О построении приближений интегро-дифференциальными сплайнами пятого порядка первой высоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 1 (59). Вып. 2

МАТЕМАТИКА

УДК 519.65

О ПОСТРОЕНИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ ПЯТОГО ПОРЯДКА ПЕРВОЙ ВЫСОТЫ

И. Г. Бурова, С. В. Полуянов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассматривается построение среднеквадратического приближения с помощью базисных интегро-дифференциальных сплайнов пятого порядка аппроксимации первой высоты. Биб-лиогр. 6 назв. Ил. 7.

Ключевые слова: сплайны, среднеквадратическое приближение.

Теория минимальных сплайнов нулевой и ненулевой высоты подробно изложена в работе [1]. Интегро-дифференциальные приближения отличаются использованием интеграла от приближаемой функции по одному или нескольким соседним промежуткам. Полиномиальные непрерывные и гладкие (со свойствами В-сплайнов) интегро-дифференциальные сплайны, а также среднеквадратические приближения полиномиальными интегро-дифференциальными сплайнами предложены в работе [2].

В данной работе рассматриваются приближения функций и их производных с помощью непрерывно дифференцируемых полиномиальных и неполиномиальных интегро-дифференциальных сплайнов пятого порядка (см. [3]).

1. Построение базисных сплайнов. Рассмотрим промежуток [а, Ь], где а и Ь — вещественные числа. Возьмём натуральное число п и построим равномерную сетку узлов {х^} с шагом Н = (Ь — а)/п:

а = хо < ... < < х^ < Ху+1 < ... < хп = Ь.

Пусть в узлах сетки {х^} С [а, Ь] заданы значения функции и, и £ С5 [а, Ь], и ее первой производной, а также известны значения и(Ь)&. Рассмотрим на каждом

[хк,Хк+1 ] приближение для и(х) в виде

и(ж) = и(хк )^к,о(х) + и(хк+1 )^к+1,о(х)+

+ и'(хк)шк,1 (х) + и'(хк+1 )^к+1д(х)+^! и(г)<1^ ^кк1 (х)

где (йд(ж), 0^+1,1 (ж), (ж) определяем из условий

и(ж) = и(ж) при и(ж) = 1, уч(ж), г = 2,. .., 5.

Предполагаем, что 1,<^(ж), г = 2, 3, 4, 5 — чебышёвская система на [жо, жп], ^ €

41}|< Ко/

С5[жо,жп]. Считаем, что функции уч(ж) выбраны так, что < Ko/h, |ws,i| < Kih,

|ws,o| < K2, s = k, k + 1, Ko > 0, Ki > 0, K2 > 0. В частности, для полиномиальных сплайнов, как будет показано далее, эти неравенства выполняются.

Рассмотрим случай = xj-1, i = 1,..., 5. Нетрудно видеть, что wk,0, w k,1, w ^ £ C 1(й1). Пусть ||/1| =max[a,b]|/1.

Отметим, что при равномерной сетке узлов с шагом h на промежутке [x k,xk+1] справедливо следующее утверждение.

Лемма. Пусть функция u £ C(5)[x k,xк+1 ], уч = xj-1, i = 1, 2,..., 5. Тогда при x £ [x k,xк+1 ] выполняется соотношение

|u(x) - U(x)| < h5K||u(5)|[xk,xfc+1], K = const > 0.

Доказательство. Действительно, при x £ [xk, xk+1 ] представляя u(x), u(xk+1) и u'(xk+1) с помощью формулы Тейлора, получим

u(x) - u(x) = u(xk) ^Wk,o(x) + Wk+1,o(x) + (xk+1 - xk- lj + +u'(xk) ^(xfc+i - Xk)ujkto(x) + wfcji(x) + а>й+1д(ж) + ^fc+12! ^ ^(ж) - (ж - +

, /// N A (Xfc+l - xk)2 (xk+1 - Xkf (!)

+ И (жй) I ---ujk+ifi{x) + (xk+1 - xk)LVk+lil{x) н----LVl '{x)-

(x - xk)2

+

2!

. ,„, ^ (Xfc+I -Xfc)3 , {xk+1 -xk)2 (xk+1 -Xk)4 (!)

' V-3!-^fc+i.oW +-^-^k+i,i(x) +-Ji-W"

(x - Xk )3

+

3!

