О плотности решетчатого покрытия для n = 17 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3 (2015)

УДК 514.174+511.9+519

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ

ДЛЯ n = 17

М. М. Анзин (г. Москва)

Аннотация

В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности n = 17. Этот результат направлен на решение проблемы, известной в литературе как проблема С. С. Ры-шкова в теории решетчатых покрытий [1, 2].

Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные определения, а также методика исследования и приведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3].

Настоящий результат получен на основе полного описания строения L-разбиения классической решетки Коксетера Af7. Также приведено полное описание строения её многогранника Вороного-Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами. На основе этого для решетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытия и функции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытия оказалось лучше (меньше) ранее известных. Тем самым для n = 17 улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами.

Исторически исследование L-разбиений решеток Коксетера Arn было начато С. С. Рышковым в работе [4]. Среди L-тел решетки А^7 встречается правильный симплекс S относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через Fi). Это заранее известное из [4] L-тело, с которого мы начинали перечисление всех L-тел.

Первоначально L-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «метода пустого шара» Делоне (см. [5]). В качестве первого шага этого метода мы использовали результаты работы [4] для S.

В настоящей работе мы для формы А®7 доводим начатые в [4] исследования до полного завершения.

Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей n = 11,..., 15, мы подробно обсуждали в своё время с С. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатам и называл их «результатами уровня

36

М. М. АНЗИН

доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для n = 17 по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые.

Я посвящаю этот результат памяти своего учителя — Сергея Сергеевича Рышкова.

Ключевые слова: решётка, решётка Коксетера, решетчатое покрытие, плотность покрытия, L-тело, L-разбиение.

Библиография: 19 наименований.

ON THE DENSITY OF LATTICE COVERING

FOR n =17

M. M. Anzin (Moscow)

Abstract

In present paper for n = 17 improved estimate is obtained for the minimum density of lattice coverings of the Euclidean space with equal balls. This result is directed on a solution of a problem, known in the literature as “the problem of S. S. Ryshkov concerning lattice coverings” [1, 2].

This work is a continuation of a series of author’s works. The work [3] is a basic work among them. Detailed definitions, the technique of the research and the proofs of the basic theorems are given there. We presume that the reader is acquainted with the results of the work [3].

The result based on a full description of the structure of the L -partition for the Coxeter lattice A67 as well as the structure of the Voronoi-Dirichlet polyhedra as polyhedra defined by their vertices is given. On the basis of this description, exact value of the covering radius and the density function are evaluated for the lattice covering corresponding to this lattice. The values of the density function of the covering proved to be better (less) than the formerly known values. Thus, for n = 17, improved estimate is obtained for the minimum density of lattice coverings of the Euclidean space with equal balls.

Historically, the study of L-partitions of the Coxeter lattices Arn was initiated by S. S. Ryshkov in [4]. There are regular simplex S relative volume 6 among L-body of the lattices Arn (named F\ in table 1). It is well known from [4] L-body, which we use to start enumeration.

Originally, we obtained L-bodies with a computer, using the well known «empty-ball method» of Delone (see [5]). As the first step of this method, we used the results of [4] for S.

In the present paper, we complete the studies initiated in [4] for the form

A67.

The similar results, earlier gotten by me for the dimentions n = 11,..., 15, were discussed in detail by me and S. S. Ryshkov at his lattice theory special

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

37

seminars at the chair of discrete mathematics at MSU Faculty of Mechanics and Mathematics. Sergey Sergeyevich gave an appreciation for those results and named them «the results of physical and mathematical PhD’s level», which was and continues to be a big stimulus for me to carry out new researches. The present result for n = 17 have surpassed all previous ones in a volume of calculations.

I devote this result to the memory of my teacher — Sergey Sergeyevich Ryshkov.

Keywords: lattice, Coxeters lattices, lattice covering, covering density, L-body, L-partition.

Bibliography: 19 titles.

1. Введение

Задача о наименее плотном решетчатом покрытии евклидова пространства равными шарами состоит в отыскании для каждой размерности n такой решетки Гп, которая дает наименьшее значение плотности 0п (Г) решетчатого покрытия евклидова пространства En равными шарами.

Мы сводим исследование функции 0п (Г) к исследованию функции пп(Г) — аналога функции Эрмита

Пп(г) = Vn(fr)

D2

n/detfp

(2R)2 n/detfp ’

(1)

где D = 2R — диаметр шара покрытия, det fr — определитель матрицы положительной квадратичной формы fr, отвечающей некоторому основному реперу решетки Г. Функции 0п(Г) и пп(Г) связаны соотношением пп(Г) = 4()2/п, где Пп — объем n-мерного шара единичного радиуса.

Впервые задача о решетчатых покрытиях была поставлена Кершнером в [6]. Там же в [6], эта задача была решена для n = 2. В дальнейшем для других n эту задачу решили: для n = 3 — Бамба [7]; для n = 4 — Делоне и Рышков [8]; для n = 5 — Рышков и Барановский [9]. Для других n ^ 6 известны только оценки. При всех n ^ 5 минимум функции плотности вп (Г) (пп(Г)) достигается на решетке Гп, отвечающей «главной форме первого типа Вороного» ф*п (см. [10]) со значением функции пп(Гп) = Пп(ф*п):

фп (Х1 1 • • • , Хп)

n(x2 + • • • + Х^ - 2(x\X2 + • • • + Х\Хп + • n(n + 2) /n + 1

+ Хп-1Хп) 1

Пп(ф*п)

(3n + 3)

(2)

Из асимптотических оценок ряда авторов следовало, что при достаточно больших n существуют решетки, дающие плотность покрытия меньшую, чем решетка ф*п. Но в этих работах не было получено никаких оценок такого числа n. Первые результаты в этом направлении были получены Рышковым в работе [11],

38

М. М. АНЗИН

где для всех четных n У 114 и для всех нечетных n У 201 были построены решетки лучшие, чем решетка ф*п.

Кроме этого, в [11] был поставлен ряд вопросов, основным из которых является вопрос о дальнейшем нахождении всех тех n, для которых существуют решетки, дающие плотность покрытия меньшую, чем решетка ф*п.

Поставленные в [11] вопросы обозначили проблему, которая в дальнейшем в [1] получила название «проблема Рышкова в теории решетчатых покрытий ». Там же в [1], для всех n У 24 были найдены примеры решеток, с лучшими, чем у фП, плотностями покрытия. В целях окончательного решения проблемы Рышкова для 6 ^ n ^ 23, в последующих работах были найдены аналогичные примеры: для n = 22, 23 — в [12]; для n = 9 — в [13]; для n = 11,14 — в [3, 14]; для n = 6 — в [15]; для n =13,15 — в [16, 17]; для n =12 — в [18].

Настоящая работа посвящена аналогичному результату для n =17.

2. Основной результат

Теорема 1 (Основная теорема). Имеет место соотношение

где Пп

13

П17 ^ П17(A67) = у V2 = 6,770 ... < П17(A17) = 7,090...,

^inf пп(Г) = min пп(Г), для n =17, Л17 — решетка Коксетера [19].

Исследование формы Л\7 мы проводим в более симметричном базисе эквивалентной формы ф(17,6 2 • Л6„ (см. [3]).

Утверждение 1. L-разбиение решетки, отвечающей форме ф(17,6 образовано многогранниками, конгруэнтными 73 попарно неэквивалентным L-многогранникам, характеристики которых указаны в таблице 1. Максимальное значение радиуса шара, описанного вокруг L-многогранника, достигается на многогранниках пяти классов F11, F68, X1, X2, X9, и для радиуса R решетиа-того покрытия выполняется равенство 4R2^(17,6)) = 61.

Доказательство утверждения 1 получено нами на основе полного описания строения L-разбиения решетки ф(17,6 аналогично тому, как это сделано в предыдущих работах автора (см. [3], а также [14, 16-18]), т.е. на основе построения таблицы данных для формулы объемов — таблицы 2, которую мы приводим в приложении, и проверки формулы объёмов (3):

^ 2 • 18! • Vol(L«) IStA )]• #(Le)

355687428096000 = 17! = n!

(3)

В таблицах 1 и 2 используются следующие обозначения: в графе «La» указано обозначение L-многогранника (сохранена техническая нумерация); в графе «4R2(La)» — умноженное на 4 значение квадрата радиуса шара, описанного вокруг L -многогранника La; в графе «Vol(La)» — относительный объем L-многогранника La; в графе «#(La)» — число вершин L-многогранника La.

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

39

В таблице 1 в графе «Описание» мы приводим условное обозначение строения L-многогранника La, как выпуклой оболочки своих вершин. При этом мы используем обозначения: «p(k)» — (к — 1)-мерный симплекс с числом вершин к; «О(к)» — k-мерный ортаэдр с числом вершин 2к и другие обозначения, на которых мы подробно не останавливаемся.

