CC BY
106
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 г. Выпуск 2 (21). С. 8-28
УДК 532.516.5
О ПРИРОДЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
П. К. Волков
«В начале было Слово ...»
Евангелие от Иоанна. Глава 1.
1. Введение
Жидкости - одна из важнейших стихий, с которой сталкивается человек и от которых зависит его жизнь. Кругооборот жидкости из атмосферы на землю, и затем снова в атмосферу определяет климат и условия жизни на земле. Весь растительный и животный мир живет благодаря жидкости, двигающейся внутри по капиллярам. Энергетический потенциал, находящийся на службе человека, получается благодаря замкнутому циклу, который проходит рабочее тело - пар, вода или жидкое топливо. Наблюдая движение жидкости в реке, озере или океане, мы восхищаемся красотой и естественностью движущейся воды, ее подвижностью и уступчивостью. И, кажется, нет ничего проще воды, к которой мы привыкли, и без которой нет жизни.
Парадоксально, но факт. Мы почти ничего не знаем о том, как движется вода. Существующие представления, основанные на естественных предпосылках о жидкости, в плане описания ее движения, поставили больше вопросов, чем дали удовлетворяющих нас ответов. Полученные математические модели оказались столь трудными для решения, а результаты исследований столь парадоксальными, что в конечном итоге дает повод задуматься, а не упустили ли мы на этом пути нечто, что составляет основу движения жидкости. Итак, пройдем цепочку рассуждений и результатов классической гидродинамики.
Реальные жидкости в нормальных условиях с большим трудом поддаются объемному сжатию. Этот экспериментальный факт представляет физическую основу для построения математических моделей, описывающих движение жидкостей. Использование приближения несжимаемости (плотность частицы малого объема не изменяется со временем) при выводе дифференциального уравнения закона сохранения массы приводит к чрезвычайно простой его формулировке - поле вектора скорости должно быть соленоидальным. Привлечение линейной зависимости напряжений в жидкости от градиента скорости при выводе дифференциального уравнения закона сохранения количества движения, дает систему эволюционных параболических уравнений для компонент вектора скорости. В результате для прогнозирования течений вязкой жидкости и дозвуковых течений газа получены уравнения Навье-Стокса. Неизотермические течения жидкостей и слабосжимаемые течения газов описываются уравнениями Обербека-Буссинеска, полученными на основе Навье-Стокса. Характеристики турбулентных течений рассчитываются по осредненным уравнениям Навье-Стокса с привлечением опытных данных. Таким образом, система Навье-Стокса составляет теоретическую базу для прогнозирования широкого круга явлений в гидромеханике и смежных областях физики, химии в земных, а также в различных гравитационных и инерционных условиях. Поэтому исследование свойств решений уравнений Навье-Стокса представляет первостепенное значение [1].
В силу большой практической значимости результатов математического моделирования для верификации вычислительных технологий созданы лабораторные экспериментальные стенды - бенчмарки - на которых измеряются характеристики стандартных типов течений. Изотермические течения жидкостей тестируют на движении воды в прямоугольной призме с движущейся крышкой [2]. Неизотермические течения газов - на движении воздуха в кубе с заданной температурой стенок [3]. Несмотря на кажущуюся простоту экспериментов, эти два вида течений дают широкий спектр наблюдаемых в природе явлений от ламинарных до тур-
булентных, и представляют абсолютно достаточный инструмент для верификации математических моделей, в том числе при больших значениях параметров задач.
Математические модели несжимаемых жидкостей имеют две особенности:
1. Системы содержат нелинейный конвективный член.
2. Условие соленоидальности поля скоростей выводит системы из класса эволюционных уравнений (системы не типа Коши-Ковалевской [1]).
Присутствие нелинейности всегда создает принципиальные математические трудности при построении решений краевых задач и традиционно считается источником многообразных динамических свойств математической модели. Именно на преодоление технических проблем, обусловленных нелинейностью уравнений Навье-Стокса, были направлены основные усилия исследователей. Идею полного учета нелинейного члена на каждом временном слое реализовали в итерационных многошаговых расчетных схемах с различными вариантами использования условия соленоидальности. Достаточно полное изложение подходов суммировано в работах [4-8]. Результаты многочисленных исследований можно сформулировать так. Для достижения хорошей сходимости при получении численных решений необходимо обеспечивать свойство сохранения потоков на границах разностных сеток или контрольных объемов и высокую степень аппроксимации уравнений. Однако значительные расхождения в результатах, получаемых по различным методикам - рис. 1 [9, 10], отсутствие должного соответствия «лучших» из них [8, 11, 12] данным экспериментов на бенчмарке [2] - рис. 2, приводит к выводу о наличии принципиальных проблем в моделях несжимаемых жидкостей, не объяснимых с позиций одной нелинейности.
Горизонтальная компонента скорости
Рисунок 1. Профиль горизонтальной компоненты скорости для течения в квадратной каверне с движущейся верхней крышкой при числе Рейнольдса Re = 103.
Расчеты по различным конечно-разностным методикам:
ППС-1 - противопотоковая схема первого порядка аппроксимации конвективного члена.
Комбинированная - линейная интерполяция ППС-1 и схемы с центральными разностями СЦР.
ППС-2 противопотоковая схема второго порядка.
QUICK - использует квадратичную интерполяцию и сохраняет потоки через границы контрольного объема
Аналогичное состояние исследований зафиксировано и для бенчмарка [3]. На прошедшей в Австралии в 2001 г. конференции СНТ’01, посвященной численному моделированию процессов теплопереноса, отмечено, что данные существующих методик не совпадают с экспериментами для всего набора тестов при различных углах наклона куба и числах Рэлея.
Источником проблем в этих моделях следует признать условие соленоидальности поля скоростей, являющееся следствием использования гипотезы несжимаемости, приведшей к бесконечной скорости распространения возмущений. Совершенно очевидно, что переход от конечной скорости к бесконечной должен определить характерное свойство решений краевых задач, а нелинейный конвективный член внесет свои коррективы. Подтверждением такого разграничения проблем служит два факта.
Во-первых, при медленных течениях жидкостей влияние нелинейного члена проявляется в виде произведения двух малых по сравнению с единицей сомножителей. Поэтому и математически и физически его воздействие может быть несущественным на фоне других факторов, определяющих развитие течения (задачи Стокса).
Изменение условия соленоидальности возможно только при исключении производной по координате (как при осесимметричном приближении), что значительно существеннее, чем пренебрежение конвективным членом. Именно по этой причине следует уделить больше внимания выводам исследований собственно задач Стокса, поскольку в них осталась единственная проблема, присущая несжимаемым жидкостям. Отсюда получаем второй факт. Пример вырожденности краевой задачи с заданным вектором скорости на границе в случае двумерной задачи Стокса для цилиндра, движущегося в вязкой жидкости [13] (парадокс Стокса), проявляет главную проблему моделей несжимаемых сред.
Для полной картины состояния математического моделирования движений вязкой несжимаемой жидкости осталось привести сведения об исследованиях существования решений краевых задач для уравнений Навье-Стокса. В этой части результаты также не утешительны. Глобальных теорем существования сильных решений в двух и трехмерном пространстве для задач с заданным вектором скорости на границах не доказано. (Да и не может быть доказано - парадокс Стокса!) Для ряда краевых задач показана корректность обобщенных (слабых) решений в пространствах соленоидальных функций [1, 14]. Причем выбор вида обобщенного решения играет важную роль. По сути, это означает признание существования приближенных решений для рассматриваемых задач.
Суммируя результаты, можно сделать вывод, что прогнозировать движение жидкостей на основе решений уравнений несжимаемых сред, вообще говоря, рискованно. Наличие частных решений (течения Пуазейля, Куэтта и др. [13]) у системы Навье-Стокса, согласующихся с данными экспериментов, наводит на необходимость проведения тщательного анализа с единых позиций специфики краевых задач, степени близости этих приближенных решений к решениям соответствующих краевых задач для полных уравнений Навье-Стокса. Парадокс Стокса и теоремы существования для обобщенных решений указывают, что, возможно, только приближенные решения (к чему?) и существуют для краевых задач с заданным вектором скорости на границах. Подтверждение этой гипотезы ставит на повестку дня задачу регуляризации уравнений несжимаемой жидкости, имеющей физическое обоснование. Далее в работе именно эти вопросы подвергнутся исследованию.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости плотности р, вязкости V относительно скорости и (х, ^) = (и,и,^) и давленияр имеют вид (уравнения Навье-Стокса)
Здесь х - эйлеровы координаты, і - время, Г - массовая сила.
