CC BY
6
2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №38
УДК 512.55
О ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ АНТИКОММУТАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ АЛГЕБР
О. В. Шулежко*, Н.П. Панов**
* Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова,
г. Ульяновск, Россия ** Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск, Россия
Представлены новые результаты, касающиеся многообразий антикоммутативных метабелевых алгебр над полем нулевой характеристики. Получены числовые характеристики многообразия всех антикоммутативных метабелевых алгебр. Для любого целого m ^ 2 доказано существование почти нильпотентного многообразия экспоненты m. Определены и изучены два почти нильпотентных многообразия подэкспоненциального роста, доказано, что других таких многообразий в исследуемом классе алгебр нет. Все результаты получены с помощью комбинаторных методов.
Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, нильпотентность, рост коразмерностей.
DOI 10.17223/20710410/38/2
ON ALMOST NILPOTENT VARIETIES OF ANTICOMMUTATIVE
METABELIAN ALGEBRAS
O.V. Shulezhko*, N. P. Panov**
*Ilya Ulyanov State Pedagogical University, Ulyanovsk, Russia ** Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, Russia
E-mail: ol.shulezhko@gmail.com, nppanov@yandex.ru
Let Ф be a field of characteristic zero. We consider variety of anticommutative metabelian algebras, denoted MA, in which the anticommutativity identity x1x2 = = —x2xi and the metabelian identity (x^2)(x3x4) = 0 are satisfied. The associativity of multiplication is not assumed. Numerical invariants of the variety of all anticommutative metabelian algebras are obtained: the sequence of codimensions is cn(MA) = n!/2. An algorithm for computing the multiplicities of m^(MA) for n > 2 is presented. We define a series of anticommutative metabelian algebras Cm for any integer m ^ 2 and prove the existence of almost nilpotent variety with Pi-exponent of m. Moreover, two almost nilpotent varieties of subexponential growth are studied. The first variety is the well-known variety of all metabelian Lie algebras, denoted A2, the second — the almost nilpotent variety Vanti generated by the anticommutative metabelian algebra G, Vanti = var(G), which is defined in our investigation. In case of varieties of anticommutative metabelian algebras, it is shown that there are only two almost nilpotent varieties of subexponential growth: A2 and Vanti. The proofs are based on the theory of irreducible modules, Young diagram and tableau, and some basic notions of the representation theory for the symmetric group. All results are obtained by means of combinatorial methods.
Keywords: polynomial identity, variety, almost nilpotent, codimension growth.
Введение
На протяжении всей работы основное поле Ф имеет нулевую характеристику. Линейной алгеброй, или алгеброй над полем, называют векторное пространство, на котором задана бинарная билинейная операция. Многообразие алгебр — совокупность линейных алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору тождественных соотношений. Дополнительные сведения о теории алгебр с тождествами, а также все неопределяемые далее понятия и обозначения можно найти в [1, 2].
Обозначим через ^(X) свободную алгебру со счётным множеством образующих X = {х^х2,...}. Далее свободные образующие будем обозначать также другими латинскими буквами. В работе исследуются алгебры, в которых выполняется тождество антикоммутативности
ж1ж2 = —ж2ж1 (1)
и (по аналогии с алгебрами Ли) тождество метабелевости
(Ж1Ж2ХЖ3Ж4) = 0. (2)
Так как ассоциативность умножения не предполагается, в произведениях необходимо следить за расстановкой скобок. Договоримся опускать скобки в случае их левонор-мированной расстановки, например (xy)z = xyz. В алгебре Л умножение справа на образующую а обозначим с помощью оператора Яа : Л ^ Л, например аЬЩ = аЬее. Умножение справа на свободную образующую обозначим соответствующей заглавной буквой, например хуУ = хуу. Условимся также помечать образующие с помощью специальных символов, например черты, для обозначения кососимметризации. Например,
х1х2 . . . хп = £ (— 1 )Рхр(1)хр(2) . . . хр(п),
реяп
где Бп — симметрическая группа и (— 1)р равно ±1 в зависимости от чётности подстановки р.
В относительно свободной алгебре ^(X, V) = ^(X)/Ы(У) многообразия V рассмотрим так называемую полилинейную часть Рп(У) —пространство полилинейных элементов степени п, п ^ 1, от образующих х1,... ,хп. Известно, что над основным полем нулевой характеристики любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому исследование строения полилинейных частей Рп(У) позволяет получить информацию о многообразии V. Пространство Рп(V) как Ф5"п-модуль симметрической группы Бп имеет единственное с точностью до изоморфизма разложение в прямую сумму неприводимых подмодулей, соответствующих диаграммам Юнга разбиений Л = (Л1,... , Л^), 1 ^ I ^ п, числа п, Л Ь п. При этом кохарактер Хп^) = Х(Рп^)) равен сумме неприводимых характеров Л Ь п, взятых с кратно-стями тл^):
Хп^)= £ тл^)хл.
ль п
Число слагаемых в этой сумме называют кодлиной многообразия V и обозначают
¿п^)= £ тлО^). лЬп
Асимптотическое поведение последовательности коразмерностей {сп^)}п^ определяет рост многообразия V. Рост называют подэкспоненциальным, если для любого действительного а > 1 найдётся такое натуральное п0, что для всех п ^ п0 выполнено неравенство сп^) < ап. Говорят, что многообразие V имеет полиномиальный
рост, если коразмерности cn(V), n ^ 1, удовлетворяют ограничению cn(V) ^ Yn* для некоторых действительных чисел y, t ^ 0. Если рост многообразия V выше подэкс-поненциального, но последовательность коразмерностей экспоненциально ограничена, то оно экспоненциального роста. При этом предел lim ncn(V) = ß > 1, в случае
его существования, называют экспонентой многообразия V, exp(V) = ß. Многообразие V является нильпотентным, если найдётся такое натуральное n0, что для всех n ^ По выполняется равенство cn(V) = 0. Говорят, что нильпотентное многообразие имеет нулевой рост. Ненильпотентное многообразие, все собственные подмногообразия которого нильпотентные, называют почти нильпотентным.
