CC BY
31
УДК 539,3
Ю.В. Соколкин, Е.Ю. Макарова Пермский государственный технический университет
О ПОСТРОЕНИИ И ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛОВ В СТАТИСТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ
Abstract
In the given work the way’ of construction of functionals for micruheterogtneuus solids which takes into consideration accumulation of structural damages is considered,
В работе [1] устанавливается важное свойство микронеоднородных
квазиизотропных тел, когда моделью сравнения является однородная сплошная среда с осредненными свойствами:
£'/ = Ф,угф (9) есф > (0
где е,/г) - структурные деформации микронеоднородной среды, £•;. (г) — /е,,. ^ -
макроскопические деформации микронеоднородной среды, 6^ (г) - случайные модули упругости микронеоднородной среды, Ф)уар (0) - случайный функционал, зависящий от упругих свойств микронеоднородной среды.
В работе [2] указан метод вычисления моментов различных порядков функционала Ф,>ар(0), позволяющий вычислять как эффективные свойства
микронеоднородной среды, так и структурные поля деформирования. На основе полученного решения устанавливается важное свойство микронеоднородной среды: если упругие свойства микронеоднородной среды являются локалъно-эргодическими, то и поля деформирования микронеоднородной среды также являются локально-эргодическими.
В работе [3] дается обобщение соотношения (1) на микронеоднородныс тела, когда моделью сравнения является микрснеоднородная среда с регулярной структурой. Если микронеоднородная среда макроскопически однородна и макроанизогронна, перемещения границы тела, имеющего конечные размеры, детерминированы, дисперсии физических свойств среды конечны, микродеформации регулярной среды в пределах структурного элемента - гладкие функции координат, то существует случайный функционал Ф!?) (0), не зависящий от граничных условий, такой, что
пульсации структурных деформаций е(г) связаны со структурными деформациями в регулярной среде е<я1 (г) соотношением
Е(г) = Ф(Л(0)--е</”(г). (2)
В этой же работе приводится общий метод вычисления функционала Ф1р (0) для микронеоднородных сред. Соотношение (2) позволяет получить более точные формулы для расчета эффективных свойств :омпозитов. Для макроскопически однородной квазиизотропной среды в корреляционном приближении получаем следующие зависимости:
где С’тел - эффективные модули упругости композита, С^т ■■ макроскопические модули упругости регулярной среды сравнения, - изотропный тензор четвертого
ранга, зависящий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.
Аналогичные зависимости получаем для эффективных модулей упругости квазиизотропных композитов с учетом конечных дисперсий физических свойств среды
Соотношение (4) представляет собой решение задачи, если соответствующие ряды сходятся. Сходимость рядов в каждом конкретном случае устанавливается непосредственной проверкой при заданных свойствах структурных компонентов [1].
Перейдем теперь к вычислению моментных функций второго порядка структурных деформаций. Перемножив уравнение (2), взятое относительно двух произвольно выбранных точек трехмерного пространства, и применив оператор математического ожидания, находим моментную функцию второго порядка структурных деформаций
где через Ц:пш (г,, г2) = єна моментная функция второго порядка
физических свойств элементов структуры.
Дня квазиизотропной среды эти коэффициенты вычисляются в явном виде. Тогда из уравнения (5) получаем явные аналитические зависимости для моментных функций второго порядка структурных деформаций
где (/,/-*) - моментная функция второго порядка структурных модулей
упругости:
(4)
структурных деформа
- коэффициенты, зависящие только от
(6)
Если поля упругих свойств микронеоднородной среды (7) являются локалъно-эргодическими, то и поля структурных деформаций, как следует из формулы (6), также являются локально-эргодическими.
Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие соотношения вводится новый материальный носитель (йтл (еа), зависящий от условий нагружения [4]. Таким образом, в качестве
математической модели процесса квазистатического деформирования и разрушения в рамках такого подхода может быть поставлена стохастическая краевая задача механики композитов [4]:
V• ст(г) = 0, е(г) = def u(r), a(r) = C--(l-co(e))--e, u(r)|5 = e*-r, (8)
где С - тензор модулей упругости однородной изотропной сплошной среды. I -единичный тензор четвертого ранга, е — заданный тензор макродеформаций, u(r) -тензор структурных перемещений.
