О некоторых особенностях теплопереноса в электробаромембранных процессах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.067

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЭЛЕКТРОБАРОМЕМБРАННЫХ ПРОЦЕССАХ

© С.И. Лазарев, М.А. Рябинский, Ю.А. Ворожейкин

Ключевые слова: теплоперенос, адекватность, математическая модель.

В статье приведена математическая модель теплопереноса, позволяющая рассчитывать температуру раствора в емкости и в тракте ретената электробаромембранного аппарата с плоскими фильтрующими элементами. Математическая модель теплопереноса позволяет строить временные температурные зависимости по исходному раствору и ретентату.

ВВЕДЕНИЕ

При прохождении тока через растворы и мембраны выделяется Джоулево тепло. Причем количество выделяемого Джоулева тепла может быть разное из-за разных электропроводимостей раствора, мембраны и подложки, поэтому температуры растворов и мембран по камерам будут различны, а следовательно, будет наблюдаться теплообмен между растворами и мембранами. Необходимо учитывать и то, что раствор, протекая из камеры в камеру, будет многократно нагреваться и многократно взаимодействовать с мембранами. Теплообмен в значительной степени влияет на массоперенос.

Целесообразнее разработать модель теплопереноса для многокамерных аппаратов и установок, состоящую из балансных соотношений для каждой камеры аппарата и кинетических характеристик процессов электоба-ромембранного разделения растворов.

Сначала запишем уравнение теплового баланса для электробаромембранного аппарата, основанного на законе сохранения энергии:

бисх + Qэл + бтерм.эф бпен бпер биот '

(1)

С учетом расшифровки отдельных слагаемых уравнение (1) запишется в виде

0,5М ^ | ^ = ,-2 гм К + АР + (ед + 0,5аперС„р) г- (2)

-(ОпенСпен + °>5ОперСпер )-бпот-

Приняв ~ = °,5 (г1 + г), а также учитывая допущение 4, после некоторых преобразований запишем уравнение (2) следующим образом:

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Перед рассмотрением математического описания процессов теплопереноса в электробаромембранных аппаратах сделаем следующие допущения [1, 2]:

1) насос обеспечивает постоянство подачи;

2) в промежуточной емкости раствора осуществляется режим идеального смешения;

3) прикатодный и прианодный пермеаты выходят из аппарата при одинаковой температуре гпер;

4) ( = 0,5((, + ( ) ■

пер ’ V 1 пен >

Тепло, выделяемое в электробаромембранном аппарате, включает в себя следующие составляющие:

1) тепло, поступающее с исходным раствором бисх;

2) Джоулево тепло, выделяемое в растворе, мембранах и подложках бэл;

3) тепло, полученное от трения прокачиваемого

раствора бтер.мех;

4) тепло, отводимое с пермеатом бпер;

5) тепло, отводимое с ретентатом бкон;

6) тепло, теряемое в окружающую среду бпот.

0,5М [Т + ^ = і 2 рм к + уеАр + (ед + 0,50ПеРсПеР) (-

(СпенСпен + 0,5СпенСпен ) - бпот-

(3)

Для расчета электрического сопротивления электробаромембранного аппарата К предположим, что электрические сопротивления рабочих камер одинаковы и равны Кк.

Тогда

(4)

Учитывая конструктивные особенности рабочих камер, сопротивление одной камеры можно представить как сумму сопротивлений последовательно соединенных отдельных элементов камеры (рис. 1):

К = к пэ + кпЛ + к .л + к р + к п + С + к: -

(5)

к = пкк.

Rmt R. Rp Ru R га

Рис. 1. Схема расчета электрического сопротивления в элек-тробаромембранном аппарате

гДе R , R , R , R

пэ ’ пп ’ м ’ р

сопротивления, соответственно,

пористого электрода, пористой подложки (например, ватмана), мембраны и раствора (индексы «л» и «п» обозначают левые и правые от раствора элементы камеры).

Примем, что сопротивления соответствующих левых и правых элементов равны. С учетом этого допущения запишем уравнение (5) через электропроводности соответствующих элементов камеры:

„ , 23т 23пп 23 X

R = I-------+-------+ — + — I с

Хп, Хпп Хм Хр ) К

(6)

Подставив (6) в (2), можно определить общее сопротивление аппарата. Таким образом, мы получили уравнение (7), устанавливающее взаимосвязь между меняющимися во времени температурами гх и гпен. Очевидно, для нахождения этих функциональных зависимостей (то есть ^ = f (т) и г = у2 (т)) необходимо иметь

еще одно (или несколько) подобных уравнений.