Известно, что единственным почти нильпотентным многообразием ассоциативных алгебр является многообразие AC всех коммутативных ассоциативных алгебр. В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие A2 всех метабелевых алгебр Ли. При изучении алгебр Лейбница были найдены два примера почти нильпотентных многообразий и доказано, что других нет [3]. Следует отметить, что все перечисленные многообразия имеют незначительный полиномиальный рост. В общем случае оказалось, что существуют достаточно экзотические примеры почти нильпо-тентных многообразий. В работе [4] впервые удалось построить почти нильпотентное многообразие экспоненты два. В случае нулевой характеристики основного поля доказано существование почти нильпотентных коммутативных метабелевых многообразий любой целой экспоненты, а именно: для любого натурального числа m ^ 2 существует почти нильпотентное многообразие, экспонента которого равна m [5]. В этом же классе алгебр оказалось только два почти нильпотентных многообразия подэкспоненциаль-ного роста [6]. В [7] дано описание всех почти нильпотентных многообразий подэкспо-ненциального роста в классе левонильпотентных ступени два алгебр, то есть алгебр, в которых выполнено тождество x(yz) = 0. Обзор известных почти нильпотентных многообразий в этих классах алгебр выполнен в работе [8]. Удалось также установить существование континуального множества метабелевых почти нильпотентных многообразий полиномиального роста [9].
Настоящая работа является логическим продолжением серии исследований, посвя-щённых почти нильпотентным многообразиям в различных классах алгебр над полем нулевой характеристики. В ней представлены числовые характеристики многообразия всех антикоммутативных метабелевых алгебр. В данном классе алгебр для любого натурального m ^ 2 докажем существование почти нильпотентного многообразия экспоненты m, а также определим ровно два почти нильпотентных многообразия подэкс-поненциального роста. Многообразие алгебр, удовлетворяющих тождествам (1) и (2), обозначим через MA и перейдём к изложению полученных результатов.
1. Числовые характеристики многообразия антикоммутативных
метабелевых алгебр
При помощи определения множества антикоммутативных метабелевых алгебр An, n = 2, 3,... , получим значения коразмерностей cn(MA). Пусть алгебра An задана образующими Zij, eij, 1 ^ i, j ^ n, и следующими определяющими соотношениями. Для любых i, j, k, l, 1 ^ i, j, k,l ^ n,
1) eijeki = 0;
2) zijzki = 0;
3) zijekl = —eklzij = ôjkzil, где ôjk — символ Кронекера.
Теорема 1. Базис пространства РП(МА), п ^ 2, образуют элементы вида
Хгг Хг2 ...Хгп , ¿1 >¿2, (3)
и выполняется равенство
п!
с„(МА) = -. (4)
Доказательство. С помощью тождеств (1) и (2) любой полилинейный моном степени п, п ^ 2, может быть записан в виде (3). Следовательно, каждый элемент пространства Рп(МА) является линейной комбинацией п!/2 мономов вида (3). Докажем от противного их линейную независимость. Пусть имеет место тождество
п!/2
У ] агХгх Хг2 . . . Хгп ~ ¿1 > ¿2?
г=1
в котором не все коэффициенты а^ Е Ф равны нулю. Проверим его справедливость в алгебре Ап. Пусть для некоторого в, 1 ^ в ^ п!/2, а3 = 0, тогда выполним подстановку х81 = г11, х32 = е12, ..., х3п = в(п-1)п и получим равенство а8г1п = 0, откуда а3 = 0. Таким образом, все мономы вида (3) в пространстве Рп(МА) линейно независимы и образуют базис размерности п!/2. ■
Заметим очевидное равенство с1(МА) = 1 и для п ^ 2 рассмотрим разложение ФБп-модуля Рп(МА) в прямую сумму неприводимых подмодулей с кратностями Шд(МА), Л Ь п. В силу тождества антикоммутативности т(п)(МА) = 0. Следовательно, модуль Р2(МА) является одномерным и неприводимым, т(1,1)(МА) = 1 и Х2(МА) = Х(1,1). В следующей теореме сформулируем алгоритм вычисления кратно-стей тл(МА) для п > 2 и диаграмм Юнга Л Ь п из двух и более строк.
Теорема 2. Зафиксируем п > 2. Выберем диаграмму Юнга, соответствующую разбиению Л Ь п, которая содержит две или более строк. Из двух разных строк диаграммы Л удалим по одной клетке так, чтобы в результате удаления получилась диаграмма ^ разбиения числа п — 2, ^ Ь п — 2. Для всех таких диаграмм ^ по формуле крюков найдем соответствующие значения размерностей ^. Тогда кратность тд(МА) определяется как сумма всех значений ^.
