О распределении Эрланга и некоторых его приложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. М. АЛЕХИН, канд. техн. наук, начальник отдела Научно-образовательного комплекса организационно-управленческих проблем ГПС Академии ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: k-post1@yandex.ru) Н. Н. БРУШЛИНСКИЙ, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры управления и экономики ГПС Академии ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: nbrus1934@yandex.ru) С. В. СОКОЛОВ, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры управления и экономики ГПС Академии ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: albrus-ssv1@yandex.ru)

УДК 614.842.661

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭРЛАНГА И НЕКОТОРЫХ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯХ

Рассмотрены вопросы моделирования временных характеристик оперативной деятельности противопожарной службы с помощью распределения Эрланга. Показано, что все временные характеристики являются случайными непрерывными величинами, поэтому изучать их нужно вероятностно-статистическими методами. Выполнен статистический анализ большого массива реальных временных характеристик процесса функционирования противопожарных служб в разных городах и странах мира, который убедительно показал, что они хорошо описываются распределением Эрланга различных порядков и распределение Эрланга, таким образом, можно рассматривать как математическую модель временных характеристик процесса функционирования противопожарных служб городов (и территорий поселений). Проанализированы нормативы по времени прибытия пожарных подразделений, изложенные в "Техническом регламенте о требованиях пожарной безопасности". Показана несостоятельность данных нормативов, так как выполнить их невозможно ни в городах, ни тем более в сельской местности. Авторами предложена своя формулировка нормативов по времени прибытия пожарных подразделений к месту вызова для городов и сельской местности.

Ключевые слова: распределение Эрланга; временные характеристики; моделирование; нормативы.

Распределение Эрланга и его числовые характеристики

Распределением Эрланга* в теории массового обслуживания называют частный случай гамма-распределения (одного из наиболее известных непрерывных распределений в теории вероятностей).

Если непрерывная величина Т подчиняется закону Эрланга, то ее функция распределения ^(х) = = Р{Т< х} имеет вид [1]:

F(т) = P{T <т} = }ц

(цт Г

0

= 1 - е-цтХ-k = 0

r!

(ЦТ )k k!

-Ц Т

dT =

(1)

где r — порядок (ранг) распределения Эрланга

(r = 0,1,2,...);

* Эрланг А. К. (1878-1929) — датский математик, статистик и инженер, основатель теории массового обслуживания. Эрланг 20 лет проработал в Копенгагенской телефонной компании. В 1909 г. была опубликована его работа "Теория вероятностей и телефонные разговоры", получившая признание во всем мире.

й — постоянный параметр этого распределения;

й = (г + 1)/Хср;

среднее значение изучаемой случайной

"ср

величины Т (т. е. мы имеем двухпараметриче-ское семейство непрерывных распределений). Для любого числа г имеем: математическое ожидание случайной величины Т:

M(T) = т ср = (r + 1)/ц ; дисперсию случайной величины T: Д (T) = (r + 1)/ ц 2;

(2)

(3)

• среднеквадратическое отклонение случайной величины Т:

ст(Т) = (г + 1)^2/й , (4)

или (более удобно использовать это выражение)

ст(Т) = х ср/( г + 1)1/2. (4')

Плотность распределения Эрланга имеет вид:

f (т) = F' (т) = ц

(ЦТ )r

r!

е~цт (т>0; r =0,1,2,.). (5)

© Алехин Е. М., Брушлинский Н. Н., Соколов С. В., 2014

-о

о

=

К •а

■с

а ч а с -й а ч х ■с

я о а •а £

0

а •а

а

ср

ср

1 X

а ш •а ср

ср I X

X

т. =

3 Й И

с

к =

о N

■ё И ш

£ о о

т. =

ср

Число случаев

[9 [10 [П [12 [13 [14 [15 [16 [17 [18 [19 [20 [21 [22 [23 [24 [25 [26 [27 [28 [29 [30 [31 [32 [33 [34 [35 [36 [37 [38 [39 [40 [41 [42 [43 [44 [45 [46 [47 [48 [49 [50 [51 [52 [53 [54 [55 [56 [57 [58 [59