По типу задания краевых условий на границе Г области й, занятой жидкостью, различают две основные постановки: а) с заданным вектором скорости на Г; б) задачи протекания; например, на участках границы Гі (вход) и Г2 (выход) задается давление и касательные компоненты скорости, а на других частях границы - вектор скорости.
2. Классификация решений в приближении Стокса
-Л -1
—и + (и • У)и =----------Ур + уАи - Г,
д і V ’ р
У-и = 0.
(1)
(2)
Получить аналитические решения краевых задач для (1)-(2) не представляется возможным вследствие нелинейности (1). Исследование свойств решений традиционно проводится решением ряда упрощенных математических постановок. Можно сформулировать два способа получения приближенных постановок.
Слабые течения предполагают малость функций и их производных. В результате из уравнений исключаются все слагаемые, имеющие порядок малости выше первого. В применении к уравнениям Навье-Стокса получаем постановки без учета нелинейного конвективного члена в (1): линейные задачи Стокса, самые близкие к исходной задаче. Поэтому простые двумерные решения демонстрируют фундаментальные свойства, обусловленные использованием приближения несжимаемости.
Слоистые течения предполагают отсутствие одной или более компонент скорости. В этом случае в уравнениях остается часть нелинейных конвективных слагаемых. Пренебрежение компонентой скорости приводит к тому, что попутно исключается и слагаемое с производной в условии соленоидальности. Совершенно очевидно, что приближение слоистого течения приводит к постановкам, дающим погрешность первого порядка малости по отношению к исходной задаче. А значит, и решения будут находиться «дальше» (в некоторой норме) от решений полной задачи, чем решения задач Стокса.
Различные комбинации этих подходов позволяют получать приближенные модели для описания различных типов течений. Степень приближения к исходной задаче легко определяется, а потому решения просто классифицируются.
Теперь сравним серию решений для краевой задачи с заданным вектором скорости на Г: одномерные задачи; двумерная задача Стокса о движении сферы; двумерная задача Стокса о движении цилиндра с постоянной скоростью в покоящейся жидкости.
Одномерные решения, самые простые, получаются при максимально возможных допущениях: приближение Стокса плюс свойство слоистого течения, приводящее к автоматическому удовлетворению условия соленоидальности. Свойства решения находятся в согласии с основной гипотезой модели вязкой жидкости: линейная зависимость трения в жидкости от градиента скорости.
Осесимметричное течение около сферы - двумерное решение в трехмерном пространстве - задача Стокса с приближением слоистого течения по одной координате. В соответствии с этим объясняются особенности решения. Хорошее соответствие решения вблизи сферы данным эксперимента - следствие модели вязкой жидкости. А распределение скорости с асимптотикой г-1, приводящее к распространению возмущения от тела на большие расстояния, есть следствие бесконечной скорости распространения возмущений с учетом осевой симметрии.
Плоское течение около цилиндра соответствует полной задаче Стокса в двумерном пространстве. Невозможность удовлетворить краевому условию для скорости на бесконечности (парадокс Стокса для цилиндра) - результат воздействия условия несжимаемости в полной его форме.
Теперь становится очевидной роль озееновских приближений. Использование конвективного слагаемого с фиксированным значением скорости позволяет изменить в «нужную сторону» асимптотику для скорости вдали от тела и в ряде случаев получить удовлетворительные приближенные формулы для скорости. Применительно к задачам обтекания цилиндра и сферы это означает следующее. Введение поправки Озеена в двумерную задачу Стокса позволило получить решение (Ламб, 1911) [13] и «уйти» от парадокса Стокса. Однако это следствие введенного слагаемого, имеющего первый порядок малости. Более тонкий учет структуры исходных уравнений с формально первым порядком малости для задачи обтекания сферы уже не позволил получить точное решение в замкнутой форме. Известно лишь приближенное решение (Ламб, 1911) [13]. Попытка уточнить решение Стокса путем его подстановки в конвективные члены с последующим решением неоднородной задачи привела к парадоксу Уайтхеда: несуществованию решения задачи Стокса во втором приближении.
Таким образом, существующие точные решения, описывающие медленные течения жидкости, получены из приближенных постановок, отличающихся от полной системы Навье-Стокса слагаемыми первого порядка малости относительно величины вносимых в систему возмущений. Попытки получить аналитические решения полной системы Стокса (приближение второго порядка малости) демонстрируют вырожденность краевых задач с заданным вектором скорости на границах.
3. Численное решение уравнений несжимаемых жидкостей
Прямая дискретизация уравнений Навье-Стокса и последовательное определение скорости и давления обычно приводит к медленно сходящемуся итерационному процессу по нелинейности. В качестве причины часто указывают на необходимость максимально точного учета нелинейного члена. Использование монотонных балансных нейтральных разностных схем, предобуславливателей, монотонизирующих регуляризаторов [5, 6], частично разнесенных сеток для скоростей и давления [7], неявных схем расщепления [8], с разными вариантами удовлетворения условия соленоидальности, позволяет получать устойчивые по времени монотонные схемы. Однако избавиться от схемной вязкости в конечно-разностных методиках невозможно [15]. Сходимость и точность зависят от класса решаемых задач, от способа дискретизации нелинейных членов, от последовательности определения искомых функций в итерационном процессе.
Использование спектральных методов снимает вопрос о схемной вязкости [16, 17]. Однако применение к моделям несжимаемых жидкостей привело к плохой устойчивости, что потребовало нефизических процедур сглаживания [18]. Природа этой неустойчивости была приписана нелинейности, которая приводит к сверткам и нелинейным алгебраическим связям в пространстве фурье-образов.
Попытки решать совместно систему уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов (МКЭ), имеющим строгое математическое обоснование, привели к плохообусловленной матрице системы алгебраических уравнений [19]. В результате пришлось отказаться от классического варианта МКЭ и перейти к использованию аппроксимирующих функций разного порядка для скоростей и давления. Этот прием позволяет решать задачи и «естественно» вводит в решение дополнительную погрешность от более грубой аппроксимации функции. Таким образом, МКЭ в этом виде, по сути, приобретает «схемную вязкость».
Подводя итог этому направлению исследований, следует отметить парадоксальный факт. Чем точнее с точки зрения решения основных классов уравнений математической физики метод, тем худший результат дает он в применении к уравнениям Навье-Стокса. Иллюстрацией этого служат данные сравнений решений для течения в квадратной каверне с движущейся крышкой, получаемых по различным численным методикам - рис.1, 2. Численные модели, позволившие получать решения, содержат дополнительный фактор - «схемную вязкость» - следствие аппроксимации уравнений, краевых условий и реализации расщепления нелинейности в конечно-разностных и конечно-элементных методиках. История реализации МКЭ показывает, что только после встраивания процедуры ухудшения точности всего решения удалось получить сходящиеся алгоритмы для метода, в котором изначально выполнены интегральные законы сохранения на элементах. Анализ первого дифференциального приближения показывает, что в этих случаях численные методы дают решения не исходной системы, а некоторой другой, содержащей дополнительные слагаемые с малыми коэффициентами [20].
0,9
0,8
0,7-
3= 0,6-ІЙ
О 0.5-и
3 п л
Ш 0,4 -0,30,20,10
J / і — і
4 /
г
/7
/ j
1
Ґ1 /
^Л.
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Горизонтальная компонента скорости
а
Е-
и
о
о.
о
и
и
(С
Е-
к
(1)
к
о
к
§
о
’У,
(Й
к
д
ц
■П
’У,
а
Е-
£Ь
(1)
д
0,5
0,4-
0,1
■0,1
■0,2-
-0,3-
-0,4-
-0,5
(.г.