Доказательство. Пусть Н подгруппа симметрической группы Бп, состоящая из тождественной подстановки и цикла (п — 1 п). Обозначим через О подгруппу Бп, п > 2, О = НБп-2 = Н х Бп-2. Определим пространство полилинейных многочленов Яп = 8рап|хпхп-1хст(1) ... хст(п-2) : а Е Бп-2} и рассмотрим ФО-модуль
^п(МА)
^п п М(МА) •
Заметим, что в относительно свободной алгебре Р (X, МА) ФН-модуль, порождённый мономом хпхп-1, является неприводимым, одномерным и соответствует диаграмме Юнга разбиения (1,1) Ь 2. При этом известно, что регулярный модуль ФБп разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей с кратностями, совпадающими с размерностями соответствующих неприводимых подмодулей. Из конструкции ФО-модуля ^п(МА) получим индуцированный ФБп-модуль Рп(МА), который разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей с диаграммами Юнга, заданными по правилу Литтлвуда — Ричардсона. В разложении модуля Рп(МА) каждая диаграмма
Л h n каждого неприводимого подмодуля получена присоединением клеток диаграммы (1,1) h 2 к двум различным строкам некоторых диаграмм ß h n — 2, причём за счёт присоединения двух новых клеток диаграммы ß расширяются вправо или вниз. Следовательно, в разложении Pn(MA) кратность m^(MA) определяется как сумма значений размерностей dß модулей с диаграммами ß h n — 2, которые получены удалением двух клеток из разных строк диаграммы Л. В частности, m(in)(MA) = d(in-2) = 1. Теорема доказана. ■
Пример 1. Для n = 4 вычислим mA(MA) и dA, Л h n,
m(4) = 0, d(4) = 1,
m(3,1) = d(2) = 1 d(3,1) = 3,
m(2,2) = d(1,1) = 1, d(2,2) = 2,
m(2,1,1) = d(2) + d(1,1) = 2, d(2,1,1) = 3,
m(1,1,1,1) = d(1,1) = 1 d(1,1,1,1) = 1.
Сложим выписанные значения и получим равенство (4):
c4(MA) = 0 ■ 1 + 1 ■ 3 + 1 ■ 2 + 2 ■ 3 + 1 ■ 1 = 12 = 4!/2.
2. Почти нильпотентные многообразия экспоненциального роста
При помощи построения серии антикоммутативных метабелевых алгебр Cm, m ^ 2, докажем, что в данном классе алгебр для любого целого m ^ 2 существует почти нильпотентное многообразие экспоненты m. Для каждого m ^ 2 определим алгебру Cm образующими z1, z2, c1,... , cm и следующими определяющими соотношениями:
1) uv + vu = 0, u,v G Cm;
2) ciCj = 0, 1 ^ i, j ^ m;
3) ziCj = 0, i = 1, 2, 1 ^ j ^ m;
4) z1z2w(Rcl,..., Rcm)zi = 0, i = 1, 2, deg w ^ 0;
5) (z1z2w(Rc1 ,...,Rcm ))(z1z2w'(Rc1, ...,Rcm )) = 0, deg w ^ 0, deg w' ^ 0;
6) z1z2 (Rci . . . Rcm )kCil . . . Cis Cis + 1 . . . cit + z1z2(Rci . . . Rcm )kCil . . . Cis + i Cis . . . Cit = °
k ^ 0, 1 ^ s < t ^ m, 1 ^ i1,...,it ^ m, где слова w, w' — ассоциативные мономы от операторов Rcj, 1 ^ j ^ m. Заметим, что последнее определяющее соотношение влечёт равенство
z1z2(Rci ...Rcm)kw(Rci,...,Rcm) = 0,
в котором k ^ 0 и ассоциативный моном w(Rci,... , Rcm ), 2 ^ deg w ^ m, содержит по меньшей мере два одинаковых Rci, 1 ^ i ^ m. Таким образом, базис алгебры Cm представлен левонормированными элементами
z1, z2, Cb . . . , cm, z1z2 (Rci ...Rcm)k, WR ci ... Rcm ) Cii Ci2 . . . Cit
для всех k ^ 0, 1 ^ t < m, 1 ^ i1 < i2 < ■ ■ ■ < it ^ m.
Нетрудно проверить, что в алгебре Cm, как и в коммутативной метабелевой алгебре Bm из работы [5], выполняются тождественные соотношения
ХоУоХ3 = 0; (5)
хоуоХ2Z1... ZsY2 = 0, (6)
где остаток от деления s на m отличен от m—2. Так как основное поле Ф имеет нулевую характеристику, алгебра Cm удовлетворяет следующим линеаризациям тождеств (5) и (6):
xoyoXiXXi = —xo yoXiXiX — xoyoXXiXi; (7)
XoyoXXiwY2 = —xoyoXi XwY2; (8)
xoyoX 2wYYi = —xoyoX 2wYiY; (9)
xoyo XXiwYYi = —xoyoXiXwYYi — xoyoXXiwYiY — xoyoXiXwYiY, (10)
где w = Zi... Zs и s отлично от m — 2 по модулю m.
Утверждение 1. Пусть w — w(Xi,... , Xm) ассоциативный моном с условием
deg w — min {degX w}-m ^ 2m — 1. (11)
i^i^m г
Тогда в алгебре Cm выполняется тождество xoyow(Xi,... , Xm) = 0.
Доказательство. Пусть w зависит не от всех Xj, 1 ^ i ^ m. Без потери общности примем degxm w = 0 и из (11) получим неравенство deg w ^ 2m — 1. Тогда среди первых m букв слова w найдутся две одинаковые, например пара Xm-i, между которыми расположено не более m — 2 других букв. C помощью тождеств (10) и (7) представим xoyow в виде линейной комбинации мономов, в каждом из которых выбранные буквы Xm-i размещены на соседних позициях. Так как deg w ^ 2m — 1, в каждом из полученных мономов справа от находится по меньшей мере m — 1 букв. Если
в некотором мономе среди них найдётся Xm-i, то, применив, возможно несколько раз, тождество (9), получим три подряд одинаковые буквы и соответственно (5) равный нулю элемент. Иначе среди данных m — 1 букв общее число различных не превышает m — 2 и найдутся две одинаковые. В силу кососимметричности перестановки букв (9) все такие мономы также равны нулю.
