О преобразовании Фурье одного класса целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 111-124.

УДК 517.982.3

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ ОДНОГО КЛАССА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

И.Х. МУСИН, М.И. МУСИН

Аннотация. Рассматривается пространство целых функций нескольких комплексных переменных, быстро убывающих в Мга и таких, что их рост вдоль iRn контролируется при помощи некоторого семейства весовых функций. При некоторых предположениях на весовые функции получено эквивалентное описание этого пространства в терминах оценок на частные производные функций в Мга и доказана теорема типа Пэли-Винера.

Ключевые слова: пространства Гельфанда-Шилова, преобразование Фурье, целые функции, выпуклые функции.

Mathematics Subject Classification: 32A15, 42B10, 46E10, 46F05, 42A38

1. Введение

1.1. О проблеме. Пусть Ф = {pm}„=i - семейство непрерывных неубывающих функций pm : [0, то) ^ R таких, что для любого т Е N:

11). lim Рт( ) = +то;

ж^+те х

12). для любого А > 0 существует постоянная С(т, А) > 0 такая, что

'рт(х) + Аln(1 + х) < pm+i(x) + С(т, А), х > 0.

Пусть Н(Cra) - пространство целых функций в Cra с обычной топологией. Для и Е Mra(Cra) обозначим через ||и|| его евклидову норму.

Для произвольных V Е N и к Е Z+ введём нормированное пространство

Ек Р) = {f Е Н (Сга) : Pv,k (/) = sup 1 If < то}.

Пусть Е(pv) - проективный предел пространств Ек (pv), Е(Ф) - индуктивный предел пространств Е (pv).

Отметим, что если функции pv определить по формуле pv(х) = П(их) (и Е N), где П - вещественнозначная непрерывно дифференцируемая функция на [0, то) такая, что П(0) = П'(0) = 0, П' возрастает и lim П'(х) = +то (таким образом, в этом случае весовые функции pu(||х||) - выпуклые в Rra), то Е(Ф) совпадает с пространством Гельфанда-Шилова Wп [1] - [5]. В работах [1] - [5] было изучено преобразование Фурье пространства Wп и дано альтернативное определение Wп. Отметим, что в работе [6] при изучении подобных вопросов в близком (по существу дела) к пространству Wп пространстве целых функций, быстро убывающих на вещественной оси, от требования выпуклости весовых функций удалось избавиться.

I.Kh. Musin, M.I. MusiN, On Fourier transformation of a class of entire functions. © Мусин И.Х., Мусин М.И. 2014.

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №14-01-00720, 14-01-97037) и Программы ОМН РАН. Поступила 5 ноября 2014 г.

Цель работы - описать преобразование Фурье пространства Е(Ф) и охарактеризовать Е(Ф) в терминах оценок на частные производные функций в Кп при достаточно общих дополнительных условиях на Ф, распространяя подходы работы [6] на случай многих переменных.

1.2. Обозначения и определения. Для и = (щ,... ,ип), V = (V1,..., ьп) Е Мп(Сп) полагаем (и, ь) = и1ь1 + • • • + ипьп.

Для а = (а1,... ,ап) Е И+, х = (х1,... ,хп) Е Еп, г = (г1,..., гп) Е Сп |а| = а1 +... + ап,

X X Л а А,/ А/ 1 ^/П 1 ^^

öl

1 ^П j ^ ^п ; ^ ...дх"" '

Если а = (а1,..., an),ß = (ß1,..., ßn) Е Z+, то: обозначение а < ß означает, что aj < ßj

п

(j = 1, 2,... ,п); при а < ß полагаем Cß = П CZ].

j=1 J

sn(1) - площадь единичной сферы в Rn.

Для функции и : [0, œ) ^ R полагаем и[е](х) := и(ех), х > 0. Для краткости обозначим рт[е] через гфт (т Е N).

В - множество всех непрерывных функций g : [0, <х) ^ R, удовлетворяющих условию lim ) = +œ.

x^+o X

Пусть V = {h Е В : h выпукла на [0, œ)}, V = {h Е V : h возрастает на [0, œ) и h(0) = 0}. Для g Е V пусть Va = {h Е V : h совпадает с g на [dh, œ), где dh - некоторое положительное число, зависящее от h}.

Преобразование Юнга g* функции g Е В определяется по формуле: д*(х) = sup(xy — д(у)), х > 0.

у>0

1.3. Основные результаты. Пусть Ф* = {ф**}'^=1. Для v Е N и m Е Z+ пусть

SrnЮ = и Е C'(Rn) : nm,v(f) = sup (1 + )(X)] < œ}.

xeRn,aez+ aie >

oo oo

Пусть ^ (r„) = n £Ж), s (Ф*) = и s m.

m=0 v=1

Теоремы 1 и 2 (доказанные в разделе 3 по стандартным схемам) нацелены на описание функций из Е (Ф) в терминах оценок на частные производные в Rn.