Для замыкания системы уравнений (8) необходимо дополнить ее уравнениями для определения 0)(г). Будем предполагать, что заданы явные зависимости
со(г)=а)(еА), (9)
где г„(г) - инварианты тензора структурных деформаций.
Наложим на случайное поле а>(г) математические ограничения общего характера в виде локально-статистической однородности и локальной эргодичности. Случайное поле QX'r) есть локально-статистически однородное поле, если многоточечный закон совместного распределения /j"1 {rx,r2,...,rn), «= 1,2,3,... не изменяется после
параллельного переноса точек М\{т{), М2(г г), Л/3(г3),..,. Ма{ г„) на равные расстояния, не превышающие характерного размера некоторой области статистической зависимости V" с V. Под областью К* понимается шар, радиус которого равен с2/, 0<е«1, > -характерный размер конструкции.
Случайное поле со(г) есть локально-эргодическое поле, если сй(г) локальностатистически однородно и моментные функции произвольного порядка, к финитны в области V' с V , то есть
f 0, г < D КГ(г, ) = <со(г])ю(г,)...со(гл.)) = ^
сЛ.-*» ’К’ | ^ =2,3,...
rm - max |r, - r;. j, i, j = 1, k , D-характерный размер области V*.
Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (1). Если микронеоднородная среда с однородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании - локально-эргодические, средние деформации - макроскопически гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Ф(со), зависящий только от
поля структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций е связаны со средними деформациями е(г) соотношениями
е(г) = Ф(ш)--е(г). (10)
Доказательство соотношения (10) аналогично доказательству соотношения (1).
Из соотношения (10) вытекает, что если поля структурных повреждений локально-эргодические, то и поля деформирования тоже являются локально-эргодическими. Как показывают прямые численные эксперименты [5, 6], локальность полей структурных повреждений имеет место на стадии дисперсного накопления повреждений, что является признаком ближнего порядка во взаимодействии полей микродеформаций и структурных повреждений на начальном этапе структурного разрушения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к укрупнению дефектов и местной локализации повреждений.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда поля упругих свойств 0(г) ¡1 структурных повреждений со(г) являются локально-эргодическими. Будем также предполагать, что эти поля являются собственными, то есть отсутствует взаимная корреляция между полями:
(е(г)со(г)) = 0.
Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (2). Если микронеоднородная среда с неоднородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании - локально-эргодические, структурные деформации в периодической среде сравнения в пределах структурного элемента -гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал (0,со), зависящий от полей упругих свойств и структурных
повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций е связаны со структурными деформациями е^г) в регулярной среде сравнения соотношениями
е(г) = Ф{р) (9, со) • (г). (11)
Для доказательства формулы (11) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемных сил:
У-а(г) = 0, е(г) = ёеГ и(г), ст(г) = 0(г) • -(I - ю(е)) ■ -е(г), <о(г) = со(е) (12) с условиями специального вида
[ е(г)с/'У =е*. (13)
которые, как известно [4], эквивалентны условиям на поверхности 5' тела У:
и(г) [; = £*■ и (!4)
при макроскопически однородном деформированном состоянии.
Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:
V ■ &р! (г) = 0, е(р1 (г) = с!еГ п1г> (г),
ст(,,) (г) = С("; (г) • •е(": (г), (15)
где и1/,;(г), ^(г), ст(/,)(г) - детерминированные периодические функции структурных перемещений, деформаций и напряжений, С(/,)(г) - тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, что решение краевой задачи (5) нам известно [7]:
£<р) (7) = М{р) (г) • Е*, ЕСр) (Г) = Е' + Е(р) (Г) ,
СЧР, = |-С(Р) ^ ^ + ^(Р) . .^) ^ ^ 0НР) = С.(Р) . .£* ;
где СЧ/,) - эффективные модули упругости среды с регулярной структурой, IУ{р,(г) -структурные функции [7], [•■•] - оператор осреднения по представительному объему.
С целью доказательства соотношения (11) исследуем решение краевой задачи (12) с граничными условиями (14), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:
У(С(Р) ■ -сЫ" и) = -У П, и [, = 0 , (16)
где
П = 0 -с1еГ и(р) + 6 -<1еГ и- ^0- с!сГ ) 0у/ия — бПтп Э/губ
^¡¡гг.': ^¡'¡о ^ '
Уравнения (16) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой С1"' (г) и
перемещениями и(г), обусловленными действием фиктивных случайных объемных сил V П.
