CC BY
32
2016, Т. 158, кн. 3 С. 350-375
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 539.3
О НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ И РАЗРУШЕНИИ КОМПОЗИТНЫХ ТЕСТ-ОБРАЗЦОВ В УСЛОВИЯХ ТРЁХТОЧЕЧНОГО ИЗГИБА
В.Н. Паймушин1'2, Д.В. Тарлаковский3'4, С.А. Холмогоров1
1 Казанский национальный исследовательским техническим университет им. А.Н. Туполева, г. Казань, 420111, Россия
2Казанский (Приволжским) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
3НИИ механики, МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия
4Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия
Аннотация
На основе линеаризованных непротиворечивых уравнений теории криволинейных стержней сформулирована задача об устойчивости прямых коротких и длинных тест-образцов из слоистых волокнистых композитов в условиях трёхточечного изгиба. Разработан численный метод решения сформулированной задачи на базе метода конечных сумм в варианте интегрирующих матриц. Показано, что разрушение композитных тест-образцов в условиях трёхточечного изгиба происходит по причине реализации неклассической сдвиговой формы потери устойчивости.
Ключевые слова: слоистый волокнистый композит, тест-образец, задача трёхто-чечного изгиба, численный метод конечных сумм, моделирование испытаний, сдвиговая форма потери устойчивости
Введение
В цикле ранее выполненных работ ( [1, 2] и др.) было показано, что при малых деформациях использование соотношений классической геометрически нелинейной теории упругости, составленных в квадратичном приближении и считающихся во всей научной и учебной литературе абсолютно корректными, при некоторых видах нагружения приводит к появлению «ложных» бифуркационных решений. Для случая малых деформаций был построен непротиворечивый вариант, а также рассмотрены простейшие примеры его применения, связанные с редукцией двумерной нелинейной задачи деформирования полосы в виде стержня к одномерным уравнениям и последующим их использованием для выявления возможных форм потери устойчивости (ФПУ) при характерных видах нагружения. Из полученных результатов абсолютно новыми оказались результаты, связанные с исследованием ФПУ стержня при его равномерном сжатии в поперечном направлении и при чистом сдвиге [2]. Эти исследования были продолжены в работах [3-6] и др., в которых построены непротиворечивые уравнения теории тонких оболочек при малых деформациях и произвольных перемещениях, на их основе выявлены все возможные ФПУ цилиндрической оболочки при кручении; для прямолинейных и криволинейных стержней построены уточненные уравнения геометрически нелинейной теории при конечных перемещениях и линеаризованные уравнения теории упругой
Рис. 1. Координатная система и схема нагружения тест-образца
устойчивости общего вида, на их основе проведены исследования всех возможных классических и неклассических ФПУ стержней при разных видах нагружения.
Настоящая статья посвящена постановке и численному решению задачи, связанной с испытанием на трёхточечный изгиб коротких и удлиненных тест-образцов из слоистых волокнистых композитов, имеющих прямоугольное поперечное сечение. Такие испытания регламентированы и другими существующими в настоящее время стандартами испытаний композитов [7-12]. Они проводятся с целью определения пределов прочности и модулей упругости первого рода при изгибе удлиненных тест-образцов, а также модулей поперечных сдвигов и пределов прочности на сдвиг при изгибе коротких тест-образцов. Результаты этих испытаний для углепластика, изготовленного из углеленты HS 180 REM с прямолинейными волокнами, были приведены в статье [13]. Ниже будет показано, что разрушение таких композитов при их испытаниях на трёхточечный изгиб происходит не по причине достижения напряжений сжатия предела прочности на сжатие (для удлиненных тест-образцов) и поперечных касательных напряжений пределов прочности на сдвиг (для коротких тест-образцов), а по причине реализации неклассической почти сдвиговой ФПУ тест-образцов в условиях поперечного изгиба. Качественно такие ФПУ в упрощенной постановке ранее были изучены в работах [2, 4].
1. Постановка задачи
Рассмотрим тест-образец прямоугольного поперечного сечения из однонаправленного волокнистого композита, который, опираясь на концевые цилиндрические опоры, подвергается трёхточечному изгибу путём нагружения через жесткий штамп цилиндрической формы в середине образца (рис. 1).
При таком нагружении и закреплении образца, как показывают эксперименты (результаты будут приведены ниже), для длинных образцов при их плоском поперечном изгибе между приложенной силой P и прогибом образца линейная зависимость сохраняется практически вплоть до начала процесса его разрушения, а для коротких образцов такая зависимость является нелинейной. С целью уточненного описания процесса деформирования образца, следуя полученным ранее результатам [5], для вектора перемещений U произвольной точки M(x,y,z) примем представление по модели Тимошенко
U = Uei + We2 = (u + z-ф) ei + (w + zy) ез, -H/2 < z < H/2, (1)
где u, w - перемещения точек осевой линии в направлении осей x, z; ф - угол поворота поперечного сечения x = const вокруг оси y; y - функция поперечного обжатия в направлении оси z .
Для определения деформаций удлинений щ, пз и поперечного сдвига ni3 будем использовать кинематические соотношения
ni = U,x + W%/2, П2 = W,z + W2J2, П13 = W,x (1 + W,z) + U,z (1 + U,x), (2)
которые составлены [1, 2] для случая малых деформаций и конечных перемещений в полном квадратичном приближении, и их использование не приводит к появлению «ложных» бифуркационных решений задач.
В соответствии с (1) и (2) указанные компоненты деформаций в дальнейшем будем определять одномерными соотношениями, составленными в приближении
П1 = £i + z«1, пз = У + Ф2/ 2, П13 = 713 + (3)
где
2
w2x
£i = u,x + , 713 = w,x (1 + у) + Ф (1+ u,x), (4)
®1 = Ф,x + w,x¥,x, «13 = (1 + у) y,x + ФФ ,x-
Напряжения, действующие на площадках x = const в деформированном состоянии образца, обозначим через <711,033, <713 и введем в рассмотрение приведенные к срединной плоскости z = 0 усилия и моменты, вычисляемые по формулам
н/2 н/2 н/2
Qx=B!711 dz Qz=B J 713 dz Tz=B!733 dz
-H/2 -H/2 -H/2
(5)
H/2 H/2
My = B J 711zdz, Sxz = B j713zdz.
-H/2 -H/2
Тогда, используя соотношения (3) и учитывая формулы (5), для вариации потенциальной энергии деформации рассматриваемого тела можно получить выражение
5П= / +Я 5713+Т 5£3+М 5Ж1+Б~ 5Ж13) (6)
о
В силу соотношений (4) выражение (6) преобразуется к виду ь
5П= ! ^*х5п,х + Я>л,х + М*5ф,х + Б*хг5<р,х + К5ф + Т*5<р) Сх, (7)
о
где
Я*х = Ях + ЯгФ, Я* = Яг (1 + Ф) + Ях™,х + Му
М*у = Му + Бхгф, N1 = Яг (1+ и,х)+ Тгф + Бхгф,х, (8)
Б*г = Бхг (1 + Ф) + Му 'Ш,х, Т* = Тг + Яг™,х + Бхг Р,х ■
В рамках принятой степени точности описания полей перемещений, деформаций и напряжений, формирующихся при нагружении образца, действующую на него нагрузку будем считать заданной в виде
Х+ (х) = -Bp0f (х), (Ь/2 - с/2) < х < (Ь/2 + с/2), (9)
где c - длина зоны контакта нагружающего жесткого штампа с образцом, которую будем считать заданной, а функцию распределения контактных усилий примем в виде
„ / ч п (х — Ь/2)
/ (х) = еоэ —--'-!- ■ (10)
Рис. 2. Схема приложения внешней нагрузки
В дальнейшем будем считать, что при x = 0, x = L на функцию w наложены кинематические связи
w(0) = w(L) = 0. (11)
В силу принятых предположений можно считать, что на отрезках 0 < x < с/2, L — с/2 < x < L к образцу приложены погонные усилия (реакции опор, рис. 2), заданные в виде
*з"(1) = ^Т fi (x), 0 < x < с/2,
^з"(2) = Bp0f2 (x), L — c/2 < x < L, (12)
fi (x) = coSc^x, f2 (x) = cos п (L — x).