Для удобства обозначим 9 = min {degX w}. Пусть теперь 9 ^ 1, deg w ^ 3m — 1.
i^i^m г
В слове w в любой последовательности букв Xi, 1 ^ i ^ m, длины m +1 найдутся две одинаковые буквы, между которыми расположено не более m — 1 других букв. Аналогично предыдущему случаю выберем пару таких букв и с помощью тождеств (10) и (7) запишем xoyow в виде линейной комбинации мономов, содержащих выбранные буквы на соседних позициях. С помощью приведённых выше рассуждений отбросим из полученной линейной комбинации все нулевые мономы. В оставшихся мономах с помощью тождеств (8), (9) упорядочим буквы Xi, 1 ^ i ^ m, следующим образом.
При 9 > 1 получим мономы вида
XoW(Xi ... Xm)r1 (Xi ... X ... XmXs2Xi . . . X ... Xm)(Xi ... Xm)r2w", (12)
где ri,r2 ^ 0, ri + r2 + 2 ^ 9, обозначение Xs значит пропуск Xs и w', w" — ассоциативные мономы, зависящие не от всех Xi, 1 ^ i ^ m. По условию (11) хотя бы одно из слов w', w'' имеет длину не менее m и поэтому среди любых m букв содержит две одинаковые. То есть в силу тождеств (8), (9) все полученные мономы также равны нулю.
Если 9 = 1 , аналогичные рассуждения приводят к линейной комбинации одночленов вида
XoyowiXi... Xs... XmXs2w2; (13)
xoyow3Xs2Xi ...Xs ...Xmw4, (14)
в которых слова wi,..., w4 зависят не от всех Xi, 1 ^ i ^ m. Покажем равенство нулю мономов вида (13). Если слово wi (или w2) длины не менее m, то с помощью тождества (8) (или (9)) в слове wi (или w2) разместим подряд две одинаковые буквы и в силу (6) получим, что моном (13) равен нулю. Пусть теперь n = 3m — 1 и каждое из слов wi, w2 длины m — 1. Возможны следующие два случая: если degxs w2 ^ 1 (в частности, при m = 2), то в силу (9), (5) моном (13) равен нулю. Так как 9 =1, при degXs w2 = 0 среди m — 1 букв слова w2 найдутся две одинаковые, и в силу тождества (9) моном (13) равен нулю. Равенство нулю мономов вида (14) получим в результате аналогичных рассуждений. ■
Пусть Ln = span{xoyoxCT(i) . ..xCT(n) : a E Sn} — пространство полилинейных лево-нормированных мономов с фиксированным произведением xoyo во внутренних скобках, Wm = var(Cm) — многообразие, порождённое алгеброй Cm, m ^ 2. Тогда рассмотрим Фб^-модуль
= Т т 1 Г
L„ П Id(Wm)
с кохарактером XL(Wm), который разлагается в сумму неприводимых характеров с кратностями mL, Л h n.
Так как характеристика поля Ф равна нулю, то, используя условие эквивалентности полилинейных и соответствующих полиоднородных тождеств, докажем следующее утверждение.
Утверждение 2. Если mL = 0, n ^ 3m — 1, то Л h n удовлетворяет следующим условиям:
1) Л! = m;
2) n — Лт ■ m < 2m — 1;
3) Л1 — Лт ^ 2.
Доказательство. Зафиксируем стандартную таблицу Юнга Тд, Л h n ^ 3m — 1, и обозначим соответственно Ятл , Стл стабилизаторы строк и столбцов таблицы Т\. Обозначим через
f = еТл (xoyoxi... xra) = £ p £ (—1)qq(xoyoxi... xra)
р<ЕЯтл дестл
полилинейный элемент, порождающий неприводимый подмодуль модуля Ln (Wm). Пусть полиоднородный элемент h получен из f в результате отождествления свободных образующих, индексы которых находятся в одних и тех же строках таблицы Тд.
Докажем первое условие. Пусть сначала Л1 < m, тогда каждый моном в h удовлетворяет условиям утверждения 1, где min {degX w} = 0, deg w ^ 3m — 1. Следовательно, в алгебре Cm выполняется тождество h = 0 и mL = 0 при Л1 < m. Пусть теперь Л1 > m. Тогда f равен сумме полилинейных элементов, кососимметрических по более чем m образующим xi, 1 ^ i ^ m, и, следовательно, тождественно равных нулю в алгебре Cm. Таким образом, mL = 0 при Л1 > m, и первое условие доказано.
Второе условие является прямым следствием утверждения 1.
Докажем третье условие. По доказательству утверждения 1 ненулевой полиоднородный элемент h полистепени (Л1,... , Л^ по образующим x1,... , xm по модулю тождеств многообразия Wm равен линейной комбинации ненулевых мономов xoyow вида (12), в которых по условию 2 мономы w', w'', зависящие не от всех Xi, 1 ^ i ^ m, удовлетворяют неравенствам deg w' ^ m — 1, deg w'' ^ m — 1. В силу тождеств (8)
и (9) каждое из слов w', w'' не может содержать повторяющиеся буквы. Так как буквы в словах w', w'' могут совпадать, то выполняется неравенство Ai — A? ^ 2. ■
Утверждение 3 [10]. Пусть T — таблица Юнга, соответствующая разбиению A h n, и M = M1 ф • • • ф Mk — Ф$п-модуль, где Mj — изоморфные неприводимые подмодули с характером хл. Тогда k равно максимальному числу линейно независимых элементов g Е M, таких, что a • g = g для любого элемента a Е Rt.
