О принципе напряжений Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 13, № 3, 2008

О принципе напряжений Коши

Б. Г. Кузнецов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

Necessity of a re-formulation of the Cauchy principle for stresses followed by a re-formulation of the conservation laws (momentum and energy) is discussed. New equations governing viscous gas motion and incompressible fluid motion, which differ from the Navier—Stokes equations are derived.

1. Принцип напряжений Коши

При изучении движения жидкости или газа в рамках модели сплошной среды главным является вопрос о взаимодействии различных частей объема газа. Обоснованные модели стало возможно строить после того, как Коши в 1822 году сформулировал свой принцип напряжений [1].

Этот принцип постулируется и в настоящее время: “Для любой замкнутой поверхности дQ существует распределение вектора напряжений ап с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил, действующих на сплошную среду, заключенную внутри дQ, со стороны среды, расположенной вне этой поверхности” (Трусделл, [2, с. 20]). Предполагается, что в любой момент времени і вектор ап зависит только от положения и ориентации элемента ¿в поверхности дQ.

При феноменологическом выводе законов сохранения в сплошной среде этот принцип является основным. Так, закон сохранения импульса имеет следующий вид:

— J ри ¿V = J рі¿V + У (1.1)

Я Я дя

Здесь Q — подвижный объем, точки которого движутся со скоростью и среды; р — плотность; і — внешние силы, отнесенные к единице массы.

Тензор напряжений а обычно представляется в виде: а(і, х) = т(і, х) — р(і, х) I, где т — тензор вязких напряжений, р — давление, I — единичный тензор.

До недавнего времени тензор вязких напряжений т(і, х) определялся через кинематические характеристики движения газа конечными (недифференциальными) соотношениями, инвариантными относительно произвольных точечных преобразований ко-

д(ж')

ординат вида х' = х'(і, х) при условии, что якобиан отличен от нуля и беско-

д (ж)

нечности. Назовем для удобства такой газ классическим. Подчеркнем, что требования инвариантности весьма существенны: при их невыполнении говорить о газе лишено смысла.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

Для классического газа можно принять, например, что

т = Л Ю — ( и1, (1-2)

где Л — коэффициент вязкости, Ю — тензор скоростей деформации I — единичный тензор.

Однако на этом пути не удается построить гиперболическую модель для вязкого газа, ибо из принципа напряжений Коши и соотношения (1.2) следуют известные уравнения Навье—Стокса, так называемая параболическая модель движения, которая при т = 0 дает неограниченную скорость распространения возмущений (СРВ).

В связи с этим для построения гиперболической модели с конечной СРВ в литературе широко используется прием, когда связь между напряжениями и деформациями задается вместо (1.2) некоторым дифференциальным уравнением (см., например, [3, с. 414]):

— — 2рв = т = Л/2), (1.3)

дъ ^

где

с =1 [ + дщ\ — 1 .

гк 2 V дхк дхг) 3 гк 8x1

Перепишем это уравнение в виде

дт (і, х)

а(і, х), (1.4)

ді

где тензор а (і, х) определяется очевидным образом. Напомним, что при этом не следует забывать о требованиях инвариантности, согласно которым уравнение (1.4) в переменных і, х' должно иметь вид

дт '(і, х') . '

-щ-=“(і-х >■

Нетрудно убедиться, что в данном случае требования инвариантности не выполнены. Для этого достаточно рассмотреть преобразование Галилея: х' = х — V і (вектор х задан в ортогональных декартовых координатах, а V — постоянный ненулевой вектор). Действительно, в силу этого преобразования: т'(і, х') = т(і, х); а'(і, х') = а(і, х).

Но ^ = ¿тЬ^.Атм,.

д

Величина V ■ 7— т(і, х), вообще говоря, отлична от нуля, что и доказывает неинвари-дх

антность уравнения (1.4).

Таким образом, инвариантными свойствами обладает, по-видимому, только классический газ, и, следовательно, решить проблему бесконечной СРВ на этом пути также не удастся. Но тогда остается единственно возможный путь: рассматривать только классический газ и обратить внимание на формулировку принципа Коши.