Вариация работы внешних сил (9), (12) на возможных перемещениях S (w ± н У ) будет равна
L
SA = J (X3Sw + t3Sy) dx, (13)
где
н
Хз = Хз+, ¿3 = 2Хз+ при (Ь/2 - с/2) < х < (Ь/2 + с/2), н
Хз = Х"(1), ¿з = - у Х"(1) при 0 < х < с/2, (14)
н
Хз = Х3"(2), ¿з = -—Х(2) при Ь - с/2 < х < Ь.
После подстановки выражений (7), (13) в вариационное уравнение 8П - 8 А = 0 и его стандартных преобразований приходим к системе четырех дифференциальных уравнений равновесия
ЯХ,х =0, я:,х + Хз = 0, Ы1Х - N = 0, ^ - т: + ¿з = 0, (15)
для которых при х = 0, х = Ь в дополнение к кинематическим граничным условиям (11) приходим к статическим граничным условиям
ях = 0, м: = 0, ^ = 0. (16)
Возможны и другие варианты постановки задачи, практически эквивалентные сформулированной. В частности, при х = 0, х = Ь решения уравнений (15) вместо (11) можно подчинить кинематическим граничным условиям
ю (0) - Н V (0) = 0, ю (Ь) - Н V (Ь) = 0. (17)
При этом, как нетрудно показать, в сечениях х = 0, х = Ь вместо (15) на отрезках 0 ^ х ^ с/2, Ь - с/2 ^ х ^ Ь принимаются условия Хз = 0, ¿з = 0.
В дальнейшем будем считать, что параметром нагружения является сила Р, через которую входящая в (9), (12) величина ро будет находиться по формуле
пР
ро = 2В (18)
Тогда вместо описанных выше постановок задач необходима другая, когда в сечении х = Ь/2 формулируются условия симметрии, а распределенная нагрузка Хз заменяется сосредоточенной:
«(Ь) - - (Ь) =0. я: (Ь) = Р■ * . (Ь) =0. (19)
2. Соотношения упругости
Испытания специальных тест-образцов из рассматриваемого композита, изготовленных в соответствии с существующими стандартами, показывают, что напряжения ац и <гзз с соответствующими деформациями ni и пз вплоть до разрушения допустимо связать соотношениями обобщенного закона Гука
а11 = El (n i + ^зЩз) > азз = E3 (Пз + viзП i), (20)
E{ = Ei/(1 - v 13V3 1), E3 = Ез/(1 - vi3V3 1),
где Ei, E3, v 1 3, V3 1 = E3V1 3/E1 - найденные в [13] значения соответствующих модулей упругости первого рода и коэффициенты Пуассона.
Для установления вида физической зависимости а 13 = а1з(п1з) в предположении о том, что она для рассматриваемого композита практически совпадает с зависимостью ai2 = ai2(ni2), были проведены специальные эксперименты на растяжение прямоугольных перекрестно армированных образцов с углами укладки волокон а = ±45° по отношению к направлению растяжения x. Образцы изготовлены из шести слоёв углеленты HS 180 REM, осреднённая толщина образцов h = 1.15 мм, ширина b = 23.43 мм, рабочая часть l = 100 мм. Методика такого эксперимента описана, например, в ASTM D3518/3518M-94 [9].
С целью вычисления модуля упругости Ex пакета симметрично уложенных композитных слоёв воспользуемся известной формулой [14]:
Ex = D11 - D22/D22, (21)
в которой Dii, D12, D22 - элементы матрицы жесткости D пакета слоёв. Матрица D определяется выражением n
D = ¿ HT DsHfc hk/h.
k=i
Здесь hk - толщина слоя к; Hk - матрица, зависящая от углов укладки ак данного слоя; Ds - матрица жесткости в осях ортотропии слоя:
(cos2 фк sin2 фk 0.5sin2yk sin2 yk cos2 yk — 0.5sin2yk — sin 2yk sin 2yk cos 2yk
Рис. 3. Диаграммы растяжения тест-образцов ±45°
вя =
( £1/(1 - ^12^21) ^21^1/(1 - ^12^21)
^12^2/(1 - ^12^21) £2/(1 - ^12^21) \ 0 0
0 0
С12 ,
При углах укладки а¡. = ±45° элементы В11, 012, В22 матрицы О имеют вид
В
11
В
22
а + С
12,
В
12
аС
12,
где
а = (£1 + £2 + 2^12^2)/4(1 - ^12^21). В этом случае выражение (21) для Ех имеет вид
Ех = 4аС12/(а + С^).
Отсюда следует формула для вычисления модуля сдвига композитного слоя
С12 = аЕх/(4а - Ех).
(22)
(23)
(24)
(25)
Модули упругости Е1, Е2 и коэффициент Пуассона Vl2 предполагаются определёнными из экспериментов на растяжение монослоя в направлениях 0° и 90°, для рассматриваемого композита их значения приведены в [13].
Эксперименты на растяжение проводились на электромеханической универсальной испытательной машине. Полученные в результате эксперимента диаграммы ах = /(цх) оказались существенно нелинейными и негладкими. Такие машинные диаграммы ах = /(г/х), которые аппроксимированы сглаживающими кубическими сплайнами и осреднены с помощью среднего арифметического значения, представлены на рис. 3. На нём тонкими линиями обозначены диаграммы для каждого из образцов, жирной линией - осреднённая диаграмма. Численным дифференцированием осреднённой диаграммы ах = /(цх) определён касательный модуль упругости Ех, а также построена зависимость Ех = Ех(пх).
При растяжении с напряжением ах в направлении оси х тест-образцов, у которых волокна расположены вдоль осей 1 и 2 под углами ±45° , деформации ех и еу = -ихуех, замеряемые в процессе нагружения, формируются главным образом
Рис. 4. Геометрическая картина деформации
У12
Рис. 5. Диаграмма 012 = 012(у12) (сплошная линия - зависимость 012 = дг12/д^12; штрихпунктирная линия - зависимость (25); штрихпунктирная линия с жирной точкой -квадратичная аппроксимация)
за счёт сдвиговой деформации 712, для определения которой (см. рис. 4) имеет место равенство
^=* (П - ¥)• (26)
7 7 7
Из (26) при малых 712 с точностью cos- ~ 1, sin- ^ - следует зависимость
между 712 и ex следующего вида:
7 (27)
712 2+ ^ (1 - Vxy) 1 J
где vxy - коэффициент Пуассона, зависящий от деформации ex. C использованием затем соотношений (25), (27) и экспериментальной зависимости vxy = vxy(ex) построена диаграмма G12 = G12(n12), изображенная на рис. 5 штрихпунктирной линией.
Видно, что на начальном этапе нагружения при п12 = 0 касательный модуль сдвига G12 = 4200 МПа. Затем на участке до п12 = 0.017 он резко убывает и достигает практически нулевого значения (G12 = 47 МПа) при п12 = 0.044. После
этого происходит рост С12 почти по линейному закону до значения С12 = 288 МПа. Далее происходит разрушение образца.
Следует отметить, что диаграмма С12 = Сц(пи) может быть получена также и непосредственно из диаграммы ах = /(цх) (рис. 3), если её перестроить в осях <712 и 712, проведя замену переменных, определённую равенствами <12 = ах/2 и (27). Последующее численное дифференцирование функции, задающей такую диаграмму в соответствии с равенством С12 = да 12 / дцц приводит к плоской диаграмме С12 = Сц(пи), график которой изображён на рис. 5 сплошной линией, которая практически совпадает с диаграммой, график которой показан штрихпунктирной линией.