В таблице 2 в графе «А^» мы приводим обозначение арифметического типа центра шара, описанного вокруг L-многогранника La; в графе «Цент описанного шара Ар» — арифметический тип центра описанного шара, записанный в координатах первого символа С. С. Рышкова, по которым однозначно определяется класс многогранников La; в графе «|St(А^)|» — порядок группы стабилизатора центра описанного шара Ар.

В последней графе таблицы 2 вычисляется соответствующее слагаемое

2 • 18! • Vol(L„)

« |St(Ae)b #(La)»

входящее в формулу объемов (3).

На заключительном шаге доказательства мы вычисляем сумму, входящую в левую часть формулы объёмов (3) путём суммирования значений последнего столбца таблицы 2, и проверяем, равна ли она n!, для n = 17. В результате вычислений убеждаемся в истинности равенства (3), т.е. формула объемов удовлетворена, что говорит о полноте списка предъявленных L-многогранников и доказывает утверждение 1.

Доказательство основной теоремы заключается в вычислении значения Пп(Г) по формуле (1) для решетки, отвечающей форме ф(17,6 ( 2 • А«7) и

сравнение его со значением пп(ф*п), вычисленным по формуле (2) для решетки, отвечающей форме ф*п.

Для формы ф17,6 значение определителя известно из [19]:

det(2 • Arn) = det фп’г) = (n + ^ ; det ф(17’6) = 1

r2 2

значение радиуса покрытия R известно из утверждения 1 и равно максимальному значению радиуса шара, описанного вокруг L-многогранника, т.е.

4R2(L«) = б1.

3. Заключение

Большая часть процитированных примеров решеток, дающих решение проблемы С. С. Рышкова в размерностях 6 ^ n ^ 23, — это классические решетки Коксетера Arn [19], которые определены только для тех размерностей n, для которых n +1 разлагается на нетривиальные множители n + 1 = r • q. Поэтому для размерностей n = 6, 10, 12, 16, 18 и 22 решетки Коксетера Агп не определены.

40

М. М. АНЗИН

Однако в этих случаях удаётся сконструировать новые классы решеток, которые также дают решение проблемы С. С. Рышкова. К этим классам решеток применимы те же методы, которые разработаны в основной работе автора [3]. Так в работе [18], автором построен пример для n =12, который дает решение проблемы Рышкова в этой размерности.

Таблица 1: Описание строения L-тел решетки ф(17,6) (~решётка Коксетера Л\7)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Описание

1 Fi 3 7 3 9 18 6 P(18)

2 F86 4Ж 4 162 18 9 P(18)

3 F81 513 5 18 18 18 P(18)

4 F28 6137 6 882 18 21 P(18)

5 F75 6 F 6 18 18 21 P(18)

6 F75 6 — 6 18 18 21 P(18)

7 F78 6 72 18 24 P(18)

8 F37 6 4 18 24 P(18)

9 F48 611 6 36 18 24 P(18)

10 F49 611 6 36 18 24 P(18)

11 F21 6102 6 607 18 27 P(18)

12 F80 6 23 6 95 18 27 P(18)

13 F 2 f75 6 F 6 18 18 27 P(18)

14 F8 6 209 6 661 18 27 P(18)

15 F34 611 6 50 18 30 P(18)

16 F72 6 225 18 30 P(18)

17 F26 6 25 18 30 P(18)

18 F75 6 F 6 18 18 33 P(18)

19 F25 6 3M 6 833 18 33 P(18)

20 F46 6 4 6 9 18 42 P(18)

Сказанное даёт уверенность в том, что проблему С. С. Рышкова для размерностей 6 ^ n ^ 23 удастся решить в рамках единого подхода, изложенного в [3].

Автор планирует продолжить исследования в этом направлении с целью

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

41

Продолжение таблицы 1

№ La 4 • f2(L«) #(La ) Vol(La) Описание

21 F60 6 -5 6 18 20 24 0(3) + p(14)

22 F85 4 -7 4 16 20 32 0(3) + p(14)

23 F59 6 -5 616 20 32 0(3) + p(l4)

24 F1 f59 616 20 32 0(3) + p(14)

25 F53 6 50 20 40 0(3)+ p(l4)

26 F58 6 17 6 50 20 40 0(3)+ p(l4)

27 F58 617 6 50 20 40 0(3)+ p(l4)

28 F57 6 33 6 36 20 48 0(3)+ p(l4)

29 F57 6 13 6 36 20 48 0(3)+ p(l4)

30 F7 6 31 6 98 20 56 0(3)+ p(l4)

31 F56 6 37 6 98 20 56 0(3)+ p(l4)

32 F63 6 — 6 16 20 64 0(3)+ p(l4)

33 F24 6 23 6 64 20 64 0(3)+ p(l4)

34 F55 6 25 6 64 20 64 0(3)+ p(l4)

35 F54 6 — 6 162 20 72 0(3)+ p(l4)

36 F70 6 100 20 80 0(3)+ p(l4)

37 F23 6_3L 6100 20 80 0(3)+ p(l4)

38 F79 6 -5 6 22 20 88 0(3)+ p(l4)

39 F22 6 144 20 96 0(3)+ p(l4)

40 F69 6 338 20 104 0(3)+ p(l4)

41 Fd2 6 4 21 256 [[0(3)+ p(4)] + [p(l0)]] + p(l)

42 F77 6^1 6 128 22 256 0(5)+ p(l2)

43 F1 f52 6 3 6 8 22 256 0(5)+ p(l2)

44 F9 6 3 6 8 22 256 0(5)+ p(l2)

45 F5o 6 3 6 8 22 256 0(5)+ p(l2)

46 F44 6 5 6 18 22 288 0(5)+ p(l2)

47 F52 6 3 6 8 22 320 0(5)+ p(l2)

42

М. М. АНЗИН

Окончание таблицы 1

№ La 4 • F2(La) #(La) Vol(La) Описание

48 F40 6 21 6 50 22 320 O(5)+ p(12)

49 F47 6 21 6 50 22 320 0(5) + p(12)

50 F51 6 21 6 50 22 320 0(5) + p(12)

51 Fi 6 21 6 50 22 400 0(5) + p(12)

52 F45 6 355 6 791 22 400 0(5) + p(12)

53 F84 4 81 4 98 23 77 U (5,10) + p(13)

54 F67 6 3 6 8 24 512 [O(5)+ 0(3)] + p(8)

55 F66 6 50 24 640 [O(5)+ 0(3)] + p(8)

56 Fd5 618 24 768 [O(5)+ 0(3)] + p(8)

57 F64 6 39 6 98 24 896 [O(5)+ 0(3)] + p(8)

58 ^8 6J5 6 128 25 2048 0(8) + p(9)

59 X7 6 4 6 9 25 2304 O(8) + p(9)

60 X4 6 200 25 2560 O(8) + p(9)

61 F71 618 25 2712 0(5) + 0(3) + p(9)

62 X3 64 6 9 26 3072 [O(5)+ 0(5)] + p(6)

63 F10 64 6 9 26 3072 [O(5)+ 0(5)] + p(6)

64 F12 6 209 6 450 26 3840 [O(5)+ 0(5)] + p(6)

65 F83 5 4 5 9 27 156 U (6,15) + p(12)

66 X5 6 41 6 36 27 6144 [O(8)+ 0(3)] + p(5)

67 X6 6 32 27 8192 [O(8)+ 0(3)] + p(5)

68 Fii 6 2 30 36864 0(5) + 0(5) + 0(5)

69 X2 6 2 30 65536 [0(8) + p(2)] + [0(3) + 0(3)]

70 X9 6 2 32 196608 0(8) + O(8)

71 F68 6 2 32 204800 [0(5) + 0(5)] + [0(3) + 0(3)]

72 Fo 4 2 34 327680 0(17)

73 Xi 6 2 64 11745930 V(7; 42) + 0(11)

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

43

окончательного решения проблемы С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий.