д л
^1
\ /а; Уа\
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Ширина Ь
Рисунок 2. Профили горизонтальной и вертикальной компонент скорости для Яе = 3200.
Сплошная - настоящий 2Б расчет (3Б расчет практически совпадает с 2Б). А - данные экспериментов [2]. Пунктир - 2Б расчет [8], практически совпадает с [12]
Таким образом, наличие «схемной вязкости» обеспечивает присутствие в решении факторов с заведомо неясной ролью. Большие различия в решениях невозможно исключить, манипулируя сеточными параметрами. Выяснение причин такого поведения решений требует построения численных методик совместного решения уравнений для скоростей и давления, не имеющих схемной вязкости, и исследования корректности краевых задач.
4. Постановка задачи на исследование корректности краевых задач
Наиболее эффективными для этой цели являются алгоритмы, использующие вариационные методы Бубнова-Галеркина. К таковым относится, в частности, хорошо известный метод Галеркина в сочетании с конечно-элементной моделью. Данный подход предполагает поиск кусочно-полиномиального приближенного решения на элементах с условием, что разность между приближенным и точным решениями должна быть ортогональна функциям, используемым при аппроксимации. Наличие процедуры минимизации невязки по всему объему элемента и, как следствие, отсутствие схемной вязкости, делает этот метод уникальным инструментом исследования рассматриваемых моделей несжимаемой жидкости, как это имеет место и во многих других областях вычислительной математики. Следует отметить его высокую сходимость при решении краевых задач для эллиптических и параболических уравнений, уникальные возможности по применению нерегулярных сеток, эффективную аппроксимацию криволинейных границ, естественный учет различных типов граничных условий, простоту реализации [21].
Классическое применение МКЭ для (1)-(2) с полиномами одинаковой степени для всех функций и использование неявной конечно-разностной аппроксимации по времени (Д^ - шаг по времени) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно полного ансамбля (вектора) неизвестных в узлах сетки {Ф}
(3)
'А-[С] + [К] 1 {Фп+1} = ('А-[С] 1 {Ф”} - {^},
где [С], [К] - матрицы демпфирования и жесткости, {^} - вектор сил для системы МКЭ [21, 22]. При выводе (3) коэффициент в нелинейном члене в (1) взят с п временного слоя. Система (3) является исходной для анализа корректности краевых задач для (1)-(2), который опирается на исследование структуры спектра матрицы жесткости [К].
Полноценная реализация описываемого подхода в системе символьных вычислений «МаШешайса» от процедуры генерации сетки до решения системы (3) дает возможность проводить полностью аналитические вычисления в рациональных дробях, а также приближенные вычисления с плавающей запятой при задаваемой длине мантиссы [23].
5. Вырожденность краевых задач с заданным вектором скорости на границах
Исследование корректности проводилось на примере четырех задач. Это течения воды в квадратной и кубической области под действием движущейся крышки, течение между двумя вращающими круглыми цилиндрами (течение Куэтта) и движение воздуха в квадратной области под действием нагретых стенок. Для этих задач построены лабораторные стенды и получены экспериментальные данные [2, 24, 3].
Применение аналитического МКЭ при построении системы линейных алгебраических уравнений для систем Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска с заданным вектором скорости на границах приводит к системе уравнений (3) с матрицей [К], имеющей кратное собственное число ноль. Приближенный вариант МКЭ показывает наличие в спектре того же количества чисел, у которых количество нулей после запятой определяется заданной длиной мантиссы. При увеличении длины мантиссы эта группа чисел приближается к нулю. Предельное увеличение точности решения приводит к вырожденной системе, что свидетельствует, также
о вырожденности краевой задачи.
Подобное поведение спектров (наличие группы малых чисел) наблюдается для треугольных симплекс-элементов первого и второго порядков, прямоугольных эрмитовых элементов четвертого порядка с сохранением первых производных на границах элементов (потоков) [23], криволинейных изопараметрических элементов второго порядка [25], а также симплекс-элементов первого и второго порядка (тетраэдры) - для трехмерной. Так, для плоских задач с линейными, квадратичными и эрмитовыми элементами число нулей было порядка 8 (для каждой из трех задач), для трехмерных - более 100, для изопараметрических элементов - порядка 17. Чем более грубая сетка, тем меньше нулей, приведенные выше цифры соответствуют достаточно подробным сеткам.
Таким образом, мнение о необходимости сохранения потоков через границы элементов и высокой степени аппроксимации для обеспечения хорошей сходимости не получает подтверждения. Проблема связана с фундаментальным свойством вырожденности краевых задач с заданным вектором скорости на границах для исходных уравнений несжимаемой жидкости
[23]. Не имеет смысла искать объяснение во влиянии нелинейности, так как линейная задача также обладает этим свойством, что, кстати, объясняет происхождение парадокса Стокса для цилиндра. Это исследование, по сути, указывает источник проблем и направление их разрешения. В задаче Стокса, состоящей из уравнений параболического типа для компонент скорости и условия соленоидальности вектора скорости, только одна причина может приводить к вырожденности краевых задач - это условие соленоидальности поля скорости. Итак, приходим к необходимости регуляризации (изменения) условия несжимаемости.
6. Регуляризация уравнений несжимаемой жидкости
На пути построения численных схем, обладающих хорошей сходимостью, были предприняты попытки регуляризовать системы уравнений несжимаемой жидкости (свести к типу Коши-Ковалевской). Отсутствие производной по времени от функции давления в исходной системе характеризует ее как неэволюционную. Этот факт считался главным и способы регуляризации, как правило, были направлены на устранение этого «дефекта». Строились различные «в-аппроксимации» - в уравнение (2) вводился малый параметр в и производная по времени от давления с рядом слагаемых от искомых функций [26, 27, 28]. И показывалась сходимость решения регуляризованной задачи к решению исходной при 8^-0. Однако данные подходы оказались эффективными только для теоретического обоснования сходимости разностных схем. К хорошей сходимости итерационных процессов по нелинейности для
практических расчетов они не привели. Да и не могли привести, поскольку при выходе на квазистационар относительно функции давления в этих случаях приходим к вырожденной задаче, что и объясняет плохую сходимость итерационных схем для данного типа регуляризаций. Поскольку сами численные решения приближенные, то необходимо обоснование влияния введенных при регуляризации членов, что трудно сделать. Становится актуальной задача получения наиболее простой регуляризации исходной системы, содержащей в себе определенный физический смысл.
Для практического применения удачной оказалась формула регуляризации (2)
ёгу и = тV(Уp + Ж), (4)
впервые появившаяся в схеме расщепления по физическим процессам уравнений Навье-Стокса [29]. Вместе с естественным граничным условием для давления
(Vр + Ж) п = 0 , где п - нормаль к поверхности границы,
формула (4) дала хорошие результаты по сходимости численных методик [29-32].
Смысл параметра регуляризации т в различных работах свой. В [29, 30] это шаг по времени в схеме расщепления. В [31] формула (4) получена из разложений по малому параметру уравнений Больцмана [33] в приближении слабосжимаемой жидкости и параметр т связывают с масштабом турбулентности. Покажем, что т отвечает за слабую сжимаемость частиц жидкости вдоль траекторий движения.
В [28] для системы Навье-Стокса рассмотрена 8-аппроксимация с малым параметром 8 и произвольной константой у > 0, где вместо условия (2) предложено
в
+/Р
у
+ усИуи = V • ((и, V)u +— иСУи) + V(Vp + пр / Гг) (5)
2 *
и показана сходимость решений этой регуляризованной задачи к решению уравнений Навье-Стокса при 8——0.