Для модулей поперечных сдвигов С13 и С12, определённых в работе [13] согласно с существующим стандартам [7-10], были найдены значения С13 = = 1310 МПа и С12 = 1120 МПа, которые находятся в диапазоне С12 = 4100 МПа и С12 = 47 МПа. Такое большое различие найденных значений свидетельствует об отмеченной в [13] некорректности методики их определения по существующим стандартам. Более того, полученная диаграмма С12 = Сц(пи) (рис. 5) косвенно указывает и на слабую связь между микроволокнами, имеющими диаметр Св ~ 5 - 8 мк, в то время как в исходном полуфабрикате (ровинге) средний диаметр пучка волокон составляет величину порядка Сп ~ 0.1 мм. Следствием такой слабой связи между микроволокнами, обусловленной слабой возможностью проникания (фильтрации) связующего в пучок волокон в процессе технологического процесса изготовления композита, по-видимому, и является отсутствие даже начального участка диаграммы С12 = Сц(пи) с постоянным значением С12 ~ 4200 МПа при малых значениях П12, хотя для отдельно взятого связующего в его затвердевшем состоянии (после полимеризации) при малых значениях сдвиговых деформаций соответствующий модуль сдвига Сс является величиной постоянной.
Введем на диаграмме С12 = Сц(пи) в рассмотрение точки (Со,0), (С*, 7*) и (Ср,7р), имеющие координаты С12 = Со, П12 = 0, С12 = С*, П12 = 7* и С12 = = Ср, П12 = 7р. Значение С* отвечает найденному в [13] предельному напряжению сжатия образца, численно равному осреднённому модулю поперечного сдвига композита при потере устойчивости образца по чисто сдвиговой форме (по этому значению С* на диаграмме определяется соответствующее значение сдвиговой деформации П12 = 7*), а значения Ср и 7Р являются экстремальными на диаграмме и соответствуют началу разрушения образца. Таким образом, для аналитического представления функции С12 = Сц(пи) допустимо использование аппроксимаци-онной формулы
С12 = Со + С(1)П12 + С(2)П22, (28)
в которой
С(1) = С*7р - Ср7* Со (7* + 7р) 7*7р (7р - 7*) 7*7р ,
(29)
С(2) = С*7Р - СР7* + Со 7*7р (7* - 7р) 7*7р
Построенная квадратичная аппроксимация (28) зависимости С12 = Сц(пи) также приведена на рис. 5 в виде линии с круглыми маркерами.
Поскольку С12 = д<12/8^12, в рамках аппроксимации (28) зависимость между касательным напряжением < 12 и сдвиговой деформацией 712 будет иметь вид
С(1) 2 С(2) 3 <12 = Со П12 + П12 + ^Г" П12.
Более упрощенной является аппроксимация диаграммы G12 = G12 (y) зависимостью
(Go — G*)
тип iiiii/i 11 \ тип \ "V.
(31)
G
G0
12
Y*
■ П12 при 0 < П12 < Y*
G* при П12 > Y*,
которой соответствует физическая зависимость
G0V12 — 0 СТ12 = ^ 27,
G*n12
(G0 — G*) 2
-п22 при 0 < П12 < Y*
(32)
при П12 > Y* ■
В предположении о справедливости равенств G12 = G13 из соотношений (3), (5), (32) получим зависимости
Qx = B1 (£1 + ^£3) , Tz = B3 (£3 + ^13£1) , My = D1&1,
B1 — BHE\, B3 — BHE3, D\
B1H2
(33)
Qz
HBGo1713 , HBGY13
Sxz -
1 -
(1 — G*/Go)
27*
+
(1 — G*/Go) H2
247*
при 713 < y*,
12
BH3G 12
-Ж13
1 (1 — G*/Go)
1--713
при 713 > y*, при 713 < y*,
при 713 > y*,
(34)
(35)
причём (34), (35) должны иметь место в силу практически точного выполнения условия 17131 ^ в задачах рассматриваемого класса.
При использовании зависимости (30) вместо (34) и (35) будут иметь место более точные соотношения вида
Qz = BH
G(V 2 H2 2 \ G(2) / 3 H2 2 Go713 + — ( 7Г3 + ^ж23 ) + — ( Y33 + -4-713«Í3
(36)
S =
xz
bh 3 12
Go®13 + G(1)713Ж13 + G(2)^13 ( 7^ + ^^
3. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия
Предположим, что при некотором значении силы Р найдено решение сформулированной задачи (в первом или во втором варианте), то есть найдены функции и0, ц0, ¿X, , М°, и Т°. Считая, что при таком значении силы Р
возможна бифуркация решения нелинейной задачи, и принимая для бесконечно малых приращений искомых неизвестных прежние обозначения, составим линеаризованные в окрестности найденного решения уравнения нейтрального равновесия
Q*x,x = 0, Q*x = 0, M*x — К = 0, sxz — T* = 0,
(37)
где в отличие от (8)
Q*x = Qx + Qo Ф, Q*z = Qz + Qo V + V Q z + QoxW,x + WxQx + MoVix + V°xMy,
m* = my + s0xz ф + vsxz,
2
BH3G
N = Qz + Q°zu,x + u0xQz + Т0Ф + Ф0Тг + sxz Ф^ + Ф,^, (38)
S^ = Sxz + S0z У + ySxz + My0w,x + w0xMy, т: = Tz + Q0 wx + w^xQ z + S0z y,x + yZxSxz, а величины £1, £3, «1, 713, «13, в отличие от (4), определяются по формулам
£1 = U,x + w0xw,x, £3 = У + Ф°Ф,
713 = w,x + w,x У + У^^ + Ф + Ф^ U,x + u0x Ф, «1 = Ф x + w°xy,x + y0x w, x, (39)
«13 = У , x + y0x У + У0У , x + +Ф0Ф , x + Ф %Ф-
Для составленной системы уравнений (37) в торцевых сечениях образца формулируются однородные граничные условия
Qx =0 при Su = 0, Q: =0 при Sw = 0,
z (40)
M: =0 при SФ = 0, S*xz = 0 при Sф = 0.
