Научная статья на тему 'О надёжности схем в базисе Россера - Туркетта (в Pk)'

О надёжности схем в базисе Россера - Туркетта (в Pk) Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
224
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФУНКЦИИ K-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ / НЕНАДЁЖНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ / НАДЁЖНОСТЬ И НЕНАДЁЖНОСТЬ СХЕМЫ / ИНВЕРСНЫЕ НЕИСПРАВНОСТИ НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ / K-VALUED LOGIC FUNCTIONS / UNRELIABLE FUNCTIONAL ELEMENTS / THE RELIABILITY AND UNRELIABILITY OF A CIRCUIT / INVERSE FAILURES ON OUTPUTS OF ELEMENTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алехина Марина Анатольевна, Барсукова Оксана Юрьевна

Рассматривается реализация функций k-значной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера Туркетта. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдены верхняя и нижняя оценки ненадёжности схем, а также класс функций, для которых нижние оценки справедливы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алехина Марина Анатольевна, Барсукова Оксана Юрьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the reliability of circuits in the rosser - tourkett basis (in Pk)

We consider the implementation of k-valued logic functions with circuits consisting of unreliable functional elements in the Rosser Tourkett basis. It is assumed that all elements of the circuit are independently subjected to inverse failures on the outputs. The upper and lower bounds of circuit reliability are found, and the class of functions, for which the lower bounds hold, is found too.

Текст научной работы на тему «О надёжности схем в базисе Россера - Туркетта (в Pk)»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№9 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2016

Секция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718 DOI 10.17223/2226308X/9/37

О НАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ РОССЕРА — ТУРКЕТТА (В Pk

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций k-значной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдены верхняя и нижняя оценки ненадёжности схем, а также класс функций, для которых нижние оценки справедливы.

Ключевые слова: функции k-значной логики, ненадёжные функциональные элементы, надёжность и ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.

Пусть k, n G N, k ^ 3, Ek = {0,1,... , k—1}, Pk — множество всех функций k-значной логики, т. е. функций f (xi,... , xn) : (Ek)n ^ Ek. Рассмотрим реализацию функций из множества Pk схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта {0,1,..., k — 1, Jo(x1), J1(x1),..., Jk-1(x1), min{x1, x2}, max{x1, x2}}.

Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (Xn) (Xn = (x1,... , xn)), если при поступлении на входы схемы набора an при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (an).

Пусть схема S реализует функцию f (Xn), an — произвольный входной набор схемы S, f (an) = т. Обозначим через Pj(S, an) вероятность появления значения i G Ek на выходе схемы S при входном наборе an, а через Pf(an)=T(S, an) —вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе an. Ясно, что Pf(an)=T (S, an) = = PT+1(S, an) + PT+2(S, an) + ... + PT+k-1 (S, an). В выражениях т +1, т + 2,..., т + k — 1 сложение осуществляется по mod k. Например, если входной набор an схемы S такой, что f (an) = 0, то вероятность появления ошибки на этом наборе равна

Pf (a™)=o(S, an) = P1(S, an) + P2(S, an) +... + Pk-1(S, an) = £ Pi(s, an).

i=1

Ненадёжностью схемы S, реализующей функцию f (Xn), будем называть число P(S), равное наибольшей из вероятностей появления ошибки на выходе схемы S. Надёжность схемы S равна 1 — P(S).

Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е,

0 < е < 1/(2(k — 1)), подвержены инверсным неисправностям на выходах, т.е. каждый базисный элемент с функцией ^(Xm), m G N, на любом входном наборе am, таком, что ^(am) = т, с вероятностью е выдаёт любое из значений a, а = т (mod k). Поэтому вероятность ошибки на выходе любого базисного элемента равна (k — 1)е. Очевидно, что ненадёжность любого базисного элемента также равна (k — 1) е, а надёжность —

1 — (k — 1)е.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем

97

Пусть Р£(/) = Ш Р(Б), где инфимум берется по всем схемам Б из ненадёжных элементов, реализующим функцию /(Хп). Схему А, реализующую /, назовем асимптотически оптимальной по надёжности, если Р(А) ~ Р£(/) при е ^ 0.

Справедливы теоремы об оценках ненадёжности схем и классе функций, для схем которых нижняя оценка ненадёжности верна.

Теорема 1. Любую функцию / Е Рк можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) ^ 3(к - 1)е + 90к2е2 при всех е Е (0,1/(288к4)].

Обозначим через К(п) множество таких к-значных функций, зависящих от переменных Х1,... ,хп (п ^ 3), что каждая из этих функций принимает все к значений и не представима ни в виде хк V Л,(Хп), ни в виде хк&^(Хп) (к Е {1, 2,..., п}, Л,(Хп) -

оо

произвольная функция к-значной логики). Пусть К = У К(п).