Теорема 1. Пусть семейство Ф удовлетворяет условию г3): для каждого m Е N существует постоянная ат > 0 такая, что

Рт(2х) < (рт+1(х) + ат, х > 0.

Тогда если f Е Е(Ф), 'то /r е S(Ф*).

Теорема 2. Пусть семейство Ф удовлетворяет условию г'3):

для любого m Е N существуют постоянные ат > 1 и тт > 0 такие, что

рт(Ртх ) < <Рт+1(х) + 1т, х > 0.

Тогда любая функция f Е S(Ф*) допускает единственное продолжение до целой функции, принадлежащей Е(Ф).

Доказательства Теорем 1 и 2 дают дополнительную информацию о структуре Е(Ф). А именно, для каждого и Е N пусть Н(Lpv) - проективный предел пространств

I f(z)\(1 + \\z\\)k

Uk(pv) = {f Е H(Cn) : Mvk(î) = sup ^yiL(1+||L^ < œ},k Е Z+.

Пусть 'Н(Ф) - индуктивный предел пространств %(pv). В разделе 3 показано, что если семейство Ф удовлетворяет условию i3), то Е(Ф) = Н(Ф) (см. Предложение 1).

Переходя к задачам, связанным с преобразованием Фурье в Е(Ф), определим ещё один класс бесконечно дифференцируемых функций в Rn. Пусть U = {uv- произвольное семейство неубывающих выпуклых функций uu на [0, то) таких, что для любого и Е N:

i1). lim v( ) = +то;

ж^+те х

%2). lim (uv(х) - u^+i(x)) = +то.

ж^+те

Для v Е N и т Е Z+ пусть

Gm(u„) = {fECTR): \\f\\m,Uv = sup, №^^ < то}.

H<m Z+

те те

Пусть G(uv) = P| Gm(uv), G(U) = U G(uv). Наделим G(uv) топологией, определяемой

m=0 i=1

семейством норм \\ • \\m,^ (т Е Z+), а G(U) - топологией индуктивного предела пространств G(uv).

Определим преобразование Фурье f функции f Е Е (Ф) по формуле

/(х) = / №еd£, х Е R.

JR"

В разделе 4 доказана

Теорема 3. Пусть Ф удовлетворяет условию i3) Теоремы 1 и условию г4): для каждого т Е N существуют постоянные hm > 1 и lm > 0 такие, что

2 Pm(x) < Pm+l(hmX) + lm, X > 0.

Тогда преобразование Фурье Т : f Е Е(Ф) ^ f устанавливает изоморфизм пространств Е(Ф) и G^*).

Далее, пусть Ф* = {p*v}^=1. Для и Е N и т Е Z+ пусть

GSm&t) = U Е Cm(Rra) : qm,„(/) = sup < то}.

Для РЕ N пусть GS (p*) = П GSm(p*). Пусть GS (Ф*) = и GSp). Наделим GS (pi)

mez+ ueN

топологией, определяемой системой норм qUtm (т Е Z+), GS(Ф*) - топологией индуктивного предела пространств GS (pi).

В пятом разделе доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть семейство Ф состоит из выпуклых функций и удовлетворяет, условию г3) Теоремы 1. Тогда G^*) = GS(Ф*).

2. Вспомогательные результаты

При доказательстве теорем нам понадобятся следующие три леммы.

Лемма 1. Пусть g Е Б. Тогда для любого М > 0 существует постоянная Ам > 0 такая, что для всех х > 0

х

(д[е])*(х) < хln м -х + Ам.

Лемма 1 доказана в [6].

е №])*(М)

Следствие 1. Пусть д Е Б. Тогда для любого b > 0 ряд ~Ца\\—й- сходится. По той же схеме, что и Лемма 2 в [6], доказывается следующая лемма.

Лемма 2. Пусть и,ь Е В и существуют числа г > 0 и С > 0 такие, что

2и(х) < и(х + т) + С, х > 0. Тогда найдётся число А > 0 такое, что

у*(х + у) < и*(х) + и*(у) + т(х + у) + А, х,у > 0.

Лемма 3. Пусть вещественнозначные функции u,v Е С[0, ж) таковы, что:

. ,. u[e](x) .. v[e](x) 1. li^ 1 n у = li^ 1 n y =

х^+те X х^+те X

2. существуют числа a > 1 и j > 0 такие, что

u(ax) - v(x) + j, x > 0.

Тогда

(u[e])*(x) — (i>[e])*(x) > xIna — j, x > 0.

Доказательство. Очевидно, u[e](t + lna) < v[e](t) + j, t > 0. Тогда для x > 0

(u[e])*(x) — (w[e])*(x) = sup(xt — u[e](t)) — sup(xt — v[e](t)) >

t>0 t>0

> sup(xt — u[e](t)) — sup(xt — u[e](t + lna)) — j =

>0 >0

= sup(xt — u[e](t)) — sup(x(i + lna) — u[e](t + lna)) + xlna — j > xlna — j.

