CC BY
14
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №5-6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет
В пространстве Харди Ич, q>1 найдены наилучшие линейные методы приближения для классов аналитических функций, изучавшихся Н.Айнуллоевым, и вычислены точные значения их линейных и гельфандовских поперечников.
Ключевые слова: наилучшие приближения, линейные методы, модуль гладкости, граничные заначения, пространство Харди.
1. Пусть К, Ж , С - соответственно множество натуральных, положительных и комплексных
чисел; 11р := {г е С :| г |< р) - круг радиуса р (0<р<1), 111=11; А(11р) - множество
аналитических в круге ифункций. Для произвольной / е А(ир) положим
(1 V9
Mq (f,p)= — { | f(pe") |q dt , 1 < q < да,
V о у
где интеграл понимается в смысле Лебега. При q = да будем предполагать функцию / непрерывной в замкнутом круге 17р := {г е С :| г |< р}. Напомним, что функция / е _4.(У/) принадлежит пространству Харди , 1 < q < да, если
\\/\1=\\/\\н= НтМ?(/;р)<да (1)
9 р^ 1-0
Хорошо известно, что норма (1) реализуется на угловых граничных значениях ¥(1) := /(в11) функций / е Н , 1 < q <да . Символом Ндр (1 < q < да, 0< р< 1, Н?1 = Н?) обозначим
пространство Харди функций / е А(Ир ), для которых || /{г) || = || /( рг) |:/< да .
Для любого геМ через обозначим производную г-го порядка функций / е ЛШ)
по аргументу комплексного переменного г = рвхр(И) . При этом
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
def
Полагаем И'a — {f e A(U), f r) e H }, 1 < q < ю.
Структурные свойства производной /(г' е Н можно либо охарактеризовать быстротой стремления к нулю модуля гладкости её граничных значений производных Е(г) :
co2(F(J\2t)H -sup^F^ + ^-lF^O + F^-T)^ }
(2)
при ^ ^ 0, либо задать скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усреднённой величины, содержащей модуль гладкости (2).
Пусть Ф(^), ^ > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Для любого заданного значения параметра /> 1/2 и к е (0,^/2] Н.Айнуллоев [1] ввёл в рассмотрение класс Ж'^Ф,//), г е N - функций / е Н , для которых граничные значения
производной r) e И удовлетворяют условию
1 h
- J F(r\2t\
/ 2 in • Kt
1 + (u - 1)sin— V 7 2h
dt < Ф^).
Обозначим через ¿и (М, X), (М, X), (М, X), (М, X) соответственно бернштей-новский, колмогоровский, гельфандовский, линейный п -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта М в банаховом пространстве X. Данные п -поперечники связаны следующими соотношениями [2, 3]:
dn (M; X) h (M;X) < nV (M;X).
и ( ; ) dn (M; X) и ( ; )
(3)
В [1] доказано, что если при заданном /> 1/2 и при любом к,^ е (0,^/2] мажоранта Ф удовлетворяет условию
ж
ж-2
1 (i
- cos-
жШ '2т/л
\
J *
■Л )
1 + (u -1) sin— \dt <
Ф(тУ
(4)
где (1 — cos t)« —{cos t, если 0 < t <ж; 2 если t >ж} , то для любого натурального n справедливо равенство
dn (Оф ;u); Hq)
ж
-Ф
С ж ^
2(ж — 2)nr ^ 2nuJ
(5)
Условию (4) удовлетворяет мажоранта Ф(t) — ta(u), где
_2 1
a(U) —
ж
2(ж- 2)
J11 1 + (u2 -1) sin ж
J ) 2u
dt.
(6)
Так как а(1/2) = 4/(3(ж — 2)) и Нта(ц) = 2, причём а(ц) непрерывна и возрастает, то границы значения а = а(ц) удовлетворяют неравенству
4/(3(ж — 2)) < а(ц) < 2.
Пользуясь схемой рассуждений, изложенных в [5, 6], результат (5) можно распространить на более общее пространство Нчр (1 < q < л, 0< р < 1):
К (Офц), нчр)=ап (^(ф, ц), н^)-
жр
С ж ^
-Ф
2(ж — 2)пг ^ 2пцу
(7)
Имеет место следующая
Теорема. Если при заданном Ц> 1/2 и при любом И, I е (0, ж / 2] мажоранта Ф удовлетворяет условию (4), то для любого пеМ и 0 < р < 1 справедливы равенства
^ (ЖЦ(Ф, ц); Нqp) = 8п (ОФ, Ц); Ндр)-
- , , „(/) / е СЧФ,//)}
жр
-Ф
' ж ^
2(ж — 2)пг ^ 2пц у
(8)
При этом
—и,р(/, * ) =
П—1
= Е 1+1
к=0
агЫ р"П—11—^ ]-
(9)
где
/к.
2цп ж — 2
ж/(2цп)
| соб к^(1 — цп^)^,
является наилучшим линейным методом приближения класса Ж^(Ф, Ц) в метрике пространства
н .
q,p
Доказательство. Следуя схеме рассуждений из [5, 6], введём обозначения:
г^рМ , г) = со
п—1 I
+Е 1
к=1 V
1
2пг
Л
1—I
2п — к
Р
2(п—к )
С гк ск^ ,
0
к
л
Легко проверить, что функция В-1 Г(Р, 1) удовлетворяет условиям леммы 2.1 из [3, стр. 251] и при любых 0 < р < 1 и 1 е [—ж, ж] является неотрицательной. Для произвольной функции / е Ж^(Ф, д) непосредственной проверкой запишем равенство
п 2ж
/(рг) - У—р(/, рг) = р I /Л и* УВ—Х —1)^1, г е и.
