Научная статья на тему 'О начально-краевой задаче для уравнения Хоффа в полиэдральной области'

О начально-краевой задаче для уравнения Хоффа в полиэдральной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
75
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ ХОФФА / УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА / ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Казак В. О.

Работа посвящена исследованию фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа в полиэдральной области

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article is devoted to the investigation of phase space of value-boundary problem for Hoff's equation in the polyhedral domain

Текст научной работы на тему «О начально-краевой задаче для уравнения Хоффа в полиэдральной области»

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОФФА В ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

В.О. Казак

Челябинский государственный университет

Работа посвящена исследованию фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа в полиэдральной области

Ключевые слова: уравнение Хоффа, уравнения соболевского типа, фазовое пространство.

Пусть С К” — ограниченная область с границей класса С00. Уравнение Хоффа

(А + А )щ = —аи — /Зи3 (0-1)

в случае п = 1 моделирует динамику выпучивания двутавровой балки [1]. Функция и = и(ж,£), а; 6 ( 6 К имеет физический смысл отклонения

балки от положения равновесия, параметры Х,а,(3 £ характеризуют нагрузку (А) и свойства материала Начально-краевая задача

и(х, 0) = Ио(ж), х £ и(ж,£) = 0, (ж,£) € д£1 X К (0-2)

для уравнения (0.1) впервые исследовалась в [2]. Здесь же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (0.1), (0.2) при произвольных начальных условиях. Изучение множества допустимых начальных значений, понимаемого как фазовое пространство задачи (0.1), (0.2), начато в [3; 4]. Однако в обоих случаях получены лишь частные результаты.

Статья содержит описание фазового пространства задачи (0.1), (0.2). Методы исследования аналогичны [4; 5]. В первой части приводятся достаточные условия разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа. Все результаты этой части вытекают из [6; 7] и поэтому снабжены лишь набросками доказательств. Во второй части абстрактные результаты прилагаются к задаче (0.1), (0.2)

1. Задача Коши

Пусть Ы и Т — банаховы пространства, оператор Ь Є С1(Ы,Т) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), оператор М Є С(Ы,Т) (т.е. линеен и непрерывен). Следуя [6], назовем оператор М (Ь, а)-ограниченным, если

За Є К+ Уд Є С (| [і \> а) => {{цЬ — М)~1 Є С{Т ,Ы)) .

ЛЕММА 1.1. Пусть оператор М (L, а) -ограничен. Тогда U = U°®U1 и Т = Т°фТ1, где Ы° Э kerb, а Т1 dm L.

Искомые расщепления задаются проекторами

Р = —: f (jib — M)~1Ld[i, Q = —: f L(jiL —

2m J 2тгг J

г г

соответственно, а контур Г = {ц Є С : |д| = г > а}.

Обозначим через Lj~ (Мь) сужение оператора L (М) на множество dom L PiUk (uk^j , k = 0,1.

JIEMMA 1.2. Пусть оператор М (L, а)-ограничен. Тогда Lk Є Cl(Uk; Tk), Mk Є L{Uk', Tk), k = 0,1, причем существуют операторы L~[l Є С{Т1',Ы1) и Mq1 Є С(Т°',Ы°).

Пусть оператор F Є Ck{U',J~), к Є N U {оо}. Рассмотрим задачу

Коши

и(0) = Uq (1.1)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + F(u) . (1-2)

Пусть оператор М (L, <т)-ограничен, тогда в силу лемм 1.1 и 1.2 задача расщепляется на две задачи:

Gii° = и° + M~1F0(u), и°(0) = Mq , (1.3)

й1 = Su1 + L~[lFi(u), m1(0) = Mq, (1-4)

где операторы G = M0"1L0 Є С,{Ы°), S = L~[lMi Є C-iU1),

F0 = (l-Q)F, Fi = QF, a u° = (l-P)u, u1 = Pu.

Оператор G нильпотентен степени p Є {0} U N. Формально дифференцируя уравнения по t и умножая слева на G, получим

^ d9

0 = и° + Мо-1^Я^— F0(u), (1.5)

q=О

где оператор Н = LqMq1 Є

Замечание 1.1. Условие (1.5) выполняется точно тогда, когда оператор Н нильпотентен степени р.

Пусть существует окрестность О £Ы точки ио € Ы такая, что

V иео НР^ = О, (1.7)

где _Рди 6 £.{Ы]Т°) — производная Фреше оператора _Ро € Ск(Ы]Т°) в точке и. Тогда уравнение (1.6) принимает более простой вид:

О = и0 + М^1Р0(и). (1.8)

Пусть ио — решение уравнения (1.8), причем существует оператор

(Мо + ад-Р))"1 е£(Т°-,и°), (1.9)

тогда в силу теоремы о неявной функции существуют окрестности 0° С и0 и О1 С и1 точек Ид и Ид соответственно и отображение 5 £ Ск (О1ш,О0) такие, что н° = б^и1) есть решение уравнения (1.8) при любом и1 6 О1, ПрИЧеМ Ид = 5(Нд).