>0 >0

3. Эквивалентное описание E(Ф) при дополнительных условиях на Ф

3.1. Доказательство Теоремы 1. Пусть f Е E(Ф). Тогда f Е E(pv) при некотором v Е N. Пусть т Е Z+, а Е Z+ и x Е Rn произвольны. Пользуясь интегральной формулой Коши, имеем

(1 + llxH)-D f)(x) = -0- Г ... Г_f(0(1 + _

(1 + lxl) (D l)(x) (2m)nJ J ((1 —xi)ai+1 ••• ((n — xn)^ + 1 ,

Lr(x)

где для любого R > 0 Lr(x) = {( = (£д,... , (n) Е Cn : |Q — xj| = R,j = 1,..., n}. Отсюда получаем, что

(1 + МЛ^. 0(x)|< &/-./% ^ 1«' -

Lr(x)

а\ри,т (f)(1 + nR)meV (nR)

- w\ .

Пользуясь условием г2) на Ф, получаем, что

Р Vv+i(n R)

(1 + iixiiTIDf)(x)l - ec^т)а\ри,т(Л.

Следовательно,

evv+i ( R)

(1 + iixiiTIDf)(x)| - ec(»,m)na\a\IMm(f) -

- e c( v,m)nala\pu,m(f)exp(— sup(|a| lnR — pv+i(R)) =

R>i

= e c(v'm)n*a\pv,m(f)e ~ -р(Н ^^ = ec (»'т)П a\a\pu,m(f)e-MN). Поскольку в силу условия г3) и Леммы 3 для каждого к Е N

^k(x) — Фк+Äx) > xln2 — ак, x > 0, (1)

то, пользуясь неравенством (1), получаем, что

(1 + \\х\\)т1(Ба/)(х)\ < а-,тР-,т(/)а!е-^(|а|), х е Е %

где аи,т - некоторое положительное число, зависящее от и и т. Следовательно, для каждого т Е %+

Ът-+п(/|КП) < а-,тр-,т(/). (2)

Значит, /|Кп Е £(ф*+п). Таким образом, /|Кп Е £(Ф*).

3.2. Доказательство Теоремы 2. Пусть / Е £(Ф*). Тогда f Е £(ф*) при некотором V Е N. Следовательно, для каждого т Е %+ имеем

(1 + \\х\\)т1(Оа/)(х)\ < Пт-( /)а!е-^(|а|), ж Е Еп,а Е %+. (3)

ф* (х)

Поскольку Иш —-- = то из неравенства (3) следует, что для любого е > 0 най-

ж^+те х

дётся число с£ > 0 такое, что для всех х Е Еп и а Е %+ \(Оа/)(х)| < се£|а|а!. Ясно, что последовательность ( ^ (° Н?(0)хасходится к $ равномерно на компактах Кп, а

(Г)а f )(0)

ряд > ---га сходится в Н(Сп) и его сумма Ff (г) - целая функция. Отметим, что

а!

|а|>0

Ff = /. Единственность голоморфного продолжения очевидна.

Покажем, что Ff Е Е(Ф). Оценим рост Ff пользуясь неравенством (3) и разложением

( ^а {)(х)

Ff в ряд Тейлора в точке х Е Еп: Ff(г) = У^ -- (ч/)Н г = х + ъу, у Е Еп. Пусть

а!

|а|>0

т Е %+ произвольно. Тогда

(1 + \\zWT\Ff(г)\ < £ (1 + \\х\)т(1+ Ы)т+И1(Ра/)(х)| <

|а|>0 а!

< ^ пт,-( /)е-Ф*(Н)(1 + \\у\\)т+и <

|а|>0

< Ъп,-( Ж1 + \\У\\Г Е (1 +*"Г ^*+1(Н)-"*(Н).

|а|>0 е

Отсюда, воспользовавшись тем, что по Лемме 3

ф*(х) - ф*+1(х) > 4х -1к, х > 0, (4)

где 5к = \пак, и обозначив ()п через Ви, имеем

(1 + \\г\\)т^(¿)\ < В-Пт,-(/)(! + \\У\\)те+ . Таким образом,

(1 + \\z\\)т\Ff(г)\ < В-Пт-(/)е(^*+1 )*(1п(1+У^У))+т Ч^Мт. (5)

Отметим, что из условия г2) следует, что при любых к Е N и А > 0

фк (х) + Ах < фк+1(х) + С (к, А), х > 0. Отсюда легко получаем, что для всех £ > 0

т) >ф*+1 (е+А) -С (к, а).

Тогда для всех х > 0

(ф*)* (х) = 8пр(х£ - ф*(0) < 8пр(х£ - ф*+1(е + А)) + С (к, А) = ?>0 ?>0

= sup(x(C + А) - + А)) -Ах + С (к, А) < (^*+1)*(ж) -Ах + С (к, А).

?>0

Таким образом, для всех к Е N и А > 0 имеем

Ш(х) + Ах < ("0*+i)*(x) + С (к, А), х > 0. (6)

Теперь пользуясь неравенством (6), получим из оценки (5), что

(1 + \\z\\)mlFf(z)l < Bvnm,v(f)e(7)

Ясно, что

(1 + \\z\\)mlFf(z)l < BuKm,u(f)ee^+2(ln(1+^)).