№ 1) [1:2) [2; 3) [3;4) [4; 5) [5:6) [6; 7) [7; 8) [8; 9) 10) П) 12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) 21) 22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

>60 Щ

О

СП

о

-о

о о сг

"О

1Е

О

ы о

> о

о о

-♦— Эмпирические данные

-Н— Теоретические данные (Эрланг 5-го порядка)

зйййимайтмшаатмаамммммаатаааамммммммй

' г4, г4, г"" -*' -*' -*' -*' г4", г4", г*. СЧ <4 <4 <4 <4 <4 . . ГУ ГУ ГУ ГУ ГУ ГУ ГУ гу гу ГУ ? . ^ УУ УУ УУ УУ УУ УУ уу УУ УУ уу

Интервалы времени, мин

Рис. 2. Эмпирическое и теоретическое распределения времени прибытия первого пожарного подразделения в г. Москве

Анализ нормативов по времени прибытия

В п. 1 ст. 76 Технического регламента [2] говорится: "Дислокация подразделений пожарной охраны на территориях поселений и городских округов определяется исходя из условий, что время прибытия первого подразделения к месту вызова в городских поселениях и городских округах не должно превышать 10 мин, а в сельских поселениях — 20 мин". Эта формулировка заслуживает внимательного анализа, так как на практике она трактуется специалистами весьма произвольно.

Во-первых, в п. 1 ст. 76 [2] речь идет о времени прибытия первого пожарного подразделения ППС к месту вызова. Время прибытия, как известно, складывается из времени сбора личного состава по тревоге и времени следования его к месту вызова. При этом среднее значение времени сбора в городах можно оценить в 1 мин [1].

Во-вторых, в данном пункте нормируется максимальное время прибытия к месту вызова. Это значит, что пожарные подразделения в городах должны прибывать к месту вызова не позднее чем через 10 мин с момента поступления вызова в пожарную часть, а в сельской местности — не позднее чем через 20 мин с момента поступления вызова.

Именно в этом месте начинается серьезная путаница в трактовке данного норматива. Проблема, как это ни странно, заключается в том, что специалисты МЧС часто путают понятия среднего и максимального значений времени прибытия к месту вызова. Поэтому, если в каком-либо городе среднее время прибытия составляет, например, 8-9 мин, то считается, что норматив [2] выполняется, хотя в действительности разброс реальных значений времени прибытия может доходить до 30 мин и более.

Это и будет максимальное значение времени прибытия к месту вызова.

Таким образом, необходимо понимать, что максимальное значение, как правило, в несколько раз больше среднего значения изучаемой случайной величины (для ориентира здесь можно воспользоваться расширенным "правилом 3а").

В связи с этим, если нормативный документ задает максимальное значение времени прибытия 10 мин, то среднее значение будет составлять 3-4 мин, а это требует пересмотра всех существующих принципов организации ППС в городах и на территориях поселений.

Эту серьезную проблему удобнее всего анализировать с помощью распределения Эрланга.

Математическое моделирование времени прибытия

В статистическом сборнике [3] указано, что в 2012 г. среднее время прибытия первого пожарного подразделения к месту вызова в городах России составило 6,5 мин, а в сельской местности — 12,2 мин. При этом для сельской местности европейской части России имеем следующие показатели: Псковская обл. —23,8 мин; Новгородская обл. —19,1 мин; Вологодская обл. — 17,8 мин; Белгородская обл. — 16,9 мин; Тверская обл. —16,7 мин; Смоленская обл. — 15,1 мин. К этому списку можно добавить и горную Республику Дагестан, для которой это время составляет 18,8 мин.

Для всех перечисленных субъектов Российской Федерации, а также для городов и сельской местности России с помощью распределения Эрланга (и вышеупомянутой компьютерной программы) легко можно оценить максимальные значения времени прибытия первых пожарных подразделений к месту вызова.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Интервалы времени, мин

Рис. 3. Распределение времени прибытия в городах России и время, оцениваемое по "правилу 4а" (показано стрелками)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Интервалы времени, мин

Рис. 4. График кумуляты времени прибытия в городах России

Продемонстрируем работу программы. В качестве примера возьмем сначала города России. Для них среднее время прибытия в 2012 г. было равно 6,5 мин.