2. Новая формулировка принципа напряжений

Заметим, что в уравнении (1.1), следующем из принципа Коши, левая и правая части относятся к одному и тому же моменту времени. Иными словами, априори предполагается, что сигналы распространяются мгновенно. Рассмотрим более подробно реальный механизм передачи информации.

Из кинетической теории известно, что скорость газа и напряжения находятся с помощью функции распределения скоростей, а сама функция распределения определяется на ненулевом фазовом объеме, т. е. эти величины формируются на дQ движением молекул в некотором слое, содержащем дQ. В свою очередь информация о состоянии движения молекул в этом слое передается в Q с обязательной задержкой по времени, равной величине в (і, х) — среднему времени свободного (без столкновений) движения молекул. Скорость же передачи информации равна средней скорости движения молекул с, где с2 = £/в (£ — коэффициент диффузии, см. [4, с. 270]). Отсюда следует, что влияние напряжений Коши, возникшее к моменту времени і на дQ, может сказаться на движении молекул внутри Q, не ранее, чем в момент і* = і + в(і, х).

Итак, мы выяснили, что информация о напряжениях передается обязательно с запаздыванием, т. е. левая и правая части уравнения (1.1) должны быть отнесены к разным моментам времени (см. [5]) и принцип напряжений Коши нужно сформулировать несколько иначе:

“Для любой замкнутой поверхности дQ в любой момент времени і существует распределение вектора напряжений ап, с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил, действующих в момент і + в (і, х) на сплошную среду, заключенную внутри дQ, со стороны среды, лежащей вне этой поверхности”.

3. Уравнения движения вязкого газа

Для простоты ограничимся исследованием движения одноатомного газа, т. е. когда в соотношении (1.2) £ = 0. Получить уравнения для многоатомного газа не представляет затруднений.

Выпишем теперь, в соответствии с новой формулировкой принципа напряжений, законы сохранения импульса и энергии в сплошной среде. Условимся величины, относящиеся к моменту времени і + в, помечать индексом “*”.

Закон сохранения импульса в новой формулировке примет вид

¿і j Р*и* ¿V = J Р*Д* ¿V + j а • п ¿в.

Я* я* дя

Здесь а — тензор напряжений, р* = р(і*, х*), и* = и(і*, х*). Вектор х*(і*, х) задает

в момент і* = і + в положение подвижной точки, занимавшей в момент і положение,

задаваемое вектором х. Учитывая, что Q* — подвижный объем и J р* ¿V = / рйь,

я* я

дифференциальное уравнение сохранения импульса можно записать в виде

Р~Т* = РД* + а. (3.1)

аі

¿и

Здесь с точностью до о(в) и* = и + в—. Тензор напряжений задается формулой

¿і

а = Л Ю — р1, где Л — коэффициент вязкости, Ю — тензор скоростей деформации,

I — единичный тензор. В результате уравнение (3.1) с точностью до членов порядка в

включительно примет следующий вид:

¿ ¿и

и+ви) + ур=* + У(Л (32)

где V = grad — оператор <градиент> по пространственным переменным. Из (3.2) вытекает следствие

d (u2 Л d u2\ Л , „du du „ „. . .

pdt (T + вл Y)+ л d : D - pdlv u - pffdt • л = pf• •u + V(CT•u) (3 3)

Применяя далее те же рассуждения, что и при выводе уравнения сохранения им-

П2

пульса для полной энергии р(Е +—^), используя следствие (3.3), найдем уравнение сохранения энергии:

4. (Е+ef)=Л D: D - p div u - peii • ш+V (c*лvt ) • (34)

Здесь cv — теплоемкость при постоянном объеме, T — абсолютная температура. Добавляя к уравнениям (3.2), (3.4) уравнение неразрывности:

dp

— + p div u = 0, dt

получим полную систему уравнений движения вязкого газа с учетом задержки в передаче информации. Обратим внимание на то, что в (3.2) и (3.4) фигурирует один и тот же коэффициент Л, для этого мы воспользовались информацией о коэффициентах вязкости и теплопроводности, изложенной в книге [4, с. 270]. Остается задать функции p(p,T), Е(p,T), Л(р,Т) и 9(p,T)• При этом подразумевается, что функции p(p,T) и Е(p,T) заданы так, что первый закон термодинамики имеет место. На определении вида функции в(р,Т) остановимся немного ниже.