Это означает, что

(1 + \\z\\)mlFf(z)l < BvUm,v(f)e

Пользуясь неубыванием функций семейства Ф и условием г'3), найдём постоянную Ки.т > 0 такую, что для всех z Е Сп

(1 + \\z\\)mlFf(z)l < Kv,mnm,v(/)e^dM». (8)

Таким образом, для каждого т Е Z+ pv+3im(Ff) < Kvm^mv(/). Следовательно, Ff Е Е(pv+3). Значит, Ff Е Е(Ф). Тем самым Теорема 2 доказана.

3.3. Замечание о пространстве Е(Ф). Напомним, что в первом разделе были введены пространства Н( 'pv), Н(pv) и Н(Ф) следующим образом. Для произвольных v Е N и к Е Z+ пусть

Н(p,) = {f Е Н(С) : K.t(/) = sup 1^+,!);^ < «>}■

ОО ОО

Пусть Н( pv) = f| Нк( pv), Н(Ф) = и Н( pv). Поскольку для f Е Нк+1( ,pu) имеем, что

к=0 v=1

К. .к ( /) < ^v,k+1( У), то Нк+1( Pv) непрерывно вложено в Нк( pv). Наделим Н( pv) топологией, определяемой семейством норм Нк ( pv). Принимая во внимание неравенство (6), видим, что если f Е Н(pv), то Mv+1tk( /) < еC(v' MVik( f) для любого к Е Z+. Таким образом, Н( pv) непрерывно вложено в Н( pv+1) для каждого v Е N. Снабдим Н(Ф) топологией индуктивного предела пространств Н( pv).

Предложение 1. Пусть семейство Ф удовлетворяет условию г3). Тогда Е(Ф) = Н(Ф).

Доказательство. Покажем вначале, что Н(Ф) непрерывно вложено в Е(Ф). Пусть v Е N и f Е Н(pv). Пользуясь неубыванием pv и условием i3) на Ф, найдём постоянную Kv > 0 такую, что для каждого к Е Z+

pv+1,k( f) <км„,к(А ¡ЕН(ри).

Отсюда следует, что f Е Е(Ф), и вложение I : Н(Ф) ^ Е(Ф) непрерывно.

Покажем, что отображение I сюръективно. Пусть f Е Е(Ф). Тогда f Е Е(pv) при некотором v Е N. Пусть т Е Z+ произвольно. Напомним, что по неравенству (2) /R-m,v+n(/|r) < o,v,mPv,m(f). Отсюда и из неравенства (7) (с v заменённым на v + п; также напомним, что в нашем случае а = 2 для любого т Е N) получим, что

Nу+га+2 . т ( /) < Аи>три . т

(А

где Аи>т > 0 - некоторая постоянная. Значит, f Е H(pv+n+2). Следовательно, f Е Н(Ф). Кроме того, последняя оценка показывает, что обратное отображение I-1 непрерывно. Таким образом, Е(Ф) = Н(Ф).

4. Преобразование Фурье в Е(Ф)

4.1. Более простое описание пространства G(Ф*). Покажем, что если Ф удовлетворяет условию г3), то пространство G(Ф*) допускает более простое описание. Для этого введём пространство Q^*) следующим образом. Для и Е N и т Е Z+ пусть

Qm(r*) = ifE Cm(Rn) : Nv,m(f) = max sup (1 + )(ж)1 < <*}.

N<mxeRn,keIi+ k!e ^(k)

Пусть Q(ipt) = f| Qm(iK), Q^*) = и Q(ipt). С помощью семейства норм Nv¡m(f)

m>Z+ ueN

(т E Z+) определим локально выпуклую топологию в Q(ip**). Наделим Q(Ф*) топологией индуктивного предела пространств Q(íp*).

Лемма 4. Пусть семейство Ф удовлетворяет условию г3). Тогда Q^*) = G^*).

Доказательство. Очевидно, если и Е N и f Е Q(ф*), то для каждого т Е Z+ имеем \\!\\т,ф* - Nv,m(f). Следовательно, f Е Gm(^t). Итак, если f Е Q(Ф*), то f Е G(Ф*) и отображение вложения J : Q^*) ^ G^*) непрерывно.