Утверждение 4. Существует такая константа C = C(те), что для всех A h n, n ^ 3m — 1, выполняется неравенство m^ ^ C.
Доказательство. Зафиксируем диаграмму A = (A1,...,Am), A h n. В разложении модуля Ln(W?) не равная нулю кратность m^ определяется как размерность пространства полилинейных элементов, удовлетворяющих условиям утверждения 3. В силу эквивалентности полилинейных и соответствующих полиоднородных тождеств и по условию 1 утверждения 2 для оценки данной размерности достаточно по модулю тождеств многообразия W? оценить размерность пространства ¿Ль...,Лт полиоднородных элементов xoyow(Xi,... , X?) полистепени (Ai,..., A?) от образующих x1, . . . , . С помощью тождеств (5)-(10) любой ненулевой элемент пространства ¿ль...,лт может быть представлен линейной комбинацией ненулевых мономов вида (12), в которых каждое из слов w', w'' состоит из различных букв и имеет длину не более m — 1. Нетрудно убедиться, что с помощью тождеств (5)-(10) все такие мономы могут быть приведены к виду
Xoyow'(Xi.. .Xm)(XmXi.. .X?_i)(Xi... X„)ri+r2w'', (15)
где буквы в словах w', w'' упорядочены.
Так как мономы (15), отличающиеся только порядком букв в соответствующих словах w', w'', по модулю тождеств (8), (9) с точностью до знака равны, то для диаграммы A = (Ai,... , A?) число различных мономов (15) равно количеству способов выбора различных букв в любом из слов w', w''. В результате сравнения получим, что наибольшее число различных мономов (15), всего 2? — 1, соответствует прямоугольной диаграмме A. То есть при Ai = ... = A? имеем
m_i
mL ^ dim ¿ль...,лт ^ Е (?) = 2m — 1.
i=0
Утверждение доказано. ■
Обозначим cL(W?) = dim Ln(W?) и установим связь между коразмерностями cL(W?) и c„(Wm), n ^ 1.
Утверждение 5. Для любого n ^ 1 выполняется равенство
с,,+2^„,) = (п + 1)2(" + 2) с^„,).
Доказательство аналогично проведённому в работе [5] для коммутативного случая.
Теорема 3. Для любого целого т ^ 2 существует почти нильпотентное антикоммутативное метабелево многообразие экспоненты т.
Доказательство. Рассмотрим Ф5П-модуль = Ln(Wm), п ^ 3т — 1,
элементы которого вместо произведения ж0у0 содержат жга+2Хга+1. Аналогично доказательству теоремы 2 из ФбП-модуля Ln(Wm) получим индуцированный Ф5П+2-модуль
РП+2 (^^т) • В силу утверждений 2 и 4 в разложении кохарактера Xn+2(Wm) в сумму неприводимых характеров все ненулевые кратности mл(Wm) ограничены сверху константой и отвечают диаграммам Л Ь п + 2, у которых вне прямоугольника т х Лт находится не более 2т клеток. Известно, что при достаточно больших п размерность ^л с диаграммой Л Ь п такого вида удовлетворяет неравенствам пвтп ^ ^л ^ патп для фиксированных а, в [11]. Следовательно, exp(Wm) = т. При этом полилинейные части всех ненильпотентных подмногообразий многообразия Wm также удовлетворяют указанным ограничениям. Остаётся заметить, что в любом ненильпотентном многообразии существует почти нильпотентное подмногообразие [4, теорема 1]. ■
3. Почти нильпотентные многообразия подэкспоненциального роста
Далее в исследуемом классе алгебр определим ровно два почти нильпотентных многообразия подэкспоненциального роста. Первое такое многообразие — это хорошо известное многообразие всех метабелевых алгебр Ли А2. Приведём необходимые в дальнейшем свойства многообразия А2. Полилинейная часть Р„(А2), п ^ 2, имеет следующие числовые характеристики:
с„(А2) = п - 1, Хп(А2) = Х(п-1,1), /„(А2) = 1.
Утверждение 6. Многообразие А2 не является подмногообразием многообразия V С МА тогда и только тогда, когда в многообразии V для некоторого к ^ 1 выполнено тождество ж0Хк = 0.
Доказательство. Так как жоХк / М(А2), к ^ 1, то остаётся доказать необходимость. Пусть А2 С V, тогда из разложения полилинейной части Р„(А2), п ^ 2, следует, что в многообразии V должно выполняться некоторое тождество, соответствующее диаграмме Юнга (п — 1,1). Полиоднородные элементы, построенные по стандартным таблицам данной диаграммы, имеют вид ж1Х{ж2Х„-2-г, г = 0,... , п — 2. Поэтому тождество в многообразии V может быть записано как
„-2
£ адХ^Х^-2-* = о, а е Ф.
2=0
С помощью тождества антикоммутативности перепишем его в виде
„-2 \ 2ао + £ а* Ж2Х„- 1 = 0. 2= 1 )
„-2
При этом необходимо принять 2а0 + £ а2 = 0, иначе получим, что исходное тождество
2=1
выполнено в многообразии А2 С МА. Таким образом, для некоторого п ^ 2 тождество ж2Х„-1 = 0 выполнено в многообразии V. Заметим, что для п =1 доказательство очевидно. ■
Второе почти нильпотентное многообразие подэкспоненциального роста Vanti порождается следующей антикоммутативной метабелевой алгеброй С, Vanti = уаг(С). Определим неассоциативную алгебру С бесконечным числом образующих е1, е2,... и следующими определяющими соотношениями:
1) = — е2ш, deg ш ^ 1;
2) ш1ш2 = 0, degш1 ^ 2, degш2 ^ 2;
3) е*р(1) е*р(2) . . . е*Р(„) = (—1)Ре*1 е*2 . . . е*п , Р е ^га, п ^ 2.
