэффициентов а

и Ъ22, т.е. а11, Ь22 < 0. Утверждение доказано.

Наряду со случаем независимых х и у можно рассматривать и общий случай. Необходимые условия (6) при этом не изменятся. Тогда нахождение и и ^ будет зависеть от разрешимости системы интегральных уравнений

a11u f Ф^, y )dx +a12 f v( x^( x, y )dx+

a a

bb

a, 3 f xФ( x, y )dx + a14 y f Ф( x, y )dx = 0,

aa

bb

b22vf Ф( x, y)dy + b,2 f u(y^(x, y)dy + (9)

aa

bb

+ b23 xf Ф(^ y)dy + b24 f уФ^, y)dy = 0.

Решение данной системы находится уже с использованием итерационных и численных методов. К ним относятся, например, метод последовательных приближений или метод квад-

ратур [6]. Недостатком данных методов является то, что они применимы лишь для узкого класса задач.

Задачу (3) можно решить и в концепции оптимальности по Парето [4]. Ее суть заключается в увеличении выигрыша каждого из игроков за счет сотрудничества друг с другом. В нашем случае критерий выполнения Парето оптимальности можно интерпретировать неравенствами:

31(и,V) < 31(и*,V*),

32(и,V) < 32(и*,V*).

Сформулируем утверждение в предположении, что игроки заинтересованы в увеличении суммарного (общего) выигрыша.

Утверждение 2. Пусть компоненты случайного вектора х и у есть независимые случайные величины, т.е. выполняется (6). Тогда оптимальность решения по Парето при условии увеличения суммарного выигрыша задачи (5) при условиях (4), и сп,с22 < 0 обеспечивается на линейных

по своим переменным функциях и *(у) и v*(x) ,

где с11 и с22 элементы матриц С _ СТ _ А + В.

Доказательство. Проводится аналогично утверждению 1. С учетом поправок на системы интегральных уравнений систему (8) можно рассматривать в следующем виде:

cnuf p( x)dx + c12 f vp, (x)dx +

aa

bb

+ c13 f xp, (x)dx + c14 y f p, (x)dx = 0,

aa

bb

C22vf p2 (y)dy + c,2 f up2 (y)dy +

aa

bb

+ C23 xf p2 (y)dy + C24 f y p2 (y)dy = 0.

Случай с независимыми случайными величинами х и у так же, как и в равновесии по Нэшу, не тривиален и заключается в решении системы

c, ,u f Ф( x, y)dx +c12 f v( x)Ф( x, y)dx +

aa

bb

+ c13 f xФ( x, y)dx + c14 y f Ф( x, y)dx = 0,

aa

bb

c22v f Ф( x, y)dy + c,2 f u( у)Ф( x, y)dy +

aa

bb

c23x fф( x, y)dy + c24 f уФ( x, y)dy = 0.

+

57

Таким образом, получили, что задача оптимального управления при несовпадающей информированности субъектов (3)-(4) может быть переформулирована в терминах теории игр. Получены решения частной задачи (5), (4) при

условии (6) в концепциях равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето. Также найдены

уравнения (9), (10) для нахождения и*(у) и v*(x)

в случае зависимости случайных величин х и у.

Литература

1. Гельфанд И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. М., 1961.

2. Г ермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М., 1973.

3. Максимов А.В. Многопользовательские информационные системы: основы теории и методы исследования / А.В. Максимов, Н.М. Оскорбин. Барнаул, 2005.

4. Оуэн Г. Теория игр. М., 1971.

5. Петросян Л.А. Теория игр / Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. М., 1998.

6. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. М., 2003.