. „„, ^ (xfc+l -xfc)4 , л , (xfc+l -xfc)3 / (xfc+1 ~жй)5 (!)

+ M (Xfc) I---^+110(ж) +---^+1Д(ж) +---ujI >{x)-

(x - Xfc )

4!

+ R,

где

1 (5*1/4/ ^ 5 / s 1

^fc+i,o(a;j + -

1 ГXk + 1 ^...... /П/ . 1

R = 77w(5)(t2)^fc+i - Xk)5ujk+lfi(x) + — м(5)(г3)(жа;+1 - xk)iLOk+i^{x)+

+ ^ У «(5)(Т1)(; - хк)5Лш^ {х) - ^(5)(п)(ж - жй)5.

Отсюда следует, что и(ж) — и(ж) = Д, если базисные функции (ж), ] = к, к + 1, г = 0,1, находим как решение системы уравнений

(к,о(ж) + (й+1,о (ж) + (жй+1 — жй )(к1>(ж) = 1, (1)

хкшк,0(х) + хк+1Шк+1^(х) +Шкл(х) + ик+1Л(х) + ( - ) и){к >(х) = X, (2)

х1+1 Х1\,Л1), х5+1 х?

Х3 N /1\

х2кШк,о(х) + х"1+1сок+11о(х) + 2хкшкг1(х) + 2хк+1шк+1г1(х) + ( - ) ' (х) = ж2,

4 4 (3)

хкшкг0(х) + х3к+1ик+11о(х) + Зхкшкг1(х) + 2,х\+1ик+1Л(х) + - ^ (х) = ж4>

(4)

/Х5 х5 \ /1\

х1шкг0(х) + х4к+1ик+11о(х) + 4х1шкг1(х) + 4х3к+1ик+111(х) + ( -^±1 - ) ' (х) = ж5,

(5)

Определитель системы уравнений (1)—(5) равен — ^(хк+1 —хк)д. Решив систему уравнений, получаем при х € Х, Ж5+1 ] следующие формулы базисных сплайнов:

^5,о(х) = (1/Н)4(5х + Н - 5x5)(-3х + Н + 3x5)(х5 + Н - х)2, ^5+1, о(х) = -(1/Н)4(-х5 + х)2(-3х + 3х5 + 2Н)(-5х + 5х5 + 6Н), ^(х) = (30/Н5)(-х5 + х)2(х5 + Н - х)2, ^5,1 (х) = (1/2)(1/Н)3(-х 5 + х)(2Н - 5х + 5х 5)(х5 + Н - х)2, ^5+1,1 (х) = (1/2)(1/Н)3(-х5 + х)2(-5х + 3Н + 5х5)(х 5 + Н - х). Нетрудно видеть, что при х (Е [хк,хк+\\ справедливы соотношения: \и>к^(х)\ < 1, К+1,о(х)| < 1, КдИ1 < 1(1-(Х)^)^-!-^^)2 « 0.06778775/^, К+М(ж)| <

1(1 " То)^)2Щ + то« 0.0225959/1. < § = 1.875//».

Теперь применяя теорему о среднем, получаем при х € [х 5,х5 +1 ]

/ Н5 Н4

|Д| = |й(ж) - м(ж)| < ||м(5)|| — тах \ик+1^(х)\ + — тах 1,1 (ж)|+

у 5! 4!

Н6 , пь м Н5

— тах ' (ж)| Н---

6! ж£[жк,Жк+1] 5!

Отсюда |и(г) - и(г)| < 0.02Н5||и(5)||. Лемма доказана.

Замечание 1. Из доказательства следует, что К не превосходит 0.02. Замечание 2. Переходя к переменной г по правилу х = х 5 + гН, получаем следующие формулы «исходных» базисных сплайнов:

Г-(5г + 1)(3£ - 1)(г - 1)2, г € [0, 1], ^о,о(г) = [ -(3г + 1)(5г - 1)(1 + г)2, г € [-1,0], [о, г € [-1,1],

-^(5*-2)(*-!)',*<= [0,1], Г¥(<_1)2><е[0>1]>

^0д(4) = { ±4/^(2+ 54)(1+4)2, 4е [-1,0],

0, г € [-1,1],

о, г € [о, 1].

Заметим, что при 4 € [0,1] ^0(4) = -(54 - 6)(34 - 2)42, шм(4) = А/г,(54 - 3)(4 - 1)42.