Легко видеть, что в алгебре О в силу определяющего соотношения 3 любой базисный элемент степени два или более по образующей ег, г ^ 1, равен нулю. Обозначим О2 идеал алгебры О, который образован всеми произведениями её элементов. Заметим, что в силу тождества метабелевости О2 является алгеброй с нулевым умножением.
Утверждение 7. В многообразии Vanti выполнены следующие тождества:
+ — 0; (16) + гуХ + + — 0. (17)
Доказательство. Так как данные тождества являются полилинейными, достаточно доказать их справедливость для базисных элементов алгебры О. Если в первое тождество вместо г или £ подставить базисный элемент О2, то при любых х, у оба слагаемых равны нулю. В результате подстановки элементов ег получим верное равенство по определяющему соотношению 3.
В тождество (17) вместо одной из свободных образующих подставим базисный элемент д Е О2, а вместо остальных — различные ег, г ^ 1. В силу тождеств антикоммутативности и метабелевости останется пара ненулевых слагаемых, в каждом из которых д находится на первом месте, а перестановки образующих ег отличаются на одну транспозицию, то есть имеют разную чётность. Из определяющего соотношения 3 полученная сумма равна нулю. Тождество (17) также обращается в верное равенство при подстановке различных ег, г ^ 1. Достаточно заметить, что из монома слагаемые получены одной транспозицией образующих, а одночлен —
двумя транспозициями. ■
С помощью утверждения 7 докажем следующие равенства для числовых характеристик полилинейной части Рп^апй).
Утверждение 8. При п ^ 3 выполняются равенства
Сп^ап^ = п ¿п^апО = 2 Хп^ап^ = Х(2,п-2) + Х(1").
Доказательство. Оценим значение коразмерности сп^ап^), п ^ 3, сверху. Для этого покажем, что любой элемент пространства Рп^ап(л) может быть записан в виде линейной комбинации п элементов двух видов:
хп-1хп-2хпхп-3 . . . х1; (18)
ХпХХг2 . . . Жгп-2 , 1 ^ г ^ П — 1, ¿1 > ¿2 > ' ' ' > ¿п-2. (19)
В любом мономе пространства Рп^ап^) в силу тождества (16) образующие, начиная с третьей позиции, могут быть упорядочены по убыванию индексов, поэтому возможны три случая записи остальных мономов:
1) ж„-1ЖгЖ„жга-2 ... , 1 ^ г < п — 2;
2) ж„-2ЖгЖ„жга-1... , 1 ^ г < п — 2;
3) хпхп-1..., 1 ^ < г < п — 2.
Воспользуемся в каждом из случаев тождеством (17):
хп- 1хгхпхп-2 ... — хпхгхп-1 хп-2 ... хп-1 хп-2хпхг ... хпхп-2хп-1хг . . . , ^п-2^г^п^п-1 • • • — ^п^г^п-2^-^-1 • • • ^п-2^-^-п^г • • • ^п^п-1^п-2^г • • • )
-"У* . -"У* . -"У* -"У* ~ ^^ _ -"У* -"У* . -"У* . -"У* _ -"У* . -"У* -"У* -"У* . _ -"У* -"У* -"У* . -"У* .
ЛугЛ-^^п^п- 1 — • — ^п^^г^п- 1 — • ^г^п-п^-^ • • • ^п^п-• • •
Получили линейные комбинации элементов вида (18) и (19), и в третьем разложении слагаемое ... соответствует первому случаю. Таким образом, имеем нера-
венство сга^ап^) ^ п. Оценим сга^ап^) снизу. Для этого рассмотрим полиоднородные элементы Л(2дп-2) и Л^п), линеаризации которых порождают неприводимые подмодули с диаграммами (2,1П-2) и (1п). Пусть Л(2дп-2) = ж1ж2 ...ж„-1ж1, тогда вместо ж1 подставим сумму д + е1, д е С2, а вместо подставим е2, г ^ 2. Из определяющих соотношений алгебры С получим ненулевой элемент
(д + е1)б2 ... е„-1(д + 61) = дб2 .. .е„-1б1 = 2дб2 ... б„-1бь
Следовательно, соответствующий неприводимый подмодуль не является нулевым и
т^п^^^О ^ 1.
В многочлен Л(1п) = ж1ж2 ... вместо 1 ^ г ^ п, подставим Результат подстановки равен п!б1б2 ... б„, и неприводимый подмодуль с диаграммой (1п) также не является нулевым, т^^а^) = 1. Таким образом, для с„^ап)л) имеем следующую оценку снизу:
Сп^^О ^ т(2,1п-2) ^^0^(2,^-2) + т(1п) ^п^Дп) = (п — 1)m(2,ln-2)(Vanti) + 1 ^ п.
Так как с^^^^) ^ п, то с„(Vanti) = п, т^дп^)^^^) = 1, и получили искомые равенства. ■
Отметим очевидные равенства для п = 1, 2:
С1 (Vanti) = 1, ¿10^®«) = 1, ) = Х(1),
C2(Vanti) = 1, ¿2(^1^0 = 1, Х2 (Vanti) = Х(1,1).
Утверждение 9. Многообразие Vanti не является подмногообразием многообразия V С МА тогда и только тогда, когда в многообразии V выполнено тождество ж0ж1ж2 ... жт = 0 для некоторого т ^ 2.