Преобразуем (5), выделив из V • (и, V)u) производную вдоль траектории от функции дивергенции скорости, обозначая оставшиеся слагаемые через О:
^д р ^
17+уР
уШ у
+ Х<Иу и = (и • V)divи + О + V(Vp + п^ / Гг) . (6)
Рассмотрим в качестве регуляризации условия соленоидальности часть (6): и =(и -V) div и + V(Vp + п8 / Гг). (7)
Поскольку дифференцируемую функцию трех переменных можно разложить в ряд по переменной вдоль любого направления, то для функции и можно записать
и = т(и ^)1гуи |т 0 + О(т2). (8)
Подставим производную по направлению из (8) в (7), и при у = 2/т получим соотношение (4), где т согласно (8), имеет размерность времени, малый параметр. Чем сильнее изменяется дивергенция скорости вдоль траектории, тем для меньшего значения т верно (8). Модель несжимаемой жидкости предполагает, что любые отклонения от условия соленоидальности в поле скорости при движении жидкости мгновенно релаксируют. Это соответствует значению т = 0. Таким образом, т ответственно за сжимаемость жидкости вдоль траектории, характеризует время релаксации поля скоростей к свойству соленоидальности при сдвиге частиц жидкости. Причем его можно рассматривать и как новый независимый параметр, поскольку поле скоростей физически не может мгновенно релаксировать в соленоидальное. Очевидно, подобные рассуждения и выводы справедливы и для других систем уравнений, построенных на системе Навье-Стокса.
7. Корректность регуляризованных задач с заданной скоростью на границе
и задач протекания
Регуляризация условия соленоидальности (4), содержащая физический параметр т, упорядочивает спектр матрицы жесткости [К] в (3). На рис. 3 продемонстрирован характер изменений в спектре матрицы жесткости исходной и регуляризованной задач для течения в квадратной области с движущейся крышкой. Структура спектра изменилась мало [23], исчезла группа малых собственных чисел, в спектре регуляризованной задачи остался один ноль, соответствующий тому обстоятельству, что давление определяется с точностью до константы.
Рисунок 3. Спектр матрицы жесткости системы линейных уравнений МКЭ для совместной системы уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» с заданным вектором скорости на границах. Расчет на эрмитовых элементах с длиной мантиссы 20 знаков. Яе = 100 (т = 0 и 0,01)
На рис. 4 представлены спектры матрицы жесткости регуляризованной задачи для различных значений т. С уменьшением величины т на вещественной оси от основной части спектра отделяется группа чисел, движущаяся к нулю. Подобный характер изменений в спектре матрицы жесткости регуляризованной системы наблюдается для всех исследуемых задач и использованных типов элементов. Таким образом, вырожденность системы (3) и, следовательно, краевой задачи с заданным вектором скорости на границе для уравнений несжимаемой жидкости, есть следствие точного выполнения условия соленоидальности поля скоростей.
Рисунок 4. Спектр матрицы жесткости системы линейных уравнений МКЭ для регуляризованной совместной системы уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» при различных значениях параметра регуляризации т. Расчет на эрмитовых элементах с длиной мантиссы 50 знаков. В спектре матрицы один ноль (не показан)
Проведенные исследования структуры спектра матрицы жесткости МКЭ показывают, что возможность разрешения системы алгебраических уравнений появляется только тогда,
когда решается система уравнений, отличающаяся от системы Навье-Стокса. Более того, если эти отличия будут достаточно малыми, то численные решения получить уже не удастся. Этот вывод полностью объясняет парадоксальные неудачи применения точных методик (спектральные методы, МКЭ) для решения уравнений несжимаемых жидкостей. Чем точнее метод, тем меньшая величина невязки, а значит и отличия от исходной системы. Становится понятным, почему введение сглаживания на итерациях в спектральных методах и разный порядок аппроксимирующих функций в МКЭ привели к возможности расчета. Все это увеличивает погрешность и позволяет получить решение при возможно низкой ее величине для данного метода! Данные выводы находятся в полном соответствии с исследованием существования обобщенных решений и объясняют необычные свойства точных решений приближенных задач. Как будет показано ниже, факт нелинейности уравнений не играет в этом плане определяющей роли.
Для краевых задач протекания, как в случае задания давлений и равенства нулю касательной компоненты скорости на входе и выходе канала (течение Пуазейля), давление определяется однозначно. В спектре матрицы жесткости полное отсутствие нулей для линейных, квадратичных и эрмитовых элементов. При этом наблюдается качественное согласие структуры спектров у задачи с заданным вектором скорости на границах и задачи протекания -рис. 5. Эти задачи не требуют специальной регуляризации, что полностью согласуется с исследованиями существования и единственности сильного решения для краевых задач протекания уравнений Навье-Стокса [34, 35].
1од 1т Я г=0
1од 1т Я т = 10“
10
-10
Г:
.А
10
1од Яе Я
-10
N 1>
?
&
V
л
у і
т
/
с !*
/ и
1од Е1е Я
-10-8 -6 -4 -2 О
-10-8 -6 -4 -2 О
а)
б)
Рисунок 5. Спектр матрицы жесткости системы линейных уравнений МКЭ для совместной системы уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» при заданных перепадах давления (течение в канале с уступом): а) исходная система, б) регуляризованная система.
Расчет на эрмитовых элементах с длиной мантиссы 50 знаков
Решение задач протекания в приближении Стокса (течение Пуазейля в канале и в канале с уступом) приводит к единственному решению при использовании различных типов конечных элементов на заданной сетке. Решение тех же задач с учетом нелинейного конвективного члена в исходной системе уравнений Навье-Стокса получено только при сохранении потоков на границах между элементами (на эрмитовых элементах). Эти исследования показывают собственно влияние нелинейного конвективного члена на сходимость итерационного процесса по нелинейности. Таким образом, повышение порядка аппроксимации и сохранение потоков на границах элементов приводит к улучшению сходимости при решении корректной нелинейной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса (что находится в согласии с теоретическими представлениями для нелинейных задач). Однако радикальное улучшение сходимости получается при регуляризации системы уравнений Навье-Стокса (4). Теперь на тех же сетках решения получаются и на линейных и на квадратичных конечных элементах.
8. Природа параметра регуляризации и результаты расчетов бенчмарков
Введение в математическую модель несжимаемой жидкости слагаемого с малым параметром, формально ответственным за слабую сжимаемость частиц жидкости вдоль траекторий движения, ставит закономерный вопрос, насколько физически обоснована данная регуляризация? Другими словами, из каких соображений выбирать величину параметра регуляризации. Далее, предположим, что мы решили задачу при некотором т, насколько физически оправданно это решение и как можно проверить? Наконец, как быть теперь с законом сохранения массы?
На удивление, последний вопрос оказывается самым легким. В самом деле, поскольку среда теперь не является несжимаемой, то поле вектора скорости не является соленоидаль-ным. Это значит, можно по заданному полю скоростей восстановить плотность, выполнив закон сохранения массы, разрешив уравнение [13]:
Более того, по виду поля дивергенции скорости теперь можно просто получить прогноз на характерные особенности в распределении плотности. Согласно (9) областям с отрицательным значением дивергенции соответствует область течения с более плотной средой. Соответственно, для положительных значений дивергенции скорости имеем области разрежения. Таким образом, вместо терминологии с источниками и стоками, которую трудно физически обосновать для течений в замкнутых областях, появляется наглядная и понятная акустическая интерпретация. И вопрос физического обоснования регуляризации разрешается.
Вопрос выбора величины параметра регуляризации не так прост. Если бы удалось придумать эксперимент по выбору параметра и померить его, то проблема бы решилась. По математическому смыслу т зависит от динамики течения и уменьшается с ростом интенсивности. Очевидно, что для слабых течений его величина практически не существенна. Поэтому, возможно, наилучшее в данной ситуации - произвести выбор параметра регуляризации на основании сравнений расчетных и экспериментальных данных на серии бенчмарков. Эксперименты по течению Куэтта [24] соответствуют числу Рейнольдса, рассчитанному по максимальному значению скорости и радиусу цилиндра, Яе < 16. Совпадение расчетов МКЭ с линейными, квадратичными, изопараметрическими элементами [25] с данными экспериментов
[24] хорошее для величин т < 1.
Другой доступный для расчетов бенчмарк - течение воздуха в кубической полости под действием естественной конвекции от нагретой стенки [3]. Данные расчетов хорошо согласуются с экспериментами [3] при величине безразмерного параметра т ~ 10-4 (характерный масштаб длины Ь - ширина каверны, характерный масштаб скорости и = у/Ь) для чисел Рэлея до 106 (Яе < 500). При числе Рэлея Ка = 107 (Яе ~ 1200) величина параметра регуляризации, при котором наилучшее сопоставление расчетных и экспериментальных данных, уменьшается до т ~ 2-10-5 [36].