Теперь покажем, что в отличие от уравнений Навье—Стокса здесь скорость распространения возмущений (СРВ) при в > 0 конечна. Для этого достаточно рассмотреть характеристики уравнений движения в одномерном случае. Уравнения при этом имеют вид

dp du d д д

dt + Р дх , dt dt + дх ’

p^(u+в£) + (дг) Г + (дТ) дТ = РХ + т(латг

dt dt \opJT дх \оТ) дх дх \ дх

d „ dE ч (дп )2 дп „( du )2 д ( , дТ

pdt(Е + в1й) = -рд~х -pe\Tt) + дх Ла^] • (3-5)

Под характеристической поверхностью w(x) = const системы квазилинейных уравнений q-го порядка понимается [6, с. 484] такая поверхность, на которой данные Коши и уравнения не позволяют однозначно определить производные от функций q-го порядка по нормали к поверхности. Однако в нашем случае стандартная процедура вывода уравнений характеристик не работает, поскольку в системе (3.5) есть уравнения и первого, и второго порядков. В связи с этим рассмотрим сначала простейший случай совершенного газа, когда Е = Е(Т), т. е. функции п(.,х),Т(t, х) имеют в уравнениях вторые производные, а p(t, х) — только первые. Понятно, что здесь в качестве данных Коши на поверхности u(t, х) = const нужно задать только p, u, дп/дп, Т, дТ/дп. Обратим внимание на то, что Op/Оп не задается. Далее, с помощью уравнений (3.5) и данных Коши,

др д 2и д 2Т

следует найти

дп (дп)2 (дп)2 ющее неоднозначность их определения, имеет вид

на рассматриваемой поверхности. Условие, обеспечива-

¿и

аь,

0,

их

Ш,' "(Э—л*-'

0,

0,

т. е. характеристики задаются уравнениями

рЄ{іе) — Ли

= 0,

аі

.¿и

рв[1я

2

Л .

(3.6)

дЕ

Заметим, что в общем случае, когда ( —— ) =0, приведенные рассуждения не

др у т

правомерны, поскольку функция р(Ь,х) в системе (3.5) также будет иметь вторые производные. В связи с этим здесь для определения характеристик можно предложить следующий прием: продифференцируем первое уравнение системы (3.5), например, по в результате полученная продолженная система будет системой второго порядка, для которой можно поставить соответствующую задачу Коши и получить условие, обеспе-

д2р д2и д2 Т

” -т, которое имеет вид 2

чивающее неоднозначность определения

и

(дп)2’ (дп)2 (дп)

иг

&и dі '

0,

дЕ ) т

др) , '

р иг их' *,

0,

где * = рв(^ — Лих2.

Нетрудно убедиться, что отсюда следуют те же уравнения характеристик, что и в (3.6). Подчеркнем, что характеристику иг = 0 необходимо исключить, так как она является результатом дифференцирования по і первого уравнения системы (3.5) и к исходной системе отношения не имеет. Таким же образом можно получить уравнения для характеристических поверхностей в многомерном случае.

0

0

0

2

с

V

2

0

4. Постановка задач

Модифицированная система уравнений движения вязкого газа требует постановки задач, отличной от постановки задач как для модели Эйлера, так и для модели Навье— Стокса. Ниже, ради простоты, ограничимся задачами для одномерного движения совершенного газа. Оговоримся сразу, что трудные вопросы физической реализации поставленных математических условий остаются в стороне.