Для получения вида второго уравнения запишем уравнение теплового баланса для промежуточной емкости (рис. 2):

^пенСпен^пен dT GlCltldt d (VEClpltl)

(7)

Далее для полного замыкания системы уравнений (3) и (7) запишем уравнение материального баланса (по общему объему раствора) для емкости раствора в следующем виде:

Рис. 2. Емкость раствора

V

dT

= V - V = V

1 пен пе

(8)

Для упрощения примем р1 = рпер (то есть

Опер = РУшр)' Тогда, с учетом этого допущения, а

также с учетом уравнения (8), после некоторых преобразований уравнение (8) может быть записано следующим образом:

VECxpx ^ = G^C^ - (G - GПеP )cit1.

dT

(9)

С целью упрощения расчетов сделаем еще одно допущение. Предположим, что ^ер = const. Тогда уравнение (9) после интегрирования запишется как

VE = VE - VmT,

E E0 пер

(10)

где у - исходное количество раствора в промежу-

Е0

точной емкости.

Подставив уравнение (10) в (9), получим второе уравнение, устанавливающее взаимосвязь между г1 и гпен.

В итоге для определения температур гх и гШн получена система двух уравнений. Для удобства дальнейшего использования этой системы уравнений выпишем ее отдельно:

0,5М [А + d- | = i2 fmR + (G1C1 + 0^^ t +

+ VEAP - ^пен + ^^пер^ер )пен - бпот

(11)

(VE0 р1 - Gперт)cl -djT = ^енСпеАен - (G1 - Gпер )C1t1 • (12)

Полученную систему уравнений (11), (12) решим численным методом (например, методом Рунге-Кутта). Систему уравнений (11), (12) можно привести к одному дифференциальному уравнению второго порядка, которое имеет вид

Z(t)^ + Z2да + Z/ = i2FmR + VeAP - бпот, (13)

dT dT

где

VE - V t Z1 (t) = 0,5MC1p1 VE0-перт •

Z 2(t) = 0,5M

1 +

G C

Gпен cпен (G1 - Grnu - pVпен )С1

G С

пен пен

(G С + 0,5G С )(VE -V t)

' пен пен ’ пер пер ' v E0 пен '

G С

пен пен

С1Р1

0 5G С С

Z2 = ’ 1 (G1 + Gnm (С1 - 0,5Спен).

пен пен

+

раствора и по тракту ретентата электробаромембранно-го аппарата.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хванг С.-Т., Каммермейер К. Мембранные процессы разделения / пер. с англ.; под ред. Ю.И. Дытнерского. М.: Химия, 1981. 464 с.

2. Технологические процессы с применением мембран / под ред. Р.Е. Лейси и С. Леба; пер. с англ. Л.А. Мазитова и Т.М. Мнацака-нян. М.: Мир, 1976. 372 с.

Поступила в редакцию 22 сентября 2008 г.

Lazarev S.I., Ryabinsky M.A., Vorozhejkin's J.A. Some features of heat transfer in electrobaromembrane processes. The article presents the mathematical model of heat transfer which allows counting solution temperature in capacity and in a retentate canal of electrobaromembrane device with flat filtering elements. The mathematical model of heat transfer allows making time temperature dependences on an initial solution and retentate.

Key words: heat transfer, adequacy of the transfer phenomenon.

LITERATURE

1. Khvang S.-T., Kammermejer K. Membrane processes of division / Translation from English; Edited by Y.I. Dytnersky. M.: Khimiya, 1981.464 p.

Из уравнений (11) и (12) при некоторых допущениях получаем уравнения для расчета температуры исходного раствора в емкости г1 и температуры ретентата

пер

■^пер - ti)

(14)

dtпен

dT

iFm

X + ^m + + 8пп

\Xp Xm Хпэ Хпп

+VeAP -Q^

Ср XFmn+ <CpЩп

+ 2V ~Vp t -u

XFn+m

m ^ ^ ап

СР

(15)

ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель теплопере-носа, учитывающая влияние тепловыделений на массо-перенос.

2. Математическая модель теплопереноса позволяет рассчитывать температуру раствора в емкости

2

+