Третий бенчмарк самый распространенный - течение воды в прямоугольной каверне под действием движущейся крышки [2]. Расчеты изотермических течений (Яе = 3200) хорошо согласуются с экспериментами [2] на воде при т ~ 3-10-6 (тот же способ обезразмеривания) [36]. На рис. 6 представлены изолинии рассчитанного поля модуля вектора скорости и визуализация поля течения в эксперименте. Данные расчетов к хорошим согласованиям профилей скорости (рис.2) добавили адекватную передачу особенностей вторичных течений в углах области. Вихревое течение в застойных угловых зонах «затягивается» по ходу вращения основного вихря в углы отрывной зоны. Полученные результаты являются наилучшими по описанию наблюдаемых в данном эксперименте явлений. Результаты расчетов бенчмарка по модели несжимаемой жидкости, считающиеся наиболее точными [8, 12], соответствуют данным с минимально возможным т. При этом внутри области поле скоростей как в твердом теле (что и следовало ожидать) и более грубая структура вторичных течений.
Л
У
V • и .
(9)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рисунок 6. Поле вектора скорости в плоскости симметрии для Re = 3200 и визуализация течения в эксперименте [2]
Таким образом, величина т, при которой наблюдается согласие с экспериментами, зависит от интенсивности течения и убывает с увеличением ее. Это соответствует физике явления - дозвуковые течения с увеличением скорости более упруги, т. е. более несжимаемы - и исходным математическим предпосылкам.
Решение тестовой задачи о течении жидкости в каверне с движущейся крышкой на основе регуляризованных уравнений для Re=1000 (рис. 1) при т = 2-10- совпадают с результатами спектрального метода [11]. Расчеты по схеме ППС-2 близки данным для т = 10-6. Схема QUICK [37] дает поле скорости близкое к решению с т = 10-5. Решение с комбинированной схемой идентично решению с т = 3-10- . Данные для схемы ППС-1 практически совпадают с решением для т = 10-4. Таким образом, методики расчетов модели несжимаемой жидкости классифицируются по параметру регуляризации (здесь т обезразмерено по вязкости и ширине каверны, как и выше) в соответствии с точностью метода. Данные самых точных (спектральных) методик согласуются с расчетами при наименьших значениях параметра регуляризации.
Сравнение расчетных и экспериментальных данных для Re = 3200 показывает, что наилучшее согласование наблюдается не для наименьшего значения параметра т, при котором получено решение. Замечено, что с уменьшением его ниже некоторой величины, расчетные значения скорости начинают существенно превышать экспериментальные (рис. 2), приближаясь к данным расчетов [8, 11] по модели несжимаемой жидкости. При расчете неизотермических течений это приводит к превышению числа Нуссельта на нагреваемых (охлаждаемых) стенках [36] по отношению к экспериментам. Таким образом, условие т^-0 не означает приближения к описанию реальных течений.
Полученные выводы указывают на то, что расчетные методики на основе модели несжимаемых сред дают результаты, существенным образом зависящие от схемной вязкости, являющейся неявным регуляризующим фактором. Поскольку она не может быть контролируема априори, прогноз течений по данным технологиям невозможен. В рамках предлагаемой методики по данным экспериментов на бенчмарках выбирается величина параметра регуляризации в зависимости от чисел Рейнольдса или Рэлея.
9. Сжимаемость - источник динамических свойств жидкостей
В предыдущих параграфах было показано, что модели несжимаемых сред дают результаты, которые случайным образом могут соответствовать данным физического эксперимента. Целенаправленный прогноз динамических свойств жидкостей возможен только на основе учета эффектов сжимаемости. Покажем, что именно отход от несжимаемости дает истинное понимание природы движения жидкости и предоставляет новый взгляд на объяснение отрывных и переходных явлений.
Принципиально новым в данном подходе является учет поля дивергенции скорости. По нему строится поле плотности и можно, даже не решая этой задачи, получить важные выводы о физической сущности течений. Наличие закономерностей в поле плотности позволяет с привлечением теории акустики получить прогноз на дальнейшее развитие динамических процессов и дать новую трактовку нестационарным явлениям в жидкостях.
Классическая термодинамика требует информации о полях скорости, давления, плотности и температуры, составляющих полный исходный набор данных о состоянии любой среды. Только на основании данных всех полей можно говорить об адекватности математической модели. На рис. 7 представлены изолинии полей модуля вектора скорости, давления и дивергенции скорости для течения воды в квадратной каверне с движущейся с постоянной скоростью верхней крышкой. Хорошее качественное и количественное согласие расчетных и экспериментальных данных по полям скорости уже отмечалось. От движущейся крышки, от верхнего правого угла вниз формируется узкая струя жидкости, обходящая всю каверну и попадающая на левую часть движущейся крышки. Именно растеканием струи около верхней стенки обусловлено характерное распределение скорости в левом углу. (Линии уровня для больших значений скорости не нарисованы.)
Рисунок 7. Изолинии полей модуля вектора скорости, давления и дивергенции скорости для течения в квадратной каверне с движущейся крышкой при Яе = 3200 (т = 10-5). Знаками + и -на поле дивергенции скорости отмечены области с положительными и отрицательными значениями
В соответствии с законами взаимодействия струи с ограничивающими ее стенками, объясняются особенности в полях давления и дивергенции скорости. В поле давления абсолютный максимум расположен в правом верхнем углу, абсолютный минимум - в левом верхнем. В центре каверны - область низкого давления с примерно постоянными значениями. На нижней, левой и верхней границах, в областях натекания струи на стенки, имеются области локального максимума давления.
Наибольший интерес представляет поле дивергенции скорости, впервые представленное для этого бенчмарка. В центральной части каверны дивергенция скорости по модулю много меньше единицы. В малой области левого верхнего угла положительные значения дивергенции с максимальным значением в углу. Далее идет небольшая область отрицательных значений и снова достаточно большая область положительных. В правом верхнем углу маленькая область отрицательных значений дивергенции скорости с минимальным значением в углу. Далее идет достаточно большая область положительных значений. На начальном участке струи вблизи вертикальной стенки имеется узкая полоска положительных значений дивергенции скорости. В области разворота струи вдоль застойной зоны в правом нижнем углу и далее по ходу струи, на нижней половине струи отрицательные, а на верхней половине - положительные значения дивергенции скорости. В окрестности контакта струи со стенками -области отрицательных значений. С учетом связи знака дивергенции с характером изменения плотности (9) можно определить следующее физическое состояние жидкости.
В правом верхнем углу, где жидкость натекает на вертикальную стенку (движется с крышкой) образуется область высокой плотности и давления. В результате создаются физические условия для оттеснения жидкости из области угла, и под влиянием вертикальной стенки формируется струя жидкости. Уходящая струя создает в углу область разрежения. Таким образом, решение дает физически непротиворечивое объяснение механизму разворота течения в углу.
При повороте струи под действием сил инерции происходит уплотнение на внешней части струи и разрежение на внутренней. В области взаимодействия струи со стенками создается область повышенного давления и уплотнение среды. Наконец, в левом верхнем углу имеем область разрежения и минимума давления. Небольшая область уплотнения внутри -
следствие натекания струи на движущуюся стенку, когда часть жидкости течет в сторону угла, а большая - по направлению движения крышки.