Уравнения одномерного движения совершенного вязкого газа при отсутствии внешних сил имеют вид

dp du d д д d f ndu\

-Т + p^- = 0, -Г = 7Г+ UT-, p^\u + в— +

dt dx dt dt dx dt \ dt J

+i(pRT) = dx(Л^)- pCvd(T+вж]+pRTdu =

= -'(s) - pe(d0 + ixi^TtXx)- (4Л)

Здесь T — температура, R = cp-cv > 0 — газовая постоянная, cp, cv — удельные теплоемкости. Принимается, что cp, cv — постоянные. Заметим, что при Л = 0, в = 0 уравнения (4.1) переходят в уравнения Эйлера, а при Л> 0, в = 0 — в уравнения Навье—Стокса.

В качестве области Q в пространстве t, x рассматривается прямоугольник 0<t<ti,

—L < x < L, где t1, L — некоторые постоянные.

При постановке задач будем руководствоваться известным соображением, что характеристики приносят в Q информацию с ее границы dQ, следовательно, количество условий на том или ином участке границы должно быть равно числу характеристик, входящих там в область Q.

Характеристики u(t,x) = const системы (4.1) подчинены уравнениям:

1) ut + uux = 0; 2) ut + (u ± c)ux = 0, (4.2)

где C — скорость распространения возмущений, причем для невязкого газа она опреде-

c

ляется формулой Лапласа: c2 = — p/p, а при Л> 0 и в > 0 — формулой с2 = Л/рв.

Cv

Характеристики второй группы — двойные, в связи с чем для модифицированных уравнений, в отличие от уравнений Эйлера, потребуются дополнительные начальные усло-

du дТ

вия: при t = 0, — L < x < L необходимо задать не только р, u, Т , но и — , -¿—.

dt dt

Аналогично, в случае сверхзвукового потока на входе в область (x = — L при u > 0)

du дТ

необходимо задать не только функции p,u,T от t, но и —— ^ -^—. В дозвуковом случае

дx дx

на входе в область следует задать три функции — p, u, T, а на выходе — только u, T. Возникает естественный вопрос: откуда взять дополнительную (по сравнению с невяз-

дu дТ

ким газом) информацию, чтобы задать величины —, —— в начальных условиях, или

(Я (Я

(u дТ

—, —— в краевых условиях при сверхзвуке. При решении конкретных физических дx дx

задач эту информацию можно получить из опыта, а при решении абстрактных задач следует руководствоваться тем соображением, что газ приходит в начальное состояние (или в состояние при x = 0), подчиняясь соответствующим законам. Иными словами, в начальный момент необходимо знать состояние газа не только при t = 0, но и немного раньше (аналогично с краевыми условиями).

В качестве примера решения уравнений (4.1) при в > 0, Л > 0 рассмотрим задачу о распространении возмущений в покоящейся среде. В этом случае величина СРВ постоянна, и решение уравнений (4.1) в окрестности волны можно искать в виде p(u), u(u), Т(и), где и = x + ct, с2 = Л/рв. После подстановки в (4.1) найдем:

cp + pu =0, cp (u + вп с) + (pRt)' = Лп ,

cpcv (Т' + cвT") + p RT u = (Л — pв c2)(u )2 + Лои Т".

Здесь штрихом обозначены производные по аргументу ш. После несложных математических выкладок получим отсюда, что при и' = 0 величина с2, определяемая форму-

с

лами с2 = — ВТ и с2 = Л/ р9, одна и та же, т. е. функция 9 однозначно определяется

с,

формулой

др(р, Б)

9 = Л/р^рт-

где Б — энтропия.

Рассмотрим теперь с позиций общих уравнений (4.1) уравнения Навье—Стокса, которые получаются из (4.1), если устремить величину 9 к нулю, предполагая при этом, что величина Л остается строго больше нуля. Нетрудно убедиться, что эти условия приводят к физическим противоречиям. Действительно, из кинетической теории газов известно (см., например, [4, с. 270]), что коэффициент вязкости Л пропорционален величине рс1, где с — средняя скорость хаотического движения молекул, а I — средняя длина свободного пробега. Далее очевидно, что I пропорциональна с9, так что Л будет величиной, пропорциональной рс2 9. Отсюда следует, что при стремлении 9 к нулю, Л может оставаться отличной от нуля только при с, стремящемся к бесконечности. Иными словами, это возможно только в случае, когда средняя скорость хаотического движения молекул, а значит, и скорость звука являются неограниченными величинами. С другой стороны, в уравнениях Навье—Стокса подразумевается, что температура газа ограничена, что трудно совмещается с бесконечной скоростью с. Таким образом, можно заключить, что в модели Навье—Стокса и с точки зрения кинетической теории имеются противоречия.