Покажем, что J сюръективно. Пусть v Е N, т Е N, f Е G(ф*). Пользуясь неравенством (1), имеем

(1 + \\x\\)k l(Da f)(x)l g«^+n-l l(D» f )(ж)|

l|xy<;i!k>ez+ k!e-r»+™(k) < ||x||<upeZ+ k\e

Так как lim l( ) = 0, то при некотором С\(и) > 1

sup (1 + \\?\-krDlÍ^ - Сг(и) sup \(Da f )(x)l, а Е Z+. (9)

||x|<i,kez+ k!e ^+™(k) ||x||<i

Так как для всех а Е Z+ с \а\ < т

\(Daf)(x)\<\\f\\m,ф*ех Е R, то из неравенства (9) получим, что

m}am sup (1 + ^DÍ^ < Ci(v)\\f\\m,rB-*(0). (10)

lal<m llxii<i,k>z+ k!e

Далее, для любого а Е Z+

(1 + \\х|| )k\(Da f)(x)\ (2п)1^1\х^ (Da f )(х)\

||x|;>i,k>eZ+ k!e-r^+«(k) < ||x||>upeZ+ \/3\!e-^^1

Пользуясь неравенством (1), имеем при некотором С2(у) > 1 для всех а Е Z+ с \а\ — т

(l + M)k\Dí)M< С2(и)\х^ (Da f )(х)\

stl k!е< иХ \/\!е-Фг

кег+ ¡зегТ+

Отсюда и из (10) получим, что для любого т Е Z+

К+п,т(1) < СП\\л\т^, f Е сш, (11)

где С (и) = тдх(С\(1;) е-^ (0\С2 (^)). Следовательно, / Е Я(ф^+п)- Таким образом, если $ Е С(Ф*), то f Е Q(Ф*). Отметим, что из (11) легко следует, что обратное отображение ,]-1 непрерывно. Таким образом, окончательно имеем: Q(ф*) = С(г^*).

4.2. Доказательство Теоремы 3. Покажем вначале, что линейное отображение Т : ! Е Е(Ф) ^ / действует из Е(Ф) в С(Ф*) и является непрерывным. Пусть и Е N и $ Е Е(<р„). Пользуясь равенством

х?(П/)(х) = X? [ №(-0ае-г{х'° %, ( = £ + гп, справедливом при всех а, [ Е х,г] Е Кга, получим, что

^( п-})(х)| < I |Л0|(1+(1^р'""||х||И «е. (12)

Если 1[I = 0, то из неравенства (12) имеем (при г] = 0)

|(П7)(х)| < (1)е^(0)р,,п+ |а|+1(/)• (13)

Если 1[31 > 0, х = 0, то, полагая г] = — -р- с Ь > 0, получим из (12), что

х( Па/)( х)| < зп(1)р^п+ н+1(е"»ЩхЦ1*1 <

< 8п(1)ри,п+| в|+1(¡)е^Г+1 " |1ПГ)е« = ^(1)р„,п+ н+1(/)е^ |1п| ' 1 - 1 ' 1 - 1 ' |1п^ « Так как для любого к Е 2+

т£(—к 1п£ + ^(¿)) = — 8ир(к 1п£ — (¿)) <

< — вир( к 1п Ь — (¿)) = — вир(ки — ф„ (и)) = —ф* (к),

4>1 и>0

то отсюда и из предыдущей оценки получим, что

х(п¡^ < зп(1)р„,г+\а\+1(f)e ^ 1п^^(|/3|). (14)

Если ^^ > 0 их = 0, то х13 (Па/)(х) = 0. Отсюда и из неравенств (13) и (14) следует, что для всех а,3 Е х Е Ега

х(Па/)(х)| < 8п(1)р^п+И+1(^31!е Таким образом, для каждого т Е 2+

^(Da/)(x)| ^ ... ... , ^ ,

max sup . < sra(l)pu,n+m+i(Д f E E(<p„).

N<»^£8»|p|!e ^(IPI>

Другими словами, ||/||m;^ < sn(1)pVtn+m+1( f), f E E(cpu). Это означает, что отображение Т действует из E(Ф) в С(Ф*) и является непрерывным.

Покажем, что Т сюръективно. Пусть д E С(Ф*). Тогда д E С(ф*) при некотором и E N. Согласно доказательству Леммы 4 д E Q(0*+n). Тогда

(1 + ||x||)fcl(Dag)(x)| < Nv+n,\a\(g)k\kE Z+,a E Z+,x E 8n. (15)

Пусть

№ = T^ i 9(x)edx, £ E Rn

Wn Jvn

Пусть a = (a1,... ,an), 3 = (31,...,3n) E E Rn. Положим = min(as,3s) для

s = 1,... ,n, 7 = (/y1,..., 7n). Пользуясь равенством

№(DV)(£) = / E C(D"-39)(x)(D(ixWe'M dx

и неравенством (15), оценим (Б*/)(£) по модулю. Имеем

(о*/)(01< Е С / К»"-39)(х)1 т-^\\хГ-их <

<т\- У С' [ д)(х)1(1 + \\х||)1*-1+п+1--<

< (27)- " (а - 3)\] ^ У)( )1( \\ 11) (1 + \\х||)-+1 <

< в-(1) у^ Сз - ^+-,т(9)(1— - Ы + п + 1)! <

< (27)- " (-- 4)\ Ж+ЛП-Ы+п+1) <

8-(1) М,+-М(д)а ^ С (|а| - Ы +п + ^-ф1+п(И-т < (27)- ^ " (а - з)\ .