По принятому предположению функции и0,w°,. .. ,TZ, входящие в соотношения (38), (39), найдены путём решения уравнений (15) при сформулированных для них граничных условиях и параметре нагрузки, совпадающем с бифуркационным. Поэтому для входящих в зависимости (38) усилий Qx,Tz и моментов My должны быть использованы линеаризованные физические соотношения
Qx = B1 [u,x + wZxw,x + V31 (у + Ф0Ф)] ,
Tz = B3 [у + Ф0Ф + V13 Ux + w,xw,x)] , (41)
My = D1 (Фxx + wZx^x + уZxW,x) ,
совпадающие по виду с соотношениями (33), а для усилия Qz и момента Sxz -соотношения вида
Qz = HBG: (w,x + Ф + wZx^ + У°w x + Ф^и x + u0x^ ,
BR3Q (42)
Sxz = —(у ,x + у%у + у V ,x + Ф°Ф,x + Ф%-Ф) -
4. Численное решение сформулированных задач методом конечных сумм
Для матричной записи основных соотношений линеаризованной задачи введём в рассмотрение векторы неизвестных
{U} = ^,Ф,и,у)Т , U е»4-1, (43)
{dU} = ^',Ф',и',у')Т , dU е»4-1, (44)
{T} = (Qx, Tz,My, Qz,Sxz)т , T е»5 -1, (45)
{Q} = (qx,q:,m:,n:,s*z,t:)t, qе»6,1. (46)
Здесь и далее »m,n - m, n-мерное линейное пространство всех вещественных матриц размером m,n. Тогда физические соотношения (41) и обобщённые усилия и моменты (38) в матричной форме запишутся в виде
{Т} = ([А] + [А0]) {U} + ([B] + [Bz]) {dU} ,
{Q} = ([E] + [Ez]) {T} + [T°] {U} + [TU {dU} ,
где [А], [А0] , [В], [Б0] £ Ж5'4, [Е] , [Е0] £ Ж6'5, [Т°] , € Ж6'5 - матрицы
с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах векторов {и} , {¿и}, {Т}, {д} в выражениях (41), (38). Используя (47), линеаризованные уравнения нейтрального равновесия (37) представим в матричном виде
-------— ~ (48)
— ([¿Б] Ш + [Б] {д} = {0},
ах
где [¿Б] и [Б] € Ж4'6 - матрицы с функциональными коэффициентами, равными сомножителям при компонентах вектора д в уравнениях (37). После подстановки (43)-(47) в (48) и ряда преобразований равенство (48) перепишется в виде
а
¿х +
+ р[Др] + р2 [мр2]) {и} + ([¿д] + р[¿Др] + р2 [¿Мр2]) {¿и} + Р [Пр] + Р2 [Пр2]) {и} + (И] + Р [¿Пр] + р2 [¿Пр2]) {¿и}
+
= {0}, (49)
где
[Д] = - М, [Мр] = - Ы,
[¿М] = - [¿¡л], [¿р,р] = - [¿¡лр], [Др^ = - [^2] ,
[йДр2] = - [¿лр] , [¡л] = [¿Б] [Е] [А],
[¡р] = [¿Б] ([Е] [А0] + 6 [Е0] [А] + [Т0]), [¡р2] = [¿Б] [Е0] [А0] , [¿¡] = [¿Б] [Е] [В],
[¿¡р] = [¿Б] ([Е] [В0] + [Е0] [В] + [Т°и]), [¿¡р2] = [¿Б] [Е0] [В0] Ы = [Б] [Е] [А], [„р] = [Б] ([Е] [А0] + [Е0] [А] + [Т°]), [Пр2 ] = [Б] [Е0] [А0] , [¿п] = [Б[ [Е] [В], [¿Пр] = [Б] ([Е] [В0] + [Е0] [В] + [Т°и]) • Проинтегрируем (49) по х £ [х, Ьк], сводя его к равенству
(50)
{С} +
(М + Р [Др] + Р2 [Др2]) {и} + (Ж + Р [¿Др]+ Р2 [¿Др^) {Ли}
+
+
([п] + Р [пр] + Р2 Ы) {и} + ([¿п] + Р [¿Пр] + Р2 [¿Пр2]) {¿и}
¿х = {0} , (51)
где вектор {С} = (е^, г £ {1, 2, 3,4}), {С} £ Ж4'1, есть вектор неизвестных статических констант интегрирования. Этот вектор определяется соотношением
{С}
(м + р[¡¡р] + р2 [¡v2]) {и} + (ж + р[¿¡¡р] + р2 [¿др2]) {¿и}
• (52)
х=Ьк
В матричном уравнении (51) выполним замену по правилу
х
{и} = J {¿и} ¿х + {к},
(53)
где {к} = (кг = Ц4=0, г = {1,2,3,4}), {к} € Ж4 ^ - вектор с компонентами, равными неизвестным кинематическим константам интегрирования. С учётом (53) уравнение (51) перепишется в виде
{С} +
(И + р[¡р] + р2 у!{¿и}¿х + {к^ + + ([¿¡] + р [¿¡р] + р2 [¿Др^) {¿и}]
+ / ([п] + р Ы + р2 Ы) I / {¿и} ¿х + {к} 1 +
+ ([¿п] + р [¿Пр] + р2 [¿Пр2]) {¿и}]
¿х = {0} .
(54)
Для матричного представления граничных условий введём в рассмотрение вектор {Е} = (гг, г € {1, 2, 3, 4}), {Е} € Ж4 -1, по формуле
{Е} = [[М] {и} + [¿М] {¿и} + р ([Мр] {и} + [^р] {¿и}) +
+р2 ([^] {и} + [¿^2] {¿и})]. (55)
Обозначим матрицы, у которых отличными от нуля могут быть только диагональные компоненты /ЬЬК, г € {1, 2, 3,4} через 1о, /к . Значения диагональных элементов этих матриц определяются видом граничных условий: если перемещение или угол поворота на торце х = 0 или х = Ьк зафиксированы, то значение соответствующего элемента , /ЬЬК, г € {1, 2, 3, 4} равно нулю, в противном случае оно равно единице. Единичную матрицу обозначим через [Е] € Ж4 '4. С учётом введённых обозначений граничные условия можно представить в комбинированной матричной форме
([Е] - [/о]) {к} + [1о] {Е}\х=о = 0,
(56)
([Е] - [/к]) {и}\х=Ьк + [/к] {С} = 0,
Ьк
где учено, что {и}Х=о = {к} , {Е}^ = {С} , {и}\х=Ьк =| {¿и}&х + {к}.
о
Численное решение уравнений (54), (56) методом механических квадратур требует замены входящих в них интегральных операторов конечномерными с использованием тех или иных квадратурных формул относительно дискретных узловых значений искомых неизвестных. Такой метод в литературе получил название метода интегрирующих матриц. Один из его вариантов предложен в [15]. В соответствии с этим методом на отрезке [0, Ьк] построим сетку ш = {х1 =0 < х2 < хз ■ ■ ■ < < хп-1 < хп = Ьк} и введём в рассмотрение множество А = {1, 2,..., 4п}, необходимое для нумерации компонент соответствующих матриц. В качестве неизвестных дискретизированной задачи будем рассматривать вектор {¿ип}, {¿ип} € А, состоящий из искомых неизвестных в узлах сетки. Тогда столбец компонент вектора перемещений и углов поворота, производные которых образуют вектор неизвестных, обозначим как {ип}, {ип} € А.
х
Введём матричные аналоги интегральных операторов
[1п] = (ли, з, к е А), [1*п] = (з*к, з, к е А), [1п], [1*п] е ЖА-А
(57)
Эти матрицы являются блочно-диагональными матрицами, им соответствуют интегрирующие матрицы [I], [I*] е Жп'п в качестве блоков. Интегрирующие матрицы являются аналогами интегральных операторов
X Ьк
!(■■■) ¿х ^ [I], У (•••) ¿х = [I*].