Пусть ранг распределения Эрланга г = 3 (можно взять любое другое целое положительное число). Задавая в качестве исходного значения среднее время прибытия пожарных подразделений к месту вызова в городах 6,5 мин, получим результаты, представленные на рис. 3-5.

Из рис. 3 видно, что разброс значений времени прибытия относительно среднего тср = 6,5 мин достаточно большой — от 0 до 20 мин. Этот разброс до максимального значения удобно оценивать с помощью "правила 4а" (ттах = хср + 4а), что хорошо видно на рис. 3.

Из рис. 4 следует, что Р{тпр > 20} = 1 - 0,998 = = 0,002, т. е. за пределы 20 мин в городах России вышли в 2012 г. только 0,2 % всех случаев прибытия первых пожарных подразделений к месту вызова, менее чем за 10 мин к месту вызова прибыли подразделения лишь в 86,2 % всех случаев. Следовательно, в 14 % случаев требования Технического регламента [2] выполнены не были. Наконец, на рис. 5 приведено семейство кривых распределения Эр-ланга от 0-го до 5-го рангов (напомним, что мы использовали при моделировании 3-й ранг). Из рис. 5 видно, что практически для всех рангов (кроме нулевого) за пределы 20 мин выходят не более 0,005 % всех случаев. При этом из формулы (4') следует, что при одном и том же значении тср чем больше ранг, тем меньше значение а. Все это полезно иметь в виду

и

- г = 0 - г= 1 - г = 2 - г = Ъ г = 4 г = 5

0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 « 0,08 & 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Интервалы времени, мин

Рис. 5. Семейство распределений Эрланга для времени прибытия в городах при тср = 6,5 мин

при моделировании временных характеристик с помощью распределения Эрланга.

Теперь мы можем легко проанализировать, например, ситуацию с временем прибытия в сельской местности России, где в 2012

г. ^срприб = 12,2 мин

(рис. 6 и 7).

Примем, как и для городов, г =3. Тогда, воспользовавшись формулой (4'), получим: а = 122/л/эП = = 6,1 мин. Применив "правило 4а", будем иметь ттах « 12,2 + 4-6,1 = 36,6 « 37 мин (см. рис. 7). При этом Р{тприб > 36} = 0,002, т. е., как и в предыдущем примере, время прибытия только в 0,2 % всех выездов превысит ттах = 36 мин.

14

{ББИ 0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 2014 ТОМ 23 №6

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Интервалы времени, мин

Рис. 6. Распределение времени прибытия в сельской местности России и время, оцененное по "правилу 4а" (показано стрелками)

Вместе с тем для Псковской области при хсрприб = = 23,8 мин и а = 23,8/л/э +1 = 11,9 мин получим хтах « 23,8 + 4-11,9 = 71,4 мин, т. е. в отдельных случаях время прибытия первых пожарных подразделений к месту вызова будет составлять 1,2 ч (что соответствует действительности).

Нормативы по времени прибытия и принятие управленческих решений

Итак, в соответствии с п. 1 ст. 76 [2] имеем следующие нормативы по времени прибытия: хтах =10 мин для городов и хтах = 20 мин для сельской местности. Это значит, что в городах среднее время прибытия должно составлять 3-4 мин, а в сельской местности — 7-8 мин. Это можно проверить, воспользовавшись примерами, приведенными выше.

Возникает важный вопрос: как реализовать эти требования на практике и какие для этого нужно принять организационно-управленческие решения?

Здесь прежде всего необходимо разумно согласовать два параметра: скорость движения пожарных автомобилей по улицам города (или в сельской местности) и число пожарных депо. При этом теоретически возможны два пути.

Первый путь заключается в резком повышении средней скорости движения пожарных автомобилей (по улицам города, например, до 60 км/ч и более). Тогда, возможно, удалось бы снизить среднее время прибытия до 3-4 мин и добиться выполнения норматива.

Второй путь состоит в существенном увеличении числа пожарных депо, что повлечет за собой

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Интервалы времени, мин

Рис. 7. График кумуляты времени прибытия в сельской местности России

огромные финансовые затраты, в частности на строительство, закупку пожарной техники и содержание личного состава [4].