5. Установившееся движение

Для уравнений Навье—Стокса известно решение о так называемом ударном слое (см., например, [2, с. 186-192]). В связи с этим целесообразно рассмотреть некоторые установившиеся одномерные движения совершенного газа, подчиненного уравнениям движения (4.1) при различных значениях параметров Л, 9. Из (4.1) следует, что такие движения подчинены уравнениям

д , ч д ( . ди\ д д ди

дх(ри) = ри +9идХ + дх(рВТ) = дх(Л а;)-

рис, ¿(V + 9идТ) + РВТ^ = (Л — рви2)( ^ + ^(ЛС, дт). (5.1)

2

с, с\ I т + 9 и ^ I + р ^ „ (Л р 9 и I + О \Л сV О

дх \ дх) дх \дх) дх \ дх

Отметим, что аналог диссипативной функции Рэлея имеет здесь вид: Ф = (Л — ( ди \ 2

р9и2) ( дх I . При дозвуковом (Л — р9и2 > 0) движении Ф будет положительным

и механическая энергия, как обычно, переходит в тепло, правда, немного медленнее. При сверхзвуковом движении Ф — отрицательно, т. е. в этом случае, наоборот, тепло переходит в кинетическую энергию.

Из уравнений (5.1) нетрудно получить первые интегралы

^и

ри = т> 0, (Л — т9и) и— = т(ВТ + и2 — аи),

ах

аТ и2

(Л — т9и) с, — = т с,Т-----------------+ аи — Ь , (5.2)

ах \ 2 )

где т, а, Ь — постоянные интегрирования.

Из (5.2) следует, что для невязкого газа существуют только две возможности: либо решение, когда р, и, Т постоянны, либо, если набегающий поток сверхзвуковой, возможен скачок уплотнения, по сторонам которого р, и, Т связаны известными условиями Рэнкина—Г югонио.

В отличие от невязкого газа при Л > 0, 9 > 0 (и при Л > 0, 9 = 0) возможны нетривиальные гладкие решения. Для того чтобы найти эти решения с монотонным изменением скорости и(х), удобно в качестве независимой переменной принять функцию и. Тогда из уравнений (5.2) следует, что при Л > 0, 9 > 0 (и при Л > 0, 9 = 0) функция Т (и) должна удовлетворять уравнению Абеля второго рода:

с, —— (ВТ + и2 — аи) = и (с,-----------+ аи — М . (5.3)

аи 2

Аналитическое решение этого уравнения затруднительно, поэтому авторы задачи об ударном слое (см., например, [2, с. 190]) силовым образом заменили множитель с, перед

—т

—и

(5.3) в виде

ср Т = Ь — и2/2 + аи. (5.4)

—— в левой части (5.3) на ср ив результате смогли указать частное решение уравнения

В свою очередь это позволило свести решение задачи об ударном слое к квадратуре. Поскольку наша цель — оценка влияния параметра 9 на решение, будем использовать (5.3) и для случая 9 > 0, так что и для модифицированных уравнений можем принять

(Ы = (и — и1)(и — и2)

—х (Л — т9и) и . ( )

Здесь и1, и2 — положительные постоянные, определяемые заданием параметров а, Ь из (5.2). В силу произвола выбора а, Ь величины и1, и2 могут принимать произвольные (у нас — положительные) значения.

При Л > 0, 9 = 0 соотношение (5.5) задает функцию и(х), монотонно убывающую от значения и = и1 > 0 при х = —то до значения и = и2 > 0 при х = +то.