Отметим, что из условия %4) на Ф следует, что для любого к Е N

2фк(х) < фк+г(х + Ьк) + к, х > 0, где Ьк = 1п к к. Тогда по Лемме 2 при некотором Ак > 0

Ф1+1(х + у) < ф*(х) + ф*к(у) + Ьк(х + у) + Ак, х,у > 0. (16)

Пользуясь неравенством (16) и полагая сг = Зп(12ж)п + , имеем

Се^-ИЛГ^.«^! V, С'(|-!-Ь| +п + 1)!

\е(оуш < ™ ^^ Е ^—-■

3<1

Отметим, что (тг + т2)\ < ет1+т2т1\т2\ для т1,т2 Е Z+. Отсюда следует, что

(тг + ••• +т-)\ < е(п-1)(т1+"+тп)т1\•••тп\, тъ...,т- Е Z+. (17)

Пользуясь этим неравенством и полагая с2 = сгеп+1(п + 1)\, имеем

Пользуясь снова неравенством (17), имеем

№(оаf)(0!< С2еК+Пу С^п-^е^т.

^ \ - рФ1+п+1(Н) "

Таким образом,

Гой\р(ь»+г,.+п)Ыш й,(0)а\ р^+пШ

р Г„+п+1(Н) е-\яи \

с 3&+■. з<~1 и

рФЬ+пШ рФЬ+пШ

Пользуясь ещё раз неравенством (17) и полагая с3 = с2/3\ > ——г;— (ряд > —¡—т;—

Ь'|>о и1 Ь'|>о ! 1

сходится (см. Следствие 1)), имеем

№(Оаf)(0| < сзе(К+п +п)ИНи+п,щ(д)а\е-^^.

Отсюда, пользуясь неравенством (1), найдём натуральное число в = в(У,п) > п +1 и постоянную с4 > 0 (зависящую от и,п и 0), что

|£"(Б*/)(0!< +пМ(д)а\е^+Л^.

Поэтому, если т Е 2+, то тогда из последнего неравенства получим, что (1 + МИГШf)(£)| < с5Ми+п,т(д)а\е), а Е Е

где с5 > 0 - некоторая постоянная, зависящая от и,п и т. По теореме 2 / голоморфно продолжается до целой функции из Е(Ф). Очевидно, д = Т(Ff). Доказательство Теоремы 2 (см. неравенства (3) и (8)) показывает, что найдётся постоянная с6 > 0 (зависящая от и,п и т) такая, что для г Е Сп

(1 + ЦгЦ)т^(г)| < с6М+,т(д)-).

Следовательно, Ри+в+3,т(Ff) < с6Ми+п,т(д). С учётом неравенства (11), получим Pu+s+з,m(Ff) < с7|| <71| , д Е С(ф**), где с7 > 0 - некоторая постоянная, зависящая от и,п и т. Отсюда следует непрерывность обратного отображения Т-1.

Таким образом, доказано, что преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между пространствами Е(Ф) и С(Ф*).

4.3. Об одном подходе к построению семейства Ф. Пусть и = {пи- семейство неубывающих выпуклых функций ии на [0, то) таких, что для любого и:

1. Цт =

ж^+те х

2. каково бы ни было М > 0 существует постоянная А(М, и) > 0 такая, что

х

пи(х) < х 1п — + А(М, и), х > 0;

3. каково бы ни было А > 0 найдётся постоянная К(и, А) > 0 такая, что

и^+1 (х + А) < ии(х) + К(и, А), х > 0;

4. найдётся постоянная аи > 0 такая, что

щ(х) — и^+1(х) > х 1п 2 — а„, х > 0;

5. существует постоянная Аи > 0 такая, что

ии+1 (2х) < 2и1,(х) + х 1п 4 + А„, х > 0.

Пусть семейство Ф состоит из функций , определённых на [0, то) по правилу: Фи(х) = и*и(1п(1 + х)), х > 0 (и Е М). Очевидно, что функции ^ не убывают и непрерывны на [0, то). Из первых двух условий следует, что построенное семейство удовлетворяет условию Третье условие гарантирует выполнение условия г2). Из четвёртого условия легко получить, что при любом и Е N

и1 (г + 1п 2) — и*+1(*) <а„, г> 0.

И тогда при любом х > 0 имеем

Ф„(2х) = и* (1п(1 + 2х)) < и1 (1п(2(1 + х))) = и1 (1п2 + 1п(х + 1)) <

< и*+1(1п(х + 1)) + аи = ф„+1 (х) + а„.

Значит, семейство Ф удовлетворяет условию вида г3). Условие вида г4) для Ф также выполняется. При его проверке воспользуемся следующим простым утверждением.

Предложение 2. Пусть и,ь Е Б и существуют числа г > 0 и А > 0 такие, что

у(2х) < 2и(х) + 2 тх + А, х,у > 0.

Тогда

2и*(х) < ь*(х + г) + А, х > 0.