Арифметический тип Ав в диапозоне 1 ^ в ^ 10

Таблица 2: Данные для формулы объёмов решетки ф(17,6 (~решётка Коксетера a6-)( левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

1 Fi 3 7 3 9 18 6 A1

2 F86 42l_ 4 162 18 9 A2

A3

3 F81 CO|QO Ю 18 18 A4

A5

A6

4 F28 6137 6 882 18 21 A7

A8

A9

A10

Таблица 3: Данные для формулы объёмов решетки ф(17,6 (~решётка Коксетера А17) (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2*18!Vol(La) lSt(^4 )\#(La)

Ai ( - is)17 (17)1 355687428096000 12

A2 ( 11 )14 ( 19 )3 ( 97 )1 V 108/ V108/ V108/ 523069747200 12240

A3 ( 37 )1 ( 7 )15 ( 71 )2 V 108/ V 108/ V108/ 2615348736000 2448

A4 ( -1 )6 (12 )10 (1 )1 (1 )1 2612736000 4900896

A5 ( -1)7( -1)1 (1)1U 18289152000 700128

A6 (-1 )9( 6)7 (1 )1 (4 )1 1828915200 7001280

A7 ( 71 )S ( 1 )3 ( 61 )3 ( 67 )3 ( 181)1 V 252/ V252Z V 252 / V252Z V252Z 8709120 1715313600

As ( 107)2 ( 101 )3 ( 11 )9 ( 85 )3 ( 145 )1 V 252/ V 252/ V252Z V252Z V252Z 26127360 571771200

A9 ( 109 )1 ( 103 )3 ( 41 )3 ( 29 )9 ( 141 )2 V 252/ V 252/ V 252/ V252Z V252Z 26127360 571771200

A10 ( 125 )2 ( 65 )3 ( 59 )3 ( 55 )9 ( 127 )1 V 252/ V 252/ V 252/ V252Z V252Z 26127360 571771200

44

М. М. АНЗИН

Арифметический тип в диапозоне 11 ^ в ^ 21

Таблица 4: Данные для формулы объёмов решетки ф(17,6) (~решётка Коксетера Л17)(левая половина)

№ La 4 • R2(L«) #(La ) Vol(La) Ав

5 F75 6— 6 18 18 21 A11

6 F 3 f75 6 -5. 6 18 18 21 A12

7 F78 6 72 18 24 A13

A14

A15

A16

8 F37 6 4 18 24 A17

A18

A19

A20

A21

Таблица 5: Данные для формулы объёмов решетки ф(17,6) (~решётка Коксетера

Л17) (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 218!Vol(L„) IStAe )|#(L„)

A11 ( 11 )8 ( 7 )9 ( 25 Ч1 V 36/ V36Z V36Z 14631321600 1021020

A12 ( 17)2 ( 11 )3 ( 5 )3 ( 1 )3 ( 7 )3 ( 13)3 ( 19 Ф V 36/ V 36/ V 36/ V36Z V36Z V36Z V36Z 15552 960575616000

A13 (-12 )3H )4( 1 )9( I )1( (2 )1 52254720 326726400

A14 (-К)3 (-4)4 (-254)1 (22 )9( 12 )1 52254720 326726400

A15 (-12 )4 (-)9(§ )1( 5 )4 209018880 81681600

A16 (-24 )8 (t2 )4 (4 )4 (24 )1 (17 )1 23224320 735134400

A17 (-1)6 (-12 )4( 48 )1( 11 )3( 24 )3( 2 )1 622080 27445017600

A18 (-3)7 (24 )3 (48 )3 (18 )1 (12 )4 4354560 3920716800

A19 (-12 )3(-6 )7( 24 )3( D3( 4i )4( 1) )1 1088640 15682867200

to 0 (-t6)2 (-§)3 (0)7(1 )4 ())1 (16)1 1451520 11762150400

A21 (-24 )1 (-1 )3 (-1 )1 (-12 )4 (6 )7 (14 )2 1451520 11762150400

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

45

Арифметический тип Ар в диапозоне 22 ^ в ^ 33

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R\La) #(La ) Vol(La) Ав

9 F48 611 6 36 18 24 A22

A23

A24

A25

A26

A27

10 F49 611 6 36 18 24 A28

A29

A30

A31

A32

A33

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A22 (-1 )1 (-8 )3 (-136 )3 (-48)1( i^)4( 1)4( 1 )2 41472 411675264000

A23 (-12 )3(-1 )4(-48 )1 (48 )3 (24 )3 (1 )3 ( t2 )1 31104 548900352000

A24 (-152 )3 (-1 )4 (0)3 (1)3( 24)3( 48)1( -й)1 31104 548900352000

A25 (-12)4 (-1)3 (-24)3 (48)3 (16)1 (12)4 124416 137225088000

A26 (-24 )2(-1 )3(-12 )4(8 )4(15б)1 (i)3( H)1 41472 411675264000

A27 (-1)2(-2) )3(-1)3( i2 )4(4 )4( I )1(I)1 41472 411675264000

A28 (-1)1(-8 )3(-24 Y(-6 )3 (112 )4(1 )4(1 )2 41472 411675264000

A29 (-2 )1)-H )1(-24 )3 (-1 )3 (18 )4( 4 )4 (2 )2 41472 411675264000

О CO (-12 )3(-4 )4 (0)3 (24)1 (24)3( 1)3( 12)1 31104 548900352000

A31 (-12 )3(-1 )4(0)3 (1)3( 2) )3(3 )3( 1) )1 31104 548900352000

A32 (-12)4 (-1)3 (-24)3(^ )43 )3(12)4 124416 137225088000

A33 (-21 )2 (-3 )3 (-18 )4 (18 )4 (3 )3 (§ )1 (I )1 41472 411675264000

46

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 34 ^ в ^ 44

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R\La) #(La ) Vol(La)

11 F21 6 6 607 18 27 A34

A35

A36

12 F80 6 23 6 95 18 27 A37

A38

A39

13 F75 6 -56 18 18 27 A40

A41

14 F8 6 209 6 661 18 27 A42

A43

A44

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 218!Vol(L„) IStAe )|#(L„)

A34 ( 91 )8 ( 1 )3 ( 83 )6 ( 233 Ч1 V 324 / V 324/ V324Z V324Z 174182400 110270160

A35 ( 133)5 ( 17 )9 ( 107)3 ( 191Ч1 V 324/ V 324 / V324/ V324/ 261273600 73513440

A36 ( 161 A 1 ( 71 )9 ( 79 )6 ( 163 )2 V 324/ V 324/ V324/ V324/ 522547200 36756720

A37 ( 97 )8 ( 47 )6 ( 89 )3 ( 227 A 1 V 324/ V324/ V324/ V324/ 174182400 110270160

A38 ( 115 )5 ( 73 )3 ( 65 )9 ( 209 A 1 V 324/ V 324/ V324/ V324/ 261273600 73513440

A39 ( 143 A 1 ( 101 )6 ( 43 )9 ( 181 )2 V 324/ V 324 / V324/ V324/ 522547200 36756720

A40 ( -Т2 )3( - ( )4( -12 ^Ш4) )4(t2)1(t2 a1 82944 231567336000

A41 (-12 )4 (-4 )1(- 1l)4( 12 )4( 1 )1( 12 )4 663552 28945917000

A42 ( 121 )5 ( 43 )3 ( 5 )3 ( 71 )3 ( 101 )3 ( 203 )]-V 324 / V 324/ V324/ V324/ V324/ V324/ 155520 123502579200

A43 ( 145 )2 ( 115 )3 ( 13 )6 ( 65 )3 ( 113 )3 ( 179 ф V 324/ V 324/ V 324 / V324/ V324/ V324/ 311040 61751289600

A44 ( 151 )2 ( 103 )3 ( 37 )3 ( 7 )3 ( 95 )6 ( 173ф V 324/ V 324 / V 324/ V 324/ V324/ V324/ 311040 61751289600

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

47

Арифметический тип в диапозоне 45 ^ в ^ 56

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A45

A46

15 F34 611 6 50 18 30 A47

A48

A49

Сл О

16 F72 6 225 18 30 A51

A52

A53

A54

A55

17 F26 6 25 18 30 A56

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A45 ( 155 Я ( 125 )3 ( 59 )3 ( 11 )3 ( 67 )6 ( 169 )2 V 324/ V 324 / V 324/ V 324/ V324/ V324/ 311040 61751289600

A46 ( 157 )2 ( 91 )3 ( 61 )3 ( 41 )6 ( 119 )3 ( 1677 1 V 324/ V 324/ V 324/ V324/ V324/ V324/ 311040 61751289600

A47 ( - 3 )6( -12 )4( §)6) 30)1) 15 12441600 1715313600

Я 00 ( - 1 )7 ( -30)1 (60)6(т2)4 87091200 245044800

A49 ( -12 )3( -1 )7 (15 )1( 60 )6( 10 )1 21772800 980179200

я СЛ 0 (-Ш )5 (-1 )4 ())7( 1))1( i )1 14515200 1470268800

A51 (-1 5(-10)6(-30)1( 10)4( 4)4( 1 )2 829440 25729704000

A52 (-152 )3(-4 )4(-125 )1 (15 )6 (3 )3 (12 )1 622080 34306272000

A53 (-Т2)3(^ 1 )4(0)3 (1)6 (т5)1 (02)1 622080 34306272000

я СЛ (-5 (4 (-6 )3 (30 (6) И)1) !2)4 2488320 8576568000

я СЛ СЛ (-10 )5(-1 )3 (112)4 (4 )4 (30 5 (39 )1 414720 51459408000

я СЛ G5 (-1 )6 (-12 )4 (10 )1 (15 )6 (2 )1 12441600 1715313600

48

М. М. АНЗИН

Арифметический тип в диапозоне 57 ^ в ^ 68

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

А57

A58

A59

18 F75 6 -56 1 8 18 33 Аб0

Аб1

19 F25 6 314 6 833 18 33 А62

со со

А64

А65

20 F46 6 4 6 9 18 42 А66

21 Feo 6 — 6 18 20 24 А67

00 СО

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ав Центр описанного шара Ар ШАр )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