Перейдем к исследованию случая Л > 0, 9 > 0, причем решение уравнения (5.5), как мы уже условились, возьмем в том же виде (5.4). Из (5.5) вытекает, что здесь следует различать до- и сверхзвуковой случаи, поскольку они существенно различны. В дозвуковом случае функция и(х) будет монотонно убывать от значения и1 при х = —то до значения и2 < и1 при х = +то. Профиль и(х) по существу будет при малых и(х) близок к профилю ударного слоя, полученного для 9 = 0 (см., [2, с. 187]). Однако в сверхзвуковом потоке картина существенно меняется: при отсутствии разрывов функция и(х) становится монотонно возрастающей от значения и1 при х = —то до значения и2 > и1 при х = +то.

Рассмотрим более подробно случай, когда набегающий поток — сверхзвуковой (Л — т9и < 0), а выходящий — дозвуковой (Л — т9и > 0). Из (5.5) с очевидностью следует, что гладкого профиля и(х), соединяющего скорость сверхзвукового потока и1 на х = —то со скоростью дозвукового потока и2 на +то, имеющего вид ударного слоя, здесь не может быть. Это означает, что в модифицированной модели, как и в модели

Эйлера, сверхзвуковой поток может перейти в дозвуковой только с помощью разрыва без какого-либо размазывания за счет вязкости.

6. Модель вязкой несжимаемой жидкости

Отдельно рассмотрим случай несжимаемой вязкой жидкости. В соответствующей реальной среде молекулы совершают хаотические движения, сталкиваются между собой, следовательно, можно говорить о параметре в. Давление p здесь не является термодинамической функцией. Коэффициент вязкости и параметр в зависят только от температуры. Ограничимся наиболее простым случаем, когда эти параметры постоянны. Исходя из уравнений (3.2) и (3.4), полагая р = 1, получаем замкнутую систему уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости:

dlvu = 0 f + Ш (eS + VP =f + eft + V(AD)- (61)

Подчеркнем, что уравнение сохранения импульса системы (6.1), в отличие от уравнений Навье—Стокса, содержит дополнительные члены, и среди них — вторая производная по времени от скорости. Найдем характеристики u(t, x) = const системы (6.1):

2,2,2 , f du\ 2 / 2 i 2 i 2\

Ux + Uy + uz = const, ( — I = с {шх + Uy + uz)

Первое семейство отражает свойство несжимаемости жидкости и дает бесконечную скорость распространения возмущений. Вторая группа характеристик связана с хаотическим движением молекул и дает конечную скорость распространения возмущений c = \/ А/рв.

В плоском случае можно ввести функцию тока ф и вихрь скорости ( по формулам

и = фу, v = -фх, Z = Uy - Vx = Дф,

где и, v — компоненты скорости, Д — оператор Лапласа по переменным х, у. Исключая перекрестным дифференцированием давление, получим систему уравнений (без внешних сил):

ж + 1(в§) = АД<' z = Дф, (62)

с характеристиками u(t,x,y) = const, подчиненными уравнениям

иХ + иУ =0, ^~dtt) = с (иХ + Uy)-

Заметим,что решение Пуазейля удовлетворяет системе (6.2). В связи с этим представляется интересным выяснить, как повлияет наличие новых (по сравнению с уравнениями Навье—Стокса) членов на устойчивость решения Пуазейля. Если собрать в правой части уравнения для ( из системы (6.2) все члены со вторыми пространственными производными, то полученный таким образом оператор будет отрицательным только при условии и2 + V2 < с2.

Список литературы

[1] CaüOHY A.L. Sur les équations, qui expriment les conditions d’équilibre, ou les lois du mouvement interieur d’un corps solid, elastique ou non elastique // Exercices de Mathematique par Cauchy, IlI-e Annee, 1828.

[2] Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: ИЛ, 1963.

[3] Жданов В.М., Ролдугин В.И. Неравновесная термодинамика и кинетическая теория разреженных газов // Успехи физ. наук. 1998. Т. 168, № 4. C. 407-438.

[4] Штрауф Е.А. Молекулярная физика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949.

[5] Кузнецов Б.Г. Гиперболическая модификация уравнения Навье—Стокса // ПМТФ. 1993. № 6. C. 133-141.

[6] Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.

Поступила в редакцию 5 декабря 2007 г.