Однако первый путь нереален. В ноябре 2013 г. была опубликована статья немецких специалистов [5] на эту тему. Они исследовали скорость движения обычных автомобилей по улицам Берлина и детально изучили скорость движения по тем же улицам пожарных автомобилей разного типа, следовавших на вызовы. Оказалось, что обычные автомобили двигаются со средней скоростью 24,1 км/ч, а пожарные — 31,8 км/ч независимо от времени суток, дней недели и месяцев года. Колебания при этом весьма незначительны: например, скорость в январе составила 30,8 км/ч, а в июне — 32,2 км/ч. Такая же ситуация наблюдается и в Лондоне, и в Варшаве, и в Риме, и в Париже [5]. Ни о каких 60 км/ч говорить не приходится. В Москве и Санкт-Петербурге положение не лучше.

Остается второй путь — строительство дополнительного числа пожарных депо. Для этого придется проанализировать следующую формулу [1]:

N = а к н Б/(Гс2л х 2л),

(9)

где Ыя — число пожарных депо;

а — безразмерный эмпирический коэффициент; кн — коэффициент, учитывающий непрямолинейность уличной сети (безразмерный); Б — площадь территории города, км2;

V.,

средняя скорость следования пожарных

автомобилей, км/мин;

хсл — среднее время следования пожарных автомобилей к месту вызова, мин.

Числитель в формуле (9) является величиной постоянной, а оба сомножителя в знаменателе — переменными. При этом в свете сказанного выше первый сомножитель практически тоже можно считать постоянным, равным 30 км/ч = 0,5 км/мин (вариации в любую сторону в пределах 1-2 км/ч).

В связи с этим фактически оказывается, что в формуле (9), многократно проверенной на практике, число депо Ыя зависит главным образом от значений тсл.

Если подставить в формулу (9) последовательно значения тсл, равные 3,4,5,6 мин и т. д., то сразу заметим, как резко меняется требуемое для города число депо: в первом случае в знаменателе будет стоять 32 = 9, а в последнем 62 = 36, т. е. при существенном увеличении знаменателя значение всей дроби (т. е. число депо Жд) в 4 раза уменьшится. При этом никакого существенного выигрыша ни по числу спасенных от пожара, ни по величине ущерба от него не будет [6].

Выводы

Распределение Эрланга является удачной математической моделью всех временных характеристик оперативной деятельности противопожарной службы. Оно позволяет детально анализировать любую временную характеристику этой деятельности (в частности, разброс ее значений относительно среднего).

Исследованиями установлено, что требования п. 1 ст. 76 Технического регламента [2] ни в городах, ни в сельской местности России выполнить невозможно.

В связи с этим этот пункт целесообразно сформулировать следующим образом: время прибытия первых пожарных подразделений (при полном боевом расчете) к месту вызова для городов должно составлять не более 10 мин в 90 % всех случаев, для сельской местности — не более 20 мин в 80 % всех случаев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Брушлинский H. Н., Соколов С. В., Алехин Е. М. и др. Безопасность городов. Имитационное моделирование городских процессов и систем. — М. : ФАЗИС, 2004. — 172 с.

2. Технический регламент о требованиях пожарной безопасности : Федер. закон от 22.07.2008 г. № 123-Ф3; принят Гос. Думой 04.07.2008 г.; одобр. Сов. Федерации 11.07.2008 г. — М. : ФГУ ВНИИПО, 2008. — 157 с.

3. Пожары и пожарная безопасность в 2012 г. : статистический сборник. — М. : ФГУ ВНИИПО, 2013. — 124 с.

4. Брушлинский H. Н., Соколов С. В. К вопросу о нормативах положенности основной и специальной пожарной техники для городов и населенных пунктов России // Пожарное дело. — 2009. — № 1. —С. 38-40.

5. Harald Herweg, Peter Wagner. Schnell wie die Feuerwehr // VFDB. — Heft 4, November 2013. — S. 194-204.

6. Брушлинский H. H., КостюченкоД. А., Лупанов С. А., Соколов С. В. Фактор времени // Пожарное дело. — 2012. — № 4. — С. 38-40.

Материал поступил в редакцию 27 января 2014 г.