А57 (-3)7 (15 )6(i5)1( 152 )4 87091200 245044800

А58 (-1 )5 (0)7(| )4(| )1( I)1 14515200 1470268800

А59 (-12)3(-1 )7(з0 )б(30 )1(i2 )1 21772800 980179200

Або ( 13)5 ( 7 )3 ( 5 )б ( 11 )3 ( 23 (1 V 3б/ V 3б/ \3б/ \3б/ \3б/ 3110400 7547379840

Аб1 ( 17(1 ( 11 )б ( 1 )3 ( 7 )б ( 19 )2 V 3б/ V 3б/ \3б/ \3б/ V 3б / 6220800 3773689920

Аб2 ( 149 )5 ( 47 )3 ( 5 )3 ( 109 )б ( 247(1 V 39б/ V 39б / V 39б/ \39б/ \39б/ 3110400 7547379840

Абз ( 155 )5 ( 17 )б ( 85 )3 ( 127)3 ( 241 (1 V 39б/ V 39б/ V39б / \39б/ \39б/ 3110400 7547379840

Аб4 ( 179 )2 ( 137 )3 ( 23 )б ( 115 )б ( 217(1 V 39б/ V 39б/ V 39б/ V 39б / \39б/ 6220800 3773689920

СЪ сл ( 193 )1 ( 151 )3 ( 49 )б ( 89 )б ( 203 )2 V 39б/ V 39б / V 39б/ \39б/ \39б/ 6220800 3773689920

Абб ( -& )5 ( -18 )б (18 )б (И )1 62208000 480287808

А67 ( -1 )5 ( - )2 ( - 3б)3( 35)3 (3I)4( I)1 207360 74101547520

со со ( 17 (1 ( 11 )б ( 1 )4 ( 7 )3 ( 13 )3 ( 19 (1 V 3б/ V 3б/ \3б/ \3б/ \3б/ \3б/ 622080 24700515840

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

49

Арифметический тип в диапозоне 69 ^ в ^ 80

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A69

A70

А71

22 F85 4 -7 416 20 32 A72

A73

23 F59 6 -5. 616 20 32 A74

А75

A76

A77

A78

24 F59 6— 616 20 32 A79

A80

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^7 )\#(La)

A69 ( 17 )2 ( 11 )2 ( 5 )6 ( 7 )4 ( 13 )3 ( 19 Я V 36/ V 36/ v 36/ V36Z V36Z V36Z 414720 37050773760

A70 ( 17 )2 ( 11 )3 ( 5 )2 ( 1 )6 ( 13 )4 ( 19 Я V 36/ v 36/ V 36/ V36Z V36Z V36Z 414720 37050773760

A71 ( 17 )2 ( 11 )3 ( 5 )3 ( 1 )2 ( 7 )6 ( 19 )2 V 36/ V 36/ V 36/ V36Z V36Z V36Z 207360 74101547520

A72 ( - 8)13 (16 )4 (8 )1 149448499200 137088

A73 ( 17)2 ( 1 )14 (31 )2 V 48/ V 24/ V48Z 348713164800 58752

A74 ( -1 f( - 8 )3( -16 )4(1 )5 (4)3(8 )2 207360 98802063360

A75 ( -§ )4( - i)3(°)3(8 )3( 5 )4(f )1 124416 164670105600

A76 (-12)2(-24 )5 (48 )4( 24 )3( 3 )3 (12 )1 207360 98802063360

A77 (-21 )2(-1 )3 (-12 )3( 24 )5( 48 )4( 14 )1 207360 98802063360

0O 1>- (-1 )2 (-24 )3(-8 )3( 18 )3( 24)5( 1 )2 103680 197604126720

A79 (-1 f(-8 )3(-8 )6(i3 )4 (t)3(8 )1 622080 32934021120

О 0O (-8 )5 (-1 )3 (0)2 (8 )3 (16 )4 (8 )1 207360 98802063360

50

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 81 ^ в ^ 92

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A81

A82

A83

25 F53 6 50 20 40 A84

A85

A86

A87

26 F58 6 50 20 40 A88

A89

A90

A91

A92

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^^ )\#(La)

A81 (-2))2(-3)2(-24)3( 24 )6 Ш )4 (14 )1 414720 49401031680

A82 (-14 )2(-1 )2 ( - 24 )3(-48 )4( 24 )6( 23 )1 414720 49401031680

A83 ( 23 )2 ( 7 )3 ( 1 )2 ( 1 )3 ( 5 )6 ( 25 )2 V 48/ V 24/ V 6) V 24/ V24Z V48Z 207360 98802063360

0O (-2) )4(-2)4( 20 )9 ( 20 )3 ( (1 )1 52254720 490089600

A85 ( 13 )2 ( 23 )2 ( 11 )3 ( 7 )9 ( 17)2 V 30/ V 60/ V 60/ V60Z V30Z 17418240 1470268800

TO 0O ( 17)8 ( 1 )3 ( 13 )2 ( 4 )4 (43 )1 V 60/ V60Z V60Z V15/ V60Z 11612160 2205403200

A87 ( 29 )2 ( 17 )2 ( 7 )4 ( 13)9 (31 )1 V 60/ V 60/ v 30/ V60Z V60Z 34836480 735134400

0O 0O ( 9 )2 ( 7 )3 ( 1 )4 (1 )4 (7 )4 (11)1 V 20/ V 20/ V 20/ V20Z V20Z V20Z 165888 154378224000

A89 ( 23 )3 ( 17 )4 ( 1 )3 ( 7 )3 ( 19 )4 ( 37 )1 V 60/ V 60/ V60Z V60Z V60Z V60Z 124416 205837632000

A90 ( 23 )3 ( 17 )4 ( 1 )4 ( 13 )3 ( 19 )3 ( 37 )1 V 60/ V 60/ V60Z V60/ V60Z V60Z 124416 205837632000

A91 ( 29 )1 ( 23 )3 ( 11 )4 ( 7 )4 ( 13 )4 (31 )2 V 60/ V 60/ V 60/ V60Z V60Z V60Z 165888 154378224000

A92 ( 29 )2 ( 17 )3 ( 11 )3 ( 7 )4 ( 13 )4 (31 )2 V 60/ V 60/ V 60/ V60Z V60/ V60Z 82944 308756448000

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

51

Арифметический тип Ар в диапозоне 93 ^ в ^ 104

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

27 Fk 617 6 50 20 40 A93

A94

A95

A96

A97

28 Fh 613 6 36 20 48 A98

A99

A100

A101

29 F57 613 6 36 20 48 A102

A103

A104

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^9 )\#(La)

A93 ( 5 Я ( 19 Я ( 13Я ( 1 )4 ( 17 )6 ( 7 I1 V 12/ V 60/ V 60/ V 60/ V60Z V12/ 622080 41167526400

A94 ( 5 )4 ( 7 )6 ( 11 )4 ( 23)3 ( 29 А 1 V 12/ V 60/ V60Z V60Z V60Z 2488320 10291881600

A95 ( 9 )2 ( 711 ( 1)4 (1 )6 (7 )4 (11)1 V 20/ V 20/ V 4) V20Z V20Z V20Z 829440 30875644800

A96 ( 23 )5 ( 1 )4 ( 1 11 ( 7 )3 ( 19 )4 ( 3711 V 60/ V 12/ V60Z V60Z V60Z V60Z 414720 61751289600

A97 ( 29)2 ( 17А3 ( 11 А1 ( 1 А4 ( 13А6 (31 А2 V 60/ V 60/ V 60/ V 12/ V60Z V60Z 414720 61751289600

A98 ( - 4А2( - 5 А5( 118 А6(1 А4(! А1 4147200 7410154752

A99 ( - те А4 ( -1 А3( - 72А4( 1У6( НА1 2488320 12350257920

A100 ( - хвА5 ( -118 А5 (1 А3( i А4 (18 А1 2073600 14820309504

Aid ( - 32 А2 ( -18 А3 ( - 9А5(§ А6 (32 А2 2073600 14820309504

A102 ( - 4 А2( -13 А3( - э6А5 (18 А3( Щ А4( Ю1 207360 148203095040

A103 (-18 А2 (-11 А5( 36 А3( 9 А3( 72 А4( 18 А1 207360 148203095040

Ai04 ( 13 а4 ( 5 Я ( 1 Я ( 2 Я ( 11 Я ( 23 Я V 36/ V 18/ V72Z V9Z V36Z V36Z 124416 247005158400

52

М. М. АНЗИН

Арифметический тип в диапозоне 105 ^ в ^ 116

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A105

A106

30 F7 6 31 6 98 20 56 A107

A108

A109

A110

A111

31 F56 6 37 6 98 20 56 A112

A113

A114

A115

A116

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(A )\#(La)