В [5, с. 84] отмечено, что при интерполяции функции Рунге (1901 г.) у(х) = 1+25.т2 при равноотстоящих узлах на промежутке [-1, 1] и бесконечном увеличении порядка п интерполяционного полинома рп последовательность рп(х) расходится вблизи концов промежутка [-1, 1]. Последовательность интерполяционных кубических В-сплайнов эрмитовых сплайнов, всегда сходится к интерполируемой непрерывной функции [4, 5].

На рис. 1. представлены результаты аппроксимации функции Рунге предлагаемыми интегро-дифференциальными сплайнами пятого порядка первой высоты на промежутке [-1,1] при равномерной сетке узлов при трех узлах (-1, 0, 1) и семи узлах (-1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2/3, 1) интерполяции.

1,0/ \ 6

y,ö" /0,6-

/ 0,4-

У 0,2-

0,2 0,4 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

х х

Рис. 1. Графики функции и приближения: а — при трех узлах интерполяции, б —при семи узлах интерполяции.

2. Среднеквадратическое приближение. Среднеквадратическое приближение на промежутке [а,6] определяем соотношением (см., например, [6])

n

U(x) = ^^ CjQj (x), n e N, j=0

где Qj (x) —базисные функции, а коэффициенты Cj определяются из условия минимальности E:

b

E = /[u - u]2dx ^ min - (6)

a

Необходимым условием экстремума является выполнение соотношений

dE

— = 0, j 0.1.....//.

dcj

которые приводят к необходимости решения системы уравнений MC = F, где M = (mi;j) — положительно определенная матрица,

b

mi;j = (Qi, Qj) = J Qi(x)Qj (x)dx,

a

о

Р = (/г) , /г = (и, ^г) = J (ж)^ж.

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение, которое доставляет минимум функционалу (6).

3. Формирование и хранение элементов матрицы Грама. Рассмотрим построение среднеквадратического приближения на промежутке [0,1] с помощью построенных непрерывно дифференцируемых интегро-дифференциальных базисных сплайнов.

В случае полиномиальных интегро-дифференциальных сплайнов элементы матрицы Грама имеют вид

х3 + 1

к, в = 0,1, г, = 0,. .., п.

Матрица Грама М системы уравнений МС = Р может быть представлена в блочном виде:

( М1 М2 М5 М = I Мз М4 Мб \ М7 М8 М9

причем М3 = (М2)т,М7 = (М5)т,М8 = (Мб)т, а М1,М2,М5, М4,Мб,М9 -ленточные матрицы. Носители базисных функций «¿,с, «¿,1 содержат два сеточных интервала, а носитель «¿^ —один сеточный интервал, поэтому в матрице М мало отличных от нуля элементов. Результаты вычислений показывают, что различных между собой элементов 14. Таким образом, при вычислениях нет необходимости хранить в памяти компьютера всю матрицу и достаточно ограничиться хранением четырнадцати элементов:

Я1 =

8/1 35'

61 =

Я4 =

64 =

16/1 ~35~'

С1 =

/I

70'

Я2 =

60'

С4 =

630' 315' 1260

Приведем вид матриц Мг при п = 3:

Я5 =

аз =

3

14'

60'

С2 =

210'

сз =

210'

й й 10

_ _ 84 ' 84'

М1 =

а1 с1 0 0

С1 61 С1 0

0 С1 61 С1

0 0 с1 а1

М2 =

( а2 с2 0 0 \

сз 0 с2 0

0 сз 0 с2

\ 0 0 сз аз )

, М4 =

а4 с4 0 0 \

с4 64 с4 0

0 с4 64 с4

0 0 с4 а4 /

М5

( а5 0 0 \

а5 а5 0

0 а5 а5

\ 0 0 а5 )

Мб

аб 0 0

6б аб 0

0 6б аб

V 0 0 бб !

М9

а9 0 0 0 а9 0 0 0 а9

3 + 1

Правая часть ^ системы уравнений представима в виде блоков ^ = элементы /а которых вычисляются по формулам

/а = У (о,а(ж)м(ж)йж , а =1,2 , /а = J („1а(ж)-м(ж)йж , а =1,2 ,

хо ж„_1

ж»+1

/3 = J (ж)м(ж)^ж, г = 0,1,...,п.