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть оператор М (Ь, а) -ограничен, а оператор Р £ С00^;^7). Определим М = {и 6 Ы : (I — С^)(Ми + Р(и)) = 0}. Пусть но € М н выполнены условия (1.5), (1-7) и (1.8). Тогда для некоторого Т = Т(щ) > 0 существует единственное решение и £ С°°((—Г, Г); Л4) задачи (1-1), (1-2).

Действительно, включение но € Л4 означает, что щ — решение уравнения (1.8). Поэтому искомое решение и = и{£) имеет вид и = (I + 6) (и1). Отсюда и{£) £ Л4 при любом t £ (—Г, Г).

Замечание 1.2. Следуя [3; 4], множество V С Ы назовем фазовым пространством уравнения (1.2), если для любого щ £ V существует единственное решение и £ С°°((—Г, Г); V) задачи (1.1), (1-2) при некотором Т = Т(ио). В условиях теоремы 1.1 множество МПО — фазовое пространство уравнения (1.1), являющееся банаховым С°°-многообразием, моделируемым пространством И1.

2. Фазовое пространство

Чтобы редуцировать задачу (0.1), (0.2) к задаче (1.2), (1.1), положим Ы = 1*4, Т = И^-1 (все пространства определены на области £)). Операторы Ь , М, Р определим формулами

(Ьи, и) = J(Хиу - uXkvXk)dx Ми^ £\¥^ ,

(Ми, V) = —01 J ию СІХ, (Р(н), и) = —(3 J и3У СІХ Vи, V Є -^4 ,

її І1

о

где (•, •) - скалярное произведение В Ь2- Вложение плотно и

непрерывно при п < 4, поэтому оператор £ Є С1(Ы',Т). В [3; 4] показано, что в силу вложения (£4)* = Ь4/3 м- ІУ^1 оператор Р Є С°°(^; ^г).

По построению оператор Ь фредгольмов (т.е. іпсі Ь = 0). Кроме того, спектр сг{Р) оператора Ь вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —оо. Пусть точка 0 ^ <?(£), тогда в силу [8] проекторы

Р = С2 = О.

Пусть — полиэдральная область (т.е. =1(а^,6^)). Рассмо-

трим случай сііткегіу = 1, т.е. кег Ь = зрап{(,о}, |і¥,||ь2(іі) = 1. В силу [8] достаточным условием (Ь, а)- ограниченности оператора является отсут-свие М-присоединенных векторов. В нашем случае, поскольку Мф ^ іт Ь при любом ф Є кегЬ \ {0}, то М-присоединенные векторы оператора Ь отсутсвуют. Далее, проекторы Р и <3 имеют вид

р = д = I- (., ір)ір, (2.1)

и значит, операторы р[ = О = О. Отсюда немедленно вытекает, что условия (1.5) и (1.7) тривиально выполняются.

Обозначим через Л4 фазовое пространство задачи (1.1), (1-2) и введем в рассмотрение множество С = {и Є Ь4 : (и,ф) = 0}. Из (2.1) и (1.9) следует, что в Л4 лежат те точки и = во<~р + V Є Ь^(ЄЇ), для которых

53||^|І4 + Зв2 J 3<р3у сіх -\- 8 \ ! Зір2ю2 сіх + а[3 1 | + J <ру3 (1х = 0 . (2.2)

а \а /а

ТЕОРЕМА 2.1. При любых а,(Зф0иу£С уравнение (2.2) имеет один действительный корень.

Доказательство. Уравнение (2.2) представим следующим образом:

в3 + рз + д = 0 . (2-3)

Условие р > 0 является достаточным для существования единственного действительного корня. В уравнении (2.3)

( / (р3у (1х\ 3 Г (п2у2с1х + а/3-1

_______)_+А____________________

1 " .114 ^ II,„114 '

4 II г ІІ4

В силу полиэдральности области / ^p3v dx = 0. Таким образом, имеем р > 0.

п

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 2.1. В предположениях теоремы 2.1 фазовым пространством уравнения является простое банахово С00-многообразие, моделируемое пространством С.

Список литературы

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

2. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516 - 1526.

3. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 250 - 258.

4. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, № 3. С. 192 - 207.

5. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 1538-1543.

6. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 47 - 74.

7. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. Волгоград: Платон, 1996.

8. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Относительная а-ограниченность линейных операторов // Изв. вузов. Математика. 1997. № 7. С. 68 - 73.

9. Бокарева Т.А., Свиридюк Г.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Мат. заметки. 1994. Т. 55, № 3. С. 3 - 10.

SUMMARY

The article is devoted to the investigation of phase space of value-boundary

problem for Hoff’s equation in the polyhedral domain

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.