A105 ( 17 A ( 7 )3 ( 13 )4 ( 1 )3 ( 7 )5 ( 19 )2 V 36/ V 18/ V 72/ V9Z V36Z V36Z 207360 148203095040

Al06 ( - 32 )2( -1) )3( - 36 )3( 36 )5(i )3( i )2 103680 296406190080

Al07 ( 10 )2 ( 25 )2 ( 19 )3 ( 1 )3 ( 17 )6 ( 11 )2 V 21/ V 84/ V 84/ V 84/ V84Z V21Z 207360 172903610880

Al08 ( 13 )1 ( 11 )3 ( 5 )3 ( 1 )6 ( 5 )4 ( 15 )1 V 28/ V 28/ V 28/ V28Z V 14 / V28Z 622080 57634536960

Al09 ( 31 )5 ( 13 )3 ( 5 )3 ( 11 )2 ( 13 )4 (53)1 V 84/ V 84/ V84Z V84Z V42Z V84Z 207360 172903610880

A110 ( 37 )2 ( 31 )2 ( 4 )4 ( 11 )6 ( 29 )3 (47)1 V 84/ V 84/ V 21/ V84Z V84Z V84Z 414720 86451805440

A111 ( 41 )2 ( 23)3 ( 17)2 ( 1 )4 ( 25 )6 (43)1 V 84/ V 84/ V 84/ V 42/ V84Z V84Z 414720 86451805440

A112 (А 11)1 (_А)6 (А)3 (А)3 (А)4 (17)1 V 28/ V 28/ V28Z V28/ V28Z V28Z 622080 57634536960

A113 ( 13)1 ( 11 )3 ( 5 )4 (3 )2 (5 )6 (15)2 V 28/ V 28/ V 28/ V28Z V28Z V28Z 414720 86451805440

A114 ( 29 )5 ( 23 )2 ( 1 )4 ( 19 )3 ( 25 )3 (55 )1 V 84/ V 84/ V84Z V84Z V84Z V84Z 207360 172903610880

A115 ( 37 )2 ( 31 )3 ( 1 )6 ( 5 )2 ( 29 )4 (47)1 V 84/ V 84/ V 84/ V84Z V84Z V84Z 414720 86451805440

A116 ( 41 )2 ( 23)3 ( 17)3 ( 13)6 ( 19 )2 (43)2 V 84/ V 84/ V 84/ V84Z V84Z V84Z 207360 172903610880

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

53

Арифметический тип A в в диапозоне 117 ^ в ^ 128

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

32 F63 6— 616 20 64 A117

A118

A119

A120

33 F24 6 23 6 64 20 64 A121

A122

A123

A124

34 F55 6 25 6 64 20 64 A125

A126

A127

A128

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A117 (-К )3 (-24 )1 (-К )4( 24 )9( 12 )1 52254720 784143360

A118 (-42 (4 (-24)9 (1 )4 (24)1 209018880 196035840

A119 (-16 )2(-Ю1- )4( 8)9( 1б)2 34836480 1176215040

A120 ( 7 )8 ( 1 )4 ( 5 )1 ( 13 )4 ( 17 )1 V 24/ V12Z V24Z V48Z V24Z 23224320 1764322560

A121 (_7)1 75)6 (X)6 (11)4 (9)1 V 16/ V 16/ V16/ V32Z V16/ 12441600 3293402112

A122 ( 17 )5 ( 11 )2 ( 1 )4 ( 13)6 (31 )1 V 48/ V 48/ V 96/ V48Z V48Z 4147200 9880206336

A123 ( 19 )5 ( 1 )6 ( 5 )2 (31 )4 ( 29 )1 V 48/ V 48/ V48Z V96/ V48Z 4147200 9880206336

A124 ( 47 )2 ( 13 )2 ( 7 )6 ( 11 )6 (49 )2 V 96/ V 48/ V 48/ V48Z V96Z 4147200 9880206336

A125 ( - 3)6 ( -1 )1( 96 )4( 18 )3( 24 )3( 2 )1 622080 65868042240

A126 ( -1 )7 (2) )3 (48)3 (§)4 (I)1 4354560 9409720320

A127 ( -16 )2 ( - D3(°)7) 18)1) 31)4( 16 )1 1451520 28229160960

A128 (-24 )1 (-1 )3 (-16 )4 (48 )1 (6 )7 (14 )2 1451520 28229160960

54

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 129 ^ в ^ 140

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A129

35 F54 6-65 6 162 20 72 A130

A131

A132

A133

36 F70 653 6 100 20 80 A134

A135

A136

A137

A138

37 F23 6J7 6100 20 80 A139

A140

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A129 ( 47 )2 ( 13 )3 ( 5 )3 ( 1 )7 ( 11 71 ( 49 )2 V 96/ V 48/ V 24/ V6/ V48/ V96/ 725760 56458321920

Al30 ( 35 \7 ( 1 \4 ( 25 \3 ( 31 \3 ( 73 \1 (- 16s) (16s) (ш) (loe) (ш) 4354560 10585935360

A131 ( 47 )2 ( 41 )3 ( 1 )8 ( 37 )4 ( 61 A 1 V 108/ V 108/ V108/ V108/ V108 / 11612160 3969725760

Al32 ( 49 71 ( 43 )3 ( 19 )4 ( 17 )8 ( 59 )2 V 108/ V 108/ V 108/ V108/ V108/ 11612160 3969725760

A133 ( 53 )2 ( 29 )3 ( 23 )3 ( 19 )8 ( 55 )2 V 108/ V 108/ V 108/ V108/ V108/ 5806080 7939451520

A134 ( - 2 A1 ( -10 )6 (40 )4 (5 )1( 4)4( 2)2 829440 61751289600

A135 ( - Ю )3 ( - 3( )1(-120 )4(15 )6(1 )3( t2 )1 622080 82335052800

A136 ( -Ю)4 ( - omm )4(Ю)1 2488320 20583763200

A137 ( 11 )5 ( 1 )3 ( 1 )4 ( 2 )1 ( 37 )4 ( 19 )1 V 30/ V 6/ V12/ V15/ V120/ V30/ 414720 123502579200

A138 (-40 )2 (-10 )1 (-1 )4 (0)3 (5)6( 20 )2 414720 123502579200

A139 (-3 )6 (-30)1)-1l0 )4 (15 )6 (1 )1 12441600 4116752640

A140 (-1 )7 (15 )6 (150 )4 (30 )1 87091200 588107520

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

55

Арифметический тип A в в диапозоне 141 ^ в ^ 152

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A141

A142

38 F79 6 -5 6 22 20 88 A143

A144

A145

39 F22 6-55 6 144 20 96 A146

A147

A148

40 F69 6115 6 338 20 104 A149

A150

A151

A152

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A141 ( - 5 )5 (0)7 (110 )1( i )4( 5)1 14515200 3528645120

Al42 ( 59 )2 ( 4 )1 ( 1)7 ( 7 )6 ( 61 )2 V 120/ V 15/ V 6/ V30/ V120 / 14515200 3528645120

Al43 ( - 43)8( 44 )5 (11 )4 (444 )1 116121600 485188704

A144 ( 17)4 ( 5 )4 ( 9 )9 ( 27 )1 V 44/ V 22/ V44Z V44Z 209018880 269549280

Al45 ( 29 )2 ( 37 )5 ( 17 )9 (37)2 V 66/ V 132/ V132/ V66/ 174182400 323459136

A146 ( 23)7 ( 1 )4 ( 19 )6 (49 )1 V 72/ V 144 / V72/ V72/ 87091200 705729024

A147 ( 29 )5 ( 1 )8 ( 47 )4 ( 43 )1 V 72/ V72/ V144/ V72/ 116121600 529296768

Al48 ( 71 )2 ( 13)8 ( 17 )6 ( 73 )2 V 144/ V 72/ V72/ V144/ 116121600 529296768

A149 ( 19 )5 ( 9 )3 ( 5 )5 ( 4 )4 ( 33 )1 V 52/ V 52/ V52/ V13/ V52/ 2073600 32110670592

A150 ( 21 )4 ( 5 )4 ( 7 )6 ( 17)3 (31 )1 V 52/ V 26/ V52/ V52/ V52/ 2488320 26758892160

A151 ( 37)2 ( 41 )5 ( 1 )3 ( 31 )6 (41 )2 V 78/ V 156/ V156/ V156/ V78/ 2073600 32110670592

A152 ( 77 )1 ( 47 )6 ( 1 )4 ( 37 )5 ( 79 )2 V 156/ V 156/ V39/ V156 / V156/ 4147200 16055335296

56

М. М. АНЗИН

Арифметический тип A в в диапозоне 153 ^ в ^ 164

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

41 F62 6 4 21 256 A153

A154

A155

A156

A157

42 *77 6 $8 22 256 A158

A159

A160

A161

43 *52 6 8 22 256 A162

A163

A164

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^^ )\#(La)