= English

ABOUT ERLANG'S DISTRIBUTION AND SOME ITS APPLICATIONS

ALEKHIN E. M., Candidate of Technical Sciences, Chief of Office of Research-Educational Complex of the Problems of Organization and Management in the State Fire Service, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail address: k-post1@yandex.ru)

BRUSHLINSKIY N. N., Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of Management and Economy Department, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail address: nbrus1934@yandex.ru)

SOKOLOV S. V., Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of Management and Economy Department, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail address: albrus-ssv1@yandex.ru)

ABSTRACT

The article summarizes presents the problems of temporal characteristics of fire service activities modeling by means of Erlang distribution. All temporal characteristics are random continuous

16

ISSN 0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 2014 TOM 23 №6

variables and study them by using probabilistic and statistical methods. Statistical analysis of a large array of real temporal characteristics of the fire services activities in the cities and countries around the world demonstrates that they are well describes by Erlang distribution of different orders, thus the Erlang distribution can be regarded as a mathematical model of the temporal characteristics of the fire services activities of cities (and territories). There were examined the regulations of the response time for fire service contained in the "Technical regulations on fire safety requirements". It is shown the inconsistency of these regulations, due to the fact that they are not possible to realize in the cities and mainly in the rural areas. The authors propose its wording of regulations for response time of the fire units to the call set in the cities and the rural areas.

Keywords: Erlang distribution; temporal characteristics; modeling; standards.

REFERENCES

1. BrushlinskiyN. N., Sokolov S. V., AlekhinE. M. et al. Bezopasnostgorodov. Imitatsionnoyemodeliro-vaniye gorodskikh protsessov i sistem [Safety of cities. Simulation modeling of city process and systems]. Moscow, FASIS Publ., 2004. 172 p.

2. Technical Regulation about fire safety requirements. Federal Law on 22.07.2008 No. 123. Moscow, All-Russian Research Institute for Fire Protection Publ., 2008. 157 p. (in Russian).

3. Pozhary ipozharnaya bezopasnost v 2012 g.: statisticheskiy sbornik [Fires and fire safety in 2012. Statistical bulletin]. Moscow, All-Russian Research Institute for Fire Protection Publ., 2013. 124 p.

4. Brushlinskiy N. N., Sokolov S. V. K voprosy o normativakh polozhennosti osnovnoy i spetsialnoy po-zharnoy tekhniki dlya gorodov i naselyennykh punktov Rossii [About fire units standards for cities of Russia]. Pozharnoye delo —Fire Business, 2009, no. 1, pp. 38-40.

5. Harald Herweg, Peter Wagner. SchnellwiedieFeuerwehr. VFDB, Heft 4, November 2013, ss. 194-204.

6. Brushlinskiy N.N., Kostyuchenko D. A., Lupanov S. A., Sokolov S. V. Faktorvremeni [Factor of time]. Pozharnoye delo — Fire Business, 2012, no. 4, pp. 38-40.

Издательство «П0ЖНАУКА»

Представляет книгу

А. Я. Корольченко, Д. 0. Загорский КАТЕГ0РИР0ВАНИЕ ПОМЕЩЕНИЙ И ЗДАНИЙ ПО ВЗРЫВ0П0ЖАРН0Й И ПОЖАРНОЙ ОПАСНОСТИ. - М.: Пожнаука, 2010.-118 с.

В учебном пособии изложены принципы категорирования помещений и зданий по взрывопожарной и пожарной опасности, содержащиеся в современных нормативных документах. Ма примерах конкретных помещений рассмотрено использование требований нормативных документов к установлению категорий. Показана возможность изменения категорий помещений путем изменения технологии или внедрения инженерных мероприятий по снижению уровня взрывопожароопасности и повышению надежности технологического оборудования и процессов.

Пособие рассчитано на студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям "Пожарная безопасность", "Безопасность технологических процессов и производств", "Безопасность жизнедеятельности в техносфере", студентов строительных вузов и факультетов, обучающихся по специальности "Промышленное и гражданское строительство", сотрудников научно-исследовательских, проектных организаций и нормативно-технических служб, ответственных за обеспечение пожарной безопасности.

!, г. Москва, а/я 43; тел./факс: (495) 228-09-03; e-mail: mail@firepress.ru