При введении функции Грина среды с регулярной структурой С(/" О, г') система уравнегшй (16) преобразуется в систему интегро-дифференциальных уравнений
и(г) = |с(,,) (г, г') ■ (V' • П'(г'))<*/. (17)
Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (7):
Уи(г)= (г, ОО7' ■П'(гО)<Л’'. (18)
V
Уравнение (17) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды.
В первом приближении полагаем
.(-) г / '
Vи (г)= • V' (0 )с/у. (19)
Для макроскопически однородной среды интегралы в (19) фактически
2, ;г> распространяются на Е е - окрестность микронеоднороднои среды, где ' -
постоянны, поэтому соотношения (19) принимают вид
Уи )(г) = Ур(',|(п , <20)
где Ур:р) И = |¥С(/” (г, г') ■ (V' • 0 )сЛ' .а р1'” '(0, г) - тензор-функционал третьего ранга
относительно физических свойств среды.
Подставляя (19) в (18), с учетом (20) получаем второе приближение
, О)
V и =(Ур(,,)''п + Ур(/>!<2’) ■ -¿'А,
/
Ур<г'{2> = -(У''(0 •■У'р"”''*"")^.
Окончательно запишем
7и(г) = УрГр) ■ -£(Л
где
Ур(/” =£ур°')‘") . (21)
Поскольку пульсации структурных деформаций определяются выражением
б(г) = с!е1' и(г), то в силу (2)) приходим к соотношению (11)
£(г) = Ф (0, со) • ■е°’) (г). (22)
где функционал Ф|'”(6.и) определяется уравнением
Ф(р) (0,ю) = с!еГ р|/,! (0, со). (23)
В первом (корреляционном) приближении эти функционалы определяются
следующими соотношениями:
ф,/ ! Л
(//77« ^
Эр£_Эр£,
дх, дх,
I-4'
Эр!:: г<Э6,(., (г, г') й : / , ,
^-----------7-0ирлш(Г )с1у .
Ъх] I За. дх'у Здесь Су1 (г, г') - тензорная функция Грина для периодической среды сравнения с
неоднородными свойствами.
Из соотношения (24) следует, что указанные выше функционалы являются функционалами относительно свойств микронеоднородной среды 0 и тензора
микроповрежденности со,у,,,,,, а также функциями относительно текущей координаты г. Из уравнения (12) следует, что моментная функция второго порядка функционала Ф ", однозначно определяется через моментную функцию второго порядка функционала р;^ ,-, где через запятую обозначается дифференцирование но координате д- .
Следовательно, для вычисления момептной функции второго порядка необходимо вычислить двойной интеграл
*Г(г.О =
Эр£(г)Эр£(г‘)
Эх, дх
(25)
ггЭС^>(г,г') ЭС£У .О Э1К$Г(г\г') , ,, ,
= --------------------*^r~dvdv'
где через К'^(г',г") =^0«>т(г/)0Ии(г'г)^ обозначена структурная моменгная функция
второго порядка свойств микронеоднородной среды. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования эта функция локальна (затухает на расстояниях, намного меньших линейного размера элемента) и имеет область отрицательных значений [1,4]. При этом на основании сказанного для корреляционной функции, входящей в соотношение (25), используются аппроксимирующие зависимости через единичные функции, предложенные в [I]. Тогда для описания функции ) достаточно вычислить некоторые значения этой функции.
получаемые при г = г* - 0 в уравнении (25). Для вычисления интеграла (25) необходимо знать функцию Грина G\f’(r, г') для неоднородной среды сравнения с периодической структурой. Используя технику осреднения, предложенную в работе
q(p) I
разложения по малому параметру а:
Gif1 (0, Ь 0, г) = G; (г) - аА^ © +
[3], представим функцию Грина G)^ (0,2;;0,г) в виде асимптотического ряда
у,
2 Г'*
"+ <26>
где С£(г) - функция Грина для эквивалентной однородной изотропной среды
сравнения с модулями упругости С./^ , - эффективные модули упругости
неоднородной среды сравнения с периодической структурой, (£) - локальные
£
функции быстрых координат £, п-го уровня, а - малый параметр (0 < а = у « /), / -
характерный линейный размер неоднородности, I - характерный линейный размер конструкции.