Доказательство. Для любого х > 0 имеем

2и-(х) = sup(2x£ - 2и(£)) < sup(2x£ - г;(2£) + 2 т£) + А =

ç>0 Ç>0

= sup((x + r)t - v(t)) + А = v*(x + г) + А. >0

Возвращаясь к проверке условия г4) для нашего Ф, имеем (пользуясь пятым условием на U и Предложением 2) для любого v G N их > 0, что

2 <pv(х) = 2и* (ln(1 + х)) < u*+1(ln(1 + х) + ln 2) + А, = = и*+1(1п((2х + 1) + 1) + А, = ^+1(2х + 1) + А,.

Отсюда следует, что условие i4) выполняется, причём, в качестве h, можно взять любое число больше 2.

Таким образом, рассматриваемое семейство Ф удовлетворяет условиям Теоремы 3. Следовательно, преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между пространствами Е(Ф) и G(U).

5. Специальный случай семейства Ф При доказательстве Теоремы 4 будут использоваться следующие три леммы. Лемма 5. Пусть g G В. Тогда для любого 6 > 0

lim О-^+ад - fW = +«,

х^+те х

Доказательство. Пусть ö > 0 произвольно. Для х > 0 обозначим через £(х) точку, в которой достигается супремум функции их(£) = х£ - д(£) по множеству [0, то). Отметим, что £(х) ^ +то при х ^ +то. В противном случае найдётся число M > 0 и последовательность (xj)°=1 положительных чисел Xj, стремящаяся к +то, такая, что £(xj) < M.

- ( х)

Тогда g-(xj) = Xj£(х,-) - g(Ç(xj)). Но это противоречит тому, что lim -= +то. Таким

х^+те х

образом, lim £(х) = +то. Отсюда и из неравенства

х^+те

/((1 + ¿)х) - д-(х) > (1 + 5)х£(х) - д(С(х)) - xÇ(х) + д(£(х)) = 5х£(х), х> 0,

утверждение леммы следует.

Следующее утверждение легко следует из результатов С.В. Попёнова (см. Лемму 4 в [9]) и поэтому его доказательство здесь не приводится.

Лемма 6. Пусть и GV. Тогда найдётся постоянная К > 0 (зависящая от и) такая, что

(и[е ])-(i) + (и-[ е ])-(i) > t ln t -t-К, t> 0.

Следующая лемма доказана в [8].

Лемма 7. Пусть и G В. Тогда

(и[е])-(х) + (и-[е])-(х) < хlnx - х, х > 0.

Доказательство Теоремы 4. Пусть v G N, f G G(^-). Зафиксируем m G Z+. Так как f G (см. доказательство Леммы 4), то для всех k G Z+, a G Z+ с lal < m, х G R

Hd-Î )(x)i < N+-(;<+^ . d8)

Учитывая, что ]\ < для ] Е N и пользуясь неравенством (16) и неубыванием функции фк+п, имеем для всех к Е N Ь Е [к, к + 1) и у > 1

к \ е -гФ*+п(к) з кк+1е-^*+™(к) 3 ¡1^+1е-<ф*+п+1(1:)+^*+п(1)+ь»+г> ~ ек ¡1к ~

Пользуясь (1), имеем

к\е-,Ф*+п(к)

ук

< С\^е(4+1)1п-и^)-1пе^+(1п2Н

где натуральное число в > п + 2, положительная постоянная С1 зависит от и,п ив. Теперь выберем ^ Е N так, что ^1п2 > Ьи+п. Найдём постоянную С2 > 0 (зависящую от и,п и выбранного ) такую, что

-< С^е11п1п».

ук

Теперь с помощью Леммы 6 получим, что

к \ е-<Ф1+п(к)

< С3/!е^^НП^- 1п^

где С3 - некоторая положительная постоянная, зависящая от и,п и выбранного в. Отсюда следует, что

к \ е-^+п(к) т^^игсо- 1п^

Очевидно,

^--- < С3це^ ^........(19)

кем ~ ^

((¥>:+.ИШ - Ипу) < - 1пу + ((*+[е])*(1); т{ ((<р1+а[е])*(1) - Ппу) >- 1пу + (р1+в[е])*(0).

0< К1

Следовательно,

^ ((р1+а[е])*(г) - Ппу) < < „Й, ((<Рк+'[е])*(1) - ¿М + (^+И)*(1) - (<рк+а[е])*(0).

о< <1

Обозначив ( р*и+3[е])*(1) - ( (1+3[е])*(0) через ту, имеем

((<р1+а[е])*(I) - Ппу) < Ы {(р1+а[е])*(Ь) - Ппу) + ти.