п=3

Теорема 2. |К(п)| ^ кк" - 2пк(к-1)к"-1 - к(к - 1)к".

Теорема 3. Пусть функция / Е К. Тогда для любой схемы Б, реализующей /, при е Е (0,1/(288к4)] верно неравенство Р(Б) ^ 3(к- 1)е- (к - 1)(3к- 1)е2 + к(к- 1)2е3.

В заключение можно сделать следующие выводы:

1) Любую функцию из Рк можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) не больше 3(к - 1)е (теорема 1).

2) Любую функцию из класса К (содержащего почти все функции из Рк) нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) меньше 3(к - 1)е (теорема 3).

3) Схема, реализующая функцию / Е К и удовлетворяющая условиям теоремы 1, является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 3(к - 1)е при е ^ 0.

Таким образом, в базисе Россера — Туркетта: 1) любую функцию к-значной логики можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при е ^ 0) не больше 3(к - 1)е; 2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 3(к - 1)е при е ^ 0.

В списке литературы приведены работы, в которых получены результаты по надёжности и ненадёжности схем в базисе Россера — Туркетта при к = 3 [1-4] и к = 4 [5-8]. Результаты для произвольного к получены впервые.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализующих функции из Р3 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2012. №1(21). С.57-65.

2. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркетта // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2014. №1(29). С. 5-19.

3. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.

4. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик: дис. .. .канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87с.

5. Алехина М. А., Каргин С. П. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера — Туркетта в Р4 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2015. №1. С. 38-54.

98

Прикладная дискретная математика. Приложение

6. АлехинаМ. А., Каргин С. П. Об одном методе повышения надежности схем в базисе Рос-сера — Туркетта // Труды IX Междунар. конф. «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва и Подмосковье, 20-22 мая 2015 г.), посвященной 90-летию со дня рождения С. В. Яблонского. М.: МГУ, МАКС Пресс, 2015. С. 17-19.

7. Алехина М. А., Каргин С. П. Верхняя оценка ненадежности схем в базисе Россера — Туркетта (в Р4) // Сб. статей Междунар. науч.-технич. конф. «Проблемы автоматизации и управления в технических системах — 2015», посвященной 70-летию Победы в Великой Отечественной войне (г. Пенза, 19-21 мая 2015 г.) Пенза: Изд-во Пенз. ун-та, 2015. С. 315-317.

8. Алехина М. А., Каргин С. П. Нижние оценки ненадёжности схем в базисе Россера — Туркетта (в Р4) // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 104-105.

УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X/9/38

НЕНАДЁЖНОСТЬ СХЕМ ПРИ СЛИПАНИЯХ ВХОДОВ

ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, О. А. Логвина

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в некоторых полных конечных базисах. Предполагается, что каждый из элементов схемы независимо от других элементов подвержен дизъюнктивным (конъюнктивным) слипаниям входов. Показано, что в некоторых базисах любую булеву функцию можно реализовать схемой сколь угодно высокой надёжности, а в некоторых — схемой, ненадёжность которой равна нулю.

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, надёжность схемы, ненадёжность схемы, слипание входов элементов.

Задача синтеза надёжных схем, реализующих булевы функции, при константных неисправностях одного типа (например, только типа 0 на входах элементов) решена в полных неприводимых базисах из двухвходовых элементов [1], при константных неисправностях двух типов [2 - 4], при константных неисправностях четырёх типов на входах и выходах [5, 6].

В этой работе рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадёжных элементов в полном конечном базисе В и исследуем модель неисправностей, в которой каждый элемент схемы подвержен дизъюнктивным (конъюнктивным) слипаниям входов, когда на оба входа базисного элемента при наличии неисправности подается дизъюнкция (конъюнкция) входных значений. Различные слипания переменных исследовались, например, в работах [7-10] при построении тестов.

Считаем, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию /(х1,...,хп), п Е N если при поступлении на входы схемы набора ап = (а1,... , ап) при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение /(ап). Предполагаем, что в неисправные состояния элементы схемы переходят независимо друг от друга с вероятностью е Е (0,1/2). Пусть схема Б реализует булеву функцию /(Хп). Обозначим через Р/(дП) (Б, ап) вероятность появления значения /(ап) на выходе схемы Б при входном наборе ап. Ненадёжность Р(Б) схемы Б равна максимальному из чисел Р/(¿п)(Б, ап) по всем входным наборам ап схемы Б. Надёжность схемы Б равна 1 - Р(Б).

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.