A153 (-1П-8)4(0)7(1 )4(1 )2 5806080 26884915200

A154 (-1)6 (-12)4(6)3(24)4(I)1 2488320 62731468800

A155 (-3)7 (24 )4 ())3( ) )4 17418240 8961638400

A156 (- 1I)3(-1)7( 24 )4 (3 )3 (12 )1 4354560 35846553600

A157 (-24 )2(-3 )3(-14)4( 6)7( 2) )2 2903040 53769830400

A158 (-1 )1 (-32)9 (32)1 ( 1 )5( 2 )2 87091200 1710858240

A159 (-5 )4(-1 )3 (96 )9 (93 )1( 7 )1 52254720 2851430400

A16O (-5 )4(-97 )1 (96 )9 (1 )3 (7 )1 52254720 2851430400

A161 (-32)8 (о)3 (1)5 (97 )1 (I)1 29030400 5132574720

A162 (-2)1(-8)3(-1 )1(- 1)3(о)3 (4 )5 (2 )2 51840 2874241843200

A163 (-5 )4(-6 )3(-24 )3( 1У1 (24)3 (1 )3( 7 )1 31104 4790403072000

A164 (-21 )2 (-3 )3 (-12 )5 (1 )3 (24 )3 (7 )1 (23 )1 51840 2874241843200

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

57

Арифметический тип в диапозоне 165 ^ в ^ 176

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

44 f9 6 3 6 8 22 256 A165

A166

A167

A168

Al69

A170

45 F50 6 3 6 8 22 256 A171

A172

A173

A174

A175

A176

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^^ )\#(La)

A165 (-1 )1(-8 )3(-16 )3 (-)3( 3))4T)5( 1 )2 51840 2874241843200

A166 (-12 )4(-6 )3 (-24 )3 (4^8 )3 (I )3 (36 )1( T2 )1 31104 4790403072000

Al67 (-12 )4(-96)1 (-93)3 (48)3 (24)3 (T )3( t2 )t 31104 4790403072000

Al68 (-2T )2(-3 )3 (-T2 )5( i )T( T) )3( T) )3( 2) )T 51840 2874241843200

Al69 (-1 )2(-T) )3(-) )3 (0)3(T )5(i ^(M)* 51840 2874241843200

A170 ( 23 )2 ( 7 )3 ( 1 )3 ( 1 )5 ( 29 )T ( 35 )3 ( 25 )T V 48/ V 24/ V 6) V12Z V96Z V96Z V48Z 51840 2874241843200

Al71 (-2 )T(-8 )3 (-T6 )3 (-tT )T (0)3( 4 )5( T )2 51840 2874241843200

Al72 (-T )T(-t6)1(-t6)3(-3 )3 (0)3( 4 )5( 2 )2 51840 2874241843200

A173 (-T2 )4(-6 )3(-24 )3( 48 )3( 13 )T( 3 )3( t2 )t 31104 4790403072000

A174 (-T2 )4(-6 )3(-48 )T( 48)3 (24)3 (T )3( t2 )t 31104 4790403072000

A175 (-TT )2(-3 )3 (-T2 )5( T )3 (TT )T( 18 )3( 23 )T 51840 2874241843200

Al76 (-1 )2 (-24 )3 (-6 )3 ( T2 )5 (3 )3 (48 )T (28 )T 51840 2874241843200

58

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 177 ^ в ^ 188

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

46 F44 6 -5. 6 18 22 288 Am

A178

A179

Al80

Al81

47 F52 6 3 6 8 22 320 A182

A183

A184

A185

A186

48 F40 6 21 6 50 22 320 A187

A188

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^^ )\#(La)

A177 (-3)6 (-12 )4(i! )1(1 )5(1 )Ч I )1 2073600 80838051840

A178 (-1)7 (0)1( 1I)5 (1)1 (1I)4 14515200 11548293120

A179 (- 1I )3(-6 )7 (6 )1( 4)5( 1I)1( 1I)1 3628800 46193172480

Al80 (-1) )4(-8)>)7( 1)4( 5 )1(iI)* 2903040 57741465600

Ai81 (-12 )4(-4 )4- 1i)4( 6)7( I)1( 7 )1 2903040 57741465600

A182 (-1 f(-8 )3(-8 )6( ИЧ ))5( ))2 1036800 179640115200

A183 (-8)5 (-8 )3 (0)3 (4 )5( l)1) 1 (1 518400 359280230400

A184 (- 1I )4(-6 )3 (-Is )3 (24 )6 (24 )1( iI )1 622080 299400192000

A185 (-12 )4(-24)1 (-24)6 (24)3 (l )3( 12 )1 622080 299400192000

A186 (-M)2 (-3)3(-T2)5 (24 )1( 28 )6 Ш)1 1036800 179640115200

A187 (-1)1(-1)1 (-2o)3 (—20)6 (1 )5(1 )2 1036800 179640115200

A188 (-12 )4 (-6 )3 (-14 )1 (-60 )3 (10 )6 (12 )1 622080 299400192000

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

59

Арифметический тип Ар в диапозоне 189 ^ в ^ 201

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R\La) #(La ) Vol(La) Ав

A189

A190

A191

49 F47 6 21 6 50 22 320 A192

A193

A194

A195

A196

50 F51 6 21 6 50 22 320 A197

A198

A199

A200

A201

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

Al89 ( -12 )4( - 60 )6( M)3 (30)1 (1 )3( 12 ) 622080 299400192000

A190 ( -23 )5( -112 )5(1 )3( i5 )1(60 )3(i )1 518400 359280230400

A191 ( 29 )1 ( 13 )1 ( 1 )3 ( 1 )5 ( 13 )6 (31 )2 V 60/ V 30/ V 3) v 12/ V60Z V60Z 1036800 179640115200

A192 (-1 )1(-1 )3(-10 )1(-20)6 (4 )5( 2 )2 1036800 179640115200

A193 (-12 )4 (-6 )3(-24 )3 (110 )1( 67)6( -й)1 622080 299400192000

A194 (-12)4(-60 )6 (ИйЙ 12)3( 3 )3 (172 )1 622080 299400192000

A195 ( 11 )2 ( 1 )3 ( 1 )5 ( 13 )6 ( 59 )1 ( 13)1 V 24/ V 3J v 12/ V60Z V 120 / V24Z 1036800 179640115200

A196 ( 23 )5 ( 1 )5 ( 1 )3 ( 7 )3 ( 41 )1 ( 37 )1 V 60/ V 12/ V6Z V24Z V120Z V60Z 518400 359280230400

A197 ( 5 )4 ( 7 )6 ( 11 )3 ( 17 )3 ( 23 )1 ( 7 )1 V 12/ V 60/ V60Z V60Z V60Z V12/ 622080 299400192000

A198 ( 5 )4 ( 13)1 ( 7 )3 ( 1 )3 (17)6 (7 )1 V 12/ V 60/ v 60/ V 60/ V60Z V12/ 622080 299400192000

A199 ( 9 )2 ( 7 )3 ( 1 )6 (1 )5 (9 )1 (11)1 V 20/ V 20/ V 20/ V4Z V20Z V20Z 1036800 179640115200

A200 ( 23 )5 ( 1 )5 ( 7 )1 ( 13 )3 ( 19 )3 ( 37 )1 V 60/ V 12/ V60/ V60Z V60Z V60Z 518400 359280230400

A201 ( 29 )1 ( 23 )3 ( 17 )1 ( 1 )5 ( 13 )6 ( 31 )2 V 60/ V 60/ v 60/ V 12/ V60Z V60Z 1036800 179640115200

60

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 202 ^ в ^ 213

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

51 F51 6 21 6 50 22 400 A202

A203

52 F45 6 355 6 791 22 400 A204

A205

A206

A207

53 F84 4 81 4 98 23 77 A208

A209

54 F67 6 3 6 8 24 512 A210

A211

A212

A213

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A202 (--5)4 (_ Л)6 (X3 (17)6 (273 V 12/ V 60/ V12/ V60Z V12/ 12441600 18712512000