Еще более впечатляющими представляются результаты расчетов о течении холодного воздуха через канал с горячими стенками. Рассматривались две постановки. Затопленный канал в холодной среде [38, 39], где исследуется полный процесс протекания и нагревания холодного воздуха и движение горячей струи. И модельная к ней - задача о течении в канале при заданных перепадах давления на торцах [40]. Поскольку в данном случае интересуют только собственно процессы в канале, то приведем результаты расчетов для этой области. На рис. 8 представлены графики функций для течения в вертикальном канале. Для значений параметров задачи получена установившаяся картина течения, полностью симметричная относительно оси канала. Число Рейнольдса, рассчитанное по максимальной скорости в канале и ширине канала, равно 45. Данные рис. 8 показывают, что на первой половине канала существует область сильной неравномерности всех функций. Так продольная компонента скорости на входе значительно меньше, чем в середине (рис. 8а). Имеется большая поперечная составляющая скорости, указывающая на симметричное поджатие входящего в канал потока (рис. 8б). Преобладающий перепад давления между входным и средним сечением (рис. 8в). В этой же части происходит наиболее интенсивный нагрев (рис. 8г). С точки зрения традиционных представлений о характеристиках несжимаемых сред эти данные содержат большую погрешность. Однако поле дивергенции скорости, представленное на рис. 9 расставляет все по своим местам. «Недостаток расхода» - меньшая площадь под графиком продольной компоненты скорости во входном сечении объясняется большей плотностью потока. В результате закон сохранения массы выполнен! Вдоль стенок от острых кромок на входе появляются области с меньшей плотностью - области разрежения или отрывные зоны. Такая же ситуация на выходе из канала. Область значительных изменений функций на входном участке по длине примерно равна ширине канала. За входным участком имеется картина течения, которая совпадает с общепринятыми представлениями. Таким образом, полученные данные раскрывают тонкую структуру течения, дают физически непротиворечивое объяснение.
3 <33 3 ^ а л
О 1 □ 2 о 6, О : О і О і йл ОД
Д 3 О : і О і ! 0 1 п I И Я ОД 2А
о: . О «Д» :
о і о і ь і о
о о о о а °о0£
о ; о о о о о о : О
0 1 о о 1 О О !
о о о о о 0 С 0"° □ р
О о о О О □ о □ □ д д д д д
О <3 О О □ □ □ д д д д д
.... 0( °*оо ОООоо о д °С □ °° 0 о
О □§
16 24
(а)
4 О (б)
(в)
(г)
Рисунок 8. Профиль (а) - продольной и (б) - поперечной компонент вектора скорости, (в) - давления и (г) - температуры по сечению вертикального канала при Яа = 107.
1 - входное, 2 - среднее, 3 - выходное сечение канала
Рисунок 9. Распределение дивергенции скорости вблизи канала (Рг = 0,7, Яа = 107). Область положительных значений дивергенции помечена знаком © (наибольшее значение ~ 332), отрицательных значений - знаком (наименьшее значение —155). В среднем по полю дивергенция около нуля.
Расчет течения в канале, когда на входе и выходе канала заданы давление и нулевая поперечная компонента скорости, представлен на рис. 10. Число Рейнольдса по максимальной скорости и ширине канала равно 850. Продольная и поперечная компоненты скорости практически идентичны в трех рассматриваемых сечениях. Наибольшие отличия в среднем сечении, которые наблюдаются в третьем знаке после запятой в величине интеграла. Давление имеет линейную стратификацию по длине канала. Входной поток холодного воздуха прогревается на начальном участке и далее снимаемый тепловой поток со стенок практически одинаков. Данное решение соответствует течению с преобладающим напором по сравнению с воздействием естественной конвекции. Решение для входного потока, имеющего ту же температуру, что и стенки, при одинаковых прочих условиях совпадает с решением Пуазейля с числом Рейнольдса 1250 (теоретическое!). Таким образом, полученные решения демонстрируют хорошее совпадение с теоретическими данными и проявляют воздействие естественной конвекции на расходные характеристики в напорных течениях.
0.90 0.80 0.70 0.60 I 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
О 1
□ 2 !р>
Д 3 У &>
„.0.0®?^...
& : □ : 0
0.90 Л <•••■□ *
£
0.80 0.70 &
й. & : □ О
& 6
Д. О
0.50 л О
& д : □ 0 с О
д : □ !
0.20 £ (ь & ! □ 1 О О
□ С О О
0 00 & л О
0.80 0.70 0.60 Т. 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00
о О о ; Л а ^ОД* •
1
„ □°лдд = 0° Л:АД
Д : йлд :
1
оД
п А д СШ “Л :
О □ А ?. а 0Дд
?. ; а л
0 : о 0: о ‘“а ,
0.0
2.0
4.0
и
(а)
4.0 6.0
Р
(б)
(в)
Рисунок 10. Профиль (а) - продольной компоненты вектора скорости, (б) - давления и (в) - температуры по сечению вертикального канала при АР = 10, Яа = 104.
1 - входное, 2 - среднее, 3 - выходное сечение канала
Полученные по модели регуляризованных уравнений Навье-Стокса расчетные данные дают полный объем информации о динамике жидкости и ее физическом состоянии. Успешный прогноз состояния жидкости и непротиворечивая физике явлений интерпретация расчетных данных дают надежду на адекватное прогнозирование переходных процессов по моделям регуляризованных уравнений.
В качестве первого шага решим задачу об идентификации когерентных структур. Считается, что появление специфических вихрей - когерентных структур - есть признак перехода к турбулентности. Именно по этой причине эти течения достаточно подробно исследованы экспериментально на слое смешения, начиная с работ [41, 42], а также имеется ряд попыток рассчитать их с помощью полуэмпирических и различных приближенных методик [43, 44]. С точки зрения расчета таких процессов возникает проблема адекватного описания возникновения структур, а затем развития вихрей в связи с необходимостью выбора размеров расчетной области и постановки краевых условий. Эти проблемы вместе с известными трудностями, присущими моделям несжимаемых сред, вынуждали исследователей переходить к переменным «функция тока-вихрь» или к осредненным моделям. В результате вместо исходных характеристик когерентной структуры можно было получить некоторые их производные. В данной работе рассмотрим отрезок канала с закрытыми торцами разной температуры, заполненный воздухом. При горизонтальном расположении канала вследствие «нагрева сбоку» в нем возникнет конвективное течение со встречными потоками воздуха (слой смешения). С увеличением наклона, когда холодный торец расположен выше горячего, появятся области с «нагревом снизу», в которых неустойчивая температурная стратификация будет вносить в поток возмущения и способствовать формированию когерентных структур.
В качестве модели рассмотрим уравнения Обербека-Буссинеска с регуляризованным условием соленоидальности (4) [45]. Рассмотрим прямоугольный канал с отношением сторон
1:10, заполненный воздухом (число Прандтля Рг = 0,71). Длинные боковые стенки теплоизолированы. Нижний торец нагрет, верхний - холодный. Развитие течений в наклонных каналах происходит под действием двух источников. На части области имеется перепад температур по вертикали с более высокой температурой на нижней границе. А также имеется перепад температур по горизонтали. Первый перепад создает условия неустойчивой температурной стратификации, когда более тяжелые слои газа находятся выше более легких. При малейших возмущениях в системе возникает конвективное движение. Нагрев сбоку всегда приводит к развитию течения: поток поднимается у горячей стенки и опускается около холодной. Таким образом, в зависимости от величины перепадов температуры течение может выйти на стационарный режим, либо на некоторый колебательный. Наличие управляемого «спускового механизма» для развития течений при нагреве снизу делает этот класс течений привлекательным объектом для исследования механизмов развития неустойчивостей.
Наиболее интересны установившиеся течения с синусоидальной линией раздела встречных потоков для канала, наклоненного под углом ф = п/4 (рис. 11, число Рэлея Яа = 10 , Яе = 166, т = 10-4), появление которой можно объяснить образованием в слое смешения специфических вихрей - когерентных структур. В самом деле, продольная компонента скорости представляет собой классический пример когерентной структуры для слоя смешения [44]. Поле вертикальной компоненты скорости согласуется с поперечной пульсацией скорости (расход через поперечное сечение равен нулю). Наличие в поле давления седловой точки, соответствующей геометрическому центру структуры и локальных минимумов на краях, отличает данный тип течения от других стационарных течений с криволинейной границей раздела встречных потоков, получаемых при меньших числах Рэлея. Визуализация поля дивергенции скорости завершает конструкцию когерентной структуры. Чередование областей с положительной и отрицательной величиной дивергенции скорости указывает на наличие в течении локальных областей разрежения и сжатия - стоячая волна, - характерных для акустических волн. Таким образом, данные расчеты представляют полную исходную информацию о когерентной структуре в слое смешения, инициированном естественной конвекцией.