С учётом введённых величин зависимость (53) примет вид Ш = [!п] {¿ип} +[Еп] {к},
(58)
(59)
где [Еп] е ЖА '4 - четырехблочно-диагональная матрица с ненулевыми единичными столбцами в качестве блоков. Систему уравнений нейтрального равновесия (37), матричная форма которой определяется равенством (54), после замены соответствующих интегральных операторов их матричными аналогами, некоторых преобразований и приведения подобных слагаемых запишем в дискретном матричном виде
[[№] {¿и} + [У] {к} + [Еп] {С}] + р[[№р] {¿и} + [Ур] {к}] +
+ ] {¿и} + р>] {к}] = {0} , (60)
где
(61)
[№ = [Д] [!п] + [¿Д] + [п [п] [In] + Щ] [¿п], [У] = [Д] [Еп] + Ю [п] [Еп],
№] = [Др] [In] + [¿Др] + [In] [пр] [In] + га [¿пр], [Ур] = [Др] [Еп] + га [пр] [Еп],
[Яр2] = ы [In] + [¿ Др^ + га [щА [In] + га [¿щА,
[Ур2 ] = [Др2 ] [Еп] + [In] [пр2 ] [Еп] . Для дискретизации граничных условий введём в рассмотрение матрицы
[Е1п] е Ж4'А с ненулевыми элементами е^ = еЩ1+1 = ••• = е3п+1 = 1, четырехблочно-диагональную матрицу [Iln] е Ж4 'А, у которой компонентами блоков-строк являются коэффициенты квадратуры Гаусса на [0, Ьк]. Тогда граничные условия (56) в дискретной матричной форме определяются соотношениями
[[Д] {к} + [Ь] {¿и}] + р[[Др] {к} + [Ьр] {¿и}] +
+ р2 [[Др2] {к} + [Ьр2] {¿и}] = {0} при X = 0; (62)
где
[[М] {¿и} + [Ж] {к} + [5] {С}] = {0} при х = Ьк,
[Д] = [Е] - [/с] + [1о] [ио], [Ь] = [1о] [¿ио] [Е1п], [Др] = [/о] [Мор], [Ьр] = [/о] [¿Иор] [Е1п], [Др2] = [/о] [Мор2] , [Ьр2] = [/о] [¿Иор2] [Е1п], [М] = ([Е] - [/К]) [Iln], [Ж] = [Е] - [/К], [5] = [/К]
В (63) компоненты матриц [ц0], [¿ц0], [¡0р], [¿М0р], [¡0р^ , 0р^ £ Ж4'4 равны значениям функциональных коэффициентов представления (49) в узле х = 0. Объединив (60) и (62) в одну матричную систему, получим
([А] + Р [В] + р2 [С]) {X} = {0} , (64)
где
' Z Y En Zp Yp 0
[4 = L R 0 [B] = Lp Rp 0
M N S 0 0 0
Zp2 Yp2 0 'dU
[C ] = Lp2 Rp2 0 , } = k
0 0 0 C
Если в соотношениях (38), (41) отбросить деформационные параметрические слагаемые, то матричная система (64) примет вид
([А] + Р [В]) {X} = {0} • (65)
Решение матричной системы (64) находится итерационным способом:
([А] + р{к) [ [В] + р(к_1) [С] ]) {X} = {0} , (66)
где к - номер итерации. В первом приближении (к = 1) матричная система (64) примет вид
([А] + Р(1) [В]) {X} = {0} , (67)
и её найденное собственное значение р(1) подставляется в (66). Итерации выполняются до тех пор, пока погрешность Д= |(р(к) - Р(к-1))/Р(к)\ не станет меньше заданной точности.
5. Численное исследование возможных ФПУ тест-образцов при трёхточечном изгибе
Программная реализация в среде MatLab разработанного численного метода решения сформулированной задачи позволила исследовать устойчивость равновесия тест-образцов в условиях как осевого сжатия напряжением ац = —p , так и трёхто-чечного изгиба усилием P. При этом решение задачи о начальном (докритическом) НДС образца ищется в линейной постановке, предполагающей выполнение равенства G13 = G12 = G* в процессе нагружения образца вплоть до его разрушения из-за потери устойчивости.
При осевом сжатии образца проведено исследование устойчивости его равновесия для двух вариантов формулировки граничных условий в сечениях x = 0 и x = L - шарнирного опирания, предполагающего выполнение условия M0 = = 0 , и защемления, предполагающего отсутствие поворотов торцевых сечений в процессе нагружения (то есть при ф = 0). Расчёты выполнены для тест-образцов, имеющих, как и при проведении натурных экспериментов, квадратное поперечное сечение (B = H = 9 мм) при варьировании длины образца L в пределах 15 до 100 мм. Для этих тест-образцов, выполненных из однонаправленного волокнистого композита с использованием углеленты HS 180 REM в соответствии с полученными экспериментальными данными и описанными в статье [13], приняты следующие значения упругих характеристик: E1 = 131000 МПа, E1 = E2 = 5900 МПа, v12 = = V13 = 0.29, G12 = G13 = 459 МПа. При этом, как было установлено в работе [13], значение G13 = 459 МПа равно критическому напряжению осевого сжатия -
Рис. 6. Зависимости критической сжимающей нагрузки от длины тест-образца для жёсткого защемления (сплошная линия) и шарнирного опирания (штриховая линия)
а0 ! = а*! = 459 МПа, при достижении которого происходит разрушение образца по чисто сдвиговой форме.
На рис. 6 представлены полученные теоретические зависимости а * 1 от длины образца Ь для отмеченных выше двух вариантов формулировки граничных условий в сечениях х = 0 и х = Ь. Как и следовало ожидать, в случае шарнирного опирания торцевых сечений критическое напряжение меньше критического напряжения, соответствующего условиям ф (0) = 0, ф (Ь) = 0. Важно отметить, что при малых значениях Ь в обоих случаях форма потери устойчивости близка к чисто сдвиговой (ф = 0, и « т « « 0), а по мере увеличения Ь она переходит к изгибно-сдвиговой форме. Найденное в случае защемления торцевых сечений теоретическое значение а * 1 « О 1 з « 459 МПа практически точно совпадает с экспериментальным значением.
При проведении численного моделирования испытания тест-образцов на трёх-точечный изгиб их длина Ь , как и при проведении физических экспериментов, принята равной 170 мм для длинных образцов и 50 мм для коротких. Высота Н и ширина В поперечного сечения образцов, как и при сжатии, приняты равными 9 мм. В сечении х = 0 приняты граничные условия шарнирного опирания (16), дополненные условиями (11), а в сечении х = Ь/2 - граничные условия симметрии вида (19).
При действии в сечении х = Ь/2 сосредоточенной нагрузки QZ = —Р/2 в тест-образце формируется докритическое НДС, характеризующееся основными не нулевыми параметрами ф0, М0, , практически полностью совпадающими с решениями, соответствующими классической и уточненной теориям изгиба балок. Установлено, что при формировании такого докритического НДС в тест-образцах (как длинных, так и коротких) реализуется неклассическая чисто сдвиговая ФПУ, характеризующаяся ненулевым значением функции угла поворота поперечного сечения (ф = 0, т = 0, и = 0, = 0) .С целью иллюстрации на рис. 7 приведён график функции ф для длинных образцов. Видно, что она постоянна на всей длине образца за исключением зоны краевого эффекта, распространяющегося на участке 82 мм ^ х ^ Ь/2. Следует отметить, что используемый численный метод позволяет весьма точно описать решения полученного вида, имеющие большие градиенты изменения на весьма коротких участках. Так, например, для описания функции ф на указанном интервале производится значительное сгущение сетки: интервал 0 мм ^ х ^ 82 мм разбит на 80 сечений, в то время как интервал 82 мм ^ х ^ Ь/2 - на 90 сечений. Остальные функции в возмущённом состоянии не приводятся, так как имеют нулевое значение, не приводится также график функции для коротких образцов, имеющий такой же вид, что и на рис. 7.
°г -0.2 --0.4 --0.6 --0.8 -
Рис. 7. Сдвиговая форма потери устойчивости тест-образца
Рис. 8. Предельная поверхность при сжатии с изгибом
Критическая нагрузка РД , соответствующая реализации сдвиговой ФПУ длинных образцов и найденная с помощью решения задачи при условиях симметрии (19) в сечении х = Ь/2 и условиях (16), (11) в сечении х = 0 , оказалась равной РД = 2172 Н. При такой нагрузке в точках граничной плоскости г = Н/2 формируются сжимающие напряжения, изменяющиеся вдоль оси х по линейному закону от нуля в сечении х = 0 до а*(д) = 795 МПа в сечении х = Ь/2, а кри-
*(д)
тические значения касательных напряжений апостоянны по координате х и равны а*3д) = 14 МПа. Для коротких образцов критическая нагрузка оказалась равной Р* = 7287 Н, а указанные выше сжимающие нормальные и касательные напряжения соответственно равны а*(к) = 796 МПа и а*3к) = 48 МПа.
Таким образом, исходя из анализа полученных результатов, следует сформулировать вывод о том, что в рамках принятой степени точности сформулированной задачи потеря устойчивости образца при его трёхточечном изгибе почти по чисто сдвиговой форме происходит при достижении практически одного и того же максимального критического значения напряжения а * , не зависящего от длины образца Ь.
