О надёжности схем в базисе из ненадёжных и абсолютно надёжных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718

О НАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ ИЗ НЕНАДЁЖНЫХ И АБСОЛЮТНО НАДЁЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, А. Е. Лакомкина

Рассматривается реализация булевых функций схемами в стандартном базисе, содержащем конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию. Предполагается, что некоторые из базисных элементов (например, конъюнктор) абсолютно надёжны, а остальные (инвертор и дизъюнктор)—ненадёжные, с вероятностью е € (0,1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Предполагается, что все ненадёжные элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Получены ответы на вопросы: какова ненадёжность схем, если некоторые из базисных элементов абсолютно надёжны, а другие ненадёжны?

Ключевые слова: ненадёжные и абсолютно надёжные функциональные элементы, надёжность и ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.

Рассматривается реализация булевых функций схемами в стандартном базисе {х1&х2,х1 Vх2, Х]_}. Предполагается, что некоторые из базисных элементов абсолютно надёжны, а остальные — ненадёжные, с вероятностью е € (0,1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии базисный элемент реализует приписанную ему булеву функцию <^, а в неисправном — функцию (/?. Считаем, что схема Б, содержащая ненадёжные элементы, реализует булеву функцию f (х1,..., хп), если при поступлении на входы схемы двоичного набора а при отсутствии неисправностей в схеме Б на её выходе появляется значение f (а). Предполагается, что все ненадёжные элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга.

Впервые задачу синтеза надёжных схем из ненадёжных функциональных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он также предполагал, что все базисные элементы с вероятностью е € (0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах и переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Дж. фон Нейман с помощью итерационного метода установил, что любую булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой не больше се (с — положительная, зависящая от рассматриваемого базиса константа). Для повышения надёжности некоторой исходной схемы путём многократного дублирования он использовал схему, реализующую функцию голосования д(х^х2,х3) = х1х2 V х1 х3 V х2х3.

Число Р(Б), равное максимальной вероятности ошибки на выходе схемы Б при всевозможных входных наборах схемы, назовем ненадёжностью схемы Б; надёжность схемы Б равна 1 — Р(Б).

С. В. Яблонский [2] рассматривал задачу синтеза надёжных схем в базисе {х1&х2, х1 V х2, х1, ^(х1, х2, х3)}. Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования д, абсолютно надёжный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор — ненадёжные, подвержены произвольным неисправностям, ненадёжность каждого из них не больше е. Им доказано, что для любого р > 0 существует алгоритм, который для каждой булевой функции f (х1,х2,... , хп) для любого п строит такую схему Б, что сложность схемы Ь(Б) < 2п-1/п, а Р(Б) ^ р (т. е. ненадёжность схемы сколь угодно мала). Такие схемы называют схемами сколь угодно высокой надёжности.

хРабота поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

В отличие от С. В. Яблонского, А. В. Васин [3] предполагал, что все элементы базиса |xi&x2,xi V X2,Xi} ненадёжны, с вероятностью е подвержены инверсным неисправностям на выходах, и доказал, что любую функцию можно реализовать такой схемой S, что P(S) ^ 3е + 32е2 при всех е G (0,1/128].

В этой работе (в зависимости от того, какие базисные элементы ненадёжны) получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть конъюнктор и дизъюнктор абсолютно надёжны, а инвертор ненадёжный. Тогда любую функцию можно реализовать такой схемой S(k), что P (S ) ^ 4(10е2)к при всех е G (0,1/128], k G N.

Из теоремы 1 следует, что любую функцию можно реализовать схемой сколь угодно высокой надёжности. Кроме того, любая неконстантная монотонная функция f G [x1&x2,x1 V x2], т. е. может быть представлена в виде ДНФ, в которой нет отрицаний. Поэтому такую функцию f можно реализовать абсолютно надёжно.

Теорема 2. Пусть конъюнктор абсолютно надёжный, а инвертор и дизъюнктор ненадёжные; или дизъюнктор абсолютно надёжный, а инвертор и конъюнктор ненадёжные. Тогда любую функцию можно реализовать такой схемой S, что P(S) ^ е+10е2 при всех е G (0,1/128].

Теорема 3. Пусть инвертор абсолютно надёжный, а конъюнктор и дизъюнк-тор ненадёжные. Тогда любую функцию можно реализовать такой схемой S, что P(S) ^ 3е + 32е2 при всех е G (0,1/128].

Теорема 4. Пусть конъюнктор и инвертор абсолютно надёжные, а дизъюнктор ненадёжный; или дизъюнктор и инвертор абсолютно надёжные, а конъюнктор ненадёжный. Тогда любую функцию можно реализовать абсолютно надёжной схемой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Von Neuman J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata Studies / eds. C. Shannon and J. McCarthy. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1956. P. 329-378. (Рус. пер.: Автоматы. М.: ИЛ, 1956. С. 68-139.)

2. Яблонский С. В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов // Banach Center. 1982. No. 7. P. 11-19.

3. Васин А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x&y, x V y, X} при инверсных неисправностях на выходах элементов // Изв. вузов. Поволжский регион. Физикоматематические науки. 2008. №4. С. 3-17.