Рисунок 11. Изолинии полей продольной Ух и поперечной Уу компонент скорости, температуры Т, давления Р и дивергенции скорости Б при Яа = 105, ф = п/4. Знаками + и -указаны области положительных и отрицательных значений дивергенции скорости
При больших значениях ф течение становится нестационарным, в котором элементы структуры появляются и исчезают в различных частях канала. Это поведение находится в соответствии с попытками разделения одного конвективного вихря в наклонном канале на два и более. При этом на границах появляющихся вихрей имеются структуры типа стоячей волны на области давления с локальным максимумом.
10. Заключение
Проведенный анализ имеющихся аналитических решений приближенных задач для уравнений Навье-Стокса, теоретических исследований корректности краевых задач, численных решений бенчмарков показывает наличие принципиальных проблем в модели, не объяснимых с позиций одной нелинейности. Пример парадокса Стокса показывает, что источник проблем - условие соленоидальности поля скорости (несжимаемость!).
Исследование спектра матрицы жесткости системы линейных алгебраических уравнений в методе конечных элементов с аналитическим вычислением узлов сетки и интегралов для уравнений Навье-Стокса в естественных переменных указывает на вырожденность краевых задач с заданным вектором скорости на границах. Этот вывод подтверждается парадоксом Стокса: отсутствием решения линейной задачи Стокса для цилиндра, движущегося в вязкой несжимаемой жидкости.
Исследования спектра матрицы для задач протекания: с заданным перепадом давления на частях границы - указывают на их корректность и отсутствие явной необходимости в регуляризации. Сходимость итерационного процесса по нелинейности имеется для элементов высокого порядка при сохранении потоков на границах элементов. Результаты в полном соответствии с теоретическими исследованиями существования и единственности сильного решения для задач протекания.
Аналогичные выводы по корректности краевых задач и результаты по сходимости получены при решении трехмерных уравнений, в том числе и для задач естественной конвекции на основе уравнений Обербека-Буссинеска.
Вырожденность краевых задач с заданным вектором скорости для уравнений несжимаемой жидкости можно объяснить отсутствием механизма передачи возмущений с бесконечной скоростью от одной границы, движущейся с заданной скоростью, к другой, где также задана скорость. Очевидно, наличие трения в жидкости не может выполнить эту функцию, а давление несет гиперболический оттенок (в уравнениях первые производные от давления). В краевых задачах протекания такой механизм (сдвиг) существует благодаря незаданной нормальной компоненте скорости на частях границ. Введение слабой сжимаемости жидкости вдоль линий тока определяет для давления уравнение Пуассона. Это уравнение силового поля с источником в каждой точке, задаваемым величиной дивергенции скорости. При этом краевая задача с заданным вектором скорости на границах становится корректной, а вычислительные алгоритмы приобретают хорошую сходимость. Предложенный способ регуляризации проявляет фундаментальное свойство сжимаемости. Если вносимые возмущения скорости определяют соленоидальное поле скорости, то это не отразится на функции давления. Таким образом, соленоидальность поля скоростей (несжимаемость среды) - это эквивалент вырожденности краевой задачи с заданным вектором скорости на границах.
Факт вырожденности краевых задач с заданным вектором скорости на границах заставляет по иному взглянуть на результаты исследований различных приложений моделей несжимаемых жидкостей и устойчивости течений. Парадоксальные выводы по ряду течений, не согласующиеся с экспериментами, вполне могут быть объяснены отсутствием решений либо слишком грубым приближением (течение Куэтта).
Плохое соответствие решений уравнений несжимаемой жидкости по различным численным методикам между собой объясняются тем, что варианты конечно-разностных схем, конечно-элементные методики с разным порядком аппроксимации для скоростей и давления и др., дают решения некоторых регуляризаций исходных уравнений с параметром, который обусловлен схемной вязкостью и не присутствует в модели явно. Поскольку величина этого параметра не может быть указана, то нет оснований ожидать одинаковых свойств численных решений для различных краевых задач, а также для различных вариантов численных схем в рамках одной и той же краевой задачи, а также совпадения с данными экспериментов. Более того, эти технологии в принципе не могут дать гарантированных результатов расчета конвективных процессов в новой геометрии области или других инерционных условиях, даже если проведе-
ны удовлетворительные расчеты на тестовой задаче или бенчмарке. Данные экспериментов в области космического материаловедения косвенно подтверждают эти выводы.
Появление в математической модели параметра, имеющего физическую природу, позволяет целенаправленно подбирать его, добиваясь соответствия с данными экспериментов на серии бенчмарков, и использовать далее при прогнозе конвективных процессов. Полученные данные можно использовать с применением теории подобия для прогноза характера изменения конвективных процессов в различных условиях. Так перегрузки моделируются меньшим значением параметра регуляризации, условия микрогравитации - большим. Эти выводы объясняют удачные прогнозы течений жидкости по моделям несжимаемых сред при перегрузках (старт ракет) на точных методиках и неудачи прогнозирования процессов в области космического материаловедения.
Классическое применение метода конечных элементов с одинаковой степенью аппроксимации функций скорости и давления позволяет получать решения регуляризованных задач для моделей несжимаемых жидкостей на элементах любого вида и порядка аппроксимации. Получаемые при этом алгоритмы не имеют схемной вязкости. Результаты расчетов бенчмарков дают наилучшие сравнения с экспериментальными данными, что полностью реабилитирует МКЭ как точный универсальный инструмент для исследования корректных краевых задач.
Результаты идентификации когерентных структур определяют в них специфическую структуру с распределением плотности как в стоячей волне на области с локальным максимумом давления. Увеличение интенсивности возмущений в течении с когерентной структурой приводит к нестационарным процессам с появлением подобных образований в различных частях течения. Поэтому появление структур типа стоячей волны в течении определяет границы устойчивости течений и области, в которых будут развиваться нестационарные процессы. В этом плане слои смешения и области взаимодействия струй с твердой границей, где наблюдается появление этих структур, являются источниками переходных процессов.
Выявление в потоке структур типа стоячей волны, являющихся причиной нестационарных процессов, определяет источник акустических колебаний и появление звука в потоках. Таким образом, учет эффекта сжимаемости позволяет на достаточно простом уровне, дающим хорошее качественное и количественное согласие с экспериментами на бенчмарках, исследовать с единых позиций широкий спектр явлений от конвективных процессов переноса тепла и массы, ламинарно-турбулентного перехода до проявления акустических свойств течений и образования ударных волн.
11. Благодарности
Своим интересом к обсуждаемым в работе проблемам автор обязан неизгладимым впечатлениям о научных дискуссиях на семинарах академика Н. Н. Яненко, 90-летие со дня рождения которого отмечено в этом году, и профессора Б. Г. Кузнецова, по проблемам моделирования течений сплошных сред. Тем неизменным вопросом Н. Н. Яненко - почему при очевидных успехах в вопросах расчета течений несжимаемых жидкостей отсутствует должное соответствие расчетов с данными экспериментов. Живые обсуждения с Х. И. Христовым, Ш. Смагуловым, Г. Г. Черных, Н. П. Мошкиным неизменно поддерживали интерес. Искренняя признательность А. И. Федосееву за обсуждение проблем в применении метода конечных элементов к моделям несжимаемых жидкостей и безвозмездное предоставление в пользование модуля СКБРЛСК для решения систем линейных алгебраических уравнений. В работе принимали участие мои ученики и бывшие сотрудники А. В. Переверзев и П. А. Ананьев, создавшие вычислительные программы для исследования течений методом конечных элементов, составившие основу вычислительного комплекса .ГотСЛБ\РЕМ, на котором были проведены расчеты.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Калужской области (проекты № 00-01-96004, № 01-01-96021, № 03-01-96301, № 04-01-97213).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / О. А. Ладыженская. - М. : Наука, 1970.
2. Koseff, K. R. and Street, R. L. The Lid-Driven cavity flow: A synthesis of qualitative and quantitative observations // Trans. ASME / J. Fluids Engng. - 1984. - V. 106. - P. 390-398.