Возвращаясь к (19), имеем

т£ к'е~ГТ{к) < Сзе1п^. (20)

кем ~ ^

Для каждого ] Е N выберем вj Е У^* [е]. Тогда

1(0 -^ШОК г3, 0; (21)

10**(О - (^k[e])*(OI- Ъ, 0, (22)

где гу - некоторая положительная постоянная, зависящая от р* [е] и . Из (20) (пользуясь неравенством (22)), имеем

Ш-ГТ(к) <Сфе>(в^)- 1п

kеN

где С4 = С3етг +rr+s. Пользуясь формулой обращения для преобразования Юнга [10], получим

h\e-rv+n{k)

inf - < Сфе

keN

Отсюда, пользуясь неравенством (21), имеем

где С5 = С*,4erv+s. То есть,

h\e-^+Jk)

keN

b\e-^+n(fc) „ . .

inf --г-< C5/je

keN

Пользуясь этим неравенством и неубыванием p*+s, имеем

к\ е-<Ф1+п(к) t ... ...

f + n ,,)fc < С5(1 + |x|)e), x е Rn (23)

keN (1 + ||x||)k

Отметим, что, пользуясь условием г3) на Ф, легко показать, что для любого j Е N

2)+ а3, £> 0. (24)

^*+i(£) <p*(£) + ^, а> о.

p] (0 - ^+i(e) > p] (О - p*( 0 - а,, а > о

Следовательно,

Отсюда и из Леммы 5 получим, что

г р](0 -p*3+i(0 ,

lim —-——-= (25)

ж^+те с

Возвращаясь к (23), с помощью (25) получим, что

h\e-rv+n(k)

inf -¡7-^: < Сое-^+3+1(||ж||), х е Rn,

keN (1+ ||x||)k < 6

где С6 - некоторое положительное число. Отсюда и из неравенства (18) получим, что для всех а Е Z+ с lal < т

|( Daf)(x)l < СоК+п,ш(Ле-^++1(||ж||). (26)

Это означает, что qm,*+s+1(f) < С6М*+п,т(/), f Е G(ф*). Принимая во внимание неравенство (11), имеем

qm,*+s+i( Л <СтЦПш,Гг, I EG—),

где С7 - некоторая положительная постоянная, зависящая от и. Отсюда следует, что тождественное отображение I действует из G^*) в GS(Ф*) и является непрерывным.

Покажем, что I сюръективно. Пусть f Е GS(Ф*). Тогда f Е GS(p*) при некотором v Е N. Зафиксируем т Е Z+. Пусть х Е Rn, а Е Z+, причём |а| < т. Тогда

I(Daf)(x)l< qm,v( Ле(||ж||). (27)

Пользуясь неравенством (24), получим из (27), что

|(Da f)(x)l< еагqm,v( Ле-К+1(2||ж|1).

Очевидно, найдётся постоянная М* > 1 такая, что

|(Da Л(х)1<М*дт* (Ле-^г+1(|ж|+1).

Другими словами,

I(Daf)(x)l < Mvqm,v(Ле-^г+1[е](1п(|ж|+1)).

Отсюда имеем

!(Оа¡)(х)! < Мидт,и(¡)е .

Теперь, пользуясь Леммой 7, получим

!(о* / )(х)!<.

Следовательно, для любых к Е N

\(D f)(x)\ < Muqm,u(f)e <>0 .

kk p-^l+i(k)

\(Da f )(x)\<MvqmtV (f)-

(е(1 + ||x||))k" Отсюда следует, что

(1 + ЦхЦ)к\(Daf)(x)\ < Mvqm,v(f)k\e-^+i(k), к E Z+.

Это означает, что

ш,Ф1+1 < Muqm,u (f). (28)

Так как т Е Z+ любое, то / Е С(ф*+1). Следовательно, f Е С(Ф*). Из (28) следует, что отображение I-1 непрерывно. Таким образом, пространства С(Ф*) и СБ(Ф*) совпадают. Теорема 4 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гуревич Б.Л. Новые пространства основных и обобщённых функций и проблема Коши для конечно-разностных систем // ДАН СССР. 1954. Т. 99, № 6. С. 893-896.

2. Гельфанд И.М. и Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. Обобщенные функции, выпуск 2. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1958. 307 с.

3. Гельфанд И.М. и Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции, выпуск 3. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1958. 274 с.

4. J. Chung, S.-Y. Chung, and D. Kim Characterizations of the Gelfand-Shilov spaces via Fourier transforms // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124, № 7. P. 2101-2108.

5. J. Chung, S.-Y. Chung, and D. Kim. Equivalence of the Gelfand-Shilov spaces // Journal of Math. Anal. and Appl. 1996. V. 203. P. 828-839.

6. Мусин М.И. О пространстве целых функций, быстро убывающих на вещественной прямой // Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4, № 1. С. 67-77.

7. Красносельский М.А. и Рутицкий Я.Б.Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1958. 271 с.

8. Мусин И.Х., Попёнов С.В. О весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Rn // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2, №3. С. 54-62.

9. Напалков В.В., Попёнов С.В. О преобразовании Лапласа на весовом пространстве Бергмана целых функций в Cn // Доклады РАН. 1997. Т. 352, №5. С. 595-597.

10. A.Wayne Roberts, Dale E. Varberg Convex functions. Academic Press, New York and London. 1973. 300 p.

Ильдар Хамитович Мусин Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: musin@matem.anrb.ru

Марат Ильдарович Мусин

Башкирский государственный университет,

ул. З. Валиди, 32,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: marat402@gmail.com