жг *
(10)
Для получения оценки сверху величины наилучшей полиномиальной аппроксимации элемента / е Н(г)а в качестве промежуточного приближения использовалась специальная функция, которая в нашем случае имеет вид:
ж/(2дп)
*(/, г) = -д- | {/(гв ) + / (гв— )}(1 — 81П дп1)ё1 = ^кпскгк ж — 2 0 к=1
Из (11) следует, что
* (/г), г) = 2>*, п (гк )гскгк.
к=1
Обозначим
^п—1, г, р(/, г) = Уп—!, Гр р(/, г) + л п—1, г, р(/, г) ,
(11)
где
п-
-1 г
Л п—ир(/, г) = 2
к=1
\2\
1 —
2 п — к
2 п — к
2( п—к) к
р Тк,пСкг .
(12)
Непосредственным вычислением легко проверить справедливость интегрального представления
п 2ж
Лг) = р| У,—1,2,1 г)),)вгп1Вп—и(р, 1)^1. р жг -1 4 7
Воспользуясь равенствами (10) и (13), имеем:
/ (рг) — ^—1, Гр(/, рг) =
п 2ж
р7 I {/Г)(гв~г1) - Уп_ 1,2,1 (^(/в(г)),гв-г1 )}вгп1Вп- 1,г(р, 1 Ж г е и. (14)
7 01 '
Применяя обобщённое неравенство Минковского, с учётом равенства -1г(А") =п \ из равенства (14) имеем:
жг
/-^дл и^ р^и /г-^-ид И/Г))
<
(13)
о
^ р"пг {|| /г-^с/г)\1д + ii ^с/г)-г„_1л1 ].
Из [1, с.93] сразу получаем оценку сверху
(15)
л1(2/лп)
д л—2 i Ч
(16)
Приступая к оценке второго слагаемого правой части (15) как и в [1, 4, 6], считаем *(/г),2) алгебраическим полиномом Рт (2) некоторого порядка т . Так как множество полиномов является всюду плотным в пространстве Н^, то проводимые ниже математические операции над функцией * (/аГ), 2) являются корректными.
Полагая в (10) р = 1 и заменяя / (2) на *( г), 2), запишем
2ж
Г), 2) - У——/°), 2) = — - к(2)(/)Вп—1,2(1, />*. (17)
ж
Применяя к равенству (17) обобщённое неравенство Минковского и пользуясь неотрицательностью ядра В-1 г(1,1), получаем
(/()) - Уп—1,2,1 (*-(/(г))) * Л|*2(/(
^ —
-2( г(г)
(1)
Применяя к правой части неравенства (18) равенство (11), в принятых обозначениях будем иметь
п
Ч (ж - 2 )п
ж/(2цп)
| г2)(г +г) + (г — г)](1 — ^пц—г)Ж
Выполнив дважды интегрирование по частям, затем применив обобщённое неравенство Минковского, получаем
1
п
<
3 ТТ1(2цп)
Г И г(0/
ж — 2
Г ц^сг+о-г^с^+^сг-о^ «л
* <?
3п ж/(2Цп)
< —— | щ (¥(а г), 2г) цпгёг.
ж — 2
0
Используя (15), (16), (18), (19) и определение класса ЖГ)(Ф, Ц), имеем
qa
\ / - К-1,г,р(Г)\\н <
и Ч,Р
0
q
Н
q
0
n я/(2 an) VnP f „ I Z7( r)
(я- 2)nr
J 02(F(r),2t){1 + (a2 -1)sin(ant)}dt <
<-
яр
Ф
с я ^
2(я- 2)пг { 2 цп у Из неравенства (20) сразу следует оценка сверху линейного п -поперечника
яр"
sn (Оф, a), иЧр р)
<
ф
( я ^
2(я - 2)nr { 2ßn j
(20)
(21)
Сопоставив при помощи неравенств (3) значения п -поперечников из равенств (7) с оценкой (21), получаем требуемое равенство (8), чем и завершаем доказательство теоремы.
Поступило 18.02.2016 г.
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функции в единичном круге. -Геометрические вопросы теории функций и множеств, Калинин, 1986, с.91-101.
2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Издательство МГУ, 1976.
3. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer, 1985.
4. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций. - Мат. заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-295.
5. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости. - Укр. матем. журнал, 2004, т.56, №9, с. 1155-1171.
6. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций аналитических в круге. - Матем. сборник, 2010, т.201, №8, с. 3-22.
М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*
ОИДИ МЕТОДХОИ ХАТТИИ БЕХТАРИН НАЗДИККУНЙ ВА КИМАТИ АНИ^И БАЪЗЕ СИНФХОИ ФУНКСИЯХОИ ДАР ДАВРАИ ВОХИДИ АНАЛИТИКИ
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон,
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар фазой Харди Hq, q > 1 барои синфи функсияхое, ки аз тарафи Н.Айнуллоев омухта
шудаанд, усулхои хаттии бехтарин ёфта шуда, киматхои аники кутрхои хаттй ва гелфандй хисоб карда шудаанд.
Калима^ои калидй: наздиккуниуои бехтарин, усулхои хаттй, модули бефосилаг, циматуои уудудй, фазои Харди.
M.Sh.Shabozov, F.D.Davlatbekov* ABOUT THE BEST LINEAR APPROXIMATION METHODS AND THE EXACT VALUES OF SOME CLASSES ANALYTICAL IN THE UNIT DICK FUNCTIONS
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
Tajik National University
In Hardy's space Hq, q>1 for classes of analytical functions the best linear methods of approximation studied by N.Ainulloev and the exact values of linear's and the helfand's widths are found. Key words: best approximation, linear methods, the modulus of continuity, limit values, Hardy space.