3. Leong W. H., Hollands K. G. T., and Brunger A. P. Experimental Nusselt Number for a Cubi-cal-cavity Benchmark Problem in Natural Convection // Int. J. Heat Mass Transfer. - Vol. 42. -
1999. - Pp. 1979-1989.
4. Rosenfeld M., Kwak D., Vinokur M. A fractional step solution method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations in generalized coordinate system // J. Comput. Phys. -1991. - Vol. 94. - P. 102-137.
5. Мажорова, О. С. Монотонизирующие регуляризаторы и матричный метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости [Текст] / О. С. Мажорова, М. П. Марченко, И. В. Фрязинов // Математическое моделирование. - Т. 6. - № 12. -1994. - С. 97-116.
6. Вабищевич, П. Н. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках [Текст] / П. Н. Вабищевич, А. Н. Павлов, А. Г. Чурбанов // Математическое моделирование. - № 8(7). - 1996. - С. 81-108.
7. Вабищевич, П. Н. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках [Текст] / П. Н. Вабищевич,
А. Н. Павлов, А. Г. Чурбанов // Математическое моделирование. - № 9(4). - 1997. -С. 85-114.
8. Christov C. I., Marinova R. S. Implicit vectorial operator splitting for incompressible Navier-Stokes equations in primitive variables // Computational Technologies. - 2001. - V. 6. - № 4. -Pp. 81-108.
9. Thakur S. and Shyy W. Some implementional issue of convection schemes for finite-volume formulations // Numer. Heat Transfer. - 1993. - V. 24. - N. B. - P. 31-55.
10. Милошевич, Х. Моделирование струйных течений в сталеплавильных конвертерах [Текст] / Х. Милошевич, А. Д. Рычков, Ю. И. Шокин. - Новосибирск : Изд-во СО РАН,
2000. - 187 с.
11. Botella O. and Peyret R. Benchmark spectral results on the Lid-Driven cavity flow // Computer and Fluids. - 1998. - V. 27. - № 4. - P. 421.
12. Ghia U., Ghia K. N., Shin C. N. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equation and a multigrid method // J. Comp. Phys. - 1982. - V. 48. - P. 387-411.
13. Бэтчелор, Д. Введение в динамику жидкости [Текст] / Д. Бэтчелор. - М. : Мир, 1973. -760 с.
14. Юдович, В. И. Глобальная разрешимость - против коллапса в динамике несжимаемой жидкости [Текст] / В. И. Юдович // Математические события ХХ века. - М. : Фазис, 2002.
15. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика [Текст] / П. Роуч. - М. : Мир, 1980. - 616 с.
16. Orszag, S. A. Numerical methods for simulation of turbulence // Phys. Fluids, suppl. II. -1969. - V. 12. - №. 12. - P. 250-257.
17. Orszag, S. A. Numerical simulations of incompressible flows within simple boundaries. 1. Galerkin (spectral) representation // Stud. Appl. Math. - 1971. - V. 50. - P. 293-327.
18. Fornberg, B. A numerical study of 2-D turbulence // J. Comp. Phys. - 1977. - V. 25. - P. 1-31.
19. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич. - М. : Мир, 1975. - 541 с.
20. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике [Текст] / Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко. - Новосибирск : Наука, 1985. - 368 с.
21. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегелинд. - М. : Мир, 1979.
22. Волков, П. К. Качественные различия в динамике изотермических жидкостей в земных и космических условиях [Текст] / П. К. Волков, В. А. Переверзев // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. - Калуга : Эйдос, 2001. -С. 52-70. - Вып. 2.
23. Ананьев, П. А. Исследование корректности краевых задач для уравнений Навье-Стокса в естественных переменных [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков, А. В. Переверзев // Математическое моделирование. - Т. 16. - М., 2004. - № 5. - С. 15-28.
24. White, F. M. Viscous Fluid Flow. McGraw-Hill Book Co. Inc. New-York, NY. - 1991. - 398 p.
25. Ананьев, П. А. Методика исследований естественно-конвективных течений от нагретых стенок каналов и труб [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков, Ю. В. Герасимов,
В. Е. Корнилов, Н. С. Твердохлеб // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. - Калуга : Полиграф-Информ, 2005. - С. 37-56. - Вып. 8.
26. Temam, R. Une methode d’approximation de Ja Solution des equationsde Navier-Stokes. Bull. Soc. Mathem. de France. - 96 (1968). - P. 115-152.
27. Кузнецов, Б. Г. Об одном способе аппроксимации уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / Б. Г. Кузнецов // ДАН. - Т. 213. - № 1. - 1973.
28. Смагулов, Ш. Об одном нелинейном уравнении с малым параметром, аппроксимирующем уравнение Навье-Стокса [Текст] / Ш. Смагулов // Труды V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. 1. - Новосибирск : ВЦСО-АНСССР, 1975. - С. 123-134.
29. Chorin, A. J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. of Comput. Phys. - 1967. - V. 2. - P. 12-26.
30. Белоцерковский, О. М. Прямое численное моделирование в механике сплошных сред [Текст] / О. М. Белоцерковский. - М. : Наука, 1984. - 519 с.
31. Fedoseyev, A. I. A Regularization Approach to Solving the Navier-Stokes Equations for Problems with Boundary Layer // Comput. Fluid Dyn. J. Special Number. - 2001 (Proc. 8th ISCFD 1999 at ZARM, Bremen). - Pp. 317-324.
32. Волков, П. К. Решение регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости в переменных «скорости-давление» методом конечных элементов [Текст] / П. К. Волков, А. В. Переверзев // Вычислительные технологии. - Т. 7(2). - Новосибирск : ИВТ СОРАН, 2002. - С. 106-113.
33. Alexeev, B. V. The generalized Boltzmann equation, generalized hydrodynamic equations and their applications // Phil. Trans. Roy. Soc. London, A. 349. - (1994). - 417-443.
34. Рагулин, В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора [Текст] / В. В. Рагулин // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1976. - С. 78-92. - Вып. 27.
35. Кузнецов, Б. Г. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданных перепадах давлений [Текст] / Б. Г. Кузнецов, Н. П. Мошкин, Ш. Сма-гулов // Численные методы динамики вязкой жидкости. - Новосибирск : ИТПМ СО-АНСССР, 1983. - С. 203-207.
36. Волков, П. К. Метод конечных элементов для решения краевых задач регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости в переменных «скорости -давление» [Текст] / П. К. Волков, А. В. Переверзев // Математическое моделирование. - Т. 15. - М., 2003. -№ 3. - С. 15-28.
37. Leonard, B. P. A stable and accurate conservative modeling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. - 1979. - V. 19. - P. 59-98.
38. Volkov P. K., Pereverzev A. V., Ananiev P. A. Solving system for computational fluid dynamic JoinCAD\FEM // Fluxes and structures in fluids - 2005. - Moscow, 2006. - Selected papers. - P. 356-360.
39. Ананьев, П. А. Когерентные структуры и струи в естественно-конвективных течениях [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков // ТВТ. - 2006. - № 3.
40. Ананьев, П. А. Анализ эффективности теплообмена от стенок канала в естественноконвективных и вынужденных течениях [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. - Калуга : По-лиграф-Информ, 2006. - Вып. 9.
41. Brown G., Roshko A. On density effect and large structure in turbulent mixing layer // Ibid. -1974. - V. 64. - P. 775-816.
42. Winant C., Browand F. Vortex pairing: The mechanism of turbulent mixing growth at moderate Reynolds numbers // Ibid. - 1974. - V. 63. - P. 237-255.
43. Методы расчета турбулентных течений [Текст] / Под ред. В. Колльмана. - [пер. с англ.] // Сб. ст. - М. : Мир, 1984. - 464 с.
44. Христов, Х. И. Точечные случайные функции и крупномасштабная турбулентность [Текст] / Х. И. Христов, В. П. Нартов. - Новосибирск : Наука, 1992. - 160 с.
45. Ананьев, П. А. Исследование естественноконвективных течений с неустой-чивой температурной стратификацией [Текст] / П. А. Ананьев, П. К. Волков // ЖВМиМФ. - Т. 45. -№ 7. - 2005. - C. 1289-1302.