На рис. 8 представлены результаты решения задачи о потере устойчивости образца с шарнирно опертыми краями х = 0, х = Ь при одновременном осевом сжатии напряжением а0 - = —аСЖ и изгибающей нагрузкой Р, формирующей в се-
г /о *(и)
чении х = Ь/2 максимальное напряжение сжатия а .
На рис. 8 значение а*(и) = 795 МПа является критическим, соответствующим потере устойчивости образца при его поперечном изгибе, а напряжение аСЖ ~ 406 МПа - критическим напряжением, соответствующим чистому осевому
сжатию (для образца с L = 50 мм). Приведенная на рис. 8 кривая является гранцей, разделяющей области устойчивых состояний равновесия (область У) и неустойчивых состояний (область Н).
Важно отметить, что при рассмотренном комбинированном виде нагружения образца в интервале 125 МПа ^ а*(и) ^ 795 МПа суммарное напряжение afi = = аif + а 11 ~ 800 МПа остается неизменным и его следует считать критическим напряжением, при достижении которого происходит разрушение образца по причине потери устойчивости структуры композита почти по сдвиговой форме.
Решения рассматриваемой задачи устойчивости при трёхточечном изгибе образца получены также в случае действия на участке c =2 мм распределённой нагрузки (10) при удовлетворении граничным условиям (13). Результаты решения задачи в такой постановке практически не отличаются от результатов, описанных выше: минимальной критической нагрузке P* = 2145 H для длинных образцов соответствует также почти чистая сдвиговая ФПУ, а для коротких образцов при реализации той же ФПУ критическая нагрузка равна PK* = 7368 H.
6. Результаты испытаний тест-образцов на трёхточечный изгиб и их анализ
Для проведения испытаний на трёхточечный изгиб были изготовлены тест-образцы из углеленты HS 180 REM, размеры поперечного сечения которых, как и при проведении численных экспериментов, в среднем были равны H = B = 9 . Длинные и короткие образцы были изготовлены соответственно длиной 60 и 200 мм.
Испытания проводились на электромеханической универсальной испытательной машине. Применялось стандартное приспособление для проведения испытаний на трёхточечный изгиб, конструкция которого позволяет регулировать расстояние L между опорными роликами: оно устанавливалось L = 170 мм для длинных образцов и L = 50 мм для коротких. Схема такого приспособления так же, как и методика испытаний, приведены в существующих стандартах испытаний на трёх-точечный изгиб (например, в ASTM D790-03 2005 [10], ГОСТ 32659-2014 [12], РД 50-675-88 [8], ОСТ 1 90199-75 [7], ASTM 2344/D2344M-00 2005 [11]). В приспособлении были установлены опорные и нагружающий ролики диаметром 10 мм . Изгибающая нагрузка к образцу прикладывалась посредством перемещения траверсы машины с постоянной скоростью 2 мм/мин (кинематическое нагружение), при этом одновременно происходила запись данных с канала датчика нагрузки и положения траверсы машины.
Структура тест-образцов является многослойной: монослои углеленты расположены в плоскости xOy (см. рис. 1). Поэтому на трёхточечный изгиб были испытаны образцы в двух плоскостях - xOz и xOy. На рис. 9 и 10 приведены диаграммы «изгибающая нагрузка - прогиб» для длинных образцов, изгибающая нагрузка для которых прикладывалась соответственно в плоскостях xOz (1-3) и xOy (1-2).
Видно, что на диаграммах испытаний в обеих плоскостях имеются характерные линейные участки, заканчивающиеся локальными максимальными значениями P*, после прохождения которых наблюдается падение величины изгибающей нагрузки. На нелинейных участках диаграмм происходит увеличение нагрузки до максимальных величин P** , при достижении которых происходит разрушение образца расслоением по сечениям z = 0, начинающимся с торцевых сечений. Точки, соответствующие обеим нагрузкам, отмечены на диаграммах маркерами. В приведённых ниже таблицах приняты следующие обозначения: w** - прогиб, соответствующий максимальной нагрузке в сечении L/2; а * i (д),а щд) - максимальные нормальные напряжения сжатия в сечении L/2 соответственно при нагрузках P* и P**, вычисленные по формуле классической теории поперечного изгиба балок;
012345678 Прогиб (тт)
Рис. 9. Диаграммы изгиба длинных тест-образцов в плоскости хОу
012345678 Прогиб (тт)
Рис. 10. Диаграммы изгиба длинных тест-образцов в плоскости хОг
а*3(д), а*3(д), а*2(д), а**(*) - касательные напряжения в сечении Ь/2 соответственно при нагрузках Р* и Р**, вычисленные по формуле Журавского.
Из анализа результатов, приведённых в табл. 1 и 2, видно, что критические нагрузки Рд*, Рд** , полученные при испытании длинных образцов в двух разных плоскостях, а также соответствующие им нормальные и касательные напряжения отличаются друг от друга не более чем на 6-10%. Сравнивая же экспериментальные результаты с результатами численного моделирования (Р* = 2172 Н, а *-(д) = = 795 МПа, а*з(д) = 14 МПа), можно убедиться в том, что они отличаются друг от друга не более чем на 3%. Следует отметить, что из двух полученных экспериментальных значений Р* и Р** критической следует считать нагрузку Р*, так как при достижении этого значения, по-видимому, и происходит потеря устойчивости тест-образца по сдвиговой форме, а последующее увеличение изгибающего
Табл. 1
Результаты экспериментов на изгиб длинных тест-образцов в плоскости хОг
№ рд, рд К. ^ а11(д)> а11 (д)' ° 1 3(д), а11 (д)'
кН кН мм МПа МПа МПа МПа
1 2.328 2.507 4.805 770.66 830.04 20.65 22.24
2 2.489 2.550 4.349 807.31 827.17 21.68 22.21
3 2.247 2.370 4.060 747.47 788.61 19.85 20.94
4 2.477 2.568 5.027 827.52 857.68 22.05 22.86
5 2.358 2.471 4.762 787.59 825.50 20.99 21.99
6 2.239 2.401 4.699 761.79 816.98 20.24 21.70
Среднее 2.356 2.478 4.417 783.72 824.33 20.91 21.99
Табл. 2
Результаты экспериментов на изгиб длинных тест-образцов в плоскости хОу
№ рд, РД К ^ а11(д), а11 (д)' ° 1 2(д), а11 (д),
кН кН мм МПа МПа МПа МПа
1 2.203 2.401 5.844 739.83 806.29 20.00 21.80
2 2.078 2.440 5.591 679.95 798.21 18.56 21.79
3 2.177 2.345 5.809 723.89 779.98 19.61 21.12
4 2.145 2.258 4.934 749.60 788.80 19.88 20.93
5 1.938 2.200 5.886 732.96 832.05 18.63 21.15
Среднее 2.108 2.329 5.613 725.25 801.07 19.34 21.36
Табл. 3
Результаты экспериментов на изгиб коротких тест-образцов в плоскости хОг
№ рк, Р1 *, К *, °11(к), 1 (к) , °1з(к), 3(к),
кН кН мм МПа МПа МПа МПа
1 3.374 7.040 0.092 338.40 706.13 30.63 63.90
2 3.334 7.281 1.496 324.12 707.89 29.27 63.93
3 3.174 6.793 1.406 327.64 701.20 29.59 63.32
4 3.604 7.228 1.542 361.97 725.84 32.57 65.33
5 3.447 7.301 1.441 345.80 732.34 31.19 66.06
6 3.345 7.303 1.582 338.11 738.16 30.67 66.95
Среднее 3.380 7.158 1.260 339.34 718.59 30.65 64.91
усилия связано же с нелинейным процессом окончательного разрушения образца. Критическое значение касательного напряжения а*э(д) = 14 МПа, найденное в результате численного моделирования трёхточечного изгиба, является осреднённым по высоте образца касательным напряжением. При аппроксимации закона распределения а 1 з по г квадратичной параболой найденное осреднённое значение следует умножить на 1.5. Определяемое таким образом значение касательных напряжений практически совпадает с экспериментальным значением а*з(д) = 20.91 МПа.