Доказательство. Так как ж0ж1ж2... жт е М(С) = Id(Vanti), т ^ 1, то остаётся доказать необходимость. Из доказанного в утверждении 8 разложения характера Хп^) в сумму неприводимых характеров следует, что в многообразии Vanti выполняется некоторое тождество, соответствующее одной из диаграмм (1п), (2,1П-2) при п ^ 3. Пусть в многообразии V выполнено тождество ж1 ж2 ... = 0. Тогда, заменив образующую ж1 на произведение ж0ж1, получим следствие ж0ж1ж2 ... = 0. Запишем кососимметризацию данного следствия по образующим Ж1, ж 2,..., ж„:
£ (—1)СТЖ0ЖСТ(1)ЖСТ(2) ... жст(„) = 0. стеЯп
Здесь — группа всех подстановок, которые оставляют на месте единицу. Из соотношения
Ж1Ж2 . . = ( — 1)бЖ0(1)Ж0(2) . . .Ж0(„), в е £„,
получим в многообразии V тождество (п — 1)!ж0ж1ж2 ... = 0.
Для диаграммы (2,1п-2) тождество может быть записано от п — 1 образующих ж1,... , жп-1 следующим образом:
„-1
У У а*Ж1 . . . Ж2Ж1Ж2+1 . . . Ж„-1 = °
2=1
где последнее слагаемое имеет вид ап—1Ж1... Жп—1Ж1. С помощью тождества антикоммутативности перепишем полилинейный элемент при г = 1:
п— 1
Ж1Ж1Ж2 . . .Хп—1 = Е (-1)^ Х1Х2 . . .Ж, Ж1Ж7+1 . . .Хп—1. 7=2
В исходное тождество вместо ж1 подставим сумму ж0ж + жп и по модулю тождеств многообразия МА получим
га— 1
Е ((-1)"«1 + 2«г) Ж0Ж1Х2 . . .ЖЖ„Хг+1 . . .Жп-1 = 0.
г=2
К данному тождеству применим кососимметризацию по ж1, ... , Жп. Для удобства обозначим через Нп группу всех подстановок, которые оставляют на месте 1 и п, и рассмотрим результат кососимметризации слагаемого с коэффициентом (—1)ка1 + 2ак, 2 ^ к ^ п - 1:
Е (-1)° Ж0Ж<°(1)Ж<°(2) . . . Ж<°(к)Ж<°(п)Ж<°(к+1) . . . Ж°(п—1) — о-еЯп
= Е Ж0Ж1Ж2 . . . ЖпЖк+1 . . . Жга—1 = ( — 1)П 1 ^(п — 2)!ж0ж1ж2 . . . стеЯп
Таким образом, тождество в многообразии V для диаграммы (2,1п—2) может быть записано как
га—1 \
(-1)п—1(п - 2)«1 + Е (-1)п—1—г2аЛ Ж0Х1Х2 .. .Хп = 0,
г=2 )
где сумма коэффициентов в скобках отлична от нуля, так как иначе оно выполнено в многообразии Vanti С МА. То есть для некоторого п ^ 3 в многообразии V выполняется тождество ж0ж1Х2 .. .Хп = 0. Доказательства в случаях п =1, 2 очевидны. Утверждение доказано. ■
Следствие 1. Многообразие Vanti является почти нильпотентным.
Доказательство. По утверждению 9 в любом собственном подмногообразии многообразия Vanti выполнено тождество ж0ж1Х2 ... Хт = 0. Подставим в него вместо ж0 произведение ж0у0 и воспользуемся тождеством (16). Получим т!ж0у0ж1... жт = 0. ■
Главную роль в доказательстве основного результата играет следующая теорема. Теорема 4 [12]. Пусть действительное число а > 1 и (А(п)}п^1 —последовательность разбиений, А(п) Ь п, таких, что А1п), А1(п) ^ п/а. Тогда для любого действительного в, 1 < в < а, найдётся такое натуральное число п0, что ^Л(п) ^ вп для всех п ^ п0.
Сформулируем и докажем основной результат.
Теорема 5. Если рост многообразия V С МА не выше подэкспоненциального, то или А2 С V, или Vanti С V, или многообразие V является нильпотентным.
Доказательство. Пусть многообразие V С МА не является нильпотентным, А2 С V и Vanti С V. Тогда в силу утверждений 6 и 9 в многообразии V выполняются тождества ж0Хк = 0 и ж0ж1ж2 ... Жт = 0 для некоторых к ^ 1 и т ^ 2. Так как многообразие V не является нильпотентным, то Ф5П-модуль Рп^), п ^ 1, содержит ненулевой неприводимый подмодуль МЛ(п), соответствующий разбиению А(п) Ь п.
Докажем, что последовательность разбиений |A(n)}ra^i удовлетворяет условиям теоремы 4. Для этого рассмотрим общий вид мономов в записи полиоднородного элемента gA(n), линеаризация которого порождает МЛ(п). Так как degxi gA(n) = Al", то ненулевые мономы могут быть следующих двух видов:
yiXY1 yX2... у^... , xiXY0yiXY1... ^... ys,
где через yt обозначены необязательно различные образующие Xj, j > 1; s = n — Aln),
Yt ^ 0, £ Yi = Aln). В многообразии V выполнено тождество Ж0Хk = 0, поэтому Yt < k
i
для всех 0 ^ i ^ s. Следовательно, для одночленов первого вида имеем неравенство Aln) < ks = k(n — Aln)), откуда aI" < n/al для al = (k + 1)/k. Во втором случае для оценки A l" достаточно принять s ^ 1, тогда A^ < k(s + 1) ^ 2ks. Значит, Al" < n/a2 для «2 = (2k + 1)/(2k).