A203 ( 23)5 ( 1 )5 ( 13 )6 ( 5 A 1 (37 A 1 V 60/ V 12/ V60Z V12/ V60Z 10368000 22455014400

A204 ( 5 )4 ( 7 )6 ( 67 )6 ( 133 A 1 ( 7 A 1 V 12/ V 60/ V300/ V300/ V12/ 12441600 18712512000

A205 ( 5 )4 ( 83 Ч1 ( 17 )6 ( 17 )6 ( 7 Ч1 V 12/ V 300/ V 300/ V60/ V12/ 12441600 18712512000

A206 ( 23)5 ( 1 )5 ( 17 Ч1 ( 83 )6 (37Ч1 V 60/ V 12/ V300/ V300/ V60/ 10368000 22455014400

A207 ( 39 )5 ( 1 )6 ( 1 )5 ( 39 A 1 ( 61 A 1 V 100/ V 20/ V4/ V100/ V100/ 10368000 22455014400

A208 ( 13 A 12 (17\5 (71 A 1 V 84/ V84/ V84/ 57480192000 745789

A209 ( 31 \3 ( 1 A 13 (53 A 2 V 84/ V 84/ V84/ 74724249600 573683

A210 ( - 2 }2( - 4 }3( - 8 }5( ОЧ D5( D2 345600 790416506880

A211 ( - D4 ( -1 }3 (0)4( ^ § (1( § (1 414720 658680422400

A212 ( -12 f ( - 24 (5( - 24 (1 (82 (5 (K4( тУ1 691200 395208253440

A213 ( -12 (4 ( -1Г (18 f (24 (5 (21 f (12 f 414720 658680422400

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

61

Арифметический тип A в в диапозоне 214 ^ в ^ 225

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A214

55 F66 6 50 24 640 A215

A216

A217

А218

A219

56 F65 6178 24 768 A220

A221

A222

A223

A224

57 F64 61 24 896 A225

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A214 (-12 )4(-24)1(-24)5( з2)3( 1)4( 7 )1 414720 658680422400

A215 (-1)2(-1 )2(-20 )6(20 4^4 )5(2 )2 691200 494010316800

A2I6 (-12 )1 (-1 )6(-60 )1 (12 )5 (1)4( 12)1 2073600 164670105600

A217 (-12)4(-6 )4( 10 )2( 61 )6( 69 )1 (12 )1 829440 411675264000

A2I8 (-12 )4(-I )4(-60 )6(10)2(1 )4 ( t2 )1 829440 411675264000

A219 (-20)5 ( 4)2(0)4( 1)5(2OT1 (i)1 691200 494010316800

A220 (-2 )2(-4)'(-6 )7( T)^ 4)5( 4)2 2419200 169374965760

A22I (-1 )6)-1T1 (°)4( 1)5( 1)1) 1T1 2073600 197604126720

A222 (-1)7 (0)1 (10 )5 (1)4( 12 T1 14515200 28229160960

A223 (-12)4(- 1)1(o)7(i0 )41 )4 (12 T1 2903040 141145804800

A224 (-12 )4(-6 )4 (12 )Ч6 )7 (4)4 12 T1 2903040 141145804800

A225 (-1 )2 (-4 )5 (-28 41 (28 )8 (1 )2 19353600 24700515840

62

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 226 ^ в ^ 237

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A226

A227

A228

58 X8 6-45 6 128 25 2048 A229

А230

A231

59 X7 6 4 6 9 25 2304 A232

A233

A234

60 X4 6Ж 6 200 25 2560 A235

A236

A237

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A226 (-12 )4(-6 )4 (84 )8 (83 )1( 7 )1 23224320 20583763200

A227 (-12 )4(-89 )1 (§4 )8 (1 )4 (12 )1 23224320 20583763200

A228 (-28 )7 (0)4 (4)5( 28)1(28 )1 14515200 32934021120

A229 (-1 )7 (-92)1 (I)9( 3)1 1828915200 573544858

A230 (-1 )7(§)9( i)1( 3 )1 1828915200 573544858

A231 ( 29 )8 ( 1 )8 ( 37 ) 1 ( 67 )1 V 96/ V6Z V96Z V96Z 1625702400 645237965

A232 (-3 )7 (o)1 (18 )4( 1)4( 3)1( l)1 2903040 406499917824

A233 (-5 )3 (-4)4 (-1 )1 (1 )8(1 )1( 7 )1 5806080 203249958912

A234 (-) )4 (-1 )1 (o)8( 3 )1( ()4 46448640 25406244864

A235 ( 1 )7 ( 1 )3 ( 23 )6 ( 47 )1 ( 2 )1 V 3) V24Z V120Z V120Z V3Z 21772800 60222210048

A236 (-3)7(-^)1( 27 )6( 24 )3(2 )1 21772800 60222210048

A237 ( 11 )1 ( 37 )6 ( 13 )1 ( 1 )8 ( 13)2 V 24/ V 120/ V 120/ V6/ V24/ 58060800 22583328768

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

63

Арифметический тип Ар в диапозоне 238 ^ в ^ 249

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A238

61 F71 6178 25 2712 A239

A24Q

А241

A242

A243

A244

62 Xs 6 9 26 3072 A245

A246

A247

63 Fiq 6 9 26 3072 A248

A249

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A238 ( 43 )5 ( 5 )3 ( 1 )8 ( 53 A1 ( 77 A1 V 120 / V 24/ V6/ V120/ V120Z 29030400 45166657536

A239 (-1 )2(-1 )4(-)4( 112 )1( 4 )5( 2 )2 276480 5024084921856

A240 (-12 )3(-4 )4(-12 )1 (12 )5 (3 )4 (T2 )1 414720 3349389947904

A24I (-12)3 H)4 (0)4( 1)5) 12)1( 172)1 414720 3349389947904

A242 (-12 )4H )1(-12 )4(тз)4( 1)4 (12 )1 331776 4186737434880

A243 (-12 )4 (-4 )1 (-1 )4( 5 )4 1658880 837347486976

A244 (-12 )4H )4 (12)4 (1)4( 12)1( 12)1 331776 4186737434880

A245 (-1 )'(- 12 )1 (-3 )3(-12)5 (12 )1 (1 )5 (2)2 172800 8755382845440

A246 (-12 )4(-4)1(-12)5 (6 )3( 4)1( 3 )3 (12 )1 103680 14592304742400

A247 (-12 )4 (-1 )3 (-12 )1 (0)3( 4)5)12)1( 12 )1 103680 14592304742400

A248 (-1 )1(-8 )3(-24 )1(-1) )5( 12 fti )5( 1)2 172800 8755382845440

A249 (-12 )4 (-4 )1 (-12 )5 (6 )3 (24 )3 (1 )1 (12 )1 103680 14592304742400

64

М. М. АНЗИН

Арифметический тип Ар в диапозоне 250 ^ в ^ 261

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

A250

A251

A252

A253

64 F12 6 209 6 450 26 3840 A254

A255

A256

A257

A258

65 F83 5 4 5 9 27 156 A259

A26O

66 Х5 617 6 36 27 6144 A261

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ae Центр описанного шара Ap St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^9 )\#(La)

A250 (-12)4(-4)1(-i4)5( 8 )1(24)3( 1 )3(i2 )1 103680 14592304742400

A251 (-12 )4 (-6 )3(-24 )3 (24 )1( T)5( 12)1( -Й)1 103680 14592304742400

A252 (-12)4(-24 )1 (-8)3(0)3 (44 )5 (12 )1 (i2 )1 103680 14592304742400

A253 (-24)2(-1)3 ( t2)5(I4)1 (1 )5 (21)t (23)t 172800 8755382845440

A254 (-12 )4(-1 )t(-t2 )5( 20 )t( 10 )6( t2 )t 2073600 912019046400

A255 (-12 )4 (-4 )t(- t2 )5( i)6( 29))1( 12)1 2073600 912019046400

A256 (-12)4(-60)6( 60 )t (44 )5 (12 )t (12 )t 2073600 912019046400

A257 (-12 )4 (-17 )t (-20)6 (T)5( 12)1( t2)t 2073600 912019046400

A258 (-63 )5 (-t2 )5 (i2 )t (1 )5 (60 )t (37 )t 1728000 1094422855680

A259 (-18 )4 (36 )12 (I8)2 22992076800 3217760

A260 (-36 )n (9 )6( 2))* 28740096000 2574208

A26I (-2 )t (-1 )4 (0)8 (3 )t (12 )4 23224320 125462937600

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

65

Арифметический тип Ар в диапозоне 262 ^ в ^ 273

Продолжение таблицы 2 (левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

А262

A263

A264

A265

67 Хб 6 32 27 8192 А266

А267

А268

А269

68 Fii 6 2 30 36864 А270

69 Х2 6 2 30 65536 А271

А272

А273

Продолжение таблицы 2 (правая половина)

Ав Центр описанного шара Ар St | (Ав )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

А262 (-1)7 (24 )4 (6)1( 1)4( 1 )1(1 )1 2903040 1003703500800

А26З (-3 )7 (о)1 (т2 )4) 1 (1) й)4( I)1 2903040 1003703500800

А264 (-т2)1(-1)1(-2) )4( 1 )8(2)1 (И )1 5806080 501851750400

А265 (-14)2 (-Ю1 — )4(-1 Йй )8( 21 )2 3870720 752777625600

А266 (-1)7( 24 )4 (18 )5 (48 )1 (1 )1 14515200 267654266880

А267 (-1)7(-48)1 (48 )5( 24 )4(2 )1 14515200 267654266880

А268 (-14 )2 (-й )5 (-48 )1 (6)8( I)2 19353600 200740700160

А269 (-18 )4(-24 )4(6 )8( 1 ЙШ )1 23224320 167283916800

А270 (-И )4 (-4 )1 (-12 )5 (12 )1 (1 )5 (12 )1 (7 )1 345600 45527990796288

А271 (-1)1(-§)4(о)8( 1 )4(1 )1 46448640 602222100480

А272 (-) )7( 24)4 (1 )2( тйт)4 (Ю1 5806080 4817776803840

А273 (-21 )2 (-1 )2 (-24 )4 (1 )8 (й )2 7741440 3613332602880

66

М. М. АНЗИН

Арифметический тип A в в диапозоне 274 ^ в ^ 279

Окончание таблицы 2(левая половина)