Проанализируем далее результаты испытаний на трёхточечный изгиб коротких тест-образцов (Ь = 50 мм). Диаграммы их нагружения в плоскостях хОг и хОу приведены на рис. 11 и 12. Они, в отличие от диаграмм нагружения для длинных образцов, характеризуются отсутствием локальной максимальной нагрузки и наличием лишь коротких участков линейной зависимости между и замеряемым прогибом.
Результаты проведенных испытаний коротких образцов сведены в табл. 3 и 4, в которых величины с верхним индексом «*» соответствуют окончанию линейных участков на диаграммах нагружения.
Рис. 11. Диаграммы изгиба коротких тест-образцов в плоскости xOy
o-l—I—I—I—I—I—I—1—1—I—I—I—I—1—1—I—I—I—I—1—1—I—I—I—I—I—I—I—I
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
Прогиб (mm)
Рис. 12. Диаграммы изгиба коротких тест-образцов в плоскости xOz
Проведенный анализ полученных результатов показывает, что критическая нагрузка, найденная при численном моделировании (P* = 7287 H, а * i (к) = 796 МПа, а*з(к) = 48 МПа), совпадает с нагрузкой P**, найденной путём испытаний в плоскости xOz, с точностью 2%. Соответствующие им значения нормальных и касательных напряжений также характеризуются хорошим совпадением со значениями, найденными численным методом на основе предложенной теоретической модели.
Отметим, что все приведенные выше результаты численного моделирования были получены при сохранении в линеаризованных уравнениях возмущенного равновесия всех введенных в рассмотрение параметрических слагаемых. Однако не все они одинаково влияют на реализующуюся ФПУ образца при изгибе. В частности, в этих уравнениях без потери точности и содержательности могут быть
Табл. 4
Результаты экспериментов на изгиб коротких тест-образцов в плоскости хОу
№ Р*, Р**, а*1(к)> а* 1 (*), а * 2(к), 2 (к) ,
кН кН мм МПа МПа МПа МПа
1 4.059 5.040 1.143 566.73 703.82 43.47 53.98
2 2.545 5.757 1.332 306.88 694.12 25.47 57.61
3 2.634 5.785 1.132 285.68 627.45 25.06 55.03
4 3.235 5.159 1.089 383.81 611.99 32.24 51.41
5 2.558 5.562 1.130 267.34 581.27 23.79 51.73
6 3.297 5.545 1.206 348.89 586.70 30.84 51.87
Среднее 3.055 5.475 1.172 359.89 634.22 30.14 53.61
Табл. 5
Значения критического усилия Р*
ЯХ = 0 Я* = 0 М0 = 0 = о
Р* н Р2, н 2141.76 7287.22 2141.48 7284.03 17584.51 236044.70 2141.77 7287.22
отброшены «деформационные» параметрические слагаемые, имеющие сомножители , и0, ф°, ф0 . Из «силовых» факторов главными параметрическими в уравнениях являются слагаемые, содержащие сомножитель Ы^ . Данный вывод следует из приведённых в табл. 5 значений критического усилия Р* , которые получены при отбрасывании в уравнениях соответствующих слагаемых.
Видно, что на Р* докритические силовые факторы QX, , оказывают
абсолютно несущественное влияние, а их удержание и отбрасывание Ы^ в уравнениях приводит к многократному увеличению критических значений Р*.
7. Дополнительные замечания и выводы
Известно, что для стержней, относящихся к классу тонких, учет поперечного сдвига в задачах изгиба приводит к незначительному уточнению зависимости между изгибающей нагрузкой и прогибом. Такие экспериментальные зависимости (см. рис. 9, 10), полученные для длинных образцов с параметром Но = Во = В/Ь ~ ~ 1/15, оказались линейными вплоть до нагрузки Р*, являющейся критической, так как зависимости а 11 = а 1 1) для исследуемого композита являются линейными вплоть до его разрушения. В отличие от этих результатов, для коротких образцов, имеющих параметр Но = Во = В/Ь ~ 1/5, зависимости, приведенные на рис. 11, 12, являются сугубо нелинейными, что объясняется главным образом сильной нелинейной зависимостью а 1 з = а 1 з(7 13) (см. рис. 5) и существенным влиянием поперечных сдвигов на вид зависимости между нагрузкой Рк и прогибом. В силу этого более строгое и корректное исследование рассматриваемых проблем требует решения сформулированных задач в геометрически и физически нелинейной постановках с использованием неупрощённых физических соотношений (28), (36). В то же время их решение даже в упрощённой линеаризованной постановке, основанной на использовании линеаризованных соотношений (42) (в них величина О* считается не зависящей от уровня сдвиговых деформаций и в соответствии с результатами статьи [13] устанавливается экспериментальным путём на основе испытаний тест-образцов на сжатие), приводит к результатам, практически точно совпадающим с данными натурных экспериментов.
В свете полученных результатов следует сформулировать вывод о важности корректного определения модуля сдвига для формирования исходных данных линеаризованной задачи устойчивости. С помощью разработанного численного
Табл. 6
Результаты сравнений теоретических значений Р* и Р* с экспериментальными значениями Р* * и Р* *
^ху С^з, МПа Р*, кН РК*, кН |дд|, % |ДК|, %
0 4226 19.715 66.959 732 835
0.001 3299 15.391 52.288 549 630
0.002 2423 11.306 38.416 377 437
0.003 1667 7.778 26.462 228 270
0.004 1091 5.091 17.319 115 142
0.005 686 3.201 10.891 35 52
0.0057 507 2.365 8.049 0 12
0.0059 455 2.123 7.224 10 1
0.006 420 1.960 6.668 17 7
0.007 238 1.110 3.776 53 47
метода решения линеаризованной задачи устойчивости прямолинейного стержня проведён вычислительный эксперимент, в котором, задавая различные значения модуля сдвига О- з (рис. 5), анализировалось изменение значений критических нагрузок Р* и Р* . При совпадении теоретических значений Р* и Р* с экспериментальными значениями Р** и Р** считалось, что модуль сдвига 0*з косвенно определён. Результаты таких сравнений представлены в табл. 6, где |Д*| - абсолютная разница между значениями критической нагрузки, найдённой экспериментальным и численным методами.
В то же время при 0*з = 4226 МПа (значения 0*з модулей сдвига таких порядков и определяются в рамках известных стандартов для всех используемых в промышленности современных композитов) отмечённого совпадения вообще не наблюдается. Результаты численного эксперимента подтверждаются результатами проведённого эксперимента на сжатие. При сжатии образцов, изготовленных из той же углеленты, разрушающие нормальные напряжения для образцов в среднем оказались равными а * - = 459 МПа, которые в соответствии с результатами работы [13] равны модулю сдвига О - 2 = О - з .
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-38-50033, 16-38-60068).
Литература
1. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении // Докл. РАН. - 2004. - Т. 396, № 4. -С. 492-495.
2. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. О геометрически нелинейных уравнениях теории безмоментных оболочек с приложениями к задачам о неклассических формах потери устойчивости цилиндра // Прикл. матем. и механика. - 2006. - Т. 70. № 1. - С. 100110.
3. Паймушин В.Н. Крутильные, изгибные и изгибно-крутильные формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при комбинированных видах нагружения // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2007. - № 3. - С. 125-136.
4. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней // Прикл. матем. и механика. - 2007. -Т. 71, Вып. 5. - С. 855-893.
5. Паймушин В.Н., Полякова Н.В. Непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях и линеаризованные задачи устойчивости // Прикл. матем. и механика. - 2009. - Т. 73. Вып. 2. - С. 303-324.