Рассмотрим случай, когда микроггеоднородная среда макроскопически однородна и квазиизотропна. В этом случае перяое слагаемое в выражении (26) есть тензор Кельвина - Сомильяны для однородной изотропной среды сравнения с
эффективными свойствами С\^п . Подставляя формулу (26) в соотношение (25) и
используя метод, предложенный в работе [2], получаем
Рщп (0,0) - 1,-а/|31,1,5 ^ ЭаРшя 0>3г.у
/
где через /*■ обозначен изотропный тензор четвертого ранга, зависящий о. макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.
В силу свойства предельной локальности функционала р^’;
и вычисленного
главного значения (27) следует, что функционал ; аппроксимируется координатной зависимостью
;28)
Эх,
В этом случае поправка, как это следует из (28), вычисляется в явном виде:
Сут ~ (-¡¡тп + (&№ ОчЗтп ^ ^ ■ \ /У )
Рассмотрим одномерный случай накопления структурных напряжений
с(г) = Е(г) [1 -со(е)]е(г). (30)
Пусть элементарный микрообъем первого порядка малости (с характерным линейным размером ) представляет собой совокупность микрообъемов второго порядка
малости (с характерным линейным размером е21). Будем предполагать, что для каждого элементарного объема второго порядка малости возможно лишь два состояния: либо элементарный объем разрушен, либо - нет. Введем скалярную функцию со, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю в разрушенных. Тогда имеем
11 с вероятностью р,
[0 с вероятностью 1 -р.
Из соотношения (31) находим
(со) = р, (32)
то есть математическое ожидание функции микроповрежденнос-ти. введенное с
помощью функции (31), совпадает с вероятностью разрушения микрообъемов второю порядка малости.
Запишем теперь закон Гука для элементарных объемов первого порядка малости
а* =£ [1-со'(£)]£\ (ЗУ)
где величины со звездочками относятся к элементарному объему первого порядка
малости. Величина со* имеет смысл вероятности разрушения р элементарного объема первого порядка малости. Из соотношения (33) для момента разрушения величина
макронапряжений равна пределу прочности с*=о*, а макродеформация равна
предельной деформации е* = е^. Откуда находим формулу для оценки критического значения макроповрежденности
<х.
ох., =1----—. По;
Ее I
Установим теперь связь между вероятностями макроскопического разрушения р и структурного разрушения р. Принимая степенной закон распределения микроповреждений
F(co) = (co)I\ 0<со<1, а>0. (36)
неизвестные постоянные а определим по формуле
I
(а>) = jüiF'(iü)£/cö= р , (37)
С
Из (37) находим
а = —(40) 1 - р
Из формулы (36) получаем зависимость вероятности макроразрушения от вероятности микроразрушения
/=1-«. (41)
Как видно из формулы (35), со^ не является новой константой материала, а выражается
через известные предельные макроскопические характеристики материала.
Если записать обобщенный закон Гука через связи первых и вторых инвариантов, то для изотропных материалов получим два независимых критерия разрушения аналогично тому, как это сделано выше для одномерного случая.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 99-01 -00910.
Библиографический список
1. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. -Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1978. - 208 с.
2. Соколкин Ю.В. О методе вычисления многоточечных моментных функций полей
деформирования и напряжений в микронеоднородных средах /7 Структурно-
механическое исследование композиционных материалов и конструкций. -Свердловск, 1984. - С. 12-14.
3. Макарова Е.Ю. Синтез современных методов усреднения при решении
стохастических краевых задач механики микронеоднородных сред // Механика композитных материалов, 1999. - Т.35, № I. - С. 3-12.
4. Соколкин Ю.В., Ташкшюв A.A. Механика деформирования и разрушения
структурно неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 116 с.
5. Соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э., Зайцев A.B., Рочев И.Н. Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композитных материалов Н Механика композитных материалов. - 1998. - Т.34, № 2. - С. 234-250.
6. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев A.B. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на закритической стадии деформировать /У Механика композитных материалов. - 1997. - Т.33, № 3. - С. 329-339.
7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: МГУ, 1984.-336 с.
Получено 20.03.2001