№ La 4 • R2(La) #(La ) Vol(La) Ав

70 X9 6 2 32 196608 A274

71 00 г^0 6 2 32 204800 A275

A276

72 Fo 4 2 34 327680 A277

73 Xi 6 2 64 11745930 A278

А279

Окончание таблицы 2(правая половина)

Ae Центр описанного шара Aв St|(Ae )| 2 18!Vol(L„) lSt(^4 )\#(La)

A274 (-3 )7(-12) (3 )8( 1) П))" 203212800 387142778880

A275 (-2)2 (-i)5 *(0)4 (4 )5 (2 )2 2764800 29640619008000

A276 (-12 )4 (-) )4( I2)5 (1 )4 (12 )3 1658880 49401031680000

A277 (-12 )16(12)1( 12)* 20922789888000 5898240

A278 (- 1Г( 1)7 (4 )1 18289152000 128494601235

A279 (-12 )5 (14 )11 (12 )2 9580032000 245307875085

СУММА: 355687428096000

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bambah R. P., Sloane N. J. A. On a problem of Ryskov concerning lattice coverings // Acta Arithm. 1982. V. 42. P. 107-109.

2. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere packings, lattices and groups (Third edition) // Springer-Verlag. 1999.

3. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n =11 и n =14 //

Труды МИ РАН. 2002. Т. 239. С. 20-51. К 70-летию со дня рождения

профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Сборник статей под редакцией

А. А. Мальцева. — М.: «Наука», МАИК «Наука/Интерпериодика».

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17

67

4. Рышков С. С. О совершенной форме Аф: существование решеток с неосновным симплексом разбиения; существование совершенных форм, не приводимых по Минковскому к форме с одинаковыми диагональными коэффициентами // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 33. С. 65-71. (Исслед. по теории чисел; Т. 2).

5. Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм // УМН. 1937. № 3. С. 16-62; № 4. С. 102-164.

6. Kershner R. The number of circles covering a set // Amer. J. Math. 1939. V. 61. P. 665-671.

7. Bambah R. P. On lattice covering by spheres // Proc. Nat. Inst. Sci. India. 1954. V. 20. P. 25-52.

8. Делоне Б. Н., Рышков С. С. Решение задачи о наименее плотном решетчатом покрытии четырехмерного пространства равными шарами // ДАН СССР. 1963. Т. 152, № 3. С. 523-524.

9. Рышков С. С., Барановский Е. П. C-типы n-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий) // Труды МИАН СССР. 1976. Т. 137.

10. Вороной Г. Ф. О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм // Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т. 2. С. 171-238.

11. Рышков С. С. Эффектизация одного метода Давенпорта в теории покрытий // ДАН СССР, 1967, Т. 175, № 2. С. 303-305.

12. Smith W. D. Studies in Computational Geometry Motivated by Mesh Generation: Ph. D. Diss. Princeton Univ. 1988.

13. Baranovskii E. P. The perfect lattices Г(АП), and the covering density of Г(А9) // Europ. J. Comb. - 1994. V. 15, № 4. P. 317-323.

14. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n =11 и n =14 // УМН. 2002. Т. 57, вып. 2. С. 187-188.

15. Frank Vallentin. Sphere coverings, lattices, and tilings (in Low Dimensions):

D. Dissertation. Technische Universitat Munchen, 2003.

16. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n =13 и n =15 // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. до-кл. V Междунар. конф. (Тула, 19-20 мая 2003 г.). Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2003. С. 15-17.

17. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n = 13 и n = 15 // Матем. заметки, 2006. Т. 79, вып. 5. С. 781-784.

68

М. М. АНЗИН

18. Анзин М. М. О проблеме С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий n-мерного евклидова пространства // Материалы VIII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения». М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. 2004. С. 374-377.

19. Coxeter H. S. M. Extreme forms // Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 391-441.

REFERENCES

1. Bambah, R. P. & Sloane, N. J. A. 1982, "On a problem of Ryskov concerning lattice coverings" , Acta Arithm., vol. 42, no. 1, pp. 107-109.

2. Conway, J. H. & Sloane, N. J. A. 1999. "Sphere packings, lattices and groups" 3rd ed. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag.

3. Anzin, М. М. 2002, "On the density of a lattice covering for n=11 and n=14" , Tr. Mat. Inst. Steklova., vol. 239, pp. 20-51. (Russian); translation in Proc. Steklov Inst. Math. 2002., vol. 239, pp. 1-32.

4. Ryshkov, S. S. 1973, "The perfect form AП: the existence of lattices with a nonfundamental division simplex; and the existence of perfect forms which are not Minkowski-reducible to forms having identical diagonal coefficients" , Zap. Nauchn. Sem. LOMI, vol. 33, no. 2, pp. 65-71. (Russian); translation in J. Sov. Math. 1976., vol. 6, no. 6, pp. 672-676.

5. Delone, B. N. 1937, "The geometry of positive quadratic forms" , Usp. Mat. Nauk, no. 3, pp. 16-62; no. 4, pp. 102-164. (Russian).

6. Kershner, R. 1939, "The number of circles covering a set" , Amer. J. Math., vol. 61, pp. 665-671.

7. Bambah, R. P. 1954, "On lattice covering by spheres" , Proc. Nat. Inst. Sci. India., vol. 20, pp. 25-52.

8. Delone, B. N. & Ryskov, S. S. 1963, "Solution of the problem of least dense lattice covering of a four-dimensional space by equal spheres" , Dokl. Akad. Nauk SSSR., vol. 152, no. 3, pp. 523-524. (Russian); translation in Sov. Math., Dokl. 1963., vol. 4, pp. 1333-1334.

9. Ryskov, S. S. & Baranovskii, E. P. 1976, "C-types of n-dimensional lattices and 5-dimensional primitive parallelohedra (with application to the theory of coverings)" , Tr. Mat. Inst. Steklova., vol. 137, no. 4. (Russian); translation in Proc. Steklov Inst. Math. 1978., vol. 137, no. 4.

10. Voronoi, G. 1908, "Sur quelques proprieties des formes quadratiques positives parfaits J. Reine Angew. Math., vol. 133, pp. 97-178.

О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ N = 17 69

11. Ryskov, S. S. 1967, "Effectuation of a method of Davenport in the theory of coverings" , Dokl. Akad. Nauk SSSR., vol. 175, pp. 303-305. (Russian); translation in Sov. Math., Dokl. 1967., vol. 8, no. 4, pp. 865-867.

12. Smith, W. D. 1988, "Studies in Computational Geometry Motivated by Mesh Generation" , Ph. D. Dissertation, Dept. of Applied Mathematics. Princeton Univ.

13. Baranovskii, E. P. 1994, "The perfect lattices Г(Яга), and the covering density of Г(Я9)" , Europ. J. Comb., vol. 15, no 4, pp. 317-323.

14. Anzin, М. М. 2002, "On the density of a lattice covering for n = 11 and n = 14" , Usp. Mat. Nauk., vol. 57, no. 2, pp. 187-188. (Russian); translation in Russ. Math. Surv. 2002., vol. 57, no. 2, pp. 407-409.

15. Frank Vallentin. 2003, "Sphere coverings, lattices, and tilings (in Low Dimensions)" , D. Dissertation. Technische Universitat MUnchen.

16. Anzin, М. М. 2003, "On the density of a lattice covering for n =13 and n = 15" , Algebra and number theory: modern problems and applications: Proceedings of the V international Conf., — Tula: Izd-vo Tul. state Ped. University n.a.

L. N. Tolstoy, Russia, Tula., pp. 15-17. (Russian).

17. Anzin, М. М. 2006, "On the density of a lattice covering for n =13 and n = 15" , Mat. Zametki, vol. 79, no. 5, pp. 781-784. (Russian); translation in Math. Notes. 2006., vol. 79, no. 5, pp. 721-725.

18. Anzin, М. М. 2004, "On a problem of Ryskov concerning lattice coverings of n-dimensional Euclidean space" , Diskrete matematiks and applications: Proceedings of the VIII international Seminar, — Moscow: Izd-vo Mekh.-Mat. Dept. Mos. state University n.a. M. V. Lomonosov, Russia, Moscow., pp. 374377. (Russian).

19. Coxeter, H. S. M. 1951, "Extreme forms" , Canad. J. Math., vol. 3, pp. 391-441.

ОАО «Т-Платформы», г. Москва. Поступило 9.06.2015