4. Результаты вычислений. Вычисления проводились на СН—Ъ с поддержкой OpenMP. Вычисление элементов вектора ^а, а = 1, 2, 3, производится параллельно с динамическим распределением блоками по процессорам.

Для решения системы уравнений применяется параллельный вариант встречной прогонки. Среднеквадратическое приближение функции м(ж)

и(ж) = ек,о(к,о(ж) + ей+11о(й+1,о(ж) + ^(^(ж) + сй+1д(й+1д(ж) + с^ (ж) и среднеквадратическое приближение производной функции м(ж)

и'(ж) = ск,о('к,о(ж) + сй +1,о(' +1,о(ж) + , 1 (ж) + сь+1,1 ('й+1,1 (ж) + с^ ('¡^(ж)

строим параллельно на двух процессорах при ж € [жо-1] и ж € [ж^, жп] (предполагаем, что п = 2Ж — 1).

На рис. 2 представлены результаты среднеквадратического приближения функции у = вт(5ж) + (1/5) ео8(50ж) + (1/20) вт(150ж) и её производной предлагаемыми сплайнами на промежутке [0,1] при п = 6 (число обусловленности матрицы оопа(М) « 7 • 106, ёе^М) « 0.2 • 10-22^22).

Рис. 2. Графики: а — функции у(х) = вт(5ж) + (1/5) оов(50ж)+(1/20) б1п(150ж) и её среднеквадратического приближения, б —производной этой функции и её среднеквадратического приближения при п = 6.

На рис. 3 представлены результаты среднеквадратического приближения этой же функции при п = 9 (соп^М) « 4 • 107, ёе^М) = 0.5 • 10-31^31). Для сравнения на

Хг-1

Х1

Рис. 3. Графики: а — функции у(х) = вт(5ж) + (1/5) соб(50ж) + (1/20) вт(150ж) и её среднеквадра-тического приближения, б —производной этой функции и её среднеквадратического приближения при п = 9.

Рис. 4. Графики: а —функции у(х) = Бт(5ж) + (1/5) соб(50ж) + 1/20 б1п(150ж) и её интерполяции при п = 9, б —погрешности интерполяции этой же функции при п = 50.

а

рис. 4, а приведем графики функции у(ж) = вт(5ж) + (1/5) еов(50ж) + (1/20) вт(150ж) и ее интерполяции предлагаемыми сплайнами при п = 9, а на рис. 5 — при п = 6.

На рис. 4, б приведем график погрешности интерполяции этой же функции при п = 50 (заметим, что теоретическая оценка погрешности интерполяции в этом случае |Д| < 0.26).

На рис. 6, а приведем графики функции Рунге и ее среднеквадратического приближения при п = 6, на рис. 6, б— график погрешности.

т8 /0,6

0,4

/ 0,2

-1,0

-1,0

-0,5

0,5

1,0

У 0,010

1,0

Рис. 6. Графики: а — функции Рунге и её среднеквадратического приближения при п = 6, б -погрешности.

в 1,! 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

-1,0 -0,1

Рис.7. Графики: а — шоо(4), б — шог (4), в -

На рис.7 приведены графики базисных функций о>оо(4), а>си(£), ^^ (4) при Н = 1. Авторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания, сделанные в процессе работы над статьей.

Литература

1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и их приложения. Теория минимальных сплайнов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. 364 с.

2. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. М., 2008. 480 с.

3. Бурова И. Г. Аппроксимация вещественными и комплексными минимальными сплайнами. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2013. 142 с.

4. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 353 с.

5. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

6. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. М., 1962. 464 с.

Статья поступила в редакцию 26 декабря 2013 г.

а

а

о

Сведения об авторах

Бурова Ирина Герасимовна — доктор физико-математических наук, профессор; burovaig@mail.ru Полуянов Сергей Викторович — аспирант; sergeypoluyanov@gmail.com

THE CONSTRUCTION OF MEANSQUARE APPROXIMATION WITH INTEGRO-DIFFERENTIAL SPLINES OF FIFTH ORDER AND FIRST LEVEL

Irina G. Burova, Sergei V. Poluyanov

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; burovaig@mail.ru, sergeypoluyanov@gmail.com

The construction of meansquare approximation with integro-differential splines of fifth order and first level is considered. The results of numerical experiments for computations acceleration with the algorithm parallelization are presented. Refs 6. Figs 7.

Keywords: splines, meansquare approximation.