6. Паймушин В.Н., Полякова Н.В. Об устойчивости кольца, находящегося под действием постоянного по периметру погонного крутящего момента // Прикл. матем. и механика. - 2011. - Т. 75, Вып. 6. - С. 997-1009.
7. ОСТ 1-90199-75, Материалы полимерные композиционные. Метод определения прочности при сдвиге путём испытания на изгиб. - М., 1975.
8. РД 50-675-88, Расчёты и испытания на прочность в машиностроении. Материалы композиционные. Методы испытаний на межслоевой сдвиг. - М., 1989. - 10 с.
9. ASTM D3518 / D3518M-13, Standard Test Method for In-Plane Shear Response of Polymer Matrix Composite Materials by Tensile Test of a ±45° Laminate. - West Conshohocken, PA: ASTM Int., 2013. - doi: 10.1520/D3518_D3518M.
10. ASTM D790-15e2, Standard Test Methods for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating Materials. - West Conshohocken, PA: ASTM Int., 2015. - doi: 10.1520/D0790-15E02.
11. ASTM D2344 / D2344M-16, Standard Test Method for Short-Beam Strength of Polymer Matrix Composite Materials and Their Laminates. - West Conshohocken, PA: ASTM Int., 2016. - doi: 10.1520/D2344_D2344M-16.
12. ГОСТ 32659-2014. Композиты полимерные. Методы испытаний. Определение кажущегося предела прочности при межслойном сдвиге методом испытания короткой балки. - М.: Стандартинформ, 2014. - 19 с.
13. Каюмов Р.А., Луклнкмн С.А., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Идентификация механических характеристик армированных волокнами композитов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2015. - Т. 157, кн. 4. - С. 112-132.
14. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчёт многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 263 с.
15. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвёртого порядка // Изв. вузов. Матем. -1996. - № 10. - С. 13-25.
Поступила в редакцию 29.06.16
Паймушин Виталий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций; главный научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: vpajmushin@mail.ru
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: tdvhome@mail.ru
Холмогоров Сергей Андреевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева
ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111, Россия E-mail: hkazan@yandex.ru
ISSN 1815-6088 (Print)
ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI
(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 3, pp. 350-375
On Non-Classical Buckling Mode and Failure of Composite Laminated Specimens under the Three-Point Bending
V.N. Paimushina'b** , D.V. Tarlakovskiic'd** , S.A. Kholmogorova***
aTupolev Kazan National Research Technical University, Kazan, 420111 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia cResearch Institute of Mechanics, Moscow State University, Moscow, 119192 Russia dMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia E-mail: * vpajmushin@mail.ru, * * tdvhome@mail.ru, * * * hkazan@yandex.ru
Received June 29, 2016
Abstract
On the basis of linearized equations of the theory of curvilinear bars, the buckling problem of rectilinear short and long laminated fiber reinforced specimens under the three-point bending conditions has been formulated. Using the method of finite sums in the variant of integrating matrices, a numerical method for solving the above problem has been developed. It has been shown that the failure of the composite specimens under the three-point bending conditions occurs due to the implementation of non-classical shear buckling mode.
Keywords: layered composite, specimen, three-point bending problem, finite sum method, mechanical test simulation, shear buckling mode
Acknowledgments. The study was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 16-38-50033 and 16-38-60068).
Figure Captions
Fig. 1. The coordinate system and loading pattern of the specimen.
Fig. 2. The scheme of external load application.
Fig. 3. The diagrams of tension of specimens ±45° .
Fig. 4. The geometric pattern of strain.
Fig. 5. The diagram G12 = 612(712) (solid line - the dependence G12 = dri2/d7i2 ; dash-dot line - the dependence (25); dash-dot line with a bold dot - quadratic approximation.
Fig. 6. The dependencies of the critical compression load on the specimen length for rigid fixing (solid line) and hinge support (dashed line).
Fig. 7. The shear buckling of the specimen.
Fig. 8. The limiting surface in bending compression.
Fig. 9. The bending diagram of long specimens in the plane xOy.
Fig. 10. The bending diagrams of long specimens in the plane xOz.
Fig. 11. The bending diagrams of short specimens in the plane xOy.
Fig. 12. The bending diagrams of short specimens in the plane xOz.
References
1. Paimushin V.N., Shalashilin V.I. Consistent variant of continuum deformation theory in the quadratic approximation. Dokl. Phys., 2004, vol. 49, no. 6, pp. 374-377.
2. Paimushin V.N., Shalashilin V.I. Geometrically non-linear equations in the theory of momentless shells with applications to problems on the non-classical forms of loss of stability of a cylinder. J. Appl. Math. Mech., 2006, vol. 70. no. 1, pp. 91-101.
3. Paimushin V.N. Torsional, flexural, and torsional-flexural buckling modes of a cylindrical shell under combined loading. Mech. Solids, 2007, vol. 42, no. 3, pp. 437-446. doi: 10.3103/S0025654407030120.
4. Paimushin V.N. Problems of geometric non-linearity and stability in the mechanics of thin shells and rectilinear columns. J. Appl. Math. Mech., 2007, vol. 71, no. 5, pp. 772-805. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2007.11.012.
5. Paimushin V.N., Polyakova N.V. The consistent equations of the theory of plane curvilinear rods for finite displacements and linearized problems of stability. J. Appl. Math. Mech., 2009, vol. 73, no. 2, pp. 220-236. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2009.04.012.
6. Paimushin V.N., Polyakova N.V. The stability of a ring under the action of a linear torque, constant along the perimeter. J. Appl. Math. Mech., 2011, vol. 75, no. 6, pp. 691-699. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2012.01.009.
7. Industrial Standard 1-90199-75. Polymeric composition materials. Method for determining strength while shifting during bending test. Moscow, 1975. (In Russian)
8. Ruling Document 50-675-88. Calculations and tests for strength in machine engineering. Composition materials. Methods of tests for interlaminar shear. Moscow, 1989. 10 p. (In Russian)
9. ASTM D3518 / D3518M-13, Standard Test Method for In-Plane Shear Response of Polymer Matrix Composite Materials by Tensile Test of a ±45° Laminate. West Conshohocken, PA, ASTM Int., 2013. doi: 10.1520/D3518_D3518M.
10. ASTM D790-15e2, Standard Test Methods for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating Materials. West Conshohocken, PA, ASTM Int., 2015. doi: 10.1520/D0790-15E02.
11. ASTM D2344 / D2344M-16, Standard Test Method for Short-Beam Strength of Polymer Matrix Composite Materials and Their Laminates. West Conshohocken, PA, ASTM Int., 2016. doi: 10.1520/D2344_D2344M-16.
12. State Standard 32659-2014. Polymer composites. Test methods. Determination of apparent interlaminar shear strength by short-beam method. Moscow, Standartinform, 2014. 19 p. (In Russian)
13. Kayumov R.A., Lukankin S.A., Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Identification of mechanical properties of fiber-reinforced composites. Uchenye Zapiski Kazanskogo Univer-siteta. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2015, vol. 157, no. 4, pp. 112-132. (In Russian)
14. Alfutov N.A., Zinov'ev P.A., Popov B.G. Design of Multilayered Plates and Shells of Composite Materials. Moscow, Mashinostroenie, 1984. 263 p. (In Russian)
15. Dautov R.Z., Paimushin V.N. On the method of integrating matrices in solving boundary-value problems for ordinary differential equations of the fourth order. Izv. VUZov, Mat., 1996, no. 10, pp. 13-25. (In Russian)
Для цитирования: Паймушин В.Н., Тарлаковский Д.В., Холмогоров С.А. / О неклассической форме потери устойчивости и разрушении композитных тест-\ образцов в условиях трёхточечного изгиба // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 3. - С. 350-375.
For citation: Paimushin V.N., Tarlakovskii D.V., Kholmogorov S.A. On non-classical / buckling mode and failure of composite laminated specimens under the three-point \ bending. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 3, pp. 350-375. (In Russian)