В многочлене gA(n) рассмотрим кососимметрический набор из A'l" различных образующих, где A'ln) —длина первого столбца диаграммы A(n). Для удобства обозначим все остальные образующие через у-, 1 ^ j ^ s, тогда gA(n) равен линейной комбинации многочленов вида Ж ... yl l... x^+eiу2 ... ysX(0o+...+0s_i+i ) ... X(0o+...+0s), где ( \ s / \ s = n — A''l , ^ 0, £ = A ln). В силу тождества ж0ж1ж2 ... Xm = 0 имеем неравенства i=0
< m +1, 0 ^ i ^ s. Аналогично рассмотренному случаю достаточно принять s ^ 1, тогда A'ln) < (s + 1)(m +1) < 4sm, поэтому A'ln) < n/a3 для a3 = (4m + 1)/(4m).
Таким образом, последовательность разбиений {A(n)}n^l удовлетворяет неравенствам Aln), A'ln) ^ n/a для а = min{al, а2, а3}, а > 1, и по теореме 4 найдутся такое действительное в, 1 < в < а, и натуральное число n0, что cn(V) ^ dA(n) ^ в" для всех n ^ n0. Получили противоречие, так как по условию рост многообразия V не выше подэкспоненциального. ■
Описание всех почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе антикоммутативных метабелевых алгебр получим в качестве следствия из теоремы 5.
Следствие 2. Пусть многообразие V С MA является почти нильпотентным подэкспоненциального роста, тогда или V = A2, или V = Vanti.
Авторы выражают благодарность профессору С. П. Мищенко за постоянное внимание к работе, поддержку и ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448с.
2. Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Providence, RI: AMS, 2005. 352 p.
3. Фролова Ю. Ю, Шулежко О. В. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикладная дискретная математика. 2015. №2(28). С. 30-36.
4. Mishchenko S. and Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel J. Mathematics. 2014. V. 199. No. 1. P. 241-257.
5. Мищенко С. П., Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2015. №3(125). С. 21-28.
6. Чанг Н. Т. К., Фролова Ю. Ю. Почти нильпотентные коммутативные метабелевы многообразия, рост которых не выше экспоненциального // Международная конф. Мальцев-ские чтения: тез. докл. Новосибирск, 2014. С. 119.
7. Mishchenko S. and Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth // J. Algebra. 2015. V.423. No. 1. Р. 902-915.
8. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. №1. С. 67-88.
9. Мищенко С. П. Метабелевы почти нильпотентные многообразия полиномиального роста // Материалы Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Изд-во Академии наук ТР, 2016. С. 247-248.
10. Зайцев М. В., Мищенко С. П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Математические заметки. 2006. Т. 79. №4. С. 553-559.
11. Рацеев С. М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом // Математические заметки. 2007. T.82. №1. С. 108-117.
12. Giambruno A. and Mishchenko S. Degrees of irreducible characters of the symmetric group and exponential growth // Proc. AMS. 2016. V. 144. No.3. P. 943-953.
REFERENCES
1. Bakhturin Yu. A. Tozhdestva v algebrakh Li [Identities of Lie Algebras]. Moscow, Nauka Publ., 1985. 448 p. (in Russian)
2. Giambruno A. and Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Providence, RI, AMS, 2005. 352 p.
3. Frolova Yu. Yu. and Shulezhko O. V. Pochti nil'potentnye mnogoobraziya algebr Leybnitsa [Almost nilpotent varieties of Leibniz algebras]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2015, no. 2(28), pp. 30-36. (in Russian)
4. Mishchenko S. and Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2. Israel J. Mathematics, 2014, vol. 199, no. 1, pp. 241-257.
5. Mishchenko S. P. and Shulezhko O. V. O pochti nil'potentnykh mnogoobraziyakh v klasse commutativnykh metabelevykh algebr [On almost nilpotent varieties in the class of commutative metabelian algebras]. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriya, 2015, no. 3(125), pp. 21-28. (in Russian)
6. Chang N. T. K. and Frolova Yu. Yu. Pochti nil'potentnye commutativnye metabelevy mnogoobraziya, rost kotorykh ne vyshe eksponentsial'nogo [Almost nilpotent commutative metabelian varieties with not greater than exponential growth rate]. Proc. Intern. Conf. "Mal'tsevskie Chteniya", Novosibirsk, 2014, p. 119. (in Russian)
7. Mishchenko S. and Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth. J. Algebra, 2015, vol.423, no. 1, pp. 902-915.
8. Shulezhko O. V. O pochti nil'potentnykh mnogoobraziyakh v razlichnykh klassakh lineynykh algebr [On almost nilpotent varieties in different classes of linear algebras]. Chebyshevskiy Sbornik, 2015, vol. 16, no. 1, pp. 67-88. (in Russian)
9. Mishchenko S. P. Metabelevy pochti nil'potentnye mnogoobraziya polinomial'nogo rosta [Almost nilpotent metabelian varieties of polynomial growth]. Proc. Intern. Conf., Kazan, 2016, pp. 247-248. (in Russian)
10. Zaycev M. V. and Mishchenko S. P. Colength of varieties of linear algebras. Mathematical Notes, 2006, vol.79, no. 4, pp. 511-517.
11. Ratseev S. M. The growth of varieties of Leibniz algebras with nilpotent commutator subalgebra. Mathematical Notes, 2007, vol.82, no. 1, pp.96-103.
12. Giambruno A. and Mishchenko S. Degrees of irreducible characters of the symmetric group and exponential growth. Proc. AMS, 2016, vol.144, no.3